1
00:00:02,160 --> 00:00:20,579
Bien, vamos con este ejercicio que ha sido propuesto en la EVAO de Cantabria en junio del año pasado, de 2020, me dan aquí una función que es el seno de x partido por x y cuatro apartados valorados en medio punto, o sea que no deberían costarme mucho tiempo hacerlo.

2
00:00:20,579 --> 00:00:22,679
la primera derivada de la función

3
00:00:22,679 --> 00:00:25,679
por ser un cociente es derivada del de arriba

4
00:00:25,679 --> 00:00:27,640
la derivada del seno sabéis que es el coseno

5
00:00:27,640 --> 00:00:29,519
por el de abajo sin derivar

6
00:00:29,519 --> 00:00:31,600
menos el de arriba sin derivar

7
00:00:31,600 --> 00:00:33,280
por la derivada del de abajo

8
00:00:33,280 --> 00:00:35,600
pongo un 1 para que veáis que no se me ha olvidado

9
00:00:35,600 --> 00:00:40,619
no haría falta ponerlo

10
00:00:40,619 --> 00:00:40,880
¿vale?

11
00:00:41,880 --> 00:00:43,820
y dividido por lo de

12
00:00:43,820 --> 00:00:45,920
abajo al cuadrado

13
00:00:45,920 --> 00:00:46,679
¿vale?

14
00:00:48,840 --> 00:00:50,100
como no me piden más

15
00:00:50,100 --> 00:00:52,060
la puedo dejar así, ni saco factor común

16
00:00:52,060 --> 00:00:54,640
bueno, que no se puede porque aquí no hay x

17
00:00:54,640 --> 00:00:56,380
ni saco la 1, solo me piden la derivada

18
00:00:56,380 --> 00:00:57,899
pero en el apartado b

19
00:00:57,899 --> 00:01:00,600
me piden la recta tangente

20
00:01:00,600 --> 00:01:03,619
a la función en el punto x igual a y

21
00:01:03,619 --> 00:01:04,640
es decir

22
00:01:04,640 --> 00:01:08,280
vamos a utilizar la ecuación de la recta tangente

23
00:01:08,280 --> 00:01:09,640
que pongo aquí la definición

24
00:01:09,640 --> 00:01:11,459
sabéis que la recta tangente es

25
00:01:11,459 --> 00:01:13,299
y igual a f de x sub 0

26
00:01:13,299 --> 00:01:16,959
más f' de x sub 0

27
00:01:16,959 --> 00:01:20,599
por x menos x sub 0

28
00:01:20,599 --> 00:01:22,000
¿de acuerdo?

29
00:01:22,060 --> 00:01:25,819
entonces los valores que necesitamos son, por un lado

30
00:01:25,819 --> 00:01:29,519
mi x sub cero me dice en un cero que va a ser el punto pi

31
00:01:29,519 --> 00:01:31,920
f de pi

32
00:01:31,920 --> 00:01:36,920
pues será lo que vale la función en pi, que es el seno de pi

33
00:01:36,920 --> 00:01:39,959
partido por pi

34
00:01:39,959 --> 00:01:44,500
¿vale? que en este caso es cero

35
00:01:44,500 --> 00:01:47,000
partido por pi, que es cero

36
00:01:47,000 --> 00:01:50,200
y la derivada en pi

37
00:01:50,200 --> 00:02:21,069
será coseno de pi por pi menos seno de pi y partido todo por pi al cuadrado, que esto es menos pi partido por pi al cuadrado, que es menos 1 partido por pi, ¿vale?

38
00:02:21,069 --> 00:02:23,770
el coseno de pi es

39
00:02:23,770 --> 00:02:24,710
menos 1

40
00:02:24,710 --> 00:02:27,110
por pi menos pi, vale

41
00:02:27,110 --> 00:02:29,110
con lo cual, esta ecuación

42
00:02:29,110 --> 00:02:31,409
ahora ya si que podemos dar nuestros valores y me queda que

