1 00:00:01,389 --> 00:00:12,289 Bien, vamos a comenzar la resolución del problema del examen de semejanza de trigonometría que realizasteis el 21 de enero de 2022 2 00:00:12,289 --> 00:00:17,149 y cuyo primer ejercicio dice lo siguiente. 3 00:00:17,670 --> 00:00:24,589 Calcula las longitudes desconocidas x e y, indica cómo se llama al principio, teorema o fundamento que aplicas en un cero. 4 00:00:25,350 --> 00:00:28,510 Nota, los segmentos de longitudes x y 5 son paralelos. 5 00:00:28,510 --> 00:00:36,829 Bien, en primer lugar vamos a analizar la figura que nosotros tenemos aquí 6 00:00:36,829 --> 00:00:43,850 Tenemos dos triángulos encajados, por lo tanto se encuentran en la posición de tales 7 00:00:43,850 --> 00:00:52,210 Cuando dos triángulos están en la posición de tales, cuando tienen un ángulo en común 8 00:00:52,210 --> 00:00:58,109 Este ángulo, vamos a suponer, y los lados opuestos 9 00:00:58,109 --> 00:01:01,549 Esto ha quedado un poco mal 10 00:01:01,549 --> 00:01:03,030 Y los lados opuestos 11 00:01:03,030 --> 00:01:05,670 Al ángulo que comparten 12 00:01:05,670 --> 00:01:07,810 Son paralelos 13 00:01:07,810 --> 00:01:10,709 Esos son triángulos en posición de tales 14 00:01:10,709 --> 00:01:12,989 Y esos triángulos son semejantes 15 00:01:12,989 --> 00:01:13,390 ¿Vale? 16 00:01:13,670 --> 00:01:16,230 Por lo tanto nosotros aquí tenemos dos triángulos 17 00:01:16,230 --> 00:01:17,930 En posición de tales 18 00:01:17,930 --> 00:01:18,769 ¿Vale? 19 00:01:19,209 --> 00:01:21,010 Porque comparten este ángulo de aquí 20 00:01:21,010 --> 00:01:23,349 Y estos dos lados son paralelos 21 00:01:23,349 --> 00:01:24,290 Porque nos lo han dicho 22 00:01:24,290 --> 00:01:26,250 Los paralelos se representan así 23 00:01:26,250 --> 00:01:26,709 ¿Vale? 24 00:01:26,709 --> 00:01:29,189 lo dice el enunciado, que son paralelas 25 00:01:29,189 --> 00:01:31,049 bien 26 00:01:31,049 --> 00:01:33,090 por otro lado 27 00:01:33,090 --> 00:01:35,469 nosotros aquí podríamos aplicar 28 00:01:35,469 --> 00:01:36,510 el teorema de Tales 29 00:01:36,510 --> 00:01:39,790 que dice que si dos o más rectas 30 00:01:39,790 --> 00:01:41,329 paralelas, en este caso 31 00:01:41,329 --> 00:01:43,230 las rectas paralelas serían las rectas 32 00:01:43,230 --> 00:01:44,870 del segmento de 5 33 00:01:44,870 --> 00:01:46,370 y del segmento X 34 00:01:46,370 --> 00:01:49,209 dice que si dos o más rectas 35 00:01:49,209 --> 00:01:51,030 paralelas son cortadas 36 00:01:51,030 --> 00:01:53,730 por dos rectas transversales 37 00:01:53,730 --> 00:01:55,250 que serían 38 00:01:55,250 --> 00:02:01,829 estos lados, ¿vale? Los segmentos que se forman en cada uno de los lados son proporcionales 39 00:02:01,829 --> 00:02:09,490 a los que se forman en el otro lado, ¿vale? Los segmentos que se forman en una recta son 40 00:02:09,490 --> 00:02:14,629 proporcionales a los que se forman en la otra, es decir, este segmento de aquí que mide 41 00:02:14,629 --> 00:02:20,990 1 sería proporcional a este otro que mide 1,5 y este otro segmento de aquí que mide 42 00:02:20,990 --> 00:02:24,250 4,5 menos 1, 3,5 43 00:02:24,250 --> 00:02:28,310 sería el proporcional a este segmento de aquí, que mide ahí 44 00:02:28,310 --> 00:02:33,189 ¿vale? entonces, en este ejercicio hay que tener 45 00:02:33,189 --> 00:02:35,370 dos cosas muy claras 46 00:02:35,370 --> 00:02:41,610 hay que tener en cuenta, si vamos a relacionar lados de un triángulo 47 00:02:41,610 --> 00:02:44,610 con lados de un triángulo, ¿vale? por ejemplo, 3,5 48 00:02:44,610 --> 00:02:47,949 con Y, son lados de un triángulo 49 00:02:47,949 --> 00:03:00,969 o 4,5 con i más 1,5, o si vamos a relacionar partes de esta recta que no son lados de un triángulo, 50 00:03:01,370 --> 00:03:08,030 con partes de un segmento o partes de un lado que no son lados de un triángulo. 51 00:03:08,169 --> 00:03:16,310 Es muy importante. Si yo relaciono 1 con 1,5, estoy relacionando o estoy empleando el teorema de Tales. 52 00:03:16,310 --> 00:03:21,349 No estoy empleando semejanza de triángulos, estoy empleando el teorema de Tales 53 00:03:21,349 --> 00:03:26,669 Y por otro lado se relaciona 3,5 con I 54 00:03:26,669 --> 00:03:34,389 Estoy relacionando lados por semejanza de triángulos y también por teorema de Tales 55 00:03:34,389 --> 00:03:41,349 Estos dos lados de aquí, 3,5 e I, se relacionan tanto por el teorema de Tales como por triángulos semejantes 56 00:03:41,349 --> 00:03:46,889 Pero este lado de aquí, 1 y 1,5, solo se relacionan por teoría de metales, ¿vale? 57 00:03:47,969 --> 00:03:49,750 Entonces, vamos a ir a la parte más fácil. 58 00:03:49,870 --> 00:03:52,129 Vamos a calcular y, ¿vale? 59 00:03:52,389 --> 00:03:53,629 En primer lugar, y. 60 00:03:53,889 --> 00:03:55,789 La x es un poco más difícil, ¿vale? 61 00:03:56,750 --> 00:04:00,770 Entonces, bueno, voy a dejar eso ahí. 62 00:04:00,889 --> 00:04:01,409 Lo voy a dejar. 63 00:04:02,490 --> 00:04:03,810 Que no estorba, ¿vale? 64 00:04:04,189 --> 00:04:05,569 Entonces, vamos a por la y. 65 00:04:06,949 --> 00:04:10,250 Aquí podemos relacionar que 3,5 es a y. 66 00:04:11,349 --> 00:04:19,009 No, tengo dos triángulos. Tengo este triángulo pequeño, los voy a separar para que se vea más fácilmente. 67 00:04:21,509 --> 00:04:29,889 Este sería el triángulo Y, formado por Y, por el lado de 3,5 y por el lado de X. 68 00:04:30,449 --> 00:04:39,699 Y por otro lado tendría el triángulo, no sé si lo estoy dibujando muy bien, más bien no, 69 00:04:39,699 --> 00:04:55,300 Pero tampoco quiero dedicar mucho tiempo. Esto sería I más 1,5 y esto sería 4,5. ¿Vale? Tengo ahí dos segmentos semejantes. ¿No? Bien. 70 00:04:55,300 --> 00:05:04,720 Pues entonces yo puedo relacionar I con I más 1,5 y 3,5 con 4,5, por ejemplo, ¿vale? 71 00:05:05,199 --> 00:05:22,319 Vale, pues lo escribo, 3,5 es este lado, su homólogo es 4,5, 3,5 es a 4,5, como este lado de aquí, I es a I más 1,5. 72 00:05:22,319 --> 00:05:29,939 Eso sería una relación posible, ¿vale? Pero hay más. Esto sería por semejanza de triángulos. 73 00:05:30,879 --> 00:05:39,730 Por semejanza de triángulos. 74 00:05:42,170 --> 00:05:46,509 Vamos a ver si podríamos hacerlo más sencillo por el teorema de Tales. 75 00:05:47,110 --> 00:05:54,430 Por el teorema de Tales, ¿yo qué podría decir? Que 3,5 es ahí, como 1 es a 1,5, ¿vale? 76 00:05:54,430 --> 00:06:08,290 Porque 3,5 es un segmento definido en las dos rectas, o sea, lo que hemos dicho, la recta del segmento X y la recta del segmento 5 son paralelas. 77 00:06:08,730 --> 00:06:18,350 Y si dos rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos que se definen en una de las rectas son proporcionales al otro, ¿vale? 78 00:06:18,350 --> 00:06:47,720 Entonces, por tales, por el teorema de tales, ¿cómo sería esto? Sería 3,5 es ahí, como 1 es a 1,5, ¿vale? 3,5 es ahí, como 1 es a 1,5, ¿vale? 79 00:06:47,720 --> 00:06:59,639 Siempre estoy poniendo en los numeradores los segmentos de la recta superior y en el denominador, en los denominadores, la recta y los segmentos de la recta esta, que es un poco más vertical. 80 00:07:00,199 --> 00:07:12,819 Por lo tanto, parece que es más sencillo despejar y de esta proporción más que de esta, porque aquí vamos a tener que trabajar un poco más, pero si queréis vemos que nos va a salir lo mismo. 81 00:07:12,819 --> 00:07:34,579 Aquí haciendo producto de medios igual a producto de extremos nos queda que 3,5 por 1,5 es igual a i por 1, es decir, i por lo tanto i es igual a 5,25 y así ya lo tendríamos resuelto, ¿vale? 82 00:07:34,579 --> 00:07:50,360 Vamos a ver que de esta proporción, recordad que esto es una igualdad entre razones, porque esto es una razón y esto es otra razón, vamos a obtener lo mismo. 83 00:07:50,360 --> 00:08:03,860 Entonces, hacemos producto de medios igual a producto de extremos. 3,5 que multiplica a i más 1,5 es igual a 4,5i. 84 00:08:03,860 --> 00:08:20,620 Y por lo que es lo mismo, 3,5Y más 3,5 por 1,5 es 5,25. 5,25 es igual a 4,5Y. 85 00:08:20,620 --> 00:08:49,620 ¿Vale? Y si de aquí pasamos el 3,5i restando hacia la derecha, nos queda 5,25 es igual a, ¿cuánto es 4,5 menos 3,5? Nos queda i. ¿Vale? Es decir, el resultado es el mismo, tanto si razonamos en estos dos por semejanza de triángulos, como si razonamos por el teorema de Tales con estos dos lados. 86 00:08:49,620 --> 00:09:11,340 ¿Vale? Luego el apartado, o sea, la X, la Y ya la tendríamos. Ahora nos faltaría encontrar la X. ¿Qué podemos hacer para encontrar la X? Para encontrar la X tenemos que recurrir, ya la única solución que tenemos es la semejanza de triángulos. ¿Vale? Aplicar semejanza de triángulos. 87 00:09:11,340 --> 00:09:29,360 Pues bien, como conocemos Y, tampoco nos haría falta, porque tenemos una pareja de lados homólogos, que los conocemos los dos lados, que es 3,5 y 4,5, y X y 5, los conocemos. 