1
00:00:01,110 --> 00:00:06,450
En este vídeo vamos a ver cómo se calculan los límites de funciones en un punto.

2
00:00:08,519 --> 00:00:15,419
Bien, para calcular los límites de funciones en un punto lo que vamos a hacer va a ser sustituir en la función x por el punto.

3
00:00:16,280 --> 00:00:19,239
Si obtenemos un número real, pues ya está, ese va a ser el límite.

4
00:00:20,359 --> 00:00:28,140
Bien, aquí hacemos el límite cuando x tiende a menos 1, entonces sustituimos la x por menos 1.

5
00:00:28,140 --> 00:00:44,399
¿Y qué nos queda? Pues nos queda menos 1 al cuadrado menos menos 1 menos 2 y partido por menos 1 al cuadrado menos 4 por menos 1 y más 4.

6
00:00:44,399 --> 00:00:54,840
El límite pues es 1 más 1 menos 2 partido por 1 más 4 más 4.

7
00:00:55,560 --> 00:01:02,299
Este límite pues es 0 partido por 9 y 0 partido por 9 pues es igual a 0.

8
00:01:03,420 --> 00:01:04,640
Y ya habríamos terminado.

9
00:01:06,359 --> 00:01:10,620
Bien, ¿qué ocurre cuando al calcular el límite nos queda un número partido por 0?

10
00:01:11,560 --> 00:01:16,299
Bueno, pues si nos queda un número partido por cero, esto va a ser siempre o infinito o menos infinito,

11
00:01:17,140 --> 00:01:20,879
o bien los límites laterales van a ser uno infinito y otro menos infinito.

12
00:01:21,379 --> 00:01:30,780
En estos casos siempre hay que calcular los límites laterales, a no ser que podamos determinar el signo del cero sin calcular los límites laterales.

13
00:01:31,340 --> 00:01:38,799
Bien, lo primero que tenemos que hacer, igual que antes, siempre en los límites en un punto es sustituir la x por el punto, en este caso por menos 2.

14
00:01:38,799 --> 00:01:53,980
Y nos queda 1 menos 2 por menos 2 partido por 2 más menos 2. Esto es 5 partido por 0.

15
00:01:54,099 --> 00:01:58,239
Nos queda un número partido por 0, entonces calculamos los límites laterales.

16
00:01:58,700 --> 00:02:03,439
Siempre que nos queda un número partido por 0, el límite va a ser o bien infinito o bien menos infinito,

17
00:02:04,060 --> 00:02:07,980
o bien no va a existir el límite porque por un lado tiene infinito y por otro lado tiene menos infinito.

18
00:02:08,699 --> 00:02:13,599
De hecho, bueno, nunca va a existir porque decir que un límite es infinito no tiene sentido.

19
00:02:13,780 --> 00:02:17,400
Para que un límite exista, tiene que ser un número real.

20
00:02:19,530 --> 00:02:23,150
Bien, entonces calculamos el límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda.

21
00:02:24,210 --> 00:02:28,610
Límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda.

22
00:02:28,610 --> 00:02:37,370
Y el límite cuando x tiende a menos 2 por la derecha de la misma función.

23
00:02:49,949 --> 00:02:58,129
Bien, volvemos a sustituir, nos vuelve a quedar lo mismo, 5 partido por 0, aquí abajo también 5 partido por 0,

24
00:02:58,590 --> 00:03:03,090
y bueno, cuando calculamos los límites laterales lo que hacemos es determinar el signo de ese 0.

25
00:03:03,250 --> 00:03:13,849
Entonces vamos a pensar un momento, a ver, si aquí está el 0 y aquí está el menos 2, si me acerco a menos 2 por la izquierda,

26
00:03:13,849 --> 00:03:24,530
Los valores que están a la izquierda de menos 2 son valores como menos 2,1, menos 2,01, valores cercanos a menos 2.

27
00:03:25,110 --> 00:03:36,590
Y si nos aproximamos a 2 por la derecha, pues nos acercamos por valores como menos 1,9, menos 1,99.

28
00:03:36,590 --> 00:03:51,770
Muy bien. Bien, ¿cómo es el signo de 2 más x? Pues 2 más x será 2 más menos 2,1 y eso va a ser negativo.

