1
00:00:02,540 --> 00:00:11,259
Bueno, vamos a ver otro problema de integral definida.

2
00:00:11,359 --> 00:00:14,119
En realidad tiene mucho que ver con el anterior problema que hemos visto

3
00:00:14,119 --> 00:00:18,019
del cálculo de la mitad de un círculo, el área de medio círculo de radio 1.

4
00:00:18,440 --> 00:00:22,960
En este caso nos piden calcular el área de un círculo en realidad de radio r genérico.

5
00:00:23,359 --> 00:00:28,019
Vamos a ver cómo se podría calcular e interpretar el problema geométricamente.

6
00:00:28,420 --> 00:00:30,160
El problema va a ser muy similar en realidad.

7
00:00:30,160 --> 00:00:36,140
Vamos a dibujarlo y vamos a utilizar de manera un poco más ágil las fórmulas que vimos en el problema anterior.

8
00:00:36,640 --> 00:00:40,840
Entonces, nos están pidiendo exactamente que calculemos la siguiente integral.

9
00:00:41,200 --> 00:00:55,700
Sería la integral entre menos r y r de la raíz cuadrada de r cuadrado menos x cuadrado diferencial de x.

10
00:00:56,420 --> 00:00:59,979
Entonces, como decía, geométricamente, eso es.

11
00:01:00,600 --> 00:01:07,239
El siguiente área es, pues vamos a tener un círculo en esta ocasión de radio r.

12
00:01:08,159 --> 00:01:14,840
Y nos están pidiendo que integremos la función raíz cuadrada positiva, es decir, es la mitad superior de este círculo.

13
00:01:18,620 --> 00:01:19,219
Esta función.

14
00:01:19,700 --> 00:01:21,420
Y lo que estamos haciendo es calcular este área.

15
00:01:21,760 --> 00:01:26,859
Es decir, que yo sé a priori cuánto tiene que valer el área del círculo es pi r cuadrado.

16
00:01:26,859 --> 00:01:38,239
Así que esto me tiene que quedar, esto es lo que yo me estoy preguntando, pues pi r cuadrado partido por 2. Vamos a ver si eso es efectivamente así.

17
00:01:38,239 --> 00:01:57,120
Para ello nos están dando ya el cambio de variable que tengo que utilizar. Me están diciendo que sustituya la función igual a raíz cuadrada de r cuadrado menos x cuadrado. Voy a sustituir la x por r seno de t.

18
00:01:57,120 --> 00:02:11,120
Si yo hago este cambio aquí, en este valor, lo que voy a hacer al sustituir va a ser lo siguiente. Raíz cuadrada de r cuadrado menos r cuadrado seno de cuadrado de t.

19
00:02:11,120 --> 00:02:26,280
y esto cuando yo saque factor común a la r, pues la r la voy a lograr sacar fuera de la raíz

20
00:02:26,280 --> 00:02:31,599
y me va a quedar una integral muy parecida a la de antes.

21
00:02:31,599 --> 00:02:37,800
¿Por qué? Porque 1 menos seno cuadrado es coseno cuadrado y la raíz de coseno cuadrado va a ser coseno de t.

22
00:02:38,759 --> 00:02:44,979
Así que lo que yo voy a tener en realidad que integrar es coseno de t, la función coseno de t.

23
00:02:44,979 --> 00:02:56,319
Y ahora, ¿qué quedaría? Pues quedaría por calcular para este cambio de variable el diferencial y, otra vez, cuidado con los límites de integración que me cambian, porque en una integral definida cambian los límites de integración.

24
00:02:56,639 --> 00:03:08,439
Pues vamos con ello. El diferencial, ¿cuánto valdría el diferencial? Pues el diferencial de x habrá que derivar aquí, cuidado con la r, no os la olvidéis, sería r por coseno de t.

25
00:03:08,439 --> 00:03:28,039
Bien, y los límites de integración, pues vamos a calcularlo. Si la x es menos r, aquí tenemos la x igual a menos r, significa que el seno de t, pues vamos a ver cuánto valdrá menos r igual a, este es el valor de la x, y hemos creado que la x es r seno de t.

26
00:03:28,039 --> 00:03:35,060
pues significa que seno de t es igual a menos 1

27
00:03:35,060 --> 00:03:39,259
es decir que aquí va a haber que poner un menos pi medios justo

28
00:03:39,259 --> 00:03:45,460
es el valor de la t que hace que la x, el seno de t valga menos 1

29
00:03:45,460 --> 00:03:48,840
y aquí por arriba pues sería lo mismo pero en positivo

30
00:03:48,840 --> 00:03:54,120
porque pues exactamente vamos a ver donde lo ponemos para que quede ordenado

31
00:03:54,120 --> 00:03:59,780
aquí tenemos esta parte y algo muy parecido vamos a tener con la r

32
00:04:00,219 --> 00:04:07,900
Simplemente sería, lo pongo por aquí, que si la x es r, es decir, la r vale r por seno de t, que es la x,

33
00:04:08,539 --> 00:04:12,800
entonces, pues seno de t es 1, con lo que t es pi medios.

