1
00:00:00,000 --> 00:00:05,000
Continuamos explicando las fórmulas de reducción al primer cuadrante.

2
00:00:05,000 --> 00:00:10,000
Vamos en este caso a trabajar con ángulos del cuarto cuadrante.

3
00:00:10,000 --> 00:00:15,000
Tenemos los ángulos del cuarto cuadrante, nuestra circunferencia goniométrica de radio 1,

4
00:00:15,000 --> 00:00:21,000
colocamos aquí los ángulos y vamos a trazar un ángulo del cuarto cuadrante.

5
00:00:21,000 --> 00:00:30,000
Nuestra tarea será explicar qué ángulo del primer cuadrante vamos a escoger para relacionarlo con este ángulo beta.

6
00:00:30,000 --> 00:00:39,000
Vamos a buscar un ángulo alfa del primer cuadrante a partir del cual podamos calcular las razones trigonométricas de beta.

7
00:00:39,000 --> 00:00:41,000
¿En qué tenemos que fijarnos?

8
00:00:41,000 --> 00:00:46,000
Si el ángulo beta pertenece al cuarto cuadrante, nosotros lo que nos vamos a fijar en este caso es

9
00:00:46,000 --> 00:00:52,000
en cuánto le falta al ángulo beta para llegar a completar la circunferencia,

10
00:00:52,000 --> 00:00:57,000
es decir, cuánto le falta al ángulo beta para llegar a valer 360º.

11
00:00:57,000 --> 00:01:04,000
Tenemos entonces solamente que hacer una recta, que es quitar de 360º una determinada cantidad,

12
00:01:04,000 --> 00:01:10,000
es decir, el ángulo beta va a ser igual a 360º menos una determinada cantidad,

13
00:01:10,000 --> 00:01:17,000
que será lo que le falta para llegar a la circunferencia completa, es decir, completar una vuelta.

14
00:01:17,000 --> 00:01:23,000
Entonces, si trabajamos en grados exagesimales, si trabajamos en radianes, sería 2pi menos alfa.

15
00:01:23,000 --> 00:01:31,000
Ahí tendríamos entonces el ángulo alfa, que es lo que le falta a beta para llegar a valer 360º.

16
00:01:31,000 --> 00:01:39,000
Estos ángulos, los ángulos de este tipo, se llaman ángulos que suman 360º o 2pi radianes.

17
00:01:39,000 --> 00:01:45,000
También se llaman ángulos opuestos. Ahora, un poquito más adelante, lo vamos a ver sobre la circunferencia,

18
00:01:45,000 --> 00:01:52,000
sobre el dibujo, sobre el gráfico, pero no es difícil de entender, puesto que ya hemos explicado antes esto,

19
00:01:52,000 --> 00:01:58,000
que ese ángulo beta, tal y como está ahí, pues es equivalente a menos alfa.

20
00:01:58,000 --> 00:02:05,000
Es decir, si ese ángulo alfa lo medimos en el sentido de las agujas del reloj, pues sería el mismo ángulo.

21
00:02:05,000 --> 00:02:14,000
Beta sería igual que el ángulo menos alfa. Por tanto, entonces, este tipo de ángulos se llaman también ángulos opuestos.

22
00:02:14,000 --> 00:02:22,000
Vamos a ver ejemplos. Si tenemos el ángulo de 330º, es decir, si beta vale 330º, el ángulo del cuarto cuadrante,

23
00:02:22,000 --> 00:02:29,000
para saber lo que le falta a este ángulo para llegar a 360º, ¿qué tendríamos que hacer?

24
00:02:29,000 --> 00:02:35,000
Pues simplemente rectar de 360º, como hemos visto antes, y eso nos daría para alfa 30º.

25
00:02:35,000 --> 00:02:45,000
De manera que la pareja de ángulos que suman 360º o 2pi radianes, pues serían 330 y 30º.

26
00:02:45,000 --> 00:02:53,000
Sería equivalente a tener el ángulo de 330, el ángulo de 330 es equivalente a menos 30º.

27
00:02:53,000 --> 00:02:59,000
Es decir, si medimos 30º en el sentido negativo, pues sería también equivalente.

28
00:02:59,000 --> 00:03:07,000
Si tenemos beta 300º, para llegar al alfa solamente tenemos que hacer esa recta y nos daría para alfa 60º.

29
00:03:07,000 --> 00:03:11,000
Sería otra pareja que nos sirve de ejemplo.

30
00:03:11,000 --> 00:03:21,000
Bien, entonces podemos escribir beta como 360º menos alfa o también, como hemos explicado, como menos alfa.

31
00:03:21,000 --> 00:03:28,000
Eso se ve, ahí se ve todavía más claramente, si nos damos cuenta de que es equivalente el ángulo beta

32
00:03:28,000 --> 00:03:32,000
a tener el ángulo alfa medido en el sentido negativo.

33
00:03:32,000 --> 00:03:35,000
De manera que por eso se llaman también ángulos opuestos.

34
00:03:35,000 --> 00:03:45,000
Es decir, es equivalente, por ejemplo, 300º a menos 60º, es equivalente 330º a menos 30º,

35
00:03:45,000 --> 00:03:53,000
es equivalente 315º a menos 45º, por eso se llaman también ángulos opuestos.

36
00:03:53,000 --> 00:04:00,000
De acuerdo, vamos a ver entonces el ángulo del primer cuadrante con el que vamos a relacionar a beta.

