1
00:00:00,500 --> 00:00:04,240
Bueno, vamos a empezar a resolver el primer ejercicio del primer parcial de la primera evaluación de la parte de álgebra

2
00:00:04,240 --> 00:00:09,740
donde nos dice que dado el siguiente sistema de ecuaciones, que depende de un parámetro, puedes discutirlo en función de ese parámetro real m

3
00:00:09,740 --> 00:00:14,039
y también resolverlo cuando sea posible. El primer paso para esto es poner lo que es la matriza.

4
00:00:14,380 --> 00:00:19,219
Nuestra matriza son los coeficientes que acompañan en este caso a la x, a la y y a la z.

5
00:00:19,559 --> 00:00:26,699
De nuevo, en la segunda ecuación, a la x, a la y y a la z. Y aquí, a la x, a la y y a la z.

6
00:00:26,699 --> 00:00:29,140
hay gente que pone también la ampliada

7
00:00:29,140 --> 00:00:31,000
aquí a mí me gusta separarlo, yo prefiero que lo

8
00:00:31,000 --> 00:00:32,840
separeis, tampoco perdemos mucho tiempo

9
00:00:32,840 --> 00:00:35,079
esta parte efectivamente es exactamente igual

10
00:00:35,079 --> 00:00:36,719
con lo cual ponemos los coeficientes

11
00:00:36,719 --> 00:00:38,979
que acompañan a las incógnitas

12
00:00:38,979 --> 00:00:40,840
x y z y aquí separado ponemos

13
00:00:40,840 --> 00:00:42,880
los términos independientes del sistema

14
00:00:42,880 --> 00:00:44,979
de ecuaciones, entonces yo lo primero que

15
00:00:44,979 --> 00:00:46,920
hay que hacer es definir bien qué es a y definir bien

16
00:00:46,920 --> 00:00:49,119
cuál es la matriz ampliada y ahora empezamos a discutirlo

17
00:00:49,119 --> 00:00:51,159
para discutirlo nos vamos a basar precisamente

18
00:00:51,159 --> 00:00:53,079
en el problema de Roche-Sobénio y para ello

19
00:00:53,079 --> 00:00:55,159
vamos a hacer el rango, perdón, el determinante

20
00:00:55,159 --> 00:00:56,259
de la matriz

21
00:00:56,979 --> 00:01:02,380
Si aplicamos la regla de Sarbu, nosotros aquí tenemos un menos 1, le sumamos un 2 y luego tenemos menos m al cuadrado.

22
00:01:02,380 --> 00:01:08,439
Y le tenemos que restar lo que es la diagonal principal, que es menos 1, menos 2m más m.

23
00:01:08,900 --> 00:01:21,120
Con lo cual, el determinante de a, si no me he equivocado, el determinante de a es 1 menos m al cuadrado más 1 menos m más m.

24
00:01:21,120 --> 00:01:28,980
entonces tenemos aquí menos m al cuadrado más m más 2

25
00:01:28,980 --> 00:01:31,719
importante hacer el determinante así sin más

26
00:01:31,719 --> 00:01:33,359
este es nuestro determinante de a ¿de acuerdo?

27
00:01:33,620 --> 00:01:35,280
y ahora nosotros lo que vamos a hacer es

28
00:01:35,280 --> 00:01:38,640
si el determinante de a es igual a 0

29
00:01:38,640 --> 00:01:42,840
entonces menos m al cuadrado más m más 2 es igual a 0

30
00:01:42,840 --> 00:01:44,299
y lo que tenemos aquí es una ecuación de segundo grado

31
00:01:44,299 --> 00:01:47,980
donde vamos a hallar los valores de m que me hacen 0 esta ecuación

32
00:01:47,980 --> 00:01:50,420
por lo tanto m es igual a menos b que es menos 1

33
00:01:50,420 --> 00:01:58,959
más menos b al cuadrado que es 1 menos 4 por a por c es decir más 8 partido de 2 por menos 1 entonces

34
00:01:58,959 --> 00:02:05,920
esto es menos 1 más menos 3 partido de menos 2 esto que es esto es 2 entre menos 2 es igual a menos 1

35
00:02:05,920 --> 00:02:11,680
y aquí es menos 4 partido de menos 2 es igual a 2 y yo aquí me paro y lo compruebo es decir si este

36
00:02:11,680 --> 00:02:18,659
determinante de a es menos m cuadrado más m más 2 pues yo si m es igual a 2 esto realmente es 0

37
00:02:18,659 --> 00:02:29,159
pues entonces tengo un m, aquí tened cuidado porque el cuadrado no afecta al signo menos, m es 2 al cuadrado más 2 más 2 y esto efectivamente es menos 4 más 4 que es igual a 0.

38
00:02:29,800 --> 00:02:39,960
Y luego si la m vale menos 1, pues igual tengo aquí el menos, menos 1 al cuadrado más menos 1 más 2 y esto que es menos 1 menos 1 más 2 que es igual a 0.

39
00:02:39,960 --> 00:03:07,819
Por lo tanto, estos son los valores que me hacen cero el denominador. Es decir, yo ahora aquí tengo tres casos. Tengo el caso 1. En el caso 1, si m es distinto de menos 1 y, y aquí es muy importante, m es distinto de 2, resulta que el determinante de a es distinto de cero y eso implica que el rango de a es igual a 3, que además es igual al rango de la matriz ampliada.

40
00:03:08,680 --> 00:03:15,039
Es, digamos, el caso más sencillo. Es decir, yo hago el determinante de mi matriz A lo igual a cero y esos valores sí que me hacen cero el determinante.

41
00:03:15,159 --> 00:03:21,900
Cualquier otro valor no me hace cero el determinante. Por lo tanto, significa que las tres ecuaciones son linealmente independientes.

42
00:03:21,900 --> 00:03:30,699
No es una combinación lineal una de las anteriores o entre ellas. Por lo tanto, por el teorema de Roche-Frobenius,

43
00:03:30,699 --> 00:03:33,879
de Frobenius

44
00:03:33,879 --> 00:03:37,620
como rango de A

45
00:03:37,620 --> 00:03:39,340
es igual a 3

46
00:03:39,340 --> 00:03:41,120
que es igual al rango

47
00:03:41,120 --> 00:03:42,840
de A ampliada

48
00:03:42,840 --> 00:03:45,080
y además es igual al número

49
00:03:45,080 --> 00:03:46,360
de incógnita que es 3

50
00:03:46,360 --> 00:03:51,580
para M

51
00:03:51,580 --> 00:03:53,500
distinto de menos 1 y M

52
00:03:53,500 --> 00:03:56,000
distinto de 2 es un sistema

53
00:03:56,000 --> 00:03:59,719
sistema compatible

54
00:03:59,719 --> 00:04:02,020
compatible

55
00:04:02,020 --> 00:04:03,699
determinado

56
00:04:03,699 --> 00:04:05,919
determinado

57
00:04:05,919 --> 00:04:13,719
y tiene una solución única, como la lentilla, solución única, ¿de acuerdo?

58
00:04:14,740 --> 00:04:17,279
Y es el caso, digamos, más sencillo.

59
00:04:17,660 --> 00:04:28,139
Ahora nos vamos a ir al caso 2, donde m, si m, vale, el caso 2, es si m es igual a menos 1.