29
00:03:51,770 --> 00:04:00,330
Si nos acercamos por la izquierda, pues esta suma de estos valores, 2 más x, será 2 más menos 2,1, va a ser negativo.

30
00:04:00,330 --> 00:04:14,669
Por lo tanto, este 0 va a ser negativo. El límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda va a ser 5 partido por 0 menos. Y eso es menos infinito. Más entre menos, menos. Menos infinito.

31
00:04:14,669 --> 00:04:25,910
Y si nos acercamos a menos 2 por la derecha, entonces en ese caso 2 más x pues será de la forma 2 más menos 1,9.

32
00:04:26,290 --> 00:04:36,230
Y esto va a ser mayor que 0, siempre. Por lo tanto va a ser positivo. Va a ser más entre más, más infinito.

33
00:04:37,209 --> 00:04:41,329
Por tanto, el límite cuando x tiende a menos 2, pues vamos a decir que no existe,

34
00:04:41,949 --> 00:04:45,050
porque por la izquierda tiende a menos infinito y por la derecha tiende a infinito.

35
00:04:45,689 --> 00:04:48,410
Pero en el caso de que fuese infinito, pues tampoco existiría,

36
00:04:48,509 --> 00:04:52,629
porque para que exista un límite, éste tiene que ser un número finito.

37
00:04:54,329 --> 00:05:00,850
Bien, vamos a ver ahora qué ocurre cuando obtenemos una expresión de la forma 0 partido por 0.

38
00:05:01,290 --> 00:05:03,569
0 partido por 0 es una indeterminación.

39
00:05:03,569 --> 00:05:13,790
Entonces, ¿cómo se resuelven estas indeterminaciones en los límites cuando x tiende a un punto? Pues factorizando numerador y denominador.

40
00:05:13,790 --> 00:05:33,189
Entonces, bueno, lo primero que tenemos que hacer es identificar la indeterminación. Sustituimos y nos queda 1 al cubo menos 1, 0. 1 al cubo menos 1 partido por 1 al cuadrado menos 1, 0 partido por 0. Indeterminación, ¿vale?

41
00:05:33,189 --> 00:05:51,089
Porque una indeterminación no es igual a nada. Entonces lo ponemos aquí abajo y la resolvemos arriba. Indeterminación. Y nos queda el límite cuando x tiende a 1, tengo que factorizar numerador y denominador.

42
00:05:52,029 --> 00:05:55,170
Yo ya sé que el 1 va a ser una raíz porque me sale 0.

43
00:05:55,870 --> 00:05:58,189
Por lo tanto, bueno, el denominador es fácil.

44
00:05:58,189 --> 00:06:04,209
El denominador es una diferencia de cuadrados, se puede poner como x menos 1 por x más 1.

45
00:06:04,670 --> 00:06:07,329
Y el numerador, pues lo vamos a hacer por Ruffini.

46
00:06:07,829 --> 00:06:15,329
x cubo menos 1, pues lo podemos factorizar aplicando Ruffini.

47
00:06:15,329 --> 00:06:24,769
Ponemos los coeficientes, 1, 0x cuadrado, 0x menos 1, y ¿con quién vamos a probar?

48
00:06:24,829 --> 00:06:28,670
Vamos a probar con el 1 porque el 1 sabemos que es una raíz.

49
00:06:29,430 --> 00:06:34,139
1, 1, 1, 0.

50
00:06:35,199 --> 00:06:42,600
Un factor va a ser x menos 1 y el otro factor va a ser x cuadrado más x más 1.

51
00:06:42,600 --> 00:07:06,560
Este polinomio ya es irreducible porque no tiene raíces reales, podemos comprobarlo, pero no lo voy a hacer ahora en este momento, y bueno, factorizamos, x menos 1 por x cuadrado más x más 1.

52
00:07:08,870 --> 00:07:15,910
Simplificamos, x menos 1 y x menos 1, simplificamos los factores que hacen 0, el numerador y el denominador,

53
00:07:16,129 --> 00:07:18,110
y ahora volvemos a sustituir.