88 00:09:29,360 --> 00:09:44,419 Entonces vamos a establecer una semejanza entre estos triángulos, pero haciendo intervenir a la x ahora, ¿vale? Pues decimos, igual que antes, 3,5 es a 4,5 como x es a 5. 89 00:09:44,419 --> 00:10:02,539 Por lo tanto, x va a valer, el 5 que está dividiendo pasa multiplicando, es 3,5 por 5, dividido entre 4,5, y eso es igual a 3,8 periodo. 90 00:10:02,539 --> 00:10:05,600 3,8 periodo, ¿vale? 91 00:10:06,240 --> 00:10:09,259 Luego aquí tendríamos las dos soluciones, ¿vale? 92 00:10:09,259 --> 00:10:32,539 Las voy a poner aquí, x es igual a 3,8 periodo y y es igual a 5,25 y con esto habríamos terminado, ¿vale? Ese sería el ejercicio número 1. Vamos ahora a por el ejercicio número 2, ¿vale? 93 00:10:32,539 --> 00:10:49,279 Bien, pues ya tenemos aquí el enunciado del segundo problema, que dice, enuncia los tres criterios de semejanza de triángulos, di si los siguientes triángulos son o no semejantes y qué criterio justifica cada una de tus dos respuestas. 94 00:10:49,279 --> 00:11:03,919 Bien, he copiado aquí en azul los criterios de semejanza de triángulos. El primero es que los dos triángulos tengan dos ángulos iguales. El segundo criterio dice que tengan tres lados proporcionales. 95 00:11:03,919 --> 00:11:11,559 Y el tercer criterio dice que tengan un ángulo igual y los lados que forman dicho ángulo son proporcionales, ¿vale? 96 00:11:12,299 --> 00:11:20,279 Vale, pues comenzamos con el apartado A, que nos da dos triángulos, uno más pequeño que otro, 97 00:11:21,620 --> 00:11:27,419 y aquí es muy importante no fijarse o no dejarse engañar por la forma que tienen las figuras, 98 00:11:27,419 --> 00:11:33,600 porque puede ser que las figuras estén deformadas, no estén a escala, los ángulos no estén proporcionales, 99 00:11:33,919 --> 00:11:39,000 Lo que mandan son las medidas, ¿vale? Aquí nos fiamos solamente de las medidas. 100 00:11:40,279 --> 00:11:45,820 Del triángulo de la izquierda conocemos el ángulo de 25 grados y los dos lados. 101 00:11:45,820 --> 00:11:50,440 Por lo tanto, parece que el criterio candidato va a ser el número 3. 102 00:11:51,860 --> 00:11:57,600 Pero en el triángulo de la derecha tenemos dos ángulos y ninguno es de 25 grados. 103 00:11:57,600 --> 00:12:04,559 Pero podemos calcular cuánto meide el triángulo, el ángulo de la izquierda. 104 00:12:04,759 --> 00:12:05,799 ¿Cuánto va a medir ese ángulo? 105 00:12:07,100 --> 00:12:11,279 Pues, si lo llamamos a ese ángulo alfa, ¿no? 106 00:12:11,600 --> 00:12:24,039 Como los tres ángulos de un triángulo suman 180 grados, 105 más 50 grados más alfa es igual a qué? 107 00:12:24,200 --> 00:12:25,340 180 grados, ¿no? 108 00:12:25,340 --> 00:12:49,460 Bien, por lo tanto, alfa es igual a ciento ochenta grados menos ciento cinco menos cincuenta, ¿vale? Menos cincuenta. ¿Y eso cuánto es? Eso es ciento ochenta menos ciento cincuenta y cinco, que es igual a veinticinco grados. 109 00:12:49,460 --> 00:13:10,440 Esto vale 25 grados, ¿vale? Por lo tanto, ya sabemos que los dos triángulos tienen un ángulo igual. Ahora tenemos que ver si este lado es proporcional a uno de estos dos lados y este otro lado es proporcional al otro de los dos lados, ¿vale? 110 00:13:10,440 --> 00:13:32,200 Entonces, aquí siempre hay que tener en cuenta cuál es el lado mayor. 4 es mayor que raíz de 3, y 4 raíz de 3 es mayor que 3, es decir, tengo que ver si 4 está relacionado con 4 raíz de 3 y raíz de 3 con 3. 111 00:13:32,200 --> 00:13:50,580 Vamos a ver si es verdad. Yo digo raíz de 3 es a 3, si fueran proporcionales, lo pongo en interrogación, porque es lo que tengo que comprobar, si 4 es a 4 raíz de 3. 112 00:13:50,580 --> 00:14:08,220 Haciendo producto de medios igual a producto de extremos, tendría que 4 raíz de 3 por raíz de 3 tendría que ser igual a 4 por 3, que es este otro producto cruzado. 113 00:14:08,220 --> 00:14:37,080 Y vemos que raíz de 3 por raíz de 3 es 3, luego es cierto, es cierto y los dos triángulos de A son semejantes por el tercer criterio, ¿vale? 114 00:14:46,120 --> 00:14:51,620 Bien, tienen un ángulo igual y los lados son proporcionales. 115 00:14:51,620 --> 00:15:19,059 Es importante que siempre veáis quién es el mayor de los dos lados, porque si hubiéramos hecho, dice, no, si yo relaciono el mayor del de la izquierda, es decir, si yo digo 4 es a 3 como raíz de 3 es a 4 raíz de 3, esto no es cierto. 116 00:15:19,059 --> 00:15:37,899 Siempre tengo que relacionar el mayor con el mayor y el menor con el menor, ¿vale? Bien. Vamos con el caso B. En la pareja de triángulos del apartado B, ¿qué es lo que conocemos? Los tres lados de cada uno de los triángulos. 117 00:15:37,899 --> 00:15:57,539 Por lo tanto, está claro que el criterio que tenemos que probar es si los tres lados son proporcionales, ¿vale? Este era el apartado A y ahora vamos al apartado B, ¿no? Entonces, 4, 5, 6, yo tengo aquí los lados 4, 5, 6, ¿vale? 118 00:15:57,539 --> 00:16:16,139 Y por otro lado tengo 5, 6, 7. Los tengo que poner en orden para guardar la comparación, para que no me equivoque. Y yo compare y mire si 4 está en proporción, en la razón 4, 5 es igual que la razón 5, 6 y es igual a la razón 5, 7. 119 00:16:16,139 --> 00:16:23,259 Lo he ordenado para no equivocarme, para comparar siempre el menor con el menor, el mediano con el mediano, el mayor con el mayor. 120 00:16:23,440 --> 00:16:32,840 Aquí es muy fácil porque han guardado la posición relativa y se ve muy bien que el 4 va con el 4, o sea, que el 4 va con el 5, pero no siempre es así, ¿vale? 121 00:16:33,259 --> 00:16:37,759 El 5 con el 6 y el 6 con el 7. Me los podían haber girado y yo me podría confundir. 122 00:16:38,240 --> 00:16:41,960 Entonces, para eso, como digo, siempre hay que ordenar de menor a mayor, ¿vale? 123 00:16:41,960 --> 00:16:53,360 Entonces, ahora vamos a ver si 4 partido por 5 es igual a 5 partido por 6. 124 00:16:53,559 --> 00:16:55,059 Hacemos producto de medios. 125 00:16:56,279 --> 00:16:58,000 Vemos si es igual a producto de extremos. 126 00:16:58,100 --> 00:17:05,720 4 por 6 es igual a 5 por 5. 127 00:17:05,720 --> 00:17:09,339 No, porque esto es 4 por 5, 20 128 00:17:09,339 --> 00:17:12,279 Y esto es 5 por 5, 25 129 00:17:12,279 --> 00:17:21,700 Con que una razón sea distinta a otra razón, ya no son semejantes 130 00:17:21,700 --> 00:17:23,880 No hace falta que comprobemos más 131 00:17:23,880 --> 00:17:26,099 No son semejantes 132 00:17:26,099 --> 00:17:32,759 Pero, no obstante, vamos a comprobar si las otras razones son iguales o no 133 00:17:32,759 --> 00:17:33,900 5 sextos 134 00:17:33,900 --> 00:17:53,059 Vamos a ver si 5 sextos es igual a 6 séptimos, ¿vale? 5 sextos es igual a 6 séptimos, hacemos producto de medios y vemos si es igual a producto de extremos. 135 00:17:53,059 --> 00:18:04,059 5 por 7, 35, es distinto de 6 por 6, que es 36, lo que ya sabíamos. 136 00:18:04,700 --> 00:18:07,819 Bueno, esta proporción podría haber salido igual, ¿vale? 137 00:18:08,140 --> 00:18:10,299 Pero eso no cambiaría las cosas. 138 00:18:10,500 --> 00:18:21,400 Aunque esta proporción hubiera salido igual, como la de la izquierda, la de 4, 5, comparada con 5, 6, no es igual, no son semejantes, ¿vale? 139 00:18:25,200 --> 00:18:34,559 Basta con que una proporción no se cumpla, con una igualdad no se cumpla, para que no haya proporcionalidad. 140 00:18:34,839 --> 00:18:36,559 Tienen que ser todas iguales, ¿vale? 141 00:18:37,160 --> 00:18:40,160 Bien, vamos con el tercer problema. 142 00:18:41,619 --> 00:18:43,559 Paro la grabación y continúo. 143 00:18:45,220 --> 00:18:53,859 Bien, el tercer problema, no, el cuarto problema, no, es el cuarto porque el tercer lo puse al final porque tenía mucho enunciado. 144 00:18:53,859 --> 00:18:56,259 Voy a hacer el cuarto antes que el tercero. 145 00:18:56,259 --> 00:19:01,880 Dice, los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 centímetros y 71 centímetros. 146 00:19:02,819 --> 00:19:09,980 Hallan los dos ángulos agudos expresando el resultado en grados sexagesimales, en forma compleja e incompleja. 147 00:19:11,039 --> 00:19:17,940 Bien, vamos a comenzar dibujando el triángulo, que ha habido algunos de vosotros que se ha liado. 148 00:19:17,940 --> 00:19:34,940 Los catetos son los lados que están tocando al ángulo recto y la hipotenusa es el lado que está opuesto al ángulo recto. 149 00:19:35,920 --> 00:19:46,259 He dibujado este un poco más largo que este porque este mide 71 centímetros y este mide 48 centímetros. 150 00:19:46,259 --> 00:20:02,619 ¿Vale? Ya tenemos planteado el triángulo rectángulo que nos da. Vamos a leerlo otra vez por si acaso lo hubiéramos hecho mal. Dice, los dos catetos, los catetos son estos, los que tocan el ángulo recto, y esta es la hipotenusa, que no toca al ángulo recto, está opuesto. 151 00:20:02,619 --> 00:20:08,599 Dice, los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 centímetros y 71 centímetros 152 00:20:08,599 --> 00:20:11,079 Hayan los dos ángulos agudos 153 00:20:11,079 --> 00:20:13,960 ¿Quiénes son los dos ángulos agudos? 