60
00:04:28,399 --> 00:04:33,120
Entonces, aquí ocurre que si m es igual a menos 1, yo ya sé que el determinante de a es 0,

61
00:04:33,120 --> 00:04:40,379
que lo comprobado antes por lo tanto el rango de a es menor o igual que 2 y eso que ocurre que el

62
00:04:40,379 --> 00:04:46,259
rango de la ampliada puede ser menor o igual que 3 no lo tenemos que averiguar vale entonces yo

63
00:04:46,259 --> 00:04:57,300
escribo la matriz para m igual a menos 1 resulta que a es igual a 1 menos 1 menos 12 1 menos 1 y

64
00:04:57,300 --> 00:04:58,839
Y 1, menos 1, menos 1.

65
00:04:59,040 --> 00:05:02,199
Fijaros aquí, que aquí ya veo que el determinante es 0.

66
00:05:02,259 --> 00:05:02,459
¿Por qué?

67
00:05:02,740 --> 00:05:06,100
Porque la primera fila y la tercera fila son iguales.

68
00:05:06,360 --> 00:05:07,920
Entonces, una es una combinación lineal de otra.

69
00:05:08,160 --> 00:05:09,139
No son linealmente independientes.

70
00:05:09,199 --> 00:05:10,980
Por eso el determinante era 0.

71
00:05:11,220 --> 00:05:12,000
Y ahora, ¿qué es lo que voy a hacer?

72
00:05:12,040 --> 00:05:12,699
Voy a coger menores.

73
00:05:12,860 --> 00:05:14,399
Si yo cojo este menor de aquí, 1 por 1,

74
00:05:14,720 --> 00:05:17,860
si yo hago el determinante de 1, obtengo que es 1.

75
00:05:17,860 --> 00:05:21,399
Que significa que tengo el determinante de un menor de orden 1,

76
00:05:22,180 --> 00:05:23,819
cuyo determinante es distinto de 0.

77
00:05:24,220 --> 00:05:25,019
Esto es distinto de 0.

78
00:05:25,019 --> 00:05:34,000
Por lo tanto, el rango de A es mayor o igual que 1. Fijaros que yo aquí ya sé que es mayor o igual que 2. Por lo tanto, ya la posibilidad es o 1 o 2.

79
00:05:34,259 --> 00:05:41,399
Y ahora, ¿qué voy a hacer? Pues voy a coger un menor de orden 2, por ejemplo, este de aquí, y le hago el determinante.

80
00:05:41,759 --> 00:05:47,459
Y esto es 1 menos menos 2, que esto es igual a 1 más 2, que es igual a 3. Y entonces, ¿qué es lo que ocurre?

81
00:05:47,459 --> 00:05:53,779
Que yo ya tengo un menor de orden 2 cuyo determinante es distinto de 0. ¿Y eso qué significa? Al ser esto distinto de 0,

82
00:05:53,779 --> 00:05:57,240
esto implica que el rango de A es 2

83
00:05:57,240 --> 00:06:00,079
3 no puede ser porque su determinante es 0

84
00:06:00,079 --> 00:06:03,920
y en una matriz 3x3 tan solo tenemos un menor de orden 3

85
00:06:03,920 --> 00:06:06,459
nada más, en una matriz 3x3 tan solo tenemos un menor de orden 3

86
00:06:06,459 --> 00:06:08,040
que es precisamente el determinante de A

87
00:06:08,040 --> 00:06:10,420
como he hecho al único menor de orden 3

88
00:06:10,420 --> 00:06:11,939
le he hecho el determinante, me sale 0

89
00:06:11,939 --> 00:06:13,060
el rango no puede ser 3

90
00:06:13,060 --> 00:06:16,139
entonces me voy primero al determinante de un menor de orden 1

91
00:06:16,139 --> 00:06:19,040
veo que cojo cualquier elemento, cualquier elemento que no sea 0

92
00:06:19,040 --> 00:06:21,079
le hago su determinante, es el mismo

93
00:06:21,079 --> 00:06:22,920
por lo tanto el rango de A es mayor o igual que 1

94
00:06:22,920 --> 00:06:26,000
Luego cojo cualquier menor de orden 2, ¿vale?

95
00:06:26,139 --> 00:06:30,019
Hago su determinante, si es distinto de 0, yo ya puedo afirmar que el rango de A es igual a 2, ¿vale?

96
00:06:30,300 --> 00:06:36,500
Ahora lo que me voy a hacer es, voy a estudiar, voy a hacer aquí la copia para no perder nada.

97
00:06:37,439 --> 00:06:45,970
Y ahora lo que voy a hacer, como estoy en el caso 2, voy a borrar esta parte de aquí, la voy a borrar,

98
00:06:46,350 --> 00:06:49,889
voy a borrar también esta parte de aquí, porque ya lo hemos discutido,

99
00:06:49,889 --> 00:06:52,930
y voy a subir lo que habíamos hecho en la otra página

100
00:06:52,930 --> 00:06:54,930
para tenerlo todo junto, ¿vale?

101
00:06:55,709 --> 00:06:58,689
Entonces esto lo subo, aquí creo que se me ha escapado un 2,

102
00:06:58,930 --> 00:07:01,410
voy a intentar borrarlo, este 2,

103
00:07:01,689 --> 00:07:05,670
y ahora me voy a ver cuál es el rango de mi matriz ampliada.

104
00:07:05,930 --> 00:07:08,370
Que la matriz ampliada, me voy a fijar bien,

105
00:07:08,870 --> 00:07:13,829
es 1, menos 1, menos 1, 1,

106
00:07:14,129 --> 00:07:17,670
2, 1, 1, porque es menos menos 1, aquí un 2,

107
00:07:17,670 --> 00:07:20,470
y aquí es un 1, menos 1, menos 1

108
00:07:20,470 --> 00:07:23,709
y como m es menos 1, menos 1, menos 1, es menos 2.

109
00:07:23,910 --> 00:07:24,930
Entonces, ¿qué ocurre?

110
00:07:25,209 --> 00:07:28,509
Que fijaros que yo aquí tengo el mismo menor de orden 1

111
00:07:28,509 --> 00:07:30,589
que la matriz A, porque la primera parte es la matriz A.

112
00:07:30,790 --> 00:07:32,490
Por lo tanto, no tengo que hacer esto de aquí,

113
00:07:32,629 --> 00:07:33,110
sino que me vale.

114
00:07:33,449 --> 00:07:34,689
Yo ya tengo un menor de orden 1

115
00:07:34,689 --> 00:07:36,089
que su determinante es distinto de 0,

116
00:07:36,129 --> 00:07:37,689
por lo tanto, el rango de la ampliada es mayor o igual que 1.

117
00:07:37,990 --> 00:07:39,589
Este menor también lo tengo en la ampliada

118
00:07:39,589 --> 00:07:41,730
y es, yo ya tengo un menor de orden 2,

119
00:07:42,269 --> 00:07:43,069
un menor de orden 2,

120
00:07:43,250 --> 00:07:45,170
cuyo determinante es distinto de 0,

121
00:07:45,170 --> 00:07:47,329
por lo tanto, el rango de la ampliada también es 2.

122
00:07:47,329 --> 00:07:55,230
Y ahora lo que tengo que buscar, y aquí es súper importante, 1, 2, 3, 4, estos son los números de fila, tengo que buscar un menor de orden 3 cuyo determinante sea distinto de 0.