34
00:04:13,460 --> 00:04:18,800
Muy importante que calculemos estos dos límites, que no nos olvidemos de ellos.

35
00:04:18,800 --> 00:04:23,279
Límite superior y límite inferior. Aquí los tenéis.

36
00:04:23,860 --> 00:04:25,079
Entonces, pues seguimos.

37
00:04:25,600 --> 00:04:29,819
Hemos calculado la función y ahora el diferencial de x, ¿dónde lo tengo aquí?

38
00:04:30,279 --> 00:04:36,769
Pues tengo que añadir diferencial de x, es decir, el diferencial de t.

39
00:04:37,149 --> 00:04:40,730
Y ahora esta integral es muy parecida a la que habíamos visto en el ejercicio anterior.

40
00:04:41,370 --> 00:04:42,490
Exactamente la misma.

41
00:04:42,990 --> 00:04:45,189
Así que vamos un poco más rápido porque ya no lo sabemos.

42
00:04:47,050 --> 00:04:48,990
Sería la integral de coseno cuadrado de t.

43
00:04:48,990 --> 00:04:55,850
y como vimos en el vídeo anterior, coseno cuadrado es 1 menos coseno del ángulo doble partido por 2,

44
00:04:56,029 --> 00:05:08,540
así que aplícose esa fórmula directamente y ahora ya integro, de manera que eso, la integral va a quedar

45
00:05:08,540 --> 00:05:18,720
r que multiplica a la integral, el 1 medio lo saco fuera, me va a quedar la integral de 1 menos coseno de 2t

46
00:05:18,720 --> 00:05:22,040
diferencial de t entre menos pi medios y pi medios

47
00:05:22,040 --> 00:05:25,319
y esto nos va a quedar

48
00:05:25,319 --> 00:05:30,000
pues es repartido por dos que multiplica, vamos a integrar

49
00:05:30,000 --> 00:05:34,379
la integral del uno t menos la integral del coseno de dos t

50
00:05:34,379 --> 00:05:38,180
pues habíamos quedado en que hay que meter aquí un dos

51
00:05:38,180 --> 00:05:42,360
y sacar un dos para que aquí tengamos

52
00:05:42,360 --> 00:05:46,240
la derivada de lo de dentro, lo vimos en el vídeo anterior con más detalle, entonces eso

53
00:05:46,240 --> 00:05:55,860
significa que sería seno de 2t entre menos pi medios y pi medios. Y ahora hay que sustituir

54
00:05:55,860 --> 00:06:03,019
y ya está. R partido por 2 que multiplica a pi medios. Sustituimos en el pi medios

55
00:06:03,019 --> 00:06:08,279
seno de 2 por pi medios es seno de pi que es 0. Así que eso es 0 menos. Ahora vamos

56
00:06:08,279 --> 00:06:15,439
con la otra parte. Menos pi medios menos 0. ¿Por qué de nuevo? Pues seno de menos pi

57
00:06:15,439 --> 00:06:19,660
es 0. Listo. Entonces esto es pi medios

58
00:06:19,660 --> 00:06:23,540
menos menos pi medios es pi. Pues tendremos pi

59
00:06:23,540 --> 00:06:27,339
por r partido por 2. Y ahora

60
00:06:27,339 --> 00:06:31,620
pues ¿qué ha pasado? Que hay un sitio donde no se nos ha ido la r. Hay un sitio

61
00:06:31,620 --> 00:06:35,480
donde tenemos, nos falta una r porque aquí tendría que haber quedado una r

62
00:06:35,480 --> 00:06:39,600
una r al cuadrado. Entonces a ver quién es capaz de buscar

63
00:06:39,600 --> 00:06:48,930
el error donde nos hemos comido la r. Efectivamente

64
00:06:48,930 --> 00:07:18,410
justamente justo mirad aquí cuando yo hago este cambio la función que yo tengo que integrar es r coseno de t, no es coseno de t, así que aquí me estaba faltando, lo voy a poner con otro color, me estaba faltando una r, así que yo cuando saque de aquí voy a tener el r cuadrado y me va a quedar todo en r cuadrado la fórmula que yo conozco del círculo, bueno en realidad del medio círculo, porque el otro medio pues sería exactamente el mismo.