43
00:02:31,409 --> 00:02:32,949
y es igual a

44
00:02:32,949 --> 00:02:34,669
0

45
00:02:34,669 --> 00:02:37,629
más menos 1

46
00:02:37,629 --> 00:02:38,569
partido por pi

47
00:02:38,569 --> 00:02:40,870
por x menos pi

48
00:02:40,870 --> 00:02:46,159
y la podemos dejar un poco más bonita

49
00:02:46,159 --> 00:02:48,180
poniendo que es menos 1 partido por pi

50
00:02:48,180 --> 00:02:48,900
x

51
00:02:48,900 --> 00:02:51,819
menos por menos va a hacer más

52
00:02:51,819 --> 00:02:53,379
y pi partido por pi es 1

53
00:02:53,379 --> 00:02:55,340
esa es la recta tangente

54
00:02:55,340 --> 00:02:57,919
vale, en el apartado

55
00:02:57,919 --> 00:02:59,719
C nos piden las asíntotas

56
00:02:59,719 --> 00:03:01,900
de la función, para calcular las asíntotas

57
00:03:01,900 --> 00:03:03,639
vamos a ver si hay asíntota

58
00:03:03,639 --> 00:03:05,780
vertical, como

59
00:03:05,780 --> 00:03:07,539
el denominador se anula en el 0

60
00:03:07,539 --> 00:03:09,520
podríamos pensar que el candidato

61
00:03:09,520 --> 00:03:10,479
a asíntota vertical

62
00:03:10,479 --> 00:03:12,580
es el punto 0

63
00:03:12,580 --> 00:03:15,900
vale, entonces

64
00:03:15,900 --> 00:03:17,500
vamos a ver

65
00:03:17,500 --> 00:03:19,400
cuál es este límite, si este límite es

66
00:03:19,400 --> 00:03:21,060
infinito o es menos infinito

67
00:03:21,060 --> 00:03:25,310
pues tendría una asíntota vertical

68
00:03:25,310 --> 00:03:27,349
pero este límite

69
00:03:27,349 --> 00:03:29,189
es 0 partido por 0

70
00:03:29,189 --> 00:03:30,310
que es una indeterminación

71
00:03:30,310 --> 00:03:32,729
la cual si resolvemos utilizando

72
00:03:32,729 --> 00:03:33,930
el teorema del lopital

73
00:03:33,930 --> 00:03:38,849
me queda que este límite

74
00:03:38,849 --> 00:03:41,740
es

75
00:03:41,740 --> 00:03:43,780
la derivada del seno es el coseno

76
00:03:43,780 --> 00:03:46,860
y la derivada de x es 1

77
00:03:46,860 --> 00:03:47,900
si aquí das valores

78
00:03:47,900 --> 00:03:50,400
tienes 1 partido por 1 es 1

79
00:03:50,400 --> 00:03:51,539
este límite no es 0

80
00:03:51,539 --> 00:03:53,740
perdón, este límite no es infinito

81
00:03:53,740 --> 00:03:56,539
Pero como no es infinito, no hay asíntota vertical.

82
00:03:57,639 --> 00:04:14,439
Y para estudiar la asíntota horizontal, pues no tenemos más remedio que razonar mediante la siguiente idea feliz.

83
00:04:14,780 --> 00:04:14,960
¿Vale?

84
00:04:15,620 --> 00:04:22,720
Para hacerla horizontal tendremos que calcular estos dos límites.

85
00:04:22,899 --> 00:04:28,139
Es decir, ¿qué le pasa a mi función cuando la x es muy grande y cuando la x es muy pequeña?

86
00:04:28,139 --> 00:04:37,699
Bien, si lo pensáis un poco, esta es una fracción que el denominador va a crecer infinitamente

87
00:04:37,699 --> 00:04:39,519
Pero que el numerador está acotado

88
00:04:39,519 --> 00:04:45,639
Porque yo sé que esto de arriba siempre va a estar acotado entre el 1 y el menos 1

89
00:04:45,639 --> 00:04:52,779
Todos sabemos que el valor absoluto del seno es menor que 1

90
00:04:52,779 --> 00:04:56,800
Con lo cual, si lo de arriba como mucho vale 1, como poco menos 1

91
00:04:56,800 --> 00:04:58,259
Y esto crece infinitamente

92
00:04:58,259 --> 00:05:01,980
Este límite va a ser 0, tanto aquí

93
00:05:01,980 --> 00:05:06,019
como aquí, por tanto existe una asíndota horizontal

94
00:05:06,019 --> 00:05:10,139
cuando la Y es igual a 0

95
00:05:10,139 --> 00:05:14,420
y el apartado D, que era calcular el límite

96
00:05:14,420 --> 00:05:18,519
pues resulta que lo hemos hecho aquí para calcular

97
00:05:18,519 --> 00:05:22,600
la asíndota vertical, podemos decir que el apartado D

98
00:05:22,600 --> 00:05:26,120
está resuelto y es este de aquí, ¿de acuerdo?