154 00:20:14,599 --> 00:20:17,019 Pues los dos ángulos que no son el ángulo recto, ¿vale? 155 00:20:17,140 --> 00:20:18,700 A este lo vamos a llamar alfa 156 00:20:18,700 --> 00:20:22,700 Y a este de aquí lo vamos a llamar beta, ¿vale? 157 00:20:24,039 --> 00:20:28,059 O sea, tenemos que hallar alfa-beta expresando el resultado en grados sexagesimales 158 00:20:28,059 --> 00:20:31,160 En forma compleja e incompleja 159 00:20:31,160 --> 00:20:38,960 La forma compleja es la de grados minutos y segundos y la incompleja es la que no tiene grados minutos y segundos, ¿vale? 160 00:20:39,220 --> 00:20:50,890 Entonces, ¿qué es lo que se nos ocurre hacer aquí? ¿Qué se nos ocurre para hallar los ángulos? 161 00:20:51,769 --> 00:21:00,710 Pues calcular alguna razón trigonométrica y después utilizar la función inversa de la calculadora, ¿no? 162 00:21:00,710 --> 00:21:13,309 Vale, entonces, si nos centramos en el ángulo alfa, ¿qué razón trigonométrica puedo yo conocer haciendo una división directa sabiendo que conozco estos dos catetos? 163 00:21:13,490 --> 00:21:16,910 El cateto opuesto y el cateto adyacente a alfa. 164 00:21:18,490 --> 00:21:22,829 Parece evidente que la razón trigonométrica que tenemos que utilizar es la tangente, ¿no? 165 00:21:22,829 --> 00:21:38,609 La tangente de alfa es igual, cateto opuesto, cateto opuesto es el que no toca al ángulo, cateto opuesto, 48 centímetros partido por cateto adyacente, 71 centímetros. 166 00:21:38,750 --> 00:21:46,289 Lo pongo con unidades para que veáis que centímetros con centímetros se me va y por lo tanto la tangente es adimensional. 167 00:21:46,289 --> 00:21:58,089 Todas las razones trigonométricas deben ser adimensionales. Por eso, si esto lo tenéis en metros y esto en centímetros, tenéis que hacer una conversión de unidades para dejarlo todo en la misma unidad. 168 00:21:58,309 --> 00:22:08,029 Y así que se os vayan las unidades y os quede adimensional. Por lo tanto, la tangente vale, si hacemos eso con la calculadora, vale 0, 67, 60. 169 00:22:08,029 --> 00:22:28,569 67, 60. ¿Cómo se calcula a partir de la razón trigonométrica el ángulo? Pues alfa es igual al arco cuya tangente vale 0,6760. 170 00:22:28,569 --> 00:22:40,829 Es decir, alfa es el arco, o el ángulo, arco y ángulo significa lo mismo, el arco cuya tangente vale 0,6760. 171 00:22:41,130 --> 00:22:46,529 Voy a copiar una imagen de otro problema y ahora vengo, un segundo. 172 00:22:49,619 --> 00:22:57,180 Vale, ya estoy aquí de nuevo, he ido a copiar la imagen de la calculadora para que veáis las teclas que tenemos que apretar. 173 00:22:57,180 --> 00:23:24,829 ¿Vale? Entonces, yo una vez que haya hecho la tangente, ¿no? Es decir, yo aquí hubiera hecho, hubiera apretado la tecla de tangente, voy a seleccionar esto, F6, y aquí voy a seleccionar el color amarillo, porque creo que se ve mejor. 174 00:23:24,829 --> 00:23:47,099 Hubiera dicho tangente, lo podemos hacer por ejemplo con paréntesis, tangente de, hubiera dicho 48 dividido entre 71, cierro paréntesis y le doy al igual. 175 00:23:47,099 --> 00:23:57,099 me hubiera salido 0 6 7 6 0 vale bien y una vez que tengo eso que ya tengo metido aquí me hubiera 176 00:23:57,099 --> 00:24:12,619 dicho 0 6 7 6 0 vale en ese caso lo siguiente que tengo que hacer es dar aquí a la tecla shift 177 00:24:12,619 --> 00:24:16,339 que casi todas las calculadoras lo tenéis de una manera u otra 178 00:24:16,339 --> 00:24:18,619 shift, tan 179 00:24:18,619 --> 00:24:21,619 shift, tan 180 00:24:21,619 --> 00:24:23,359 y tengo dos posibilidades 181 00:24:23,359 --> 00:24:27,039 o bien tecleo 06760 182 00:24:27,039 --> 00:24:30,460 o bien utilizo la tecla ans 183 00:24:30,460 --> 00:24:31,140 ¿vale? 184 00:24:31,559 --> 00:24:34,160 porque la tecla ans lo que me hace es 185 00:24:34,160 --> 00:24:36,720 recordarme, ponerme 186 00:24:36,720 --> 00:24:40,359 utilizar el último resultado que a mí me ha salido 187 00:24:40,359 --> 00:25:00,859 Y como mi último resultado era 0,6760, él me va a hacer el arco tangente de 0,6760, ¿vale? Pero si os liáis lo podéis hacer introduciendo el valor numérico que habéis utilizado ahí, ¿vale? 188 00:25:00,859 --> 00:25:23,539 Lo voy a escribir por si acaso os liáis. Sería hacer tecla Shift, Shift, tecla Tan, de tangente, es decir, eso sería el arco tangente, Shift, Tan, y podéis hacer 0,6760 y le dais al igual. 189 00:25:23,539 --> 00:25:43,019 Y en ese caso os diría que alfa es igual a 34,06,09 grados, siempre que tengáis la calculadora en modo D, ¿vale? 190 00:25:43,319 --> 00:25:47,779 Es esta D aquí pequeñita que ya os expliqué cómo se cambiaba. 191 00:25:47,779 --> 00:26:03,599 La D son grados sexagesimales. Si lo tuvierais en R, os lo daría en radianes. Este resultado sería en radianes, pero como lo tengo en D, mi resultado son grados sexagesimales y por eso pongo el circuito ahí arriba. 192 00:26:03,599 --> 00:26:27,039 ¿Vale? También podríais haber hecho Shift-Tan, Shift-Tan y haber dado a la tecla ANDS, siempre y cuando que vosotros tuvierais en pantalla el último resultado, el resultado anterior hubiera sido el 0,6760. 193 00:26:27,039 --> 00:26:30,859 pero comprobadlo y veréis que os tiene que dar lo mismo, ¿vale? 194 00:26:31,859 --> 00:26:40,299 Esta es la forma incompleja, y si la queremos pasar a compleja, con grados, minutos y segundos, 195 00:26:40,900 --> 00:26:44,839 tendríamos que pulsar esta tecla de aquí, ¿vale? 196 00:26:44,839 --> 00:27:04,160 Que, que, a ver, que no lo puedo coger, si lo vemos ampliado, dice esto, que es el símbolo de grados, minutos y segundos, ¿vale? Bien, pues ya tenemos el ángulo alfa. 197 00:27:04,160 --> 00:27:25,200 ¿Cómo calculamos el ángulo beta? Pues tenemos dos posibilidades, o repetir el mismo procedimiento de aquí, definiendo la tangente de beta, ¿vale? Un segundo, podemos decir que la tangente de beta es igual a cateto opuesto, sería 71 partido por 48. 198 00:27:25,200 --> 00:27:39,039 No he puesto lo de centímetros, pero bueno, ya no es necesario, porque ya hemos visto que está en centímetros, ¿vale? Y beta sería, ¿no?, el arco cuya tangente vale, pues, lo que sea. 199 00:27:39,039 --> 00:27:58,779 Pero hay una manera más fácil, ¿vale? ¿Cuál es? Pues nosotros sabemos que 180 grados es lo que suman los tres ángulos de un triángulo, ¿vale? Uno de los ángulos es recto, por lo tanto pongo aquí 90 grados más alfa más beta. 200 00:27:58,779 --> 00:28:24,140 Yo ya conozco alfa, por lo tanto, yo lo que tengo que hacer es despejar beta. Vale, pues beta va a ser igual a 180 menos 90 menos alfa. Es decir, 180 menos 90 es 90 menos alfa, que vale 34,0609 grados. 201 00:28:24,140 --> 00:28:37,059 Perdón, aquí se me ha olvidado expresar alfa en forma compleja, ¿vale? Que eso, como hemos dicho, se hacía apretando la tecla de grados, minutos y segundos, ¿vale? 202 00:28:37,059 --> 00:28:53,980 Es decir, alfa es igual, si hiciéramos eso, a 34 grados, 34 grados, 3 minutos, 3 minutos, 39 segundos. 203 00:28:54,380 --> 00:28:59,079 Luego hay un apartado que ya lo tendríamos, que es alfa, ¿vale? 204 00:28:59,079 --> 00:29:07,559 Entonces, para hallar beta en forma incompleja sería 90 menos 34, 06, 09. 205 00:29:07,559 --> 00:29:19,380 Y eso nos daría que beta es igual a 55, 93, 9, 0. 206 00:29:19,380 --> 00:29:33,039 Y si apretamos la tecla de grados, minutos y segundos, esta de aquí nos daría 55 grados, 56 minutos, 20 segundos, ¿vale? 207 00:29:33,980 --> 00:29:41,180 Bien, eso sería beta, en forma incompleja y compleja, ¿de acuerdo? 208 00:29:41,579 --> 00:29:43,519 Y con eso habríamos terminado. 209 00:29:43,519 --> 00:29:55,079 No obstante, voy a comentar que algunos de vosotros habéis calculado las razones trigonométricas recurriendo a la hipotenusa 210 00:29:55,079 --> 00:29:59,400 No haría falta, pero bueno, lo voy a comentar también 211 00:29:59,400 --> 00:30:02,940 Lo voy a empezar de nuevo, aquí abajo, ¿vale? 212 00:30:02,940 --> 00:30:12,089 Entonces voy a dibujar el triángulo de nuevo, que sería aproximadamente así, ¿vale? 213 00:30:12,089 --> 00:30:32,390 Aquí tengo 71 centímetros y 48 centímetros. Esto es alfa, esto es beta. ¿Cuánto mediría la hipotenusa? Muy fácil, la hipotenusa mediría la raíz cuadrada de 71 al cuadrado más 48 al cuadrado. 214 00:30:32,390 --> 00:30:40,869 Y eso es igual a 85,70 centímetros, ¿vale? 215 00:30:41,890 --> 00:30:47,210 Y lo que hacíais vosotros, algunos de vosotros, es razonar con el seno. 216 00:30:47,609 --> 00:30:50,130 Que veis que os complicáis porque tenéis un cálculo más. 217 00:30:51,190 --> 00:31:01,390 Y algunos habéis dicho, seno de alfa es igual a cateto opuesto, 48 centímetros partido por la hipotenusa, 218 00:31:01,390 --> 00:31:14,809 que es 85,70 centímetros, ¿vale? Centímetros con centímetros se van y me queda un seno adimensional, ¿vale? 219 00:31:14,809 --> 00:31:44,130 ¿Vale? Paro, que voy por la calculadora, que no la tengo. Vale, el resultado es, esta división es 0,56, 0,0, ¿vale? Vale, y una vez hecho eso, tendríamos que alfa es el arco seno, el arco cuyo seno vale 0,56, ¿vale? 220 00:31:44,809 --> 00:31:59,509 Entonces, si yo hago shift, seno, ans, eso me da 34, 0, 6, 2, 2, 0, 6, 2, 2. 