1
00:00:02,100 --> 00:00:15,740
Este videotutorial pretende mostrar de forma gráfica y animada las isometrías geométricas del plano.

2
00:00:15,740 --> 00:00:21,559
está basado en una página sobre mosaicos y celosías geométricos

3
00:00:21,559 --> 00:00:26,480
que construí ya hace algunos años

4
00:00:26,480 --> 00:00:32,740
utilizando para el entorno gráfico

5
00:00:33,460 --> 00:00:37,719
GeoGebra, animaciones en GeoGebra y Flash

6
00:00:37,719 --> 00:01:12,780
Una isometría es una transformación geométrica

7
00:01:12,780 --> 00:01:21,260
de una figura en otra, conservando las medidas.

8
00:01:22,700 --> 00:01:34,599
Las principales isometrías son los giros, las traslaciones y las reflexiones

9
00:01:34,599 --> 00:01:38,859
o simetría con respecto de un eje.

10
00:01:38,859 --> 00:01:55,920
Veamos un giro animado en GeoGebra y su correspondiente giro en Flash

11
00:01:55,920 --> 00:02:01,939
Si el centro de giro coincide con el centro geométrico de la figura

12
00:02:01,939 --> 00:02:04,840
Entonces hablamos de rotaciones

13
00:02:04,840 --> 00:02:15,139
En una rotación hay que tener en cuenta los ángulos de rotación y el orden de rotación

14
00:02:15,139 --> 00:02:23,360
el orden de rotación es el número de veces que hay que rotar el menor ángulo

15
00:02:23,360 --> 00:02:28,360
para conseguir dar la figura una vuelta completa

16
00:02:28,360 --> 00:02:32,860
en la figura anterior es 3

17
00:02:32,860 --> 00:02:40,039
en este otro ejemplo basado en un cuadrado

18
00:02:40,039 --> 00:02:46,539
Los ángulos de rotación serían 90, 180 y 270

19
00:02:46,539 --> 00:02:49,740
Y su orden de traslación es 4

20
00:02:49,740 --> 00:02:57,539
1, 2, 3 y 4

21
00:02:57,539 --> 00:03:11,449
La traslación consiste en desplazar una figura según un vector

22
00:03:11,449 --> 00:03:19,750
La figura inicial la desplazamos según el vector V

23
00:03:19,750 --> 00:03:23,689
Como puede verse en las animaciones en GeoGebra y Flash

24
00:03:23,689 --> 00:03:27,710
La reflexión o simetría con respecto de un eje

25
00:03:27,710 --> 00:03:33,750
Transforma la figura con respecto de un eje que es la mediatriz

26
00:03:33,750 --> 00:03:39,009
Hace de mediatriz de todos los puntos de la figura inicial

27
00:03:39,009 --> 00:03:43,430
Veamos la animación en GeoGebra y Flash

28
00:03:43,430 --> 00:03:45,750
Es una reflexión

29
00:03:45,750 --> 00:04:02,340
Combinando estas tres isometrías básicas podemos obtener una composición o producto de isometrías

30
00:04:02,340 --> 00:04:06,819
La más común y utilizada es la reflexión con deslizamiento

31
00:04:06,819 --> 00:04:14,860
Que compone una reflexión con respecto de un eje y una traslación o al contrario

32
00:04:14,860 --> 00:04:16,620
La operación es conmutativa

33
00:04:16,620 --> 00:04:23,459
Veamos la animación, primero en GeoGebra y en Flash.

34
00:04:26,550 --> 00:04:31,310
Hacemos la reflexión y luego la traslación según el vector V.

35
00:04:32,850 --> 00:04:41,829
Composiciones más complejas de dos isometrías, podemos verlo en esta otra página.

36
00:04:43,569 --> 00:04:45,910
Composición de dos traslaciones.

37
00:04:45,910 --> 00:04:50,629
Pues desplazamos la figura inicial

38
00:04:50,629 --> 00:04:56,149
Primero con respecto de un vector horizontal

39
00:04:56,149 --> 00:04:58,769
Y luego con respecto de un vector vertical

40
00:04:58,769 --> 00:05:06,370
La composición sería seguir el vector según la hipotenusa que forman ambos vectores

41
00:05:06,370 --> 00:05:12,389
Podemos ver también la animación en flash

42
00:05:12,389 --> 00:05:16,670
Composición de dos giros

43
00:05:16,670 --> 00:05:20,389
Pues pueden tener el mismo centro o distinto centro

44
00:05:20,389 --> 00:05:23,750
Si los dos giros tienen el mismo centro

45
00:05:23,750 --> 00:05:27,410
Simplemente la composición será un giro

46
00:05:27,410 --> 00:05:32,790
De centro, el común y el ángulo o amplitud

47
00:05:32,790 --> 00:05:36,649
La suma de los ángulos o amplitudes de ambos

48
00:05:36,649 --> 00:05:41,629
48 grados más 35 grados, 83

49
00:05:41,629 --> 00:05:47,290
composición con distinto centro

50
00:05:47,290 --> 00:05:50,089
si tenemos distintos centros

51
00:05:50,089 --> 00:06:00,939
la composición se forma sumando las amplitudes

52
00:06:00,939 --> 00:06:06,879
pero el nuevo centro será la intersección

53
00:06:06,879 --> 00:06:13,300
de las mediatrices que formen los segmentos de dos puntos homólogos