123
00:07:55,389 --> 00:08:02,350
Y en una matriz 3x4, en una matriz 3x4 yo tengo 4 menores, tengo 4 menores de orden 3.

124
00:08:03,470 --> 00:08:09,490
Entonces tengo las columnas 1, 2 y 3, que esto es precisamente la matriz A, y luego si queréis podemos hacer como Kramer.

125
00:08:09,910 --> 00:08:14,529
Para cuando hallamos Kramer en un sistema compatible determinado, ¿qué es lo que hacemos en la parte de arriba?

126
00:08:14,529 --> 00:08:19,829
Pues ponemos la columna 4, que es los términos independientes, lo sustituyo de la 1 y mantengo la 2 y la 3.

127
00:08:20,069 --> 00:08:21,730
Pues ese es un menor de orden 3.

128
00:08:21,990 --> 00:08:26,889
Luego, para la i, donde yo ponía la fila 4, la columna 4 era donde estaba la segunda fila.

129
00:08:27,149 --> 00:08:27,709
Tengo esto de aquí.

130
00:08:27,910 --> 00:08:33,590
Y luego para la z, era donde yo tenía la tercera columna, pongo la de los términos independientes.

131
00:08:33,710 --> 00:08:37,809
Estos son los 4 menores, no hay más, los 4 menores de una matriz 3x4.

132
00:08:38,509 --> 00:08:41,730
Este de aquí yo ya sé que su determinante es 0 porque es lo primero que yo he hecho en el ejercicio.

133
00:08:41,730 --> 00:08:51,669
Pues por ejemplo, voy a hacer, no sé, se me ocurre hacer este de aquí, el 1, 2, 4. Si yo hago el determinante, voy a hacerlo aquí recto para que se vea que es un determinante.

134
00:08:52,070 --> 00:09:01,990
Y yo pongo aquí 1, 2, 1. Aquí pongo menos 1, 1, menos 1. Y yo aquí tengo el 1, 2, menos 2. Si yo hago el determinante de esto y me sale 0, yo tengo que continuar.

135
00:09:01,990 --> 00:09:27,309
Tengo que continuar, por ejemplo, con este. Y si sale 0, tengo que continuar con este. Pero si alguno de estos tres subdeterminantes me sale distinto de 0, yo ya tengo un menor de orden 3 cuyo determinante sea distinto de 0. Y eso implica que el rango de la ampliada es 3. ¿Vale? Pues nada, opero. Y esto es menos 2. Esto es menos 2. Menos 2, menos 2. Menos 2. Menos. Esto es 1. Esto es menos 2. Esto es 1. Esto es menos 2. Y esto es más 4.

136
00:09:27,309 --> 00:09:30,129
si no me equivoco, esto es menos 6

137
00:09:30,129 --> 00:09:32,450
menos 5, menos 3

138
00:09:32,450 --> 00:09:34,350
y esto da menos 9, que esto es

139
00:09:34,350 --> 00:09:36,350
distinto de 0, ¿y qué significa que sea

140
00:09:36,350 --> 00:09:38,330
distinto de 0? que el rango de la

141
00:09:38,330 --> 00:09:38,909
ampliada

142
00:09:38,909 --> 00:09:42,409
es igual a 3, entonces fijaros

143
00:09:42,409 --> 00:09:44,070
donde estamos, entonces para

144
00:09:44,070 --> 00:09:45,870
m igual

145
00:09:45,870 --> 00:09:47,090
a menos 1

146
00:09:47,090 --> 00:09:49,090
como

147
00:09:49,090 --> 00:09:52,330
por el teorema, para m igual a menos 1

148
00:09:52,330 --> 00:09:56,210
por el teorema de Rochefrobenius

149
00:09:56,210 --> 00:09:59,990
teorema de Rochefrobenius

150
00:09:59,990 --> 00:10:15,990
Como el rango de A es igual a 2, que es distinto de 3, que es igual al rango de la ampliada, entonces es un sistema incompatible.

151
00:10:16,830 --> 00:10:19,909
Es un sistema incompatible, no tiene solución.

152
00:10:21,690 --> 00:10:22,250
Incompatible.

153
00:10:25,059 --> 00:10:26,419
No existe solución.

154
00:10:27,720 --> 00:10:29,899
Y este caso ya lo hemos acabado.

155
00:10:30,340 --> 00:10:32,139
Fijaros que yo lo que hago es siempre lo mismo.

156
00:10:32,700 --> 00:10:34,000
Hayo el primero, el rango de A.

157
00:10:34,539 --> 00:10:36,340
Cojo un menor de orden 1, me sale distinto de 0.

158
00:10:36,399 --> 00:10:38,159
Bueno, pues ya sé que el rango de A es mayor o igual que 1.

159
00:10:38,320 --> 00:10:40,100
Cojo un menor de orden 2, le hago su determinante.

160
00:10:40,179 --> 00:10:42,440
Si me sale distinto de 0, ya sé que el rango de A es 2.

161
00:10:42,500 --> 00:10:45,600
Si me hubiese salido 0, yo me voy a otro, a otro menor de orden 2.

162
00:10:45,919 --> 00:10:49,840
Y luego me voy a otro también, así hasta que me aparezca un menor de orden 2,

163
00:10:50,200 --> 00:10:51,379
cuyo determinante sea distinto de 0.

164
00:10:51,440 --> 00:10:52,899
Entonces yo ya puedo afirmar que el rango de A es 2.

165
00:10:53,159 --> 00:10:54,000
¿Qué ocurre con la ampliada?

166
00:10:54,000 --> 00:10:58,000
Que la ampliada, al ser 3x4, tengo 4 menores de orden 3.

167
00:10:58,320 --> 00:11:02,100
Mientras que en la matriz 3x3 tan solo tengo un menor de orden 3 que es este.

168
00:11:02,360 --> 00:11:06,620
La matriz A es una matriz 3x3 y el único menor de orden 3 es la matriz A.

169
00:11:06,860 --> 00:11:09,240
Pero sin embargo, en la ampliada yo tengo cuatro menores de orden 3.

170
00:11:09,500 --> 00:11:12,259
Entonces yo tendría que hacer los determinantes de estos menores

171
00:11:12,259 --> 00:11:15,840
y en el momento que uno de ellos sea distinto de cero,

172
00:11:16,000 --> 00:11:19,159
pues yo ya puedo afirmar que el rango de la ampliada es 3,

173
00:11:19,419 --> 00:11:20,440
que es lo que nos ha ocurrido aquí.

174
00:11:21,059 --> 00:11:21,279
¿De acuerdo?

175
00:11:21,460 --> 00:11:23,799
Entonces ya son distintos por el teorema de Roche-Frobeni,

176
00:11:23,799 --> 00:11:24,960
como el rango de A es 2 es distinto de 3,

177
00:11:25,039 --> 00:11:27,320
que es el rango de la ampliada, un sistema incompatible y no tiene solución.

178
00:11:27,320 --> 00:11:35,279
Nos vamos a ir ahora al último caso, el último caso que es para m igual a 2, ¿verdad?

179
00:11:35,460 --> 00:11:45,519
Entonces, lo que voy a hacer es, voy a coger todo esto y lo voy a borrar, lo voy a borrar.