221 00:31:59,990 --> 00:32:10,869 Que es un poquito diferente a lo que nos daba antes, pero es por la cuestión de los decimales que hemos perdido en la hipotenusa, porque no he sacado todos los decimales, ¿vale? 222 00:32:10,869 --> 00:32:14,349 pero sería válido 223 00:32:14,349 --> 00:32:16,049 también, si le damos a la tecla 224 00:32:16,049 --> 00:32:17,950 de grados, minutos y segundos 225 00:32:17,950 --> 00:32:20,130 nos tendríamos 226 00:32:20,130 --> 00:32:21,509 34 grados 227 00:32:21,509 --> 00:32:23,329 3 minutos 228 00:32:23,329 --> 00:32:25,710 44 229 00:32:25,710 --> 00:32:27,549 segundos, ¿vale? 230 00:32:27,849 --> 00:32:30,009 y entonces beta se puede hacer restando 231 00:32:30,009 --> 00:32:32,490 o también haciendo el seno de beta 232 00:32:32,490 --> 00:32:34,170 o el coseno de beta 233 00:32:34,170 --> 00:32:35,670 o lo que preferáis, ¿vale? 234 00:32:35,750 --> 00:32:37,210 pero yo creo que es mucho mejor 235 00:32:37,210 --> 00:32:39,549 no tener que sacar la 236 00:32:39,549 --> 00:32:47,950 No sacar la hipotenusa porque te puedes confundir haciendo cálculos de la raíz cuadrada, pierdes precisión y todo lo demás. 237 00:32:48,170 --> 00:32:55,539 Es mejor utilizar las razones que emplean los catetos que conocemos. 238 00:32:55,839 --> 00:32:57,579 Vamos a por el siguiente ejercicio. 239 00:33:00,910 --> 00:33:05,009 Vamos con el quinto ejercicio que dice lo siguiente. 240 00:33:05,009 --> 00:33:12,049 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 37 grados y el cateto opuesto 87 metros. 241 00:33:12,049 --> 00:33:14,349 Haya del otro cateto la hipotenusa. 242 00:33:15,670 --> 00:33:24,470 Vale, pues igual que en el ejercicio anterior, vamos a hacerlo primero un esquema, una representación del triángulo. 243 00:33:25,049 --> 00:33:26,750 Vale, me ha quedado ese un poco torcido. 244 00:33:28,009 --> 00:33:30,369 Vale, eso ya está mejor. 245 00:33:33,329 --> 00:33:34,410 Ese es el ángulo recto. 246 00:33:35,190 --> 00:33:38,109 Y aquí pondríamos el ángulo de 37 grados, por ejemplo. 247 00:33:38,109 --> 00:33:44,829 Entonces, el ángulo gudo mide 37 y el cateto opuesto 87 metros. 248 00:33:45,309 --> 00:33:49,809 Pues entonces, este es el cateto opuesto al ángulo de 37 grados. 249 00:33:49,990 --> 00:33:51,630 Estos son 87 metros. 250 00:33:52,509 --> 00:33:59,890 Me piden el otro cateto, que lo voy a llamar X, y la hipotenusa, que la voy a llamar Y. 251 00:34:00,829 --> 00:34:01,109 ¿Vale? 252 00:34:01,450 --> 00:34:02,950 ¿Cómo podríamos hacer esto? 253 00:34:05,329 --> 00:34:06,829 Aquí ha habido muchos... 254 00:34:06,829 --> 00:34:09,010 No, perdón, me estaba equivocando. 255 00:34:09,489 --> 00:34:22,489 Bien, ¿cómo se podría hacer esto? Nosotros conocemos el ángulo de 37 grados y conocemos el cateto opuesto y tenemos que hallar el cateto adyacente y la hipotenusa. 256 00:34:23,309 --> 00:34:31,409 Bueno, pues vamos a ver qué razón trigonométrica del ángulo de 37 grados me relaciono, por ejemplo, el cateto opuesto con el cateto adyacente. 257 00:34:31,409 --> 00:34:47,750 ¿Cuál es esa razón trigonométrica? La tangente, ¿no? Bien, entonces vamos a escribir tangente de 37 grados igual a qué? Igual a 87 metros partido por x, que x va a estar en metros, ¿vale? 258 00:34:47,750 --> 00:35:11,210 La x, si yo la despejo de aquí, x va a ser igual a, haciendo producto de medios igual a producto de extremos, lo voy a escribir bien, por si alguno tenéis dudas en esto, yo digo x por la tangente de 37 grados es igual a 87 metros, ¿vale? 259 00:35:11,210 --> 00:35:15,889 Es decir, producto de medios igual a producto de extremos, producto cruzado, ¿vale? 260 00:35:16,269 --> 00:35:18,250 Debajo de la tangente es como si hubiera un 1. 261 00:35:18,650 --> 00:35:28,210 Bien, pues entonces ahora yo despejo la x, x es igual a 87 metros partido por la tangente de 37. 262 00:35:28,750 --> 00:35:30,989 ¿Y esto qué unidad va a tener todo ello? 263 00:35:31,289 --> 00:35:33,469 Pues va a tener, la unidad van a ser metros. 264 00:35:33,690 --> 00:35:39,110 ¿Por qué? Porque la tangente es adimensional, todas las razones trigonométricas son adimensionales. 265 00:35:39,110 --> 00:35:55,650 Bien, entonces, x es igual a, haciendo ese cálculo, 115,45 metros, ¿vale? Eso ya sería una solución, ¿no? 266 00:35:57,110 --> 00:36:12,429 Para hacer esto en la calculadora, ¿qué es lo que tendríamos que hacer? Voy a copiarme la figura de la calculadora y la pego ahí. 267 00:36:12,949 --> 00:36:22,730 A ver, yo lo que haría sería, voy a coger el color amarillo para que se vea mejor, 268 00:36:25,559 --> 00:36:30,119 control F6, control F6, voy a coger el amarillo, 269 00:36:32,119 --> 00:36:40,179 vale, sí, entonces para hacer 87 dividido entre la tangente de 37 yo lo que haría sería, 270 00:36:40,179 --> 00:36:53,199 Primero, dar a la tecla tangente. Luego escribíamos 37 igual y ya tendríamos el resultado en pantalla de tangente de 37. 271 00:36:53,199 --> 00:36:57,760 Y para tener 1 partido por tangente de 37 hay dos maneras. 272 00:36:59,199 --> 00:37:14,400 Yo puedo hacer 87 dividido entre ans, que eso equivaldría a hacer 87 entre la tangente de 37, 273 00:37:14,539 --> 00:37:19,139 porque yo aquí tendría el último resultado, habría sido tangente de 37. 274 00:37:19,139 --> 00:37:39,219 Y ya lo tendría hecho. O si no, otra manera de hacerlo sería, yo hago tangente de 37, le doy a igual, y una vez que lo tengo, le doy a esta tecla de aquí, x elevado a menos 1. 275 00:37:39,219 --> 00:37:42,980 que eso directamente me hace 1 partido 276 00:37:42,980 --> 00:37:47,099 por x, es decir, 1 partido por 37 277 00:37:47,099 --> 00:37:51,440 y luego ya lo siguiente sería multiplicar por 87 y ya lo tendríamos 278 00:37:51,440 --> 00:37:55,119 ¿vale? o sea que hay dos maneras, hay varias maneras de hacerlo 279 00:37:55,119 --> 00:37:58,820 o también puedo hacer desde el principio 280 00:37:58,820 --> 00:38:02,440 otra manera de hacerlo, por ejemplo, es decir 281 00:38:02,440 --> 00:38:07,280 87 dividido y escribo 282 00:38:07,280 --> 00:38:16,380 la tangente, tangente de 37. De todas esas maneras se puede hacer, ¿vale? Bien, entonces 283 00:38:16,380 --> 00:38:23,460 vamos a ver cuál sería, ahora tenemos que calcular la I. ¿Cómo podemos calcular la 284 00:38:23,460 --> 00:38:32,539 I? Pues muy sencillo. Tenemos ya el cateto opuesto, el cateto adyacente y nos falta la 285 00:38:32,539 --> 00:38:37,900 hipotenusa? Pues podemos utilizar, y también podemos utilizar el teorema de Pitágoras, 286 00:38:38,019 --> 00:38:45,679 porque ya tengo la X, que es el cateto adyacente, y el cateto opuesto. Es decir, yo puedo decir 287 00:38:45,679 --> 00:38:54,079 que Y es la raíz cuadrada de X al cuadrado más 87 al cuadrado. De esta manera me saldría 288 00:38:54,079 --> 00:39:08,519 La hipotenusa. Pero también lo puedo hacer diciendo que el seno de 37 grados es igual al cateto opuesto, que es 87 metros partido por I. 289 00:39:09,659 --> 00:39:20,960 Y de aquí, despejando la I, haciendo producto de medios igual a producto extremos, seno de 37 grados por I es igual a 87 metros. 290 00:39:24,079 --> 00:39:43,360 O lo que es lo mismo que I es igual a 87 metros partido por el seno de 37 grados, y eso es igual a 144,56 metros, ¿vale? 291 00:39:44,599 --> 00:39:51,719 ¿Y por qué metros? Pues porque el numerador está expresado en metros y el seno es adimensional, ¿vale? 292 00:39:51,719 --> 00:40:14,929 Bien. Siguiente ejercicio. Vale. Ya estoy grabando de nuevo. Y el siguiente ejercicio dice, expresa los siguientes ángulos como ángulos comprendidos entre 0 y 360 grados. 293 00:40:15,449 --> 00:40:26,610 Comprueba con la calculadora que, en cada caso, el seno y el coseno del ángulo dado son iguales al seno y al coseno del ángulo comprendido entre 0 y 360 grados que obtienes. 294 00:40:26,610 --> 00:40:33,789 Para cada caso, dibuja una circunferencia agoniométrica y sitúa el ángulo aproximadamente y de dónde estarían su seno y su coseno. 295 00:40:33,789 --> 00:40:51,090 Bien, vamos a comenzar con el ángulo A, que es un ángulo de 1837 grados. 296 00:40:52,070 --> 00:41:01,070 Lógicamente este es un ángulo mayor que 360 grados, por lo tanto va a ser un número de vueltas completas más un ángulo que es el que nos están pidiendo. 297 00:41:01,070 --> 00:41:16,829 Por lo tanto, yo voy a dividir, voy a hacer la división entera, la división entera no es nada más y nada menos que dividir una cantidad entre otra y no sacar decimales, sino dejarlo como un cociente y un resto. 