1 00:00:00,000 --> 00:00:07,000 Vamos a ver el recorrido, cómo calcular el recorrido de una función a partir de su gráfica. 2 00:00:08,060 --> 00:00:12,720 Recordemos primero el concepto de recorrido. ¿Qué era el recorrido de una función? 3 00:00:13,919 --> 00:00:24,429 Pues el recorrido de una función es, dada una función que me está relacionando 4 00:00:24,429 --> 00:00:27,750 elementos del conjunto inicial 5 00:00:27,750 --> 00:00:31,550 con elementos del conjunto final 6 00:00:31,550 --> 00:00:38,109 decíamos que a cada elemento 7 00:00:38,109 --> 00:00:41,990 le corresponde un elemento del conjunto inicial 8 00:00:41,990 --> 00:00:45,310 por ejemplo, a E le corresponde 9 00:00:45,310 --> 00:00:48,170 lo que venimos llamando F a A 10 00:00:48,170 --> 00:00:50,490 perdón, al elemento A 11 00:00:50,490 --> 00:00:54,450 le corresponde lo que venimos llamando el elemento F de A 12 00:00:54,450 --> 00:00:58,560 que llamamos también 13 00:00:58,560 --> 00:01:12,859 imagen de A, pues bien, el recorrido era todos los elementos que se encuentran en el conjunto final 14 00:01:12,859 --> 00:01:26,040 que tienen antiimagen. La antiimagen era, pues, imaginad, recordemos, está explicado en varios vídeos, 15 00:01:26,040 --> 00:01:35,760 pero imaginemos que a este elemento, que llamo, por ejemplo, C, a este elemento que llamo D, 16 00:01:41,659 --> 00:01:49,480 le asignamos este elemento del conjunto final, por ejemplo, K, que valiera K, imagínate. 17 00:01:50,920 --> 00:02:00,379 Podemos decir que esto es igual a F de C, ¿verdad? Y es igual a F de D, porque tanto C y D tienen imagen K. 18 00:02:01,060 --> 00:02:13,800 Pues bien, la antiimagen de K, que escribíamos así, pues sería el conjunto de elementos C y D, 19 00:02:13,919 --> 00:02:20,740 que son los elementos del conjunto inicial, cuya imagen es K. 20 00:02:22,780 --> 00:02:33,900 Bueno, pues el recorrido de una función, ya lo hemos visto, era todos aquellos elementos del conjunto final, 21 00:02:33,900 --> 00:02:44,830 final el conjunto final que tienen antiimagen y es que pensemos que puede haber algún elemento 22 00:02:44,830 --> 00:02:56,219 aquí por ejemplo como estos estos que estén solos que no haya ninguna flecha que llegue 23 00:02:56,219 --> 00:03:03,400 hasta ese punto desde el conjunto inicial y por tanto no podríamos decir que tienen antiimagen 24 00:03:03,400 --> 00:03:30,219 ¿De acuerdo? Pues bien, vamos a ver cómo calcular la antiimagen, vamos a ver, bien, pues decíamos, el recorrido es todos los elementos del conjunto final que tienen antiimagen, bien, vamos a ver cómo calcular la antiimagen, perdón, el recorrido a partir de una gráfica, a partir de la gráfica de una función. 25 00:03:30,219 --> 00:04:06,000 Bien, os presento esta gráfica. Vamos a ver su recorrido. Fijaros, la gráfica nace aquí, en este caso, parte de aquí, y vemos que va hacia el infinito, 26 00:04:06,000 --> 00:04:11,580 digamos que se va arrimando al eje de las X, aquí está el eje de las Y, 27 00:04:11,780 --> 00:04:18,120 se arrima al eje de las X cada vez más, va como aterrizando, como un avión aterrizando. 28 00:04:20,329 --> 00:04:25,110 Nunca va a llegar, ¿de acuerdo? Esta es la función con la que vamos a trabajar. 29 00:04:25,949 --> 00:04:33,110 Pues bien, el recorrido sería, hemos dicho todos los elementos del conjunto final 30 00:04:33,110 --> 00:04:36,050 que tienen antiimagen, ese es el recorrido. 31 00:04:36,050 --> 00:04:51,360 El conjunto final se representa en el eje de las y, en el eje vertical de las y, y el conjunto inicial en el eje de las x. 32 00:04:52,279 --> 00:05:03,680 Este sería el conjunto inicial y este sería el conjunto final. 