180
00:11:50,889 --> 00:11:54,649
Venga, vamos a irnos al caso m igual a 2.

181
00:11:54,970 --> 00:11:57,289
Si m es igual a 2, resulta que mi matriz A, ¿cómo queda?

182
00:11:57,289 --> 00:12:05,309
Mi matriz A es igual a 1, 2, menos 1, 1, 2, menos 1, 2, 1, menos 2, 1, menos 1, menos 1.

183
00:12:05,830 --> 00:12:14,750
Y mi matriz A ampliada es 1, 2, menos 1, aquí un 2, aquí un 2, perdón, aquí un 1, un 2 y un 1.

184
00:12:15,210 --> 00:12:18,929
Y esto es igual a 2, 1, menos 2, 1, menos 1, menos 1.

185
00:12:19,370 --> 00:12:20,590
Pues nada, hacemos como antes.

186
00:12:21,129 --> 00:12:22,470
Cojo un menor de orden 1.

187
00:12:23,129 --> 00:12:25,169
Determinante de 1 es igual a 1, que es distinto de 0.

188
00:12:25,169 --> 00:12:29,230
eso implica que el rango de a es mayor o igual que 1

189
00:12:29,230 --> 00:12:31,909
cojo esto de aquí, este menor de orden 2

190
00:12:31,909 --> 00:12:33,850
que es 1, 2, 2, 1

191
00:12:33,850 --> 00:12:35,289
si yo hago el determinante, es 1 menos 4

192
00:12:35,289 --> 00:12:36,490
que es igual a menos 3

193
00:12:36,490 --> 00:12:41,350
como es distinto de 0, implica que el rango de a es igual a 2

194
00:12:41,350 --> 00:12:43,110
yo sé que el rango de a no es 3, ¿por qué?

195
00:12:43,149 --> 00:12:46,190
porque el determinante del único menor de orden 3 de a

196
00:12:46,190 --> 00:12:47,250
es su propio determinante

197
00:12:47,250 --> 00:12:48,429
y sabíamos que éramos 0

198
00:12:48,429 --> 00:12:50,889
porque hemos hallado los valores de m que hacían 0 ese determinante

199
00:12:50,889 --> 00:12:53,149
por lo tanto, yo ya puedo afirmar que el rango de a es 2

200
00:12:53,149 --> 00:12:53,789
vámonos

201
00:12:53,789 --> 00:13:10,570
Ahora, a hacer, pues de nuevo, tengo yo aquí, si os fijáis, tengo 1, 2, 3 y 4, y tengo, como es una matriz 3x4, tengo los menores de orden 3, 1, 2 y 3, tengo el 4, 2, 3, tengo el 1, el 4 y el 3, y tenemos el 1, el 2 y el 4.

202
00:13:10,570 --> 00:13:22,799
Estos son los menores de orden 3 de la matriz 3x4, mientras que en una matriz 3x3, como ya hemos dicho, tan solo hay una.

203
00:13:22,840 --> 00:13:28,960
Entonces, ¿qué ocurre? Que voy a utilizar, por ejemplo, el 4, 2, 3, ¿vale? Yo hago el 4, la columna 4, la 2 y la 3.

204
00:13:29,019 --> 00:13:37,899
Voy a hacer su determinante y entonces, ¿qué es? Es 1, 2, 1 y ahora cojo el 2, 1, menos 1 y el menos 1, menos 2, menos 1.

205
00:13:37,899 --> 00:13:54,399
Y yo no sé si os habéis dado cuenta, pero resulta que esta de aquí y esta son proporcionales, entonces tú puedes decir que esto es igual a 0 porque la columna 3 es igual a menos columna 1 y su determinante es 0, o si no hago el determinante sin problema.

206
00:13:54,399 --> 00:14:16,960
Ahora voy a coger el menor de orden 3 formado por 1, 4 y 3, y 1, 4 y 3 es 1, 2, 1, el 4 es 1, 2, 1 también, el 3 es menos 1, menos 2 y menos 1, y de nuevo vemos que la columna 1 y la columna 2 son iguales, por lo tanto es 0 porque columna 1 es igual a columna 2.

207
00:14:16,960 --> 00:14:23,299
Y hay una propiedad de los determinantes que nos dicen que cuando una matriz tiene dos columnas o dos filas proporcionales,

208
00:14:23,360 --> 00:14:27,899
o iguales, es otro tipo de proporción, de proporción multiplica por 1, pues entonces el determinante es 0.

209
00:14:28,399 --> 00:14:31,980
¿Qué ocurre? Que como yo tengo un menor de orden 3, 0, me tengo que ir al siguiente.

210
00:14:32,519 --> 00:14:35,360
Y como los dos son igual a 0, me tengo que ir al tercer menor.

211
00:14:35,620 --> 00:14:38,220
El tercer menor está formado por 1, 2, 4.

212
00:14:39,220 --> 00:14:45,059
Entonces el determinante es formado por 1, 2, 1, 2, 1, menos 1, y por 1, 2, 1.

213
00:14:45,539 --> 00:14:46,820
¿De acuerdo? Aquí tengo esto de aquí.

214
00:14:46,960 --> 00:15:02,500
igual, pues nos ocurre esto de aquí, que es que la primera columna y la tercera columna son iguales, esto es igual a 0, porque columna 1 es columna 3, si no lo vemos, que aquí se ve bien, pues hay que hacer los determinantes, y los 3 determinantes van a salir 0, entonces, ¿qué es lo que ocurre?

215
00:15:02,500 --> 00:15:12,860
Que el rango, yo ahora sí tengo la potencia de decir que el rango de la A ampliada es igual a 2, porque los 4 menores de orden 3 que tengo al acceso determinante de los 4 valen 0.

216
00:15:13,159 --> 00:15:17,419
Por lo tanto, no tengo ningún menor de orden 3 cuyo determinante sea distinto de 0.

217
00:15:17,419 --> 00:15:33,679
Entonces, ¿qué puedo decir? Que para M igual a 2 implica que el rango de A es igual a 2, que es igual al rango de la A ampliada, pero es distinto a 3, que es igual al número de incógnita.

218
00:15:33,679 --> 00:16:02,809
Y entonces, ¿qué ocurre? Que por el teorema de Roche-Frobenius es un sistema compatible, pero indeterminado. Tengo infinitas soluciones, chavales. Aquí no lo escribo, porque como estoy haciendo el vídeo, si yo me salgo de esta línea de aquí, pues resulta que se sobrescribe.

219
00:16:02,809 --> 00:16:30,409
Pero tenéis que ponerlo todo entero, ¿eh? Sistema compatible y determinado e infinitas soluciones. Y yo ya tengo aquí, fijaros, el apartado 1 resuelto. El apartado 1 resuelto que discutí, que bueno, yo llevo 25 minutos, pero porque me estoy deteniendo y explicándolo todo y cada una de las cosas que estoy haciendo. Pero esto nos debería de llevar más de 5 minutos en el examen, ¿de acuerdo? Ahora vamos a resolverlo. Tú ves, resolverlo, resolverlo, sí que es un poquito más laborioso. Pero ¿cuándo lo voy a resolver? Pues fijaros que cuando yo tenga solución única o cuando yo tenga infinitas soluciones.

220
00:16:31,049 --> 00:16:38,409
Entonces, ahora nos vamos a ir al apartado B y lo que vamos a hacerlo es resolverlo cuando es un sistema compatible determinado.