54
00:07:18,410 --> 00:07:25,310
¿Y qué nos queda? Pues 1 al cuadrado más 1 más 1, de 1 más 1.

55
00:07:25,930 --> 00:07:28,829
Y esto es igual a 3 medios.

56
00:07:29,029 --> 00:07:35,009
El límite cuando x tiende a 1 de esa función, pues es igual a 3 medios.

57
00:07:35,009 --> 00:07:49,449
Bien, vamos a ver ahora cómo se resuelven las indeterminaciones 0 partido por 0 cuando aparecen diferencias de raíces.

58
00:07:49,670 --> 00:07:56,730
Cuando aparece una diferencia de raíces, la resolvemos multiplicando numerador y denominador por el conjugado.

59
00:07:56,730 --> 00:08:15,050
Bien, primero vamos a identificar la indeterminación, sustituimos y nos queda 1 menos 1 partido por 3 menos la raíz de 1 más 8 que es 9, eso es 0 partido por 0 indeterminación, ¿vale?

60
00:08:15,730 --> 00:08:25,050
Bien, lo ponemos aquí abajo porque una indeterminación no es igual a nada, entonces no tendría sentido poner que esto es igual al límite de lo que fuese, ¿no? Entonces lo ponemos aquí abajo, ¿vale?

61
00:08:26,730 --> 00:08:50,500
Y resolvemos esta indeterminación y nos queda pues el límite cuando x tiende a 1 de 1 menos x por 3 más raíz de 3 de x más 8 de x más 8.

62
00:08:50,500 --> 00:09:02,019
Y partido por 3 menos la raíz de x más 8 por 3 más la raíz de x más 8.

63
00:09:02,120 --> 00:09:06,100
Lo que hacemos es multiplicar numerador y denominador por el conjugado,

64
00:09:06,220 --> 00:09:08,600
con lo que obtenemos una expresión equivalente a la anterior, ¿no?

65
00:09:08,600 --> 00:09:11,259
Porque aquí se podría simplificar y quedaría igual.

66
00:09:11,259 --> 00:09:31,009
Y esto nos queda, pues el límite cuando x tiende a 1 de 1 menos x por 3 más raíz de x más 8, dividido entre suma por diferencia y diferencia de cuadrados.

67
00:09:31,009 --> 00:09:52,759
cuadrado del primero que es 9, menos el cuadrado del segundo, raíz de x más 8 al cuadrado, y esto nos queda el límite, cuando x tiende a 1, de 1 menos x por 3 más raíz de x más 8,

68
00:09:52,759 --> 00:10:14,710
Y bueno, pues esto aquí, ¿qué nos va a quedar? Nos va a quedar 9 menos x menos 8, ¿vale? Al quitar el cuadrado con la raíz, ¿vale? El menos cambia todo de signo, sería menos x menos 8, 9 menos 8, 1, pues sería 1 menos x también, ¿no?

69
00:10:14,710 --> 00:10:17,990
1 menos x

70
00:10:17,990 --> 00:10:23,759
1 menos x

71
00:10:23,759 --> 00:10:25,759
bien

72
00:10:25,759 --> 00:10:28,039
si volvemos a calcular el límite

73
00:10:28,039 --> 00:10:29,740
nos queda 0 partido por 0

74
00:10:29,740 --> 00:10:31,740
normalmente multiplicamos por el conjugado

75
00:10:31,740 --> 00:10:33,539
y después de multiplicar por el conjugado

76
00:10:33,539 --> 00:10:35,059
nos sigue quedando 0 partido por 0

77
00:10:35,059 --> 00:10:36,620
entonces lo que tenemos que hacer es factorizar

78
00:10:36,620 --> 00:10:38,080
aquí ya lo tenemos factorizado

79
00:10:38,080 --> 00:10:40,740
el 1 menos x y el 1 menos x

80
00:10:40,740 --> 00:10:42,500
lo podemos simplificar

81
00:10:42,500 --> 00:10:45,059
y bueno pues nos queda el límite

82
00:10:45,059 --> 00:10:46,240
cuando x tiende a 1

83
00:10:46,240 --> 00:11:03,000
Cuando x tiende a 1 de 3 más la raíz de x más 8, pues esto es igual a 3 más 3, 6, ¿vale?