37
00:04:00,000 --> 00:04:05,000
Simplemente lo que tendríamos que hacer es trazar el ángulo alfa sobre el primer cuadrante

38
00:04:05,000 --> 00:04:11,000
y darnos cuenta de que este segmento nos daría la longitud del seno del ángulo beta,

39
00:04:11,000 --> 00:04:17,000
este sería el coseno del ángulo beta, este sería el seno del ángulo alfa

40
00:04:17,000 --> 00:04:25,000
y el coseno del ángulo alfa que simplemente por construcción nos damos cuenta de que coincide exactamente con el coseno de beta.

41
00:04:25,000 --> 00:04:31,000
Esto nos hace todavía ver como mucho más sencillo las fórmulas que ahora vamos a explicar.

42
00:04:31,000 --> 00:04:36,000
En este caso los dos triángulos son iguales porque tienen dos ángulos iguales y además dos lados iguales,

43
00:04:36,000 --> 00:04:46,000
es decir, los triángulos son exactamente iguales y prácticamente es como si se miraran en un espejo un triángulo con respecto al otro.

44
00:04:46,000 --> 00:04:54,000
Ese sería el primer triángulo, el que nos da las razones trigonométricas de beta y este sería el otro.

45
00:04:54,000 --> 00:05:00,000
Vemos que prácticamente es eso, como si se miraran en un espejo, como si se reflejaran.

46
00:05:00,000 --> 00:05:08,000
El seno del ángulo beta, que sería el segmento que tenemos aquí, ese sería el seno del ángulo beta,

47
00:05:08,000 --> 00:05:14,000
sería igual que este segmento con la diferencia de que, como ya hemos explicado otras veces,

48
00:05:14,000 --> 00:05:21,000
el seno de beta es negativo, aunque las longitudes sean iguales, pero el seno de beta es negativo,

49
00:05:21,000 --> 00:05:28,000
mientras que el seno de alfa es positivo, por lo tanto para poder igualarlos tenemos que cambiarle el signo al seno de alfa.

50
00:05:28,000 --> 00:05:33,000
Hemos colocado ahí esas fórmulas para que nos acostumbremos a verlas de todas las maneras,

51
00:05:33,000 --> 00:05:43,000
es decir, es lo mismo escribir seno de 360 grados menos alfa o seno de menos alfa sería equivalente a menos seno de alfa,

52
00:05:43,000 --> 00:05:51,000
es decir, el seno del ángulo opuesto a alfa es igual que el seno del propio alfa pero cambiándole el signo.

53
00:05:51,000 --> 00:05:59,000
Si ahora escribimos el coseno de beta o lo mismo que el coseno de 360 menos alfa o lo que es igual,

54
00:05:59,000 --> 00:06:07,000
el coseno de menos alfa, el coseno del ángulo opuesto a alfa, resulta que por la misma construcción nos damos cuenta de que

55
00:06:07,000 --> 00:06:14,000
ese sería el coseno de beta pero es que es exactamente el mismo segmento en la misma posición, mide exactamente igual,

56
00:06:14,000 --> 00:06:20,000
por lo tanto coinciden exactamente el coseno de beta y el coseno de alfa, serían iguales, es decir,

57
00:06:20,000 --> 00:06:30,000
un ángulo y su opuesto tienen el mismo coseno, ¿de acuerdo? Un ángulo y su opuesto tienen el mismo coseno.

58
00:06:30,000 --> 00:06:36,000
La tangente de beta es la misma que la tangente de 360 grados menos alfa y por lo tanto, como ya hemos estado explicando,

59
00:06:36,000 --> 00:06:43,000
es igual que la tangente de menos alfa. Si trazamos la tangente de beta o lo que sería la tangente de menos alfa,

60
00:06:43,000 --> 00:06:53,000
ese sería lo que mediría, ese segmento, ahí lo tenemos, y si trazamos la tangente de alfa pues estaría ahí.

61
00:06:53,000 --> 00:07:01,000
Nos damos cuenta de que miden también lo mismo, solamente que la tangente de beta es negativa mientras que la de alfa es positiva.

62
00:07:01,000 --> 00:07:07,000
Por lo tanto, ¿para que coincidan? Pues tenemos que cambiar el signo de tangente de alfa, ¿de acuerdo?

63
00:07:07,000 --> 00:07:18,000
Sería la única manera de conseguirlo y entonces tendríamos menos tangente de alfa, de manera que la tangente de beta es igual a menos tangente de alfa.

64
00:07:18,000 --> 00:07:23,000
Esto también podría verse de los cocientes, ¿verdad?, trabajando con los cocientes.

65
00:07:23,000 --> 00:07:33,000
Bueno, vamos a ver ahora entonces la secante. La secante sería igual a, escrita de esa manera, sería la secante de menos alfa

66
00:07:33,000 --> 00:07:39,000
y puesto que la secante tiene que ver con el coseno y la embesa del coseno, ¿cómo los cosenos coinciden?

67
00:07:39,000 --> 00:07:48,000
Pues entonces las secantes también van a coincidir. Con respecto a la cosecante, le va a pasar igual que al seno,

68
00:07:48,000 --> 00:07:56,000
es decir, cambia el signo simplemente, la cosecante de beta con respecto a la de alfa, y la tangente va a pasar igual.

69
00:07:56,000 --> 00:08:07,000
La cotangente de beta tiene que ser igual a cotangente de 360 menos alfa, igual a cotangente de menos alfa, que sería igual a menos la cotangente de alfa.

70
00:08:07,000 --> 00:08:14,000
Tenemos por tanto resuelto el problema de cómo encontrar las razones trigonométricas de un ángulo del cuarto cuadrante

71
00:08:14,000 --> 00:08:22,000
si conocemos las correspondientes del ángulo que hemos elegido de manera conveniente del primer cuadrante.

72
00:08:22,000 --> 00:08:29,000
Y con esto hemos terminado los vídeos dedicados a la reducción de ángulos al primer cuadrante.