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00:00:12,339 --> 00:00:17,679
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,679 --> 00:00:22,280
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,280 --> 00:00:34,259
de la unidad AN3 dedicada a las derivadas. En la videoclase de hoy estudiaremos la función

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00:00:34,259 --> 00:00:38,659
derivada, las derivadas sucesivas y sus interpretaciones geométrica y física.

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00:00:39,840 --> 00:00:52,200
En esta videoclase vamos a definir la función derivada, vamos a definir las derivadas sucesivas

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00:00:52,200 --> 00:00:55,380
y vamos a ver las interpretaciones geométrica y física.

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00:00:55,979 --> 00:00:58,920
Como veis, dada una cierta función real de variable real f,

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00:00:59,380 --> 00:01:04,159
vamos a definir la función derivada, su función derivada, de hecho, f',

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00:01:04,159 --> 00:01:07,879
como aquella que a cada valor de la variable independiente

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00:01:07,879 --> 00:01:12,519
le va a asignar la derivada de la función en ese valor de la variable independiente.

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00:01:13,040 --> 00:01:15,780
Así que si estamos pensando en la abstisa x0,

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00:01:16,319 --> 00:01:21,579
lo que va a hacer la función derivada es devolver la derivada de la función f en x0.

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00:01:22,239 --> 00:01:23,959
Fijaos en la forma en la que está definida.

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00:01:24,120 --> 00:01:32,299
Hablamos como la función derivada, aquella que a cada valor x0 perteneciente al dominio de f', su dominio.

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00:01:32,980 --> 00:01:35,239
Fijaos en que no estamos poniendo el dominio de f.

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00:01:35,239 --> 00:01:43,000
Y esto es porque para que la función derivada esté bien definida y devuelva un valor, es necesario que la derivada exista.

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00:01:43,099 --> 00:01:48,879
Esto es, necesitamos que x0 sea uno de esos puntos donde la función f sea derivable.

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00:01:49,620 --> 00:01:53,579
Esto es, existan las derivadas laterales y ambas coincidan.

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00:01:53,700 --> 00:01:58,420
Y ese valor común es lo que vamos a llamar la derivada y es lo que va a devolver esta función derivada.

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00:01:58,780 --> 00:02:01,799
Insisto en este detalle en el caso del dominio.

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00:02:04,159 --> 00:02:09,240
La función derivada a sí mismo es una función definida en su dominio.

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00:02:09,800 --> 00:02:14,419
Eso quiere decir que la función derivada tiene a su vez una función derivada.

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00:02:15,240 --> 00:02:22,280
Si pensamos en la función original, a esta la vamos a llamar derivada segunda de la función original, de la función f.

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00:02:23,039 --> 00:02:30,479
A la derivada de la derivada de f la llamamos derivada segunda y la vamos a representar así, f segunda de x.

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00:02:31,000 --> 00:02:36,879
Y aquí no tenemos dos palitos, no son dos comillas, tenemos el número romano 2, prima, número romano 1,

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00:02:36,879 --> 00:02:41,800
en realidad debería ser un palo que denota el número latino 1, aquí tenemos el número latino 2.

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00:02:42,800 --> 00:02:47,080
Igualmente, la función derivada segunda es una función susceptible de ser derivada.

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00:02:47,639 --> 00:02:53,340
La derivada de la derivada segunda, si volvemos a la función original, sería lo que llamaremos derivada tercera

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00:02:53,340 --> 00:02:56,500
y que representamos así f con este número 3 en romano.

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00:02:56,800 --> 00:02:58,620
Es la derivada de la derivada segunda.

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00:02:59,620 --> 00:03:05,659
Si hacemos este proceso n veces y llegamos a la derivada enésima, esta se va a representar así.

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00:03:05,659 --> 00:03:10,560
poniendo la letra n entre paréntesis.

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00:03:10,740 --> 00:03:15,199
Da la derivada enésima, que no es más que la derivada de la derivada n-1ésima.

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00:03:16,520 --> 00:03:19,439
Había notaciones alternativas para la función derivada.

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00:03:19,759 --> 00:03:25,400
No solamente la podemos poner como f', sino recordad que hablábamos de la derivada de f respecto de x.

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00:03:25,960 --> 00:03:28,740
O bien hablábamos de f con un punto encima.

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00:03:28,740 --> 00:03:33,120
Bien, pues las notaciones alternativas en este caso serían así.

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00:03:33,120 --> 00:03:42,199
Para la derivada segunda tenemos derivada segunda de f con respecto de x dos veces, o bien f con dos puntitos.

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00:03:42,699 --> 00:03:50,539
Para la derivada tercera tendríamos lo que se lee derivada tercera de f con respecto de x tres veces, o bien f con tres puntitos.

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00:03:52,949 --> 00:03:59,090
Como veis, f' es la función que devuelve la derivada de la función.

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00:04:00,090 --> 00:04:04,129
La derivada de la función era, en el fondo, la tasa de variación instantánea.

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00:04:04,750 --> 00:04:11,750
Y esta era, por definición, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en la abscisa donde nos encontráramos.

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00:04:12,330 --> 00:04:15,129
Pues bien, aquí tenemos la interpretación geométrica de la derivada.

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00:04:15,270 --> 00:04:21,990
Es la función que va a asignar a cada una de las abscisas de los valores de la variable independiente

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00:04:21,990 --> 00:04:26,569
la pendiente de la recta tangente a la función en dicha abscisa.

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00:04:26,569 --> 00:04:41,589
En lo que respecta a la interpretación física, en el caso en el que la función era la posición de un cierto móvil, la derivada primera nos daba la velocidad instantánea.

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00:04:41,589 --> 00:04:49,910
Bueno, pues la función derivada lo que nos da es la función velocidad, la que está asignada a esta función de posición.

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00:04:50,629 --> 00:04:57,910
Mientras que si la función era la velocidad, la derivada nos daba la aceleración.

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00:04:58,550 --> 00:05:06,769
Bueno, pues en este caso la función derivada de la función velocidad nos va a dar la función aceleración en función del tiempo.

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00:05:07,569 --> 00:05:20,129
Igualmente, puesto que la velocidad es la derivada de la posición, la aceleración es la derivada de la velocidad, o sea, la derivada de la derivada de la posición.

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00:05:20,850 --> 00:05:29,069
Así que aquí tenemos cómo la aceleración es, o puede definirse como la derivada segunda de la posición, en este caso con respecto del tiempo.

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00:05:29,069 --> 00:05:42,069
Así pues, aquí tenemos la interpretación geométrica de la función derivada y vemos la interpretación física de la primera y de la segunda derivada de la posición cuando estamos describiendo el movimiento de un móvil.

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00:05:42,990 --> 00:05:53,250
Con esto que hemos visto, ya podríamos determinar las derivadas de estas funciones de X. Lo haremos en clase, probablemente lo veremos en alguna videoclase posterior.

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00:05:53,250 --> 00:06:01,610
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios

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00:06:01,610 --> 00:06:06,449
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web

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00:06:06,449 --> 00:06:12,029
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual

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00:06:12,029 --> 00:06:13,970
Un saludo y hasta pronto