54
00:06:13,300 --> 00:06:15,240
de la figura inicial

55
00:06:15,240 --> 00:06:19,339
y la final

56
00:06:19,339 --> 00:06:22,439
la animación correspondiente

57
00:06:22,439 --> 00:06:26,310
en GeoGebra

58
00:06:26,310 --> 00:06:29,509
un primer giro un segundo giro

59
00:06:29,509 --> 00:06:32,310
y la composición

60
00:06:32,310 --> 00:06:34,129
de ambos giros

61
00:06:34,129 --> 00:06:35,310
con centro

62
00:06:35,310 --> 00:06:36,990
o dos prima

63
00:06:36,990 --> 00:06:37,949
y el ángulo

64
00:06:37,949 --> 00:06:39,689
la suma

65
00:06:39,689 --> 00:06:41,430
de los dos ángulos

66
00:06:41,430 --> 00:06:42,649
que en este caso

67
00:06:42,649 --> 00:06:45,589
facilitar la visualización, he puesto los 90

68
00:06:45,589 --> 00:06:50,649
composición de dos simetrías, si los ejes son paralelos

69
00:06:50,649 --> 00:06:54,389
pues es, equivale a una

70
00:06:54,389 --> 00:06:58,870
traslación con respecto

71
00:06:58,870 --> 00:07:02,850
de un vector que es el doble

72
00:07:02,850 --> 00:07:05,810
del vector que separa ambos ejes

73
00:07:05,810 --> 00:07:21,079
una primera reflexión, segundo eje

74
00:07:21,079 --> 00:07:30,720
Una segunda reflexión equivale a trasladar la figura dos veces la separación entre los ejes

75
00:07:30,720 --> 00:07:34,000
Si los ejes no son paralelos, que son secantes

76
00:07:34,000 --> 00:07:42,620
Entonces la composición que se muestra en la figura

77
00:07:42,620 --> 00:07:52,300
Una primera reflexión y una segunda reflexión

78
00:07:52,300 --> 00:08:04,240
Equivale a un giro de centro el corte de los ejes y amplitud el doble del ángulo que forman los dos ejes entre sí

79
00:08:04,240 --> 00:08:21,689
Vemos la animación completa en GeoGebra y en Flax

80
00:08:21,689 --> 00:08:26,230
Composición de una traslación y un giro

81
00:08:26,230 --> 00:08:35,370
La composición de una traslación y un giro es otro giro con la misma amplitud

82
00:08:35,370 --> 00:08:46,169
Pero el centro de giro es la intersección de las mediatrices de los segmentos que unen dos puntos homólogos de la figura inicial y la figura final

83
00:08:46,169 --> 00:08:49,029
Lo veremos mejor en la animación

84
00:08:49,029 --> 00:08:55,250
Hacemos una traslación y giramos un cierto ángulo

85
00:08:55,250 --> 00:08:59,850
La composición sería equivalente a un giro

86
00:08:59,850 --> 00:09:02,889
Como puede verse en la figura

87
00:09:02,889 --> 00:09:14,440
Lo vemos animado en flash

88
00:09:14,440 --> 00:09:17,559
Trasladamos el motivo principal

89
00:09:17,559 --> 00:09:24,179
Y lo giramos con respecto de un centro de giro

90
00:09:24,179 --> 00:09:30,419
Equivale a un giro con centro las mediatrices de los puntos homólogos

91
00:09:30,419 --> 00:09:34,480
Composición de una simetría y una traslación

92
00:09:34,480 --> 00:09:38,200
Ya lo hemos visto, es un deslizamiento

93
00:09:38,200 --> 00:09:47,919
Primero hacemos la reflexión y luego trasladamos con respecto del vector V

94
00:09:51,649 --> 00:09:57,809
Composición de un giro y una reflexión con respecto de un eje de simetría

95
00:09:57,809 --> 00:10:11,080
equivale a una asimetría por un eje

96
00:10:11,080 --> 00:10:13,659
un nuevo eje

97
00:10:13,659 --> 00:10:17,000
cuyo centro pasa por el eje de giro

98
00:10:17,000 --> 00:10:22,259
y girado la mitad del ángulo de giro

99
00:10:22,259 --> 00:10:28,049
como la animación en flash

100
00:10:28,049 --> 00:10:31,529
composición de un giro y una asimetría

101
00:10:31,529 --> 00:10:34,929
pero el eje ahora no pasa por el centro de giro

102
00:10:34,929 --> 00:10:46,710
es la composición equivale a una simetría con deslizamiento

103
00:10:46,710 --> 00:10:51,419
veamos el dibujo

104
00:10:51,419 --> 00:10:55,179
primero el giro y luego la simetría

105
00:10:55,179 --> 00:11:03,019
equivale a una simetría y un deslizamiento

106
00:11:03,019 --> 00:11:11,600
y aquí quiero terminar esta exposición

107
00:11:11,600 --> 00:11:27,299
gráfica sobre la introducción a las isometrías. Para aprender más podemos visitar esta página