33 00:05:03,680 --> 00:05:28,490 Ya sabemos que, dado un valor de x, por ejemplo, a del conjunto inicial, para encontrar la imagen, o sea, el elemento del conjunto final asociado, trazamos la perpendicular, cuando nos chocamos con el dibujo, trazamos la horizontal y este sería el valor de la imagen. 34 00:05:28,490 --> 00:05:37,300 Esto sería f de a, la imagen de a. 35 00:05:37,899 --> 00:05:41,439 Y al revés, ¿cómo calcular antiimágenes a partir de la gráfica? 36 00:05:41,500 --> 00:05:46,540 Pues mira, este elemento, ¿qué antiimagen tiene? 37 00:05:47,000 --> 00:05:53,620 Pues para calcular antiimagen, escribimos así f a la menos 1. 38 00:05:54,439 --> 00:05:56,699 Por ejemplo, del 2, ¿qué hacemos? 39 00:05:56,699 --> 00:06:08,019 Pues mira, te vas a donde tienes representado el conjunto final, que es el eje de las íes, y buscas el 2, que está aquí. 40 00:06:09,019 --> 00:06:16,519 ¿Y qué hacemos? Pues calculamos la antiimagen, trazando una horizontal. 41 00:06:19,000 --> 00:06:26,000 Cuando me choco con el dibujo, esto no es gráfica, cuando me choco con el dibujo, aquí vemos que me choco en tres lugares, 42 00:06:26,000 --> 00:06:37,040 pues trazo la perpendicular y así obtengo las anti imágenes de el menos 2 que serían por un 43 00:06:37,040 --> 00:06:53,889 lado este valor vamos a ver cuáles son menos 8 si estuviera bien menos 8 es uno de ellos el otro es 44 00:06:53,889 --> 00:07:04,269 ¿Qué es este? Perdón, me equivoco, este. Esta es la antiemagen del 2, porque se choca aquí, si bajas, está aquí. 45 00:07:04,670 --> 00:07:17,209 ¿Qué valor es este? Menos 1. Y el otro es este. Nos chocamos aquí, bajamos, y ¿qué valor es? 46 00:07:17,910 --> 00:07:29,920 Vamos a evaluar aquí, el 7. Bien, pues la antiemagen del menos 2 sería 8 menos 1 y 7. 47 00:07:29,920 --> 00:07:38,100 Bien, pues una vez explicado esto, vamos a calcular el recorrido de la función. 48 00:07:39,600 --> 00:07:57,860 Pues el recorrido de la función, ya hemos dicho que es todos los valores del conjunto final, o sea, todos los valores de aquí, que tienen antiimagen. 49 00:07:57,860 --> 00:08:08,779 Pues, por ejemplo, pensemos, vamos a ver si este punto tiene antiimagen. 50 00:08:08,980 --> 00:08:15,500 Pues vas así, trazasla horizontal, y ahí va, pues no me choco con el dibujo. 51 00:08:17,220 --> 00:08:25,060 Borro ya, no me choco con el dibujo, no puedo calcular su antiimagen, no tiene antiimagen. 52 00:08:25,060 --> 00:08:40,529 Así que escribiríamos que este valor, por ejemplo, que fuera el 5, pues el 6, el 6 no está en el recorrido. 53 00:08:41,009 --> 00:08:46,070 Lo escribimos así, no pertenece al recorrido de la función f. 54 00:08:47,230 --> 00:08:56,379 Vamos a ver, por ejemplo, este punto, este es el menos 4. 55 00:08:57,320 --> 00:09:00,419 El menos 4 pertenece al recorrido de la función. 56 00:09:00,980 --> 00:09:10,419 Pues vamos a ver. Trazas la horizontal. Cuando te chocas con el dibujo, no te chocas. 57 00:09:10,419 --> 00:09:19,399 Como ves, no te chocas, pues el número valor menos 4 no pertenece al recorrido de la función f. 58 00:09:20,539 --> 00:09:24,639 Bueno, pues ¿qué valores pertenecen al recorrido de la función f? 59 00:09:25,059 --> 00:09:33,600 Pues todos los valores que se encuentran en el conjunto final, que está representado aquí, 60 00:09:33,600 --> 00:09:42,759 que les sucede que, al trazar una horizontal, se chocan con el dibujo al menos una vez. 61 00:09:43,039 --> 00:09:48,779 Por ejemplo, este valor, el 5, se choca aquí. 62 00:09:50,159 --> 00:09:52,179 Su antiimagen sería esta. 63 00:09:54,409 --> 00:09:55,730 Sí está en el recorrido. 