221
00:16:38,529 --> 00:16:39,490
Es decir, ahora nos vamos al B.

222
00:16:39,710 --> 00:16:42,029
Entonces, sistema compatible determinado, por favor, ponedlo todo.

223
00:16:42,389 --> 00:16:50,029
Tenemos solución única, solución única, cuando es cuando si m es distinto de 2 y m es distinto de menos 1.

224
00:16:50,690 --> 00:16:52,769
¿Qué es lo que ocurre? Pues que yo puedo aplicar aquí Cramer.

225
00:16:52,769 --> 00:17:04,190
Si yo aplico Cramer, resulta que la x es igual a, donde tengo la primera columna, en vez de poner la primera columna, pongo los términos independientes, es decir, 1, 2 y m menos 1.

226
00:17:04,490 --> 00:17:11,910
Ahora pongo la segunda columna, que era m, 1 y menos 1, y ahora pongo la tercera columna, que es menos 1, menos m y menos 1.

227
00:17:12,269 --> 00:17:20,750
Y abajo, que es lo que tengo que poner, el determinante de a, voy a recordar, era menos m cuadrado más m más 2.

228
00:17:20,750 --> 00:17:34,289
Si yo ahora desarrollo esto, que es menos 1 más 2 menos m cuadrado que multiplica m menos 1, menos m más 1, menos 2m más m.

229
00:17:35,049 --> 00:17:41,269
Todo ello partido por menos m cuadrado más m más 2.

230
00:17:42,329 --> 00:17:43,789
Sigo, continúo.

231
00:17:44,150 --> 00:17:49,009
Y aquí resulta que este se me da con este y con este, ¿no?

232
00:17:49,009 --> 00:18:04,049
Ah, esto es menos m, esto perdón, es menos m. Aquí se me ha ido, esto es menos m, se me va con este. ¿Y qué me queda? Pues me queda 1 menos m al cubo más m al cuadrado más 2m menos 1.

233
00:18:04,049 --> 00:18:10,690
Y todo ello partido de menos m al cuadrado más m más 2.

234
00:18:11,430 --> 00:18:21,920
Resulta que x es igual a menos m al cubo más m al cuadrado más 2m.

235
00:18:22,299 --> 00:18:27,930
Y todo ello partido por menos m al cuadrado más m más 2.

236
00:18:28,230 --> 00:18:33,009
Y si nos fijamos arriba, yo saco factor común m, que tengo menos m al cuadrado más m más 2.

237
00:18:33,009 --> 00:18:40,329
Y al dividirlo precisamente por menos m al cuadrado más m más 2, lo que me queda aquí es m.

238
00:18:40,869 --> 00:18:44,009
Porque esto es un factor, aunque sea de aquí, es un factor y se me va con este.

239
00:18:44,410 --> 00:18:48,369
Entonces x, x vale m directamente.

240
00:18:49,490 --> 00:18:52,549
Me voy a ir a la y. Si yo me voy a la y, hago lo mismo.

241
00:18:52,809 --> 00:18:59,869
Es decir, tengo el determinante formado por, lo diré, el determinante 1, 2, 1, 1, 2, 1.

242
00:18:59,869 --> 00:19:06,930
aquí pongo el término independiente que es 1, 2, m-1 y aquí pongo menos 1, menos m, menos 1

243
00:19:06,930 --> 00:19:13,109
si yo hago este determinante, que abajo es, pongo el determinante de a que es menos m cuadrado más m más 2

244
00:19:13,109 --> 00:19:24,289
si yo lo desarrollo, si no me equivoco, esto es menos 2, menos 2m, más 2, menos m, menos, menos 2, menos 2, menos 2, menos m cuadrado, más m

245
00:19:24,289 --> 00:19:53,619
Y abajo pues lo que tengo, menos m al cuadrado más m más 2. Y esto se me queda, si yo recopilo, me queda menos 3m más 4 más m al cuadrado menos m, me queda menos 3m más 4 más m al cuadrado menos m partido del determinante, que es menos m al cuadrado más m más 2.

246
00:19:53,619 --> 00:20:05,980
Y esto aquí, si no me equivoco, es m cuadrado menos 4m cuadrado menos 4m más 4 partido de menos m cuadrado más m más 2.

247
00:20:06,119 --> 00:20:14,140
Y aquí fijaros una cosa. Resulta que el numerador es una identidad notable que es m menos 2 al cuadrado.

248
00:20:14,140 --> 00:20:18,220
y si os acordáis, y esto es muy importante, como empieza con un número negativo

249
00:20:18,220 --> 00:20:24,359
el coeficiente del monomio de mayor grado es menos 1, yo tengo que poner aquí un menos

250
00:20:24,359 --> 00:20:30,160
y ahora como las soluciones de mi determinante eran menos 1 y 2, pues esto es m menos 2 por m más 1

251
00:20:30,160 --> 00:20:34,200
¿qué ocurre? que aquí podemos ver que este y uno de estos se me va

252
00:20:34,200 --> 00:20:40,579
este menos es precisamente porque es el coeficiente del polinomio de segundo grado

253
00:20:40,579 --> 00:20:46,859
y esto se me queda como m menos 2 partido de menos m más 1.

254
00:20:47,099 --> 00:20:51,119
Realmente esto sería 2 menos m partido m más 1.

255
00:20:51,299 --> 00:20:53,759
Este menos lo que he hecho es darle la vuelta a este de aquí.

256
00:20:54,619 --> 00:20:56,579
Entonces esto es igual a la i.

257
00:20:57,559 --> 00:20:59,440
Y ahora vamos a hacer la z.

258
00:21:00,299 --> 00:21:08,279
Si yo hago la z resulta que la z es igual al determinante 1, 2, 1 que era la primera columna,

259
00:21:08,279 --> 00:21:14,019
la segunda columna que era m1 menos 1 y en la tercera columna lo que pongo son los coeficientes

260
00:21:14,019 --> 00:21:19,779
de los términos independientes y abajo era el determinante de a que recordemos que era menos

261
00:21:19,779 --> 00:21:29,759
m cuadrado más m más 2 si yo hago este determinante resulta que tengo m menos 1 menos 2 más 2m menos

262
00:21:29,759 --> 00:21:42,619
1 más 2m al cuadrado menos 2m menos 2 todo ello partido aquí partido por menos m cuadrado más m

263
00:21:42,619 --> 00:21:51,740
más 2 y esto como se me queda pues se me queda como 3m menos 3 3m menos 3 menos 2m al cuadrado

264
00:21:51,740 --> 00:22:01,599
Más 2m más 1 partido de menos m al cuadrado menos m al cuadrado más m más 2.

265
00:22:01,599 --> 00:22:11,740
Por lo tanto, mi z es igual a qué? A menos 2m al cuadrado menos 2m al cuadrado más 5m menos 2.

266
00:22:12,079 --> 00:22:20,589
Y todo ello partido por menos m al cuadrado más m más 2.

267
00:22:21,950 --> 00:22:22,589
¿Vale?