84
00:11:03,279 --> 00:11:05,820
Entonces, bueno, repasamos un poco este límite.

85
00:11:06,399 --> 00:11:10,299
Cuando obtenemos indeterminación 0 partido por 0 y aparecen diferencias de raíces,

86
00:11:10,860 --> 00:11:13,659
se multiplica numerador y denominador por el conjugado.

87
00:11:13,659 --> 00:11:18,779
Una vez que hemos multiplicado, pues nos vuelve a quedar 0 partido por 0.

88
00:11:18,779 --> 00:11:27,059
Entonces, factorizamos, como habéis visto aquí, ¿vale? Factorizamos y resolvemos ya el límite.

89
00:11:28,539 --> 00:11:38,419
Bien, vamos a ver ahora una indeterminación del tipo 0 por infinito.

90
00:11:38,860 --> 00:11:43,039
¿Cómo se resuelven las indeterminaciones 0 por infinito?

91
00:11:43,039 --> 00:11:55,940
Pues en este caso se resuelve simplemente operando y obteniendo una vez después, después de operar obtenemos pues una indeterminación por el tipo cero partido por cero o resolvemos la indeterminación directamente.

92
00:11:55,940 --> 00:12:20,519
Bien, este límite, pues aquí va a ser igual, pues este límite va a ser igual a 1 partido por 0 al cuadrado, 1 partido por 0 al cuadrado, por 1 medio menos 1 medio, ¿vale?

93
00:12:20,519 --> 00:12:25,179
Al sustituir la x por cero, pues cero más dos es dos, y cero al cuadrado más dos es dos.

94
00:12:25,720 --> 00:12:29,000
Por lo tanto, uno partido por cero al cuadrado, eso es infinito.

95
00:12:29,960 --> 00:12:34,600
Eso es infinito, además es un infinito positivo, porque es cero al cuadrado, eso siempre va a ser positivo.

96
00:12:35,320 --> 00:12:38,440
Por cero, infinito por cero, indeterminación.

97
00:12:40,019 --> 00:12:41,740
Bien, entonces la vamos a resolver operando.

98
00:12:42,179 --> 00:12:47,659
Bueno, en el segundo de bachillerato, pues veremos que este tipo de indeterminaciones se pueden resolver también

99
00:12:47,659 --> 00:12:51,820
transformando la función y aplicando la regla del orbital, pero en el nivel

100
00:12:51,820 --> 00:12:56,039
en el que nos encontramos ahora en primero de bachillerato, pues las vamos a resolver

101
00:12:56,039 --> 00:12:59,519
simplemente operando. Además, todavía no hemos visto derivadas.

102
00:13:00,799 --> 00:13:04,840
Y bueno, pues este límite será igual a

103
00:13:04,840 --> 00:13:09,759
el límite cuando x tiende a cero

104
00:13:09,759 --> 00:13:14,379
de 1 partido por x cuadrado

105
00:13:14,379 --> 00:13:18,580
y bueno, pegamos aquí en el paréntesis y nos queda x cuadrado

106
00:13:18,580 --> 00:13:32,320
1 más 2 menos x más 2, x más 2 por 1, y dividido entre x más 2 por x cuadrado más 2.

107
00:13:32,840 --> 00:13:39,559
Vamos a dejarlo, este término de abajo del denominador lo vamos a dejar así, porque luego igual tenemos que factorizar,

108
00:13:39,720 --> 00:13:41,879
entonces mejor lo dejamos así sin multiplicar.

109
00:13:41,879 --> 00:13:47,720
En los límites cuando x tiende a un punto, pues es mejor dejarlo todo factorizado.

110
00:13:47,720 --> 00:14:07,990
Y nos queda, pues, el límite cuando x tiende a 0 de x cuadrado más 2 menos x menos 2,

111
00:14:07,990 --> 00:14:19,070
los dos se los podemos simplificar, partido por x cuadrado por x más 2 por x cuadrado más 2.

112
00:14:19,070 --> 00:14:23,149
Fijaos, al multiplicar 1 por el numerador, pues se queda todo igual.