64 00:09:56,629 --> 00:10:01,529 Podemos decir que 5 pertenece al recorrido de la función. 65 00:10:02,470 --> 00:10:04,269 Vamos a ver este de aquí, el 4. 66 00:10:05,309 --> 00:10:08,330 Pues también se choca dos veces. 67 00:10:08,330 --> 00:10:22,409 4 también, también el 4,7 pertenece al recorrido de la función, pues sí, porque anda por aquí, se choca aquí y aquí, pues sí, también pertenece al recorrido de f. 68 00:10:22,409 --> 00:10:29,090 Bien, pues, ¿cómo determinar cuál es el recorrido de la función? 69 00:10:29,230 --> 00:10:38,039 Pues todos esos valores del eje del conjunto final, del eje vertical, 70 00:10:38,039 --> 00:10:44,440 que al trazar una horizontal se chocan con el dibujo y son, van, como veis, desde aquí, 71 00:10:48,940 --> 00:10:51,759 que es el menos uno, menos dos, menos tres. 72 00:10:53,899 --> 00:10:55,100 Este es el punto. 73 00:10:55,100 --> 00:11:15,539 no me decía antes de aquí el recorrido es desde aquí para arriba hasta aquí es decir el recorrido 74 00:11:15,539 --> 00:11:32,539 sería todo esto este es el recorrido de la función y como lo escribimos lo escribimos así este es 75 00:11:32,539 --> 00:11:45,039 menos 1 menos 2 y este es menos 3 es 1 2 3 4 y aquí está el 5 vale 76 00:11:45,039 --> 00:11:50,039 pues mirad todos los valores de i 77 00:11:50,039 --> 00:12:03,220 que están entre menos 3 y 5 son todos estos tienen antiimagen 78 00:12:03,220 --> 00:12:11,600 incluidos el menos 3 y el 5 y por tanto podemos decir que el recorrido de la 79 00:12:11,600 --> 00:12:26,340 función f es el intervalo cerrado menos 35 o sea todos los valores que están 80 00:12:26,340 --> 00:12:34,440 comprendidos entre menos 3 y 5 incluidos los extremos por eso lo pongo cerrado y 81 00:12:34,440 --> 00:12:35,799 Y ese es el recorrido de la función. 82 00:12:41,360 --> 00:12:43,519 Vamos a calcular otro ejemplo. 83 00:12:43,679 --> 00:12:44,399 Vamos a hacer otro ejemplo. 84 00:12:44,480 --> 00:12:46,519 El recorrido de esta función, muy rápidamente. 85 00:12:47,679 --> 00:12:54,000 Bien, una observación es que cuando en una gráfica ponemos estas flechitas, 86 00:12:54,840 --> 00:13:01,240 así como veis aquí, lo que está indicando es que esto continúa creciendo hacia arriba. 87 00:13:01,559 --> 00:13:02,779 Que no para nunca. 88 00:13:03,299 --> 00:13:03,700 ¿De acuerdo? 89 00:13:04,879 --> 00:13:08,700 Entonces, y además se está abriendo, como veis, esta gráfica. 90 00:13:09,340 --> 00:13:11,679 Se está abriendo 91 00:13:11,679 --> 00:13:15,799 Entonces, vamos a ver cuál sería el recorrido de esta función 92 00:13:15,799 --> 00:13:21,440 Pues todos los valores, como digo, que tengan anti-imagen 93 00:13:21,440 --> 00:13:23,360 Pertenecen al recorrido de la función 94 00:13:23,360 --> 00:13:27,200 Entonces, en este caso sería 95 00:13:27,200 --> 00:13:29,500 Fijaros 96 00:13:29,500 --> 00:13:35,840 Voy a rehacer el dibujo para que se vea un poco mejor 97 00:13:35,840 --> 00:13:38,259 Bien, tenemos esta función 98 00:13:38,259 --> 00:13:41,500 Es la misma que antes, la he dibujado un poco más grande 99 00:13:41,500 --> 00:13:45,000 Decía que esto continúa creciendo hasta el infinito. 100 00:13:45,200 --> 00:13:48,320 Pues bien, ¿cuál es el recorrido de esta función? 101 00:13:48,759 --> 00:13:57,980 Pues mirad, vamos a ver qué valores de el conjunto, este recuerdo que era el eje x, o también conjunto inicial, 102 00:13:59,080 --> 00:14:05,360 y este sería el eje y, o también conjunto final. 103 00:14:06,500 --> 00:14:11,159 Pues el recorrido era todos los valores del conjunto final que tiene la antiimagen. 