298 00:41:16,829 --> 00:41:42,969 Eso es la división entera. Entonces, si yo divido 1837 entre 360 grados, me cabe a 5, ¿vale? 5 por 0 es 0. Al 7, 7. No me llevo ninguna. 5 por 6, 30. Al 33, 3. Y me llevo 3. 5 por 3, 18. No, 5 por 3, 15. Y 3, 18. Al 18, 0. ¿Vale? Este sería el resto. 299 00:41:42,969 --> 00:41:55,969 Es decir, 1837 grados es igual a 360 grados por 5 más 37 grados. 300 00:41:56,849 --> 00:42:08,480 Por lo que es lo mismo, 5 vueltas completas más 37 grados. 301 00:42:08,480 --> 00:42:18,699 Bien, entonces mi ángulo, el ángulo que a mí me están pidiendo entre 0 y 360 grados es 37 grados, ¿vale? 302 00:42:19,800 --> 00:42:30,820 Y ahora me dicen que para cada caso dibuje una circunferencia goniométrica y sitúe el ángulo en 1837 y donde estarían su seno y su coseno. 303 00:42:30,820 --> 00:42:40,980 Bien, pues para ello me he dibujado aquí una circunferencia goniométrica y vamos a dibujar sobre ella el ángulo que nos están pidiendo. 304 00:42:41,579 --> 00:42:46,480 Voy a marcar qué ángulo tiene cada cuadrante, ¿vale? 305 00:42:46,559 --> 00:42:54,900 Ese sería aquí, como sabéis, la circunferencia goniométrica empieza desde este eje abriéndose en sentido antihorario. 306 00:42:54,900 --> 00:43:09,300 Eso sería 0 grados, eso sería 90 grados, eso serían 180 grados, esto serían 270 grados y esto volverían a ser 360 grados. 307 00:43:09,440 --> 00:43:17,820 Y si hiciéramos vueltas completas, eso sería 720 grados, porque sería 360 más 360 y así seguiríamos. 308 00:43:17,820 --> 00:43:33,820 Es decir, aquí, si pongo puntos suspensivos, tendríamos 5 vueltas completas en un momento dado que serían 1800 grados. 309 00:43:33,820 --> 00:43:51,219 Aquí estaría en 1800º, que sería esto. Estos son 1800º cuando diéramos 5 vueltas completas y luego tendríamos el ángulo de 37º, que estaría aproximadamente ahí. 310 00:43:52,179 --> 00:43:57,079 Porque 37 está en el es mayor que 0, pero menor que 90. 311 00:43:57,420 --> 00:44:01,059 Y bueno, lo he dibujado aproximadamente igual al ángulo de 30º, que sabemos que es así. 312 00:44:01,059 --> 00:44:21,019 Es decir, si esto es 37 grados y como esto es 1800, cuando 1800 grados, cuando se hayan dado 5 vueltas completas, aquí está 1800 más 37, eso sería 1837 grados, ¿vale? Ahí estaría yendo todo hacia la derecha. 313 00:44:21,940 --> 00:44:38,699 Bien, y ahora me estaban preguntando, ya hemos dibujado el ángulo, comprueba con la calculadora que en cada caso el seno y el coseno del ángulo calentado son iguales al seno y al coseno del ángulo comprendido entre 0 y 360 grados que obtienes. 314 00:44:38,800 --> 00:44:45,480 Para cada caso, dibuja una circunferencia goniométrica y sitúa el ángulo correspondiente y dónde estarían su seno y su coseno. 315 00:44:45,480 --> 00:45:05,659 Entonces, nosotros sabemos que ese sería el seno de 1837 grados y eso es igual también al seno de 37 grados. 316 00:45:05,659 --> 00:45:07,599 y lo vamos a comprobar con la calculadora 317 00:45:07,599 --> 00:45:08,619 vale 318 00:45:08,619 --> 00:45:11,639 entonces yo lo tengo por aquí 319 00:45:11,639 --> 00:45:12,340 apuntado 320 00:45:12,340 --> 00:45:15,159 eso es igual a 321 00:45:15,159 --> 00:45:17,280 si lo hacemos con la calculadora 322 00:45:17,280 --> 00:45:18,860 introduciendo los dos ángulos 323 00:45:18,860 --> 00:45:23,659 a 0,6018 324 00:45:23,659 --> 00:45:25,380 vale, hacerlo con la calculadora 325 00:45:25,380 --> 00:45:26,659 y comprobar que 326 00:45:26,659 --> 00:45:29,659 el seno de 1837 327 00:45:30,579 --> 00:45:32,099 es igual a esa cantidad 328 00:45:32,099 --> 00:45:32,880 que yo he puesto ahí 329 00:45:32,880 --> 00:45:35,420 pero también si decimos seno de 37 330 00:45:35,420 --> 00:45:38,699 es también esa cantidad que he indicado ahí 331 00:45:38,699 --> 00:45:39,820 ¿dónde estaría el coseno? 332 00:45:40,000 --> 00:45:40,880 bueno, pues ya lo sabéis 333 00:45:40,880 --> 00:45:43,699 el coseno es ese segmento de ahí 334 00:45:43,699 --> 00:45:48,039 coseno de 1837 335 00:45:48,039 --> 00:45:49,460 ¿vale? 336 00:45:49,639 --> 00:45:50,579 lo he dibujado un poco más 337 00:45:50,579 --> 00:45:51,320 voy a hacer zoom 338 00:45:51,320 --> 00:45:59,489 este sería el coseno 339 00:45:59,489 --> 00:46:04,929 de 1837 grados 340 00:46:04,929 --> 00:46:06,230 ese sería, ¿vale? 341 00:46:07,349 --> 00:46:07,989 ese sería 342 00:46:07,989 --> 00:46:26,849 Y vamos a comprobar, vamos a indicar, el coseno de 1837 grados es igual en valor absoluto y en signo al coseno de 37, no hay ningún cambio de signo, ¿vale? 343 00:46:26,849 --> 00:46:50,650 Si lo hacéis con la calculadora, para los dos valores, obtendríais, ese no lo he calculado, ¿vale? Coseno 1837 es igual a 0,7986. 0,7986. Y si hago el coseno de 37, me va a dar lo mismo, ¿vale? 0,7986. 344 00:46:50,650 --> 00:46:54,449 Bien, pues ese ya lo tendríais también 345 00:46:54,449 --> 00:46:56,090 No nos pedía nada más, ¿no? 346 00:47:00,269 --> 00:47:02,570 Vale, lo hemos comprobado con la calculadora 347 00:47:02,570 --> 00:47:03,909 Está todo bien, ¿de acuerdo? 348 00:47:04,869 --> 00:47:06,590 Bien, ahora vamos con el siguiente 349 00:47:06,590 --> 00:47:07,610 B 350 00:47:07,610 --> 00:47:10,929 Habríamos que hacer lo mismo para el ángulo B 351 00:47:10,929 --> 00:47:12,590 Que es 3000 352 00:47:12,590 --> 00:47:21,929 Esto es 3358 grados 353 00:47:21,929 --> 00:47:24,789 Vamos a hacer la división entera, como hemos dicho 354 00:47:24,789 --> 00:47:47,190 Es decir, que nos sacamos decimales. Si yo divido 3358 entre 360 grados, ¿qué voy a obtener? ¿Esto a cuánto cabe? Cabe a 9. 9 por 0 es 0. Al 8, 8. 9 por 6, 54. Al 55, 1. Y me llevo 5. 355 00:47:47,190 --> 00:47:49,590 9 por 3, 27 356 00:47:49,590 --> 00:47:51,610 y 5, 32 357 00:47:51,610 --> 00:47:54,230 a 33, 1 358 00:47:54,230 --> 00:47:55,789 y ya no me cabe más 359 00:47:55,789 --> 00:47:57,489 ¿vale? porque 118 es menor 360 00:47:57,489 --> 00:47:58,889 luego esto sería el resto 361 00:47:58,889 --> 00:48:01,730 entonces puedo expresar que 360 grados 362 00:48:01,730 --> 00:48:03,809 es igual a 363 00:48:03,809 --> 00:48:05,989 360 grados 364 00:48:05,989 --> 00:48:07,289 por 9 365 00:48:07,289 --> 00:48:10,329 más 118 366 00:48:10,329 --> 00:48:12,070 grados, por lo que es lo mismo 367 00:48:12,070 --> 00:48:17,170 esto está mal 368 00:48:17,170 --> 00:48:48,300 Esto es el ángulo que me han dado, es decir, 3358 grados es igual a 9 vueltas completas más 118 grados. 369 00:48:48,300 --> 00:49:14,429 De acuerdo, entonces ahora tenemos que representar en la circunferencia goniométrica donde está este ángulo de 118 grados, que será también donde caiga 3358, ¿vale? Voy a copiar esta circunferencia goniométrica de aquí, la pego, ¿vale? Y entonces ya podemos dibujar nuestro ángulo, ¿vale? 370 00:49:14,429 --> 00:49:26,510 Si esto es 0 grados, esto es 90, esto es 180, otra vez lo dibujamos, y esto es 270 grados. 371 00:49:26,929 --> 00:49:37,829 ¿Dónde va a estar 118? Pues va a estar, yendo en sentido antihorario desde 0, va a pasar de 90 y va a estar aproximadamente, ¿dónde? 372 00:49:37,829 --> 00:49:50,630 Va a estar aproximadamente, más o menos, más o menos, por ahí, porque estos serían unos 20 grados, más o menos, puede que sea eso, ¿vale? 373 00:49:51,909 --> 00:50:06,590 Si estos son 18, estos serían 118, porque es 90 más 18, y aquí entonces estaría 3358 grados, ¿vale? 374 00:50:06,590 --> 00:50:11,070 Y aquí tendríamos las 9 vueltas completas, ¿vale? 375 00:50:11,429 --> 00:50:16,409 Porque si yo multiplico 360 por 9, eso es 3240. 376 00:50:17,090 --> 00:50:27,329 Esto es 0, 360, 720, etcétera, etcétera, hasta llegar a 3240, ¿vale? 377 00:50:27,329 --> 00:50:36,329 Que esto es 9 vueltas completas, 3240 grados, ¿vale? 378 00:50:36,590 --> 00:50:48,280 Estos son nueve vueltas, nueve vueltas, ¿vale? De acuerdo, me está quedando el dibujo este 379 00:50:48,280 --> 00:50:56,980 un poco chuchurrío, pero bueno, voy a mejorar un poquito, ampliando. Voy a hacer una ampliación, 380 00:50:56,980 --> 00:51:01,099 voy a dibujar de aquí 381 00:51:01,099 --> 00:51:02,840 más o menos 382 00:51:02,840 --> 00:51:05,719 hasta ahí 383 00:51:05,719 --> 00:51:08,659 vale, así lo he hecho recto 384 00:51:08,659 --> 00:51:10,300 y este ángulo 385 00:51:10,300 --> 00:51:12,360 lo voy a quitar la cabecera 386 00:51:12,360 --> 00:51:13,639 porque me está molestando 387 00:51:13,639 --> 00:51:16,400 ya queda bastante feo 388 00:51:16,400 --> 00:51:19,769 ah, vale 389 00:51:19,769 --> 00:51:22,199 bien 390 00:51:22,199 --> 00:51:40,280 bien, entonces 391 00:51:40,280 --> 00:51:41,920 estos serían 392 00:51:41,920 --> 00:51:43,679 118 grados 393 00:51:43,679 --> 00:51:49,750 estos son 18 grados 394 00:51:49,750 --> 00:52:06,730 ¿De acuerdo? Y esto de aquí sería el seno, este es el seno de 3.358 grados y este sería el coseno. 