1 00:00:03,120 --> 00:00:06,599 Vamos a resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. 2 00:00:07,040 --> 00:00:12,220 Para ello vamos a utilizar el método de Gauss, que debe su nombre a un matemático alemán. 3 00:00:12,859 --> 00:00:16,120 Además nos apoyaremos en las matrices y os preguntaréis ¿qué es eso? 4 00:00:16,460 --> 00:00:21,079 Nada, tranquilos, porque básicamente son cajas con números. 5 00:00:21,600 --> 00:00:22,559 Vamos a verlo con un ejemplo. 6 00:00:24,280 --> 00:00:26,600 Imaginemos que queremos resolver este sistema, ¿vale? 7 00:00:26,679 --> 00:00:29,399 Tiene tres ecuaciones y tres incógnitas. 8 00:00:29,399 --> 00:00:34,820 lo primero que vamos a hacer es expresar este sistema en forma matricial. 9 00:00:36,380 --> 00:00:39,320 Como os he dicho, las matrices son cajas de números. 10 00:00:40,979 --> 00:00:50,659 Esta barra lo que hace es separar los coeficientes de las variables de los términos independientes. 11 00:00:51,859 --> 00:00:55,719 Fijaros, aquí hay un 1 porque el coeficiente de la x es 1. 12 00:00:55,899 --> 00:00:58,799 Aquí hay un 1 porque el coeficiente de la y es 1. 13 00:00:59,399 --> 00:01:06,640 Hay un menos 1 porque el coeficiente de la z es menos 1 y aquí hay un 1 porque el término independiente de la primera ecuación es un 1. 14 00:01:07,459 --> 00:01:20,260 3 porque el coeficiente de x es un 3, menos 5 porque el coeficiente de y es un menos 5, 4 porque el coeficiente de z es un 4 y 2 que es el término independiente. 15 00:01:20,859 --> 00:01:27,060 Fijaros que son los coeficientes y el término independiente de la primera ecuación. 16 00:01:27,060 --> 00:01:37,799 los coeficientes y el término independiente de la segunda ecuación, los coeficientes y el término independiente de la tercera ecuación, ¿vale? 17 00:01:38,640 --> 00:01:47,879 ¿En qué consiste el método de Gauss? Bueno, pues el método de Gauss lo que persigue es obtener un sistema equivalente a este escalonado. 18 00:01:47,879 --> 00:01:58,000 ¿Qué quiere decir escalonado? Si os imagináis una escalerita aquí, lo que vamos a pretender es sacar un cero debajo de esa escalera. 19 00:01:58,079 --> 00:02:01,379 Estos numeritos que están aquí, lo que vamos a perseguir es que sean ceros. 20 00:02:02,459 --> 00:02:07,420 ¿Escalonado? Pues porque al final va a aparecer todo lo que hay por aquí arriba, alguno puede no aparecer, 21 00:02:08,060 --> 00:02:12,400 pero lo que no va a aparecer seguro es lo de aquí, porque van a ser ceros. 22 00:02:12,960 --> 00:02:15,740 ¿Cómo vamos a conseguir eso? Aplicando reducción. 23 00:02:15,740 --> 00:02:19,539 ¿Vale? Simplemente vamos a aplicar reducción, que es un método que ya conocéis. 24 00:02:20,020 --> 00:02:25,500 Cuando aplico reducción, lo que quiero tener es coeficientes opuestos. 25 00:02:25,719 --> 00:02:33,719 Entonces, si tengo aquí un 3 y utilizo la primera ecuación, necesitaría que aquí hubiera un menos 3 para que al sumar se me fuera. 26 00:02:34,280 --> 00:02:41,240 ¿Cómo lo voy a hacer? Voy a multiplicar toda esta fila por menos 3, porque lo que no puedo hacer es multiplicar solamente un número. 27 00:02:41,240 --> 00:02:50,819 Pero si a un número de una ecuación la multiplico por un número, lo tengo que hacer con todos los términos que haya en esa ecuación para que la ecuación sea equivalente. 28 00:02:51,719 --> 00:02:58,500 Entonces, me interesaría multiplicar esta fila, que es la fila 1, por menos 3 y sumárselo a la fila 2. 29 00:02:58,919 --> 00:03:00,939 De esa manera me saldría aquí un 0. 