104 00:14:11,500 --> 00:14:23,759 Entonces veamos, por ejemplo, este punto está en el conjunto final, corresponde al menos 5, 105 00:14:25,220 --> 00:14:32,240 pertenece al recorrido de la función y entonces hacemos lo propio, calculamos su antiimagen 106 00:14:32,240 --> 00:14:35,720 y si tiene antiimagen, pues pertenece al recorrido. 107 00:14:35,720 --> 00:14:41,440 trazamos la perpendicular hasta que nos chocamos con el dibujo 108 00:14:41,440 --> 00:14:45,659 pero no nos chocamos con el dibujo de la gráfica 109 00:14:45,659 --> 00:14:48,519 por lo tanto no tiene antiimagen 110 00:14:48,519 --> 00:14:57,980 diríamos que el elemento menos 5 no pertenece al recorrido de f 111 00:14:57,980 --> 00:15:03,870 menos 4,1 pues que menos 4,1 anda por aquí 112 00:15:03,870 --> 00:15:10,909 Y tampoco se choca con el dibujo, pues no pertenece al recorrido de F. 113 00:15:11,570 --> 00:15:16,649 ¿Qué le pasa a este elemento, al 3? 114 00:15:18,409 --> 00:15:20,330 1, 2, 3, como veis, el 3. 115 00:15:20,330 --> 00:15:38,039 Pues el 3 sí tiene antiimagen y, por tanto, efectivamente, 3 diríamos que pertenece al recorrido de F. 116 00:15:41,129 --> 00:15:43,049 3 pertenece al recorrido de F. 117 00:15:44,450 --> 00:15:49,490 Pero, bien, vamos a ver cuál sería entonces ya el recorrido de F. 118 00:15:49,490 --> 00:16:19,570 Pues todos estos valores, como veis, desde aquí para arriba, todos estos valores están en el conjunto final y esto sin parar, porque como he dicho, esta función crece, hemos puesto las flechitas, crece indefinidamente. 119 00:16:19,570 --> 00:16:27,710 Y esto, por tanto, cualquier valor de aquí va a tener antiimagen hasta el más infinito. 120 00:16:28,009 --> 00:16:41,019 El recorrido de esta función, como vemos, es el siguiente, desde este punto hasta el más infinito. 121 00:16:41,299 --> 00:16:45,139 ¿Y este punto cuál es? Pues menos 1, menos 2, menos 3. 122 00:16:45,139 --> 00:16:47,480 así que incluido el menos 3 123 00:16:47,480 --> 00:16:48,720 porque el menos 3 tiene 124 00:16:48,720 --> 00:16:51,159 antiimagen 125 00:16:51,159 --> 00:16:54,559 el menos 3 que está aquí 126 00:16:54,559 --> 00:16:56,220 tiene antiimagen, pues mire 127 00:16:56,220 --> 00:16:58,740 traza una perpendicular 128 00:16:58,740 --> 00:17:01,379 cuando te chocas con el dibujo 129 00:17:01,379 --> 00:17:02,639 ¿te chocas? pues sí, aquí 130 00:17:02,639 --> 00:17:05,710 trazas la horizontal 131 00:17:05,710 --> 00:17:09,609 por cierto, ¿cuál es la...? 132 00:17:09,609 --> 00:17:10,910 bueno, entonces diríamos sí 133 00:17:10,910 --> 00:17:12,789 entonces es el recorrido de f 134 00:17:12,789 --> 00:17:14,990 es igual a 135 00:17:14,990 --> 00:17:17,210 el intervalo desde el menos 3 136 00:17:17,210 --> 00:17:24,579 hasta el más infinito, por cierto, ¿cuánto vale 137 00:17:24,579 --> 00:17:33,900 la antiimagen del menos 3? Pues vale 0 138 00:17:33,900 --> 00:17:39,960 porque f de 0 que está aquí es menos 3 139 00:17:39,960 --> 00:17:44,039 esto es una anécdota, no tiene nada que ver con el recorrido 140 00:17:44,039 --> 00:17:47,720 ¿vale? Bien, termino aquí el ejercicio, entonces repito 141 00:17:47,720 --> 00:17:51,740 esta función tiene como recorrido desde el menos infinito 142 00:17:51,740 --> 00:17:55,180 hasta el más infinito, desde el menos 3, perdón 143 00:17:55,180 --> 00:17:59,420 hasta el más infinito, a ver, de manera un poco más chapucera diríamos 144 00:17:59,420 --> 00:18:02,640 todo el recorrido es 145 00:18:02,640 --> 00:18:05,779 todos los elementos del conjunto del eje Y 146 00:18:05,779 --> 00:18:10,700 donde hay dibujo 147 00:18:10,700 --> 00:18:15,140 ¿vale? esa sería la otra manera un poco rápida 148 00:18:15,140 --> 00:18:18,559 de ver la misma cuestión, ¿de acuerdo?