395 00:52:12,110 --> 00:52:19,449 ¿Vale? Se ve muy mal, pero bueno, este es el coseno de 3.358 grados. 396 00:52:19,449 --> 00:52:41,610 Bien, entonces, si yo expreso el seno de 3358 grados, sé que va a ser igual en valor absoluto y en signo, y el signo también a 118 grados. 397 00:52:41,610 --> 00:53:10,989 Y eso es igual a 0,8829. Y el coseno de 3358 grados va a ser igual al coseno de 118 grados, que es igual a menos 0,4694. 398 00:53:10,989 --> 00:53:27,389 ¿Vale? Es negativo, pero es igual, comprobadlo, al coseno de 118, ¿vale? Menos 0,4694, ¿vale? Son iguales, las dos razones trigonométricas, ¿de acuerdo? Bien, pues ese sería el ejercicio. 399 00:53:27,389 --> 00:53:42,170 Vamos a por el siguiente. El séptimo ejercicio dice, dibuja en la circunferencia goniométrica un ángulo de 240 grados así como su seno y su coseno. 400 00:53:42,510 --> 00:53:51,510 Expresa el seno y el coseno de 240 en función del seno o del coseno de un ángulo del primer cuadrante del que conozcas de memoria y sus razones trigonométricas. 401 00:53:51,510 --> 00:54:04,409 Vamos a empezar copiando esta circunferencia goniométrica, la vamos a poner aquí, dado que nos están pidiendo que expresemos todo con esta circunferencia. 402 00:54:04,550 --> 00:54:05,650 Lo voy a hacer un poquito más grande. 403 00:54:09,170 --> 00:54:12,849 Vamos a situar en primer lugar el ángulo de 240 grados. 404 00:54:12,969 --> 00:54:19,190 Para ello, como siempre, voy a indicar qué ángulo tiene cada uno de los cuadrantes. 405 00:54:19,190 --> 00:54:37,590 Eso es 0, 90 grados. Estos son 180 grados y estos son 270 grados. Y aquí volveríamos otra vez a 360 grados porque sería una vuelta completa. Y me están diciendo 240. ¿Dónde va a estar 240? Pues yendo desde aquí. 406 00:54:37,590 --> 00:54:46,949 Esto sería 0, 90, 180, ¿vale? A 180 llegamos seguro, pero a 270 no. 407 00:54:47,230 --> 00:54:57,039 Y en concreto, ¿dónde va a estar este ángulo? Pues va a estar aproximadamente por ahí. 408 00:54:58,260 --> 00:55:04,039 ¿Por qué? Porque esto es aproximadamente 30 grados. 409 00:55:04,739 --> 00:55:10,619 Esto es aproximadamente 30 grados yendo en sentido horario. 410 00:55:10,619 --> 00:55:16,280 Es decir, que estoy restando a 270, estoy restando 30, ¿vale? 411 00:55:16,400 --> 00:55:28,460 O, visto de otra manera, este ángulo de aquí es 60 grados, porque 180 más 60 grados, yo aquí tendría 240 grados, ¿vale? 412 00:55:29,199 --> 00:55:33,420 Si yo a 270 le resto 30, llego a 240. 413 00:55:33,420 --> 00:55:40,519 Y si a 180 le sumo 60, llego igualmente a 240 grados. 414 00:55:40,619 --> 00:55:56,380 Por lo tanto, aquí estaría mi ángulo. Ya habría cumplido con el primer apartado que me piden. Dicen, dibujan una circunferencia, un ángulo de 240 grados. Me falta el seno y el coseno. 415 00:55:56,380 --> 00:56:13,159 ¿Dónde estaría el seno? Pues el seno estaría, voy a retirar esto de aquí, eso sería 60 grados, voy a ponerlo aproximadamente ahí, ¿vale? 416 00:56:13,159 --> 00:56:27,530 Y ahora el seno estaría ahí, como está la flecha hacia abajo, es decir, esto sería negativo, ¿no? 417 00:56:27,809 --> 00:56:33,969 Luego lo tendremos que tener en cuenta, ese es el seno de 240 grados. 418 00:56:34,130 --> 00:56:42,650 ¿Y el coseno dónde va a estar? Ese va a ser el coseno de 240 grados. 419 00:56:42,650 --> 00:56:57,059 Voy a quitar esta flecha para que no os moleste, ¿vale? Es decir, el coseno sería ese, esa flechita de ahí, ¿vale? 420 00:56:57,300 --> 00:57:06,760 Y ese sería el seno. Pues ya los he dibujado. Expresa el seno y el coseno de 240 en función del seno y del coseno de un ángulo del primer cuadrante. 421 00:57:06,760 --> 00:57:15,590 En este caso, por lo tanto, lo más fácil sería expresar esto así. 422 00:57:18,780 --> 00:57:23,619 Si yo esto lo prolongo aproximadamente, ¿vale? 423 00:57:25,239 --> 00:57:27,300 Este ángulo de aquí, ¿cuál sería? 424 00:57:28,780 --> 00:57:33,019 Este ángulo sería 60 grados, ¿no? 425 00:57:33,239 --> 00:57:38,219 ¿Por qué? Porque es el opuesto a este ángulo. 426 00:57:38,219 --> 00:57:46,679 este ángulo de aquí y este ángulo de aquí están formados por las mismas rectas, por la recta horizontal y por este diámetro, ¿vale? 427 00:57:46,880 --> 00:58:06,679 Luego esto es 60 grados, de tal manera que yo aquí tendría el seno de 60 grados y aquí tendría el coseno de 60 grados, ¿vale? 428 00:58:08,219 --> 00:58:17,099 Y el seno de 240 es igual en magnitud, en valor absoluto, al seno de 60. 429 00:58:17,320 --> 00:58:19,579 Lo que pasa es que he cambiado de signo, ¿vale? 430 00:58:19,579 --> 00:58:34,500 Yo puedo decir aquí que el seno de 240 grados es igual al menos el seno de 60 grados. 431 00:58:34,679 --> 00:58:35,599 ¿Lo veis? 432 00:58:35,599 --> 00:58:39,960 Porque si este es negativo, este es positivo 433 00:58:39,960 --> 00:58:47,260 Es decir, si este es positivo, vale lo mismo en valor absoluto este segmento de aquí que este de aquí 434 00:58:47,260 --> 00:58:52,280 Pero los signos son cambiados porque esta flecha está hacia abajo y esta flecha está hacia arriba 435 00:58:52,280 --> 00:59:00,699 Luego yo al seno de 60 le tengo que cambiar el signo para tener el mismo seno que a mí me están pidiendo 436 00:59:00,699 --> 00:59:12,159 Y además ya aprovecho y digo y pongo el valor numérico del seno de 60 437 00:59:12,159 --> 00:59:13,619 ¿Cuánto es el seno de 60? 438 00:59:14,519 --> 00:59:19,579 El seno de 60 es lo mismo que el coseno de 30 que vale raíz de 3 partido por 2 439 00:59:19,579 --> 00:59:20,880 Que eso lo sabéis por la tabla 440 00:59:20,880 --> 00:59:23,980 Ahora vamos por el coseno de 240 441 00:59:23,980 --> 00:59:30,460 El coseno de 240 está aquí y es negativo 442 00:59:30,460 --> 00:59:42,619 ¿Vale? Esta es negativo porque está en el semieje, en la semirrecta negativa de las abscisas, en el semieje negativo de las abscisas. 443 00:59:42,719 --> 00:59:43,900 La flecha va para la izquierda. 444 00:59:44,519 --> 00:59:51,980 El coseno de 240 es lo mismo que el coseno de 60, pero al igual que nos pasaba con el seno, cambiado de signo. 445 00:59:51,980 --> 01:00:07,099 Es igual a menos el coseno de 60 grados. Y eso es igual a menos un medio, porque sabéis que el coseno de 60 es lo mismo que el seno de 30 y es un medio. 446 01:00:07,099 --> 01:00:26,920 ¿Vale? Luego, con esto, habríamos terminado el séptimo ejercicio. ¿Vale? Si a alguien le cuesta ver esto, pues tiene que ver que estos dos triángulos son iguales. ¿Vale? ¿Por qué? Pues porque tienen dos ángulos iguales. 447 01:00:26,920 --> 01:00:33,679 Este vale 90, este de aquí vale 90, este de aquí vale 60 grados. 448 01:00:34,440 --> 01:00:38,219 Las hipotenusas son iguales porque estamos en la circunferencia goniométrica. 449 01:00:38,420 --> 01:00:41,199 ¿Cuánto mide el radio en la circunferencia goniométrica? 1. 450 01:00:42,820 --> 01:00:45,539 Luego, los triángulos son iguales. 451 01:00:45,980 --> 01:00:52,019 Ah, he olvidado decir una cosa, que también se podía hacer esto relacionándolo con el ángulo de 30 grados. 452 01:00:52,119 --> 01:00:53,880 ¿Cómo sería eso? Que algunos lo habéis hecho. 453 01:00:53,880 --> 01:00:55,940 Voy a dibujarlo aquí. 454 01:00:56,920 --> 01:01:03,420 Vale, voy a repetir todo esto otra vez, ¿vale? 455 01:01:04,139 --> 01:01:19,380 Control F6, yo puedo poner aquí 0 grados, 90, 180, 360, no, perdón, 270, 360, vale. 456 01:01:19,380 --> 01:01:31,250 Y entonces yo aquí tengo, un segundo, cojo esta herramienta y me vengo aquí más o menos. 457 01:01:31,849 --> 01:01:46,219 Bien, y ahora cojo esta herramienta y digo, ah no, un segundo, que no era eso lo que quería hacer. 458 01:01:48,860 --> 01:02:00,460 Y ahora, en vez de hacer lo que hemos hecho antes, voy a dibujar el ángulo de 30 grados aquí, que estaría ahí más o menos. 459 01:02:00,460 --> 01:02:07,699 entonces, si estos son 30 grados hacia atrás 460 01:02:07,699 --> 01:02:11,940 hemos dicho que ahí teníamos el ángulo de 240 461 01:02:11,940 --> 01:02:14,920 porque estos son 30 grados 462 01:02:14,920 --> 01:02:17,659 y ahora aquí he dibujado un triángulo diferente 463 01:02:17,659 --> 01:02:23,719 aquí he cogido en vez de 60 grados 464 01:02:23,719 --> 01:02:26,980 he cogido el ángulo de 30 grados 465 01:02:26,980 --> 01:02:42,360 ¿Sí? Por lo tanto, este triángulo y este son el mismo. Son dos triángulos rectángulos que tienen por hipotenusa la misma hipotenusa, que es 1, que es el radio. 466 01:02:43,079 --> 01:02:52,179 Los dos tienen este ángulo recto, ¿sí? Por lo tanto, tienen un ángulo de 90, un ángulo de 30 y esto va a ser 60. 467 01:02:52,179 --> 01:03:20,840 Los dos triángulos son iguales. Por lo tanto, el seno de 240 que está aquí, ¿vale? Este es el seno de 240 grados, ¿vale? Este lado, este segmento va a ser igual que este segmento y va a ser igual que el coseno de 30 en valor absoluto, ¿vale? 468 01:03:22,179 --> 01:03:24,500 Es el cateto mayor, ¿sí? 469 01:03:26,380 --> 01:03:30,539 Porque el seno de 240 es esto, pero también es este segmento de aquí. 470 01:03:31,579 --> 01:03:35,500 Bien, pues lo puedo escribir ya y tengo que estar atento a los signos. 