268
00:22:22,589 --> 00:22:27,240
pero que ocurre

269
00:22:27,240 --> 00:22:28,279
que yo aquí

270
00:22:28,279 --> 00:22:31,480
si yo hago la ecuación de segundo grado

271
00:22:31,480 --> 00:22:32,299
de

272
00:22:32,299 --> 00:22:38,349
de aquí, si yo hago menos

273
00:22:38,349 --> 00:22:41,029
2m cuadrado más 5m

274
00:22:41,029 --> 00:22:42,630
menos 2, la igual a 0

275
00:22:42,630 --> 00:22:44,950
tengo que m es igual a menos b

276
00:22:44,950 --> 00:22:46,109
más menos

277
00:22:46,109 --> 00:22:48,529
b al cuadrado que es 25

278
00:22:48,529 --> 00:22:50,549
menos 4 por a y por c

279
00:22:50,549 --> 00:22:52,269
4 por 2 es 8, 2 por 8 es 16

280
00:22:52,269 --> 00:22:54,109
partido de 2 por 2

281
00:22:54,109 --> 00:22:56,369
2 por menos 2 que es menos 4

282
00:22:56,369 --> 00:22:59,920
y esto queda igual

283
00:22:59,920 --> 00:23:02,420
da menos 5 más menos 3

284
00:23:02,420 --> 00:23:03,720
porque 25 menos 16 es 9

285
00:23:03,720 --> 00:23:05,200
la raíz de 9 es 3 menos 4

286
00:23:05,200 --> 00:23:05,980
y esto que me sale

287
00:23:05,980 --> 00:23:07,799
me queda menos 2 partido de menos 4

288
00:23:07,799 --> 00:23:08,480
es igual a 1 medio

289
00:23:08,480 --> 00:23:12,779
y menos 8 partido de menos 4 es 2

290
00:23:12,779 --> 00:23:14,200
¿qué significa esto?

291
00:23:14,279 --> 00:23:15,700
pues que yo puedo poner la z

292
00:23:15,700 --> 00:23:17,079
fijaros que tengo aquí un menos 2

293
00:23:17,079 --> 00:23:18,259
pues entonces esto es menos 2

294
00:23:18,259 --> 00:23:20,000
que multiplica a m

295
00:23:20,000 --> 00:23:22,339
menos 1 medio

296
00:23:22,339 --> 00:23:24,859
por m

297
00:23:24,859 --> 00:23:26,759
menos 2

298
00:23:26,759 --> 00:23:29,779
y abajo si os recordáis

299
00:23:29,779 --> 00:23:32,000
abajo, voy a hacer aquí

300
00:23:32,000 --> 00:23:33,460
esto bien, esto era

301
00:23:33,460 --> 00:23:35,819
menos m más 1

302
00:23:35,819 --> 00:23:37,740
por m menos 2

303
00:23:37,740 --> 00:23:39,500
¿y esto qué me queda? pues me queda

304
00:23:39,500 --> 00:23:45,299
2m, ah, esto es un medio

305
00:23:45,299 --> 00:23:47,299
perdón, un medio, vale, esto es un medio

306
00:23:47,299 --> 00:23:49,660
un momento, a ver, voy a poner

307
00:23:49,660 --> 00:23:50,720
mejor

308
00:23:50,720 --> 00:23:55,380
perdón por el fallo, a ver

309
00:23:55,380 --> 00:23:57,140
esto es menos un medio

310
00:23:57,140 --> 00:23:59,400
por m menos 2

311
00:23:59,400 --> 00:24:03,700
entonces esto es, este menos

312
00:24:03,700 --> 00:24:04,299
se va con este menos

313
00:24:04,299 --> 00:24:06,740
un momento, voy a poner esto de aquí

314
00:24:06,740 --> 00:24:12,500
este se me va con este, este menos

315
00:24:12,500 --> 00:24:14,380
se me va con este y que es lo que me queda

316
00:24:14,380 --> 00:24:14,819
vaya hombre

317
00:24:14,819 --> 00:24:19,920
entonces me queda 2m

318
00:24:19,920 --> 00:24:21,279
menos 1

319
00:24:21,279 --> 00:24:24,059
2m menos 1 partido

320
00:24:24,059 --> 00:24:26,180
precisamente m más 1

321
00:24:26,180 --> 00:24:28,660
por lo tanto mi x y z

322
00:24:28,660 --> 00:24:29,859
me queda

323
00:24:29,859 --> 00:24:31,720
aquí la suquetilla

324
00:24:31,720 --> 00:24:34,400
m, 2 menos m

325
00:24:34,400 --> 00:24:36,180
partido de m más 1

326
00:24:36,180 --> 00:24:38,819
y 2m menos 1

327
00:24:38,819 --> 00:24:40,779
partido de m más 1.

328
00:24:41,759 --> 00:24:43,000
La última parte no hay que hacerla,

329
00:24:43,079 --> 00:24:43,859
además lo dije en el examen,

330
00:24:43,940 --> 00:24:44,680
oye, si te da tiempo y demás,

331
00:24:44,759 --> 00:24:46,099
pues es más bonito dejarlo así

332
00:24:46,099 --> 00:24:49,579
que sin factorizar, ¿vale?

333
00:24:49,579 --> 00:24:50,720
Pero que sepáis que se pueden factorizar

334
00:24:50,720 --> 00:24:51,759
y además tienen raíces comunes

335
00:24:51,759 --> 00:24:52,799
y es lo que me permite a mí

336
00:24:52,799 --> 00:24:54,299
que yo pueda reducir

337
00:24:54,299 --> 00:24:55,700
lo que son los valores de x y z.

338
00:24:56,359 --> 00:24:57,660
Esto en el examen tampoco se pide,

339
00:24:58,039 --> 00:24:59,019
pero ya que estamos,

340
00:24:59,359 --> 00:25:00,920
podemos hacer la comprobación

341
00:25:00,920 --> 00:25:03,059
de que las soluciones son correctas.

342
00:25:03,380 --> 00:25:04,339
Podemos hacer esa comprobación.

343
00:25:05,079 --> 00:25:07,180
Entonces, si yo me vuelvo a copiar

344
00:25:07,180 --> 00:25:08,619
mi sistema original,

345
00:25:08,819 --> 00:25:28,259
Voy a seleccionar esto de aquí. O mejor dicho, voy a hacer... Bueno, sí. Si yo recorto de aquí para quedarme tan solo el sistema de ecuaciones, que es más fácil. Vale. Selecciono X y me voy al final. Aquí es la comprobación. Pues si te das cuenta, si yo copio aquí, ¿cuánto vale Y?

346
00:25:28,259 --> 00:25:34,480
Ahora, se me ha quedado un vídeo muy largo pero yo creo que está todo bien explicado

347
00:25:34,480 --> 00:25:37,000
La x, la primera ecuación, pues la x ¿cuánto vale?

348
00:25:37,339 --> 00:25:39,259
m más m ¿cuánto vale la y?