113
00:14:25,940 --> 00:14:42,580
Nos queda el límite, cuando x tiende a 0, de x cuadrado menos x partido por x cuadrado por x más 2 por x cuadrado más 2.

114
00:14:43,919 --> 00:14:51,860
Por repetir, cuando se calculan límites en un punto, pues es mejor dejarlo todo, todos los productos indicados y no multiplicar nada, porque luego hay que factorizar.

115
00:14:51,860 --> 00:14:56,700
Bien, este límite volvemos a sustituir y nos queda 0, menos 0, 0.

116
00:14:58,259 --> 00:15:03,039
Y aquí 0 al cuadrado por 0 más 2 por 0 más 2, pues nos queda 0.

117
00:15:03,200 --> 00:15:05,580
0 partido por 0, indeterminación.

118
00:15:06,759 --> 00:15:09,200
Entonces, ¿cómo la resolvemos?

119
00:15:09,299 --> 00:15:13,860
Pues la resolvemos factorizando numerador y denominador.

120
00:15:13,860 --> 00:15:22,639
y nos queda pues el límite cuando x tiende a 0 de x por x menos 1

121
00:15:22,639 --> 00:15:31,759
dividido entre x cuadrado por x más 2 por x cuadrado más 2.

122
00:15:33,259 --> 00:15:35,820
Esta x con este cuadrado lo podemos simplificar.

123
00:15:36,200 --> 00:15:41,000
Y si calculamos el límite cuando x tiende a 0, pues nos queda 0 menos 1 menos 1.

124
00:15:41,000 --> 00:15:46,059
Y abajo, ¿qué nos queda? 0 por x más 2 por x cuadrado más 2 nos queda 0.

125
00:15:46,480 --> 00:15:48,139
Menos 1 partido por 0.

126
00:15:48,879 --> 00:15:56,139
Siempre que obtengamos una expresión de la forma un número partido por 0, calculamos los límites laterales.

127
00:15:56,539 --> 00:16:10,409
Calculamos el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda y el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de la función.

128
00:16:10,409 --> 00:16:18,769
Que era x menos 1 partido entre x por x más 2 por x cuadrado más 2.

129
00:16:19,210 --> 00:16:28,440
Y por la derecha lo mismo, x menos 1, x por x más 2 por x cuadrado más 2.

130
00:16:29,500 --> 00:16:35,820
Bien, volvemos a sustituir por 0, nos va a salir lo mismo, menos 1 partido por 0, menos 1 partido por 0.

131
00:16:37,080 --> 00:16:39,860
Y ahora pues estudiamos el signo de ese 0.

132
00:16:39,860 --> 00:17:08,960
A ver, si yo me acerco a 0 por la izquierda, la izquierda de 0 son valores como menos 0,1, entonces es menos 0,1, menos 0,1, que es negativo, por menos 0,1 más 2, que eso es positivo, por menos 0,1 al cuadrado más 2, que también es positivo.

133
00:17:09,859 --> 00:17:16,279
Es menos por más y por más. Me queda menos. Por lo tanto, este límite es más infinito.

134
00:17:16,279 --> 00:17:22,019
Y si me acerco a 0 por la derecha, me estoy acercando por valores como 0,1.

135
00:17:22,420 --> 00:17:34,279
Y sería 0,1 por 0,1 más 2 por 0,1 al cuadrado más 2.

136
00:17:35,160 --> 00:17:39,200
Los tres términos son positivos, por lo tanto, esto va a ser más.

137
00:17:40,519 --> 00:17:44,019
Menos entre más menos, este límite va a ser menos infinito.

138
00:17:44,660 --> 00:17:48,680
El límite por la izquierda va a ser más infinito, el límite por la derecha va a ser menos infinito,

139
00:17:49,259 --> 00:17:54,079
este límite, por lo tanto, no va a existir porque los límites laterales son distintos

140
00:17:54,079 --> 00:17:57,160
y este límite, por lo tanto, no existe.

141
00:17:57,619 --> 00:18:02,019
Y de hecho, por un lado tiende a infinito y por otro lado tiende a menos infinito.

142
00:18:03,160 --> 00:18:08,519
Bueno, pues esto es todo. Aquí hay un pequeño resumen de cómo se calculan los límites en un punto.