471 01:03:36,139 --> 01:03:40,960 El seno de 240 grados va a ser negativo, ¿eh? 472 01:03:40,960 --> 01:03:51,519 Lo tengo negativo. Va a ser igual, es este segmento de aquí, al coseno de 30 cambiado de signo a menos el coseno de 30. 473 01:03:51,519 --> 01:03:53,760 ¿cuánto vale el coseno de 30? 474 01:03:54,539 --> 01:03:57,699 pues vale raíz de 3 partido por 2 475 01:03:57,699 --> 01:03:59,960 con el signo menos 476 01:03:59,960 --> 01:04:02,820 y el coseno de 240 477 01:04:02,820 --> 01:04:04,699 ¿qué va a ser? 478 01:04:04,699 --> 01:04:06,679 el coseno de 240 479 01:04:06,679 --> 01:04:12,699 este es el coseno de 240 grados 480 01:04:12,699 --> 01:04:15,019 es este segmento de aquí 481 01:04:15,019 --> 01:04:18,699 que es igual que este segmento de aquí 482 01:04:18,699 --> 01:04:23,199 Y es igual que este segmento de aquí, ¿no? 483 01:04:23,480 --> 01:04:27,519 Entonces, lo que pasa es que es negativo y este segmento de aquí es positivo. 484 01:04:28,360 --> 01:04:42,619 Luego, esto va a ser igual a el seno de 30 grados cambiado de signo, porque esto de aquí es el seno de 30 grados, ¿vale? 485 01:04:43,039 --> 01:04:47,639 Repito, el coseno de 240 está aquí y es negativo. 486 01:04:48,699 --> 01:04:50,579 Y es igual que este segmento de aquí. 487 01:04:51,800 --> 01:04:59,119 Y este segmento de aquí es el cateto menor de este triángulo, es decir, este segmento vertical. 488 01:04:59,800 --> 01:05:04,519 Pero este es negativo y este es positivo, por lo tanto, tengo que cambiar el signo. 489 01:05:05,199 --> 01:05:10,780 Y digo, el coseno de 140 es igual al seno de 30 cambiado de signo. 490 01:05:11,320 --> 01:05:13,320 Y esto es igual a qué? A menos un medio. 491 01:05:13,320 --> 01:05:17,800 que es lo mismo que habíamos obtenido antes 492 01:05:17,800 --> 01:05:21,280 menos raíz de 3 partido por 2 y menos 1 medio 493 01:05:21,280 --> 01:05:26,539 ¿vale? bien, vamos con el siguiente ejercicio 494 01:05:26,539 --> 01:05:31,719 paro, bien, ya vamos con el tercer ejercicio 495 01:05:31,719 --> 01:05:35,380 que lo habíamos dejado para el final porque el enunciado era largo 496 01:05:35,380 --> 01:05:38,599 dice, explica que es una razón entre dos magnitudes o medidas 497 01:05:38,599 --> 01:05:40,099 indica que es una proporción 498 01:05:40,099 --> 01:05:49,280 Pues una razón entre dos magnitudes o medidas es la relación que existe, es su cociente. 499 01:05:49,480 --> 01:06:01,139 Si yo tengo una medida A y una medida B, la razón que existe entre ellas es A entre B o bien B entre A, 500 01:06:01,320 --> 01:06:04,659 dependiendo de cómo se esté redactando, qué es lo que estemos relacionando. 501 01:06:04,659 --> 01:06:13,659 Si el mayor entre el menor o si son lados de un segmento, pues de qué manera estamos teniendo eso en cuenta, ¿vale? 502 01:06:14,000 --> 01:06:17,760 ¿Cuál de ellos? Pero vamos, es el cociente entre sus magnitudes. 503 01:06:19,179 --> 01:06:34,019 Una razón es un concepto más amplio que el concepto de fracción, por ejemplo, porque todas las fracciones son razones, pero no todas las razones son fracciones. 504 01:06:34,019 --> 01:06:47,880 Si yo tengo un triángulo, ABC, yo defino la razón A entre C, estos son segmentos, y no puedo decir que esto sea una fracción, pero sí que son razones. 505 01:06:48,559 --> 01:06:55,239 La razón es un concepto superior y más amplio que las fracciones. 506 01:06:55,239 --> 01:07:01,239 ¿Y qué es una proporción? Pues una proporción es una igualdad. 507 01:07:04,019 --> 01:07:10,380 Una fracción, una proporción, es una igualdad entre razones. 508 01:07:10,380 --> 01:07:22,860 Por ejemplo, si tengo yo cuatro segmentos A, B, C, D, si yo puedo escribir que A es A, B, esta es la razón, A es A, B, 509 01:07:23,519 --> 01:07:31,800 y la razón entre C y D es esta, C es A, D, o C entre D, y ambas razones son iguales, 510 01:07:31,800 --> 01:07:41,239 yo puedo decir que los segmentos están en proporción, que A es AB, como C es AD. Esto es una proporción, una igualdad entre razones, ¿vale? 511 01:07:42,039 --> 01:07:50,440 Bien, ahora nos dicen, ¿cuál es la razón aproximada entre la altura total del hombre de Vitruvio y la altura de su cabeza, de la cabeza? 512 01:07:50,599 --> 01:07:56,639 ¿Son iguales estas razones en la figura de la izquierda y en la figura de la derecha? ¿Están en proporción ambas figuras? 513 01:07:56,639 --> 01:08:12,840 Bien, para eso he dibujado aquí el hombre de Vitruvio, el de la derecha, y he llevado la cabeza, porque me están diciendo la razón que existe entre la altura total y la altura de la cabeza, y me he llevado la cabeza varias veces, ¿vale? 514 01:08:12,840 --> 01:08:26,439 Entonces, si contamos, eso sería 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. No se os pedía que lo hicierais tan exacto, ¿no? Pero es aproximadamente 7, ¿vale? 515 01:08:26,439 --> 01:08:51,880 Luego la razón entre la altura, si esto fuera A, la altura total y la altura de la cabeza, y esto fuera B, ¿vale? A, perdón, A entre B es igual a 7, ¿vale? De acuerdo. 516 01:08:51,880 --> 01:09:13,819 Luego me van a pedir, y lo voy a hacer ya, que me fije en esta foto de un bebé y que diga cuál es la razón entre la altura total del niño, ya sé que está con las piernas encogidas y es un poco más difícil de medirlo y de comparar, pero que calcule la misma razón que hemos calculado en el hombre vitruvio. 517 01:09:13,819 --> 01:09:28,199 Es decir, la altura total entre la altura de la cabeza. Pues, en este caso, si la altura total del niño es C y la altura de la cabeza es D, eso es aproximadamente a 4 o 4,5. 518 01:09:28,720 --> 01:09:37,680 ¿Vale? 4,5. O 4, lo dejo. ¿Vale? He llevado aquí una cabeza, 2, 3, 4, como tiene las piernas encogidas sería más bien 4,5. 519 01:09:37,680 --> 01:09:55,039 Pero bueno, aproximadamente, donde aquí se ve claramente que la razón en el bebé es muy diferente a la razón en el hombre vitruvio, ¿vale? Por eso se dice que los niños nacen con la cabeza grande, no es que sea grande, es grande en proporción. 520 01:09:55,039 --> 01:10:22,539 Fijaros también en las manos, que pequeñitas son en comparación con la cabeza, mientras que en el hombre vitruvio la mano es prácticamente igual que la cara. Nosotros si nos tapamos la cara con la mano podemos taparnos prácticamente todo, pero un niño apenas llega a cubrirse la mejilla. La cabeza, por tener los humanos un cerebro tan grande, en el nacimiento se nota mucho esa desproporción. 521 01:10:25,039 --> 01:10:31,340 De acuerdo, ya hemos respondido al B y al C. 522 01:10:33,420 --> 01:10:37,479 No existe proporción entre la razón en el hombre de Vitruvio y la del bebé, ¿vale? 523 01:10:37,479 --> 01:10:47,500 Luego me están diciendo, en la figura de la izquierda, el radio del círculo vale 0,75 metros, pues lo escribo, ¿vale? 524 01:10:48,760 --> 01:10:54,840 Esto me están diciendo que este radio vale 0,75, ¿vale? 525 01:10:55,039 --> 01:11:00,699 y el lado del cuadrado mide 1,22 metros. 526 01:11:02,380 --> 01:11:04,199 Esos son 1,22 metros. 527 01:11:05,119 --> 01:11:05,520 De acuerdo. 528 01:11:05,960 --> 01:11:07,579 A la derecha hay una figura semejante. 529 01:11:07,800 --> 01:11:10,539 Si el radio de la figura de la derecha mide un metro, 530 01:11:10,779 --> 01:11:13,140 lo dibujo con el centro en el ombligo, 531 01:11:13,140 --> 01:11:16,140 porque sabéis que el centro del círculo está en el ombligo, 532 01:11:17,399 --> 01:11:20,279 aquí me están diciendo que esto es 1,22 metros, 533 01:11:20,279 --> 01:11:45,930 No, perdón. Nos dicen que el radio vale un metro en la figura de la derecha. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado de la derecha? Me están pidiendo L, que L es este lado. ¿Cuál es la razón de semejanza entre ambas figuras? 534 01:11:45,930 --> 01:11:48,010 vale, pues vamos con ello 535 01:11:48,010 --> 01:11:53,029 como nos dicen que estas dos figuras son semejantes 536 01:11:53,029 --> 01:11:55,670 nosotros sabemos 537 01:11:55,670 --> 01:11:59,729 que si yo comparo una medida de la izquierda 538 01:11:59,729 --> 01:12:02,569 con una medida de la derecha 539 01:12:02,569 --> 01:12:06,029 es decir, si yo hago 1,22 540 01:12:06,029 --> 01:12:07,970 entre n 541 01:12:07,970 --> 01:12:11,270 esa razón va a ser igual 542 01:12:11,270 --> 01:12:14,409 a la razón que existe entre el lado 543 01:12:14,409 --> 01:12:35,430 O sea, el radio de la izquierda y el radio de la derecha, ¿vale? 0,75 metros es a un metro. Esto porque nos dicen que las figuras son semejantes y eso aquí va a ser igual a la razón de semejanza, ¿vale? 544 01:12:35,430 --> 01:12:51,029 O sea, que este planteamiento me va a servir para hallar L, que me lo están pidiendo, el lado del cuadrado de la derecha, y también me va a servir para hallar la razón de semejanza, ¿vale? La razón de semejanza ya la puedo ver directamente. 