349
00:25:39,680 --> 00:25:41,960
2 menos m partido m más 1

350
00:25:41,960 --> 00:25:47,279
menos z y z resulta que es 2m menos 1 partido m más 1

351
00:25:47,279 --> 00:25:50,140
y esto que es igual, como el mínimo común múltiplo es m más 1

352
00:25:50,140 --> 00:25:52,880
voy a multiplicar la m por m más 1

353
00:25:52,880 --> 00:25:57,279
más ya esto lo multiplico por esto y por esto y me queda

354
00:25:57,279 --> 00:25:59,720
más 2m menos m al cuadrado

355
00:25:59,720 --> 00:26:01,519
ten cuidado que este menos afecta a este

356
00:26:01,519 --> 00:26:03,380
y a este también, por lo tanto tengo menos 2m

357
00:26:03,380 --> 00:26:04,440
más 1

358
00:26:04,440 --> 00:26:07,119
y todo ello partido por

359
00:26:07,119 --> 00:26:09,559
m más 1, lo único que he hecho es

360
00:26:09,559 --> 00:26:11,819
poner el mínimo como múltiplo y sigo operando

361
00:26:11,819 --> 00:26:13,299
y esto que me queda, esto es

362
00:26:13,299 --> 00:26:14,180
m al cuadrado más m

363
00:26:14,180 --> 00:26:17,720
este si lo veis

364
00:26:17,720 --> 00:26:18,940
se me va esto con esto

365
00:26:18,940 --> 00:26:21,720
me queda un menos m

366
00:26:21,720 --> 00:26:25,609
cuadrado menos m

367
00:26:25,609 --> 00:26:26,690
cuadrado más 1

368
00:26:26,690 --> 00:26:44,849
menos m cuadrado más 1 y todo ello partido de m más 1 si os fijáis también este y este se me va y que me queda que m más 1 la primera m más 1 partido de m más 1 es igual al 1 que es lo que estábamos buscando que es esto de aquí

369
00:26:44,849 --> 00:27:01,390
¿Lo veis? Si nos vamos a la segunda, voy a empezar aquí. La segunda sería 2 por x y la x vale m más y y la y que es 2 menos m partido m más 1 menos m por z y z que es 2m menos 1 partido m más 1.

370
00:27:01,390 --> 00:27:13,990
Y eso todo tiene que ser igual a 2. Vamos a comprobarlo. Igual multiplico 2m por m más 1 para hacer el mínimo común múltiplo más 2 menos m menos 2m cuadrado más m, todo ello partido de m más 1.

371
00:27:14,849 --> 00:27:34,809
Vamos a ver si esto realmente es, esto es m más 1, esto de aquí que es, esto es 2m cuadrado más 2m, aquí vemos que esto y esto se me van, me queda más 2 menos 2m cuadrado, el azul, más 2 menos 2m cuadrado,

372
00:27:34,809 --> 00:27:51,849
Que esto realmente, no sé si lo estáis viendo ya, me queda m más 2, 2m más 2 que digo, que si yo, me refiero, este se me va con este, me queda 2m más 2, que si yo saco factor común es 2 por m más 1, que al dividirlo por m más 1 me queda el 2 que buscaba.

373
00:27:51,849 --> 00:27:56,390
este 2 realmente es este 2

374
00:27:56,390 --> 00:27:58,609
por lo tanto la primera se cumple

375
00:27:58,609 --> 00:27:59,690
la segunda se cumple

376
00:27:59,690 --> 00:28:02,109
y mucho cuidado porque en un sistema se tienen que cumplir las 3

377
00:28:02,109 --> 00:28:05,089
vamos a ver si realmente también se cumple la tercera

378
00:28:05,089 --> 00:28:10,150
en la tercera sería m menos 2 menos m partido m más 1

379
00:28:10,150 --> 00:28:15,990
menos z que z es 2m menos 1 partido m más 1

380
00:28:15,990 --> 00:28:18,029
y esto de aquí me tiene que salir al final m menos 1

381
00:28:18,029 --> 00:28:18,529
vamos a comprobar

382
00:28:18,529 --> 00:28:20,269
entonces m al cuadrado más m

383
00:28:20,269 --> 00:28:26,329
ya he hecho la multiplicación de m por m más 1, menos 2 más m, porque este menos afecta a todo,

384
00:28:27,069 --> 00:28:33,890
este menos también, entonces sería menos 2m más 1, y partido de m más 1.

385
00:28:35,069 --> 00:28:47,150
A ver qué se pone aquí, aquí vemos que m más m menos 2m se me va, y me queda m cuadrado menos 2 más 1,

386
00:28:47,150 --> 00:28:49,410
es menos 1 partido de m más 1.

387
00:28:49,470 --> 00:28:49,950
¿Y qué ocurre?

388
00:28:50,049 --> 00:28:51,730
Que m cuadrado menos 1 es una identidad notable

389
00:28:51,730 --> 00:28:53,509
y esto se suma por 10 diferencias.

390
00:28:53,670 --> 00:28:57,210
m más 1 por m menos 1 partido de m más 1.

391
00:28:57,609 --> 00:28:58,230
Esto se me va.

392
00:28:58,230 --> 00:29:02,710
Y fijaros que se me queda el m más 1,

393
00:29:03,829 --> 00:29:05,430
que es este de aquí, me he equivocado,

394
00:29:05,509 --> 00:29:06,390
me queda el m menos 1,

395
00:29:06,730 --> 00:29:09,230
el m menos 1, que es el que está ahí.

396
00:29:09,930 --> 00:29:10,170
¿De acuerdo?

397
00:29:10,630 --> 00:29:12,710
Entonces, hasta aquí tenemos el sistema compartido determinado

398
00:29:12,710 --> 00:29:13,630
que, bueno, yo he hecho la comprobación,

399
00:29:13,710 --> 00:29:14,109
no hace falta,

400
00:29:14,430 --> 00:29:16,609
pero que veamos que realmente esa es la solución.

401
00:29:16,609 --> 00:29:36,569
Nos vamos a ir ahora al caso M igual a 2, que era un sistema compatible indeterminado, donde tengo infinitas soluciones.

402
00:29:36,569 --> 00:30:04,960
Entonces, si la m vale 2, yo mi sistema, fijaros que me queda x más 2m menos z más 2m menos z es igual a 1, 2x más y menos 2m, 2z, perdón, menos 2z es igual a 2 y me queda aquí que x menos y, ay, perdón, esto es una, una y, x menos y menos z es igual a 2 menos 1, 1, 1.

403
00:30:04,960 --> 00:30:06,819
vale

404
00:30:06,819 --> 00:30:08,839
a ver si lo he hecho bien, yo creo que sí

405
00:30:08,839 --> 00:30:10,319
para caso igual a 2

406
00:30:10,319 --> 00:30:19,690
aquí mi chulerilla, un momentillo

407
00:30:19,690 --> 00:30:22,250
en el caso, n igual a 2

408
00:30:22,250 --> 00:30:26,160
bueno, pues no le damos ni la chulerilla, sigo

409
00:30:26,160 --> 00:30:28,559
vamos a ver

410
00:30:28,559 --> 00:30:30,660
si nos fijamos

411
00:30:30,660 --> 00:30:32,640
la matriz era 1, 2

412
00:30:32,640 --> 00:30:34,700
menos 1, esto era 2, 1

413
00:30:34,700 --> 00:30:36,920
menos 2, 1, menos 1

414
00:30:36,920 --> 00:30:37,759
menos 1

415
00:30:37,759 --> 00:30:42,720
cuando estuvimos viendo el rango, vimos que este menor