545 01:12:51,029 --> 01:13:10,289 Voy a empezar con la segunda respuesta. K es igual a 0,75. ¿Vale? Adimensional. Pero como es menor que 1, ese es el coeficiente que yo tendría que aplicar para pasar de la figura de la derecha a la figura de la izquierda. 546 01:13:10,289 --> 01:13:25,130 Es decir, que cada parte, cada medida lineal de la figura de la izquierda es tres cuartos la medida correspondiente de la figura de la derecha. 547 01:13:25,130 --> 01:13:38,189 Si quisiera pasar, esto lo vamos a llamar caso 1, ¿vale? Caso 1. Porque estoy poniendo en el numerador las medidas pequeñas, las medidas de la izquierda. 548 01:13:38,189 --> 01:13:52,949 Es decir, que si yo quiero pasar de las medidas grandes a las medidas pequeñas, tengo que multiplicar por K1. 549 01:13:53,229 --> 01:13:58,689 Y si quiero pasar de las medidas pequeñas a las medidas grandes, a eso lo voy a llamar K2. 550 01:13:59,149 --> 01:14:05,489 Y K2 sería 1 partido por K1. 551 01:14:06,670 --> 01:14:11,569 Porque tendría que dar la vuelta a estos, al numerador y al denominador. 552 01:14:11,569 --> 01:14:31,859 ¿Vale? Eso sería 1 partido por 0,75. Pero como 1 partido por 0,75 es 3 cuartos, ¿vale? Esto sería 4 tercios, que es igual a qué? A 1,3 periodo. 553 01:14:31,859 --> 01:14:49,460 Pero vamos, me daría igual que me hubiera citado caso 2 o caso 1, ¿vale? Me daría igual. ¿De acuerdo? Bien. Eso sería la razón de semejanza. Pero me faltaría el lado. ¿Cuál sería el lado? Lo voy a poner aquí. 554 01:14:49,460 --> 01:15:04,239 Si hago en esta proporción producto de medios igual a producto de extremos, me quedaría L por 0,75 es igual a 1 por 1,22, ¿vale? 555 01:15:05,420 --> 01:15:07,460 Lo tengo todo en metros, ¿vale? 556 01:15:09,600 --> 01:15:21,079 L es igual a 1,22, voy a poner las unidades, voy a borrar todo para poner las unidades desde el principio, que me gusta trabajar con unidades. 557 01:15:21,279 --> 01:15:49,569 Bien, vamos a ver. L, hay que trabajar siempre con unidades, L por 0,75 metros es igual a 1,22 metros por un metro. 558 01:15:49,569 --> 01:16:02,590 Por lo tanto, L es igual a 1,22 metros por 1 metro dividido entre 0,75 metros, ¿vale? 559 01:16:02,909 --> 01:16:07,289 Un metro por un metro se me va y la unidad, por lo tanto, van a ser metros. 560 01:16:07,289 --> 01:16:24,590 Y si hago 1,22 entre 0,75 metros, me queda que él es 1,626 periodo, y esto que unidad tiene, metros, ¿vale? 561 01:16:25,050 --> 01:16:32,829 Luego esto sería uno de los apartados que me piden, y este sería el otro apartado que me están pidiendo, ¿de acuerdo? 562 01:16:32,829 --> 01:16:56,529 Es decir, que este lado de aquí es 1,6, no, perdón, perdón, no, es que lo he hecho mal, es que este valor lo he dejado bien, sí, esto está bien, perdón, te lo estaba poniendo. 563 01:16:56,529 --> 01:17:01,649 El lado es 1,626 metros. 564 01:17:10,739 --> 01:17:15,960 1,626 metros, ¿vale? 565 01:17:16,619 --> 01:17:17,720 Ese es el lado. 566 01:17:18,420 --> 01:17:30,619 Y la razón de semejanza es 1,3 o 0,75, dependiendo si vamos de la derecha a la izquierda o de la izquierda a la derecha. 567 01:17:31,399 --> 01:17:36,289 1,3 periodo, ¿de acuerdo? 568 01:17:37,409 --> 01:17:39,909 Vale, vamos con el siguiente apartado. 569 01:17:43,520 --> 01:17:48,800 Dice, e, si hacemos una figura semejante a la de la izquierda, de mayor tamaño, 570 01:17:48,800 --> 01:17:56,039 y razón de semejanza 3, ¿cuántas veces mayor será la superficie del círculo nuevo 571 01:17:56,039 --> 01:17:59,140 respecto a la superficie del círculo original? 572 01:17:59,800 --> 01:18:04,060 Es decir, si nosotros pasamos de un círculo de radio R, 573 01:18:05,260 --> 01:18:06,479 lo voy a dibujar bonito, 574 01:18:06,479 --> 01:18:22,590 yo paso el radio 575 01:18:22,590 --> 01:18:24,970 aquí arriba, vale 0.75 576 01:18:24,970 --> 01:18:26,229 pero bueno, eso me da igual 577 01:18:26,229 --> 01:18:28,550 pero no obstante lo voy a dibujar 578 01:18:28,550 --> 01:18:32,640 si yo paso de un radio 579 01:18:32,640 --> 01:18:33,539 R 580 01:18:33,539 --> 01:18:36,699 a un radio 581 01:18:36,699 --> 01:18:42,119 copy 582 01:18:42,119 --> 01:18:43,640 control V 583 01:18:43,640 --> 01:18:47,289 supongamos que ese radio 584 01:18:47,289 --> 01:18:49,609 que esa figura es 3 veces 585 01:18:49,609 --> 01:18:49,970 ¿vale? 586 01:18:51,789 --> 01:18:53,510 y aquí le voy a decir 587 01:18:53,510 --> 01:18:55,189 control F6 588 01:18:55,189 --> 01:18:57,609 es decir, que de R paso 589 01:18:57,609 --> 01:18:59,449 a 3R, me están diciendo 590 01:18:59,449 --> 01:19:01,329 S 591 01:19:01,329 --> 01:19:03,670 ¿cuál? S es 592 01:19:03,670 --> 01:19:05,649 S1, este es el radio 593 01:19:05,649 --> 01:19:07,529 1 y esto es 3 veces 594 01:19:07,529 --> 01:19:09,789 el radio 1, me están diciendo 595 01:19:09,789 --> 01:19:11,789 que cuál será esta superficie 596 01:19:12,369 --> 01:19:16,029 ¿vale? si la razón de semejanza 597 01:19:16,029 --> 01:19:23,670 es 3, porque yo he pasado de una medida lineal que es r1 a una medida lineal que es 3r1, 598 01:19:24,689 --> 01:19:34,109 la superficie 2 va a ser igual a la razón de semejanza al cuadrado por la superficie 599 01:19:34,109 --> 01:19:43,149 1, es decir, la razón entre las superficies va con el cuadrado de la razón de semejanza, 600 01:19:43,149 --> 01:19:56,989 Por lo tanto, el círculo segundo será 3 al cuadrado la superficie del círculo 1. 601 01:19:57,430 --> 01:20:05,289 Esta superficie será 9 veces la superficie 1. 602 01:20:06,130 --> 01:20:10,390 Esto lo explicamos en clase muy fácilmente cuando dije que si teníamos, por ejemplo, 603 01:20:10,390 --> 01:20:24,989 un círculo, un cuadrado de lado L y pasamos a un cuadrado de lado 2L, ¿qué le pasa a la superficie? 604 01:20:26,710 --> 01:20:33,050 La superficie no es que se multiplique por 2, lo voy a dibujar mejor porque esto lo he dibujado mal, no está ni a escala. 605 01:20:33,050 --> 01:21:00,949 ¿Vale? No está en mi escala. O sea, no se parece en nada. ¿Vale? Si yo paso de L a 2L, ¿vale? Si esto es 2L y esto es 2L, porque he aplicado una razón de semejanza de K igual a 2, ¿qué le pasa a la superficie? 606 01:21:00,949 --> 01:21:22,220 Pues yo aquí no es que vaya a tener dos cuadrados, voy a tener cuatro. Y si paso a 3L, y si la razón de semejanza es 3, como en el caso que me están diciendo, ¿cuántos cuadrados voy a tener? 607 01:21:22,220 --> 01:21:45,409 Y esto es 3L. Y esto es 3L. Aquí voy a tener 1, 2, 3. No voy a tener un cuadrado. Si la razón de semejanza es 3, como en nuestro caso, voy a tener 9 cuadrados. 608 01:21:45,409 --> 01:22:13,729 Voy a tener 3L por 3L, 3L al cuadrado, y eso es 9L al cuadrado, ¿vale? Luego, mi superficie, que inicialmente era L cuadrado, va a ser 9L cuadrado, ¿vale? Esto es 3 al cuadrado L cuadrado, ¿de acuerdo? 609 01:22:13,729 --> 01:22:23,489 Luego la respuesta es que yo voy a tener un círculo de superficie nueve veces la superficie del círculo inicial, ¿vale? 610 01:22:25,449 --> 01:22:26,630 Siguiente pregunta. 611 01:22:28,189 --> 01:22:36,149 En la figura de la izquierda el ángulo formado por el brazo derecho dibujado en su posición elevada y en su posición horizontal es de 20 grados. 612 01:22:36,369 --> 01:22:40,289 ¿Cuánto mide este ángulo en la figura de la derecha y por qué? 613 01:22:40,289 --> 01:22:41,189 ¿Vale? 614 01:22:41,189 --> 01:22:45,149 lo que me están diciendo es 615 01:22:45,149 --> 01:22:46,989 voy a borrar todo esto 616 01:22:46,989 --> 01:22:49,569 para mayor claridad 617 01:22:49,569 --> 01:22:52,710 vale 618 01:22:52,710 --> 01:23:06,090 estoy aquí 619 01:23:06,090 --> 01:23:08,810 quitando esto, aunque no hace falta 620 01:23:08,810 --> 01:23:10,350 es para que 621 01:23:10,350 --> 01:23:12,069 se vea mejor 622 01:23:12,069 --> 01:23:16,520 vaya 623 01:23:16,520 --> 01:23:18,060 me he enredado 624 01:23:18,060 --> 01:23:22,260 entonces, vale 625 01:23:22,260 --> 01:23:24,220 un segundo 626 01:23:24,220 --> 01:23:26,739 vale, entonces me están 627 01:23:26,739 --> 01:23:27,960 diciendo que este ángulo 628 01:23:27,960 --> 01:23:50,590 vale aproximadamente 20 grados. Y me están pidiendo que cuánto mide este ángulo de aquí, ¿vale? 629 01:23:51,510 --> 01:23:56,710 Alfa. Esto lo vamos a llamar alfa, ¿no? Y si la figura de la izquierda no lo he formado, 630 01:23:57,470 --> 01:24:01,270 ¿cuánto mide este ángulo en la figura de la derecha y por qué? Pues la respuesta es 631 01:24:01,270 --> 01:24:06,550 muy sencilla, el ángulo no varía. El ángulo es el mismo porque entre figuras semejantes 632 01:24:06,550 --> 01:24:08,350 los ángulos, ¿no? 633 01:24:08,609 --> 01:24:10,109 Valían, ¿vale? 634 01:24:11,149 --> 01:24:12,250 Y con eso 635 01:24:12,250 --> 01:24:13,829 habíamos terminado el examen. 636 01:24:14,430 --> 01:24:14,729 ¿De acuerdo?