416
00:30:42,720 --> 00:30:44,920
era determinante distinto de 1 y este también

417
00:30:44,920 --> 00:30:47,000
con lo cual yo lo que sí sé es que

418
00:30:47,000 --> 00:30:48,759
tanto esta como esta

419
00:30:48,759 --> 00:30:50,640
son linealmente independientes entre ellas

420
00:30:50,640 --> 00:30:52,920
porque al hacer el menor cogido con la

421
00:30:52,920 --> 00:30:54,539
primera ecuación y con la segunda ecuación

422
00:30:54,539 --> 00:30:56,720
me sale que es distinto de 0

423
00:30:56,720 --> 00:30:58,980
este determinante de hecho es 1 menos 2 menos 3

424
00:30:58,980 --> 00:31:00,640
entonces ¿qué ocurre? que yo me voy a quedar

425
00:31:00,640 --> 00:31:02,799
con la primera ecuación que es

426
00:31:02,799 --> 00:31:04,680
x más 2y menos z

427
00:31:04,680 --> 00:31:06,960
es igual a 1 y 2x más

428
00:31:06,960 --> 00:31:09,000
y menos 2z es igual a 2

429
00:31:09,000 --> 00:31:10,920
descorto

430
00:31:10,920 --> 00:31:11,839
la tercera

431
00:31:12,779 --> 00:31:21,299
También no sé si veis que si yo precisamente multiplico la fila tercera, es la fila segunda menos la fila primera.

432
00:31:22,059 --> 00:31:25,980
Entonces, tengo la fila tercera, pero esto es más complicado de ver.

433
00:31:26,220 --> 00:31:31,200
Entonces, lo más fácil es, como yo te cojo estos dos menores, y este menor de aquí, perdona, de orden 2, me sale distinto de 0,

434
00:31:31,259 --> 00:31:32,579
me quedo con la primera fila y la segunda fila.

435
00:31:32,579 --> 00:31:44,150
¿Y qué ocurre? Que hay una fórmula que me dice, número de incógnitas menos número de ecuaciones es igual al número de grados de libertad.

436
00:31:45,869 --> 00:31:47,150
Al final voy a hacer un vídeo de una hora.

437
00:31:48,250 --> 00:31:49,910
Lo podéis poner a dos por... ¿Vale?

438
00:31:50,009 --> 00:31:52,410
Entonces, ¿qué ocurre? ¿Cuántas incógnitas tengo? Tres.

439
00:31:52,730 --> 00:31:57,089
¿Cuántas ecuaciones me han quedado? Son estas dos, esta, y esta que son linealmente independientes, dos.

440
00:31:57,329 --> 00:31:59,009
Y entonces esto es que es igual a un grado de libertad.

441
00:31:59,269 --> 00:32:02,049
¿Vale? Entonces tengo un grado de libertad.

442
00:32:04,039 --> 00:32:04,980
Un grado de libertad.

443
00:32:05,960 --> 00:32:10,559
Si yo elijo, por ejemplo, que z es igual a mu, que pertenece a los números reales,

444
00:32:10,839 --> 00:32:16,740
pues mi ecuación que se queda x más 2y es igual a 1 más z, que z es realmente mu.

445
00:32:17,059 --> 00:32:21,000
Y la segunda ecuación que es 2x más y, porque estoy cogiendo esta ecuación, he cogido esta de aquí,

446
00:32:21,299 --> 00:32:24,819
he pasado la z al otro lado y tengo aquí x más 2y es 1 más z.

447
00:32:25,220 --> 00:32:28,539
Y de aquí que tengo que 2x más y es igual a 2 más 2z.

448
00:32:28,819 --> 00:32:32,539
Pero aquí ya me pongo una z con una mu y entonces esto es igual a 2 más 2mu.

449
00:32:32,539 --> 00:32:43,059
Si yo aquí lo que hago es, esta la multiplico por 2, la fila 1 es 2 veces la fila 1, tengo 2x más 4y es igual a 2 más 2mu

450
00:32:43,059 --> 00:32:48,200
Y esta la dejo igual, tengo 2x más y es igual a 2 más 2mu

451
00:32:48,200 --> 00:32:52,880
Si yo ahora hago la ecuación 1, mira, la ecuación 2, si yo esto lo resto, ¿qué ocurre?

452
00:32:52,880 --> 00:33:00,640
Que me queda que 3y es igual a 0, eso significa que y es igual a 0, no depende de mu

453
00:33:00,640 --> 00:33:03,960
por lo tanto si yo ahora me voy a esta ecuación de aquí

454
00:33:03,960 --> 00:33:06,279
si yo me voy a esta ecuación de aquí

455
00:33:06,279 --> 00:33:09,819
resulta que x es igual a 1 más mu menos 2y

456
00:33:09,819 --> 00:33:13,200
pero resulta que como y es 0 es igual a 1 más mu

457
00:33:13,200 --> 00:33:21,640
entonces mis soluciones x, y, yz es igual a 1 más mu, 0 y mu

458
00:33:21,640 --> 00:33:25,099
para todo mu que pertenece a los números reales

459
00:33:25,099 --> 00:33:28,140
vamos a hacer rápido la comprobación a ver si es verdad

460
00:33:28,140 --> 00:33:31,799
entonces la comprobación la voy a hacer aquí en negro

461
00:33:32,220 --> 00:33:36,460
Igual, esto no habría que hacerlo, pero yo me quedo más tranquilo si lo hago.

462
00:33:36,839 --> 00:33:38,900
X, ¿cuánto vale la primera ecuación?

463
00:33:39,220 --> 00:33:45,000
La X, la X vale 1 más mu, más 2 por 0, 2Y, menos Z, que es mu.

464
00:33:45,240 --> 00:33:47,619
¿Esto es verdad que es igual a 1? Pues lo vamos a comprobar.

465
00:33:48,119 --> 00:33:50,500
1 más mu menos mu resulta que es 1.

466
00:33:50,500 --> 00:33:53,099
Se confirma la primera ecuación.

467
00:33:53,220 --> 00:34:00,380
La segunda ecuación es 2 por X, que es 1 más mu, más Y, que es 0, menos 2 por Z, que es Z, es mu.

468
00:34:00,380 --> 00:34:07,960
¿Esto es verdad que es un 2? Vamos a ver. Esto es 2 más 2 mu menos 2 mu. Resulta que es 2 y está perfecto.

469
00:34:08,420 --> 00:34:16,219
Y ya si nos vamos a la tercera ecuación, resulta que es x, que es 1 más mu, menos y, que es 0, menos z, que es mu.

470
00:34:16,739 --> 00:34:25,360
Siempre todo lo que sustituyo lo pongo entre paréntesis. ¿Esto es verdad que es 1? Pues resulta que tengo 1 más mu menos 0, que me da igual, menos mu, pues me queda 1.

471
00:34:25,360 --> 00:34:32,739
Por lo tanto, esta es la solución cuando estamos en un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones.

472
00:34:34,000 --> 00:34:38,579
Aunque me ha quedado un vídeo bastante largo, espero que os quede claro todo lo que hay que hacer, todos los pasos que hay que llevar.

473
00:34:39,400 --> 00:34:46,860
Es verdad que estamos aquí poco a poco explicándolo todo, por eso la demora, pero este ejercicio como tal no os debería de llevar como mucho, mucho, mucho, a lo sumo entre 15 y 20 minutos.

474
00:34:47,000 --> 00:34:50,579
No debería de llevaros más. Entonces, si os lleva más, tenéis que practicar bien todo. ¿De acuerdo?

475
00:34:51,260 --> 00:34:52,179
Venga, vamos ya por el siguiente.