30 00:03:01,919 --> 00:03:08,400 De igual forma, si quiero sacar un 0 aquí y utilizo la primera fila, necesitaría tener un 2. 31 00:03:08,400 --> 00:03:14,419 Lo mismo, si multiplico este elemento por 2, lo tengo que hacer con todos los elementos de la fila. 32 00:03:15,300 --> 00:03:19,060 La primera la voy a dejar como está. Vamos a expresar esto que acabamos de decir. 33 00:03:20,680 --> 00:03:31,120 Mira, ¿qué hemos dicho? La primera fila la vamos a multiplicar por menos 3 para que al sumarlo con la segunda fila, aquí me quede un 0. 34 00:03:31,479 --> 00:03:34,979 ¿Y dónde lo voy a escribir? En la segunda fila del siguiente sistema. 35 00:03:35,479 --> 00:03:45,860 De igual manera, hemos dicho que la fila 1 la vamos a multiplicar por 2, esta fila la vamos a multiplicar por 2 y se lo vamos a sumar a la fila 3. 36 00:03:46,099 --> 00:03:47,879 ¿Veis? Se lo vamos a sumar a esta de aquí. 37 00:03:48,400 --> 00:03:51,840 ¿Dónde vamos a poner el resultado? En la fila 3 del siguiente sistema. 38 00:03:52,659 --> 00:03:56,560 Y la fila 1 se va a quedar tal cual está. Esta fila se va a quedar tal cual. 39 00:03:57,060 --> 00:04:00,060 Cuando hagamos estas cuentas, el resultado va a ser el siguiente. 40 00:04:01,479 --> 00:04:03,259 Vamos a explicarlo un poquito más despacio. 41 00:04:03,860 --> 00:04:06,020 Hemos dicho que la fila 1 se queda como está. 42 00:04:06,439 --> 00:04:10,340 Entonces, 1, 1, menos 1, 1, 1, 1, menos 1, 1. 43 00:04:10,460 --> 00:04:11,240 Se queda tal cual. 44 00:04:11,879 --> 00:04:15,319 Ahora lo que vamos a hacer es que la fila 1 la voy a multiplicar por menos 3 45 00:04:15,319 --> 00:04:17,279 y se lo voy a sumar a la fila 2. 46 00:04:17,899 --> 00:04:23,079 Si yo a este elemento le multiplico por menos 3, menos 3 más 3, mirad, 0. 47 00:04:24,100 --> 00:04:30,560 Si a este le multiplico por menos 3, menos 3 más menos 5, menos 8. 48 00:04:30,560 --> 00:04:36,620 Menos 1 por menos 3, 3 más 4, 7 49 00:04:36,620 --> 00:04:43,379 Menos 3 por 1, menos 3 más 2, menos 1 50 00:04:43,379 --> 00:04:48,920 ¿Lo veis? Así que el resultado lo he escrito en la fila 2 del siguiente sistema 51 00:04:48,920 --> 00:04:52,680 Lo mismo con la fila 1 y la fila 3 52 00:04:52,680 --> 00:04:54,459 Pero ahora multiplicada por 2 53 00:04:54,459 --> 00:04:56,300 Hemos dicho dos veces la fila 1 54 00:04:56,300 --> 00:04:58,000 1 por 2, 2 55 00:04:58,000 --> 00:05:00,420 2 menos 2, 0 56 00:05:00,420 --> 00:05:14,839 1 por 2, 2, más 1, 3. Menos 1 por 2, menos 2, menos 2, menos 3, menos 5. 1 por 2, 2, 2, menos 4, menos 2. 57 00:05:15,759 --> 00:05:23,480 ¿Qué hemos conseguido con estas operaciones con las ecuaciones? Conseguir dos ceros aquí, que era lo que perseguíamos. 58 00:05:23,480 --> 00:05:36,199 ¿Vale? Todavía nos falta sacar un 0 aquí. ¿Cómo voy a sacar un 0 aquí? Bueno, pues la primera fila la voy a dejar como está, la segunda la voy a dejar como está, pero la voy a utilizar para sacar un 0 aquí. 59 00:05:36,800 --> 00:05:44,379 Esta es un poquito más difícil porque en este caso al utilizar la primera, ¿qué es lo que ha pasado? Que he multiplicado por menos 3 y se me ha ido. 60 00:05:45,139 --> 00:05:50,759 Como aquí tengo un 8, va a ser un poquito más complicado la operación que tengo que hacer para que me quede aquí un 0. 61 00:05:51,339 --> 00:05:57,860 ¿Cómo lo hago? Igual que lo hacíamos por reducción, imaginaros que aquí tenéis menos 8i y aquí tenéis 3i. 62 00:05:57,860 --> 00:06:05,600 Si os imagináis eso y pensáis en cómo lo haríais por reducción, esta la multiplicaríais por 3 y esta la multiplicaríais por 8. 63 00:06:05,600 --> 00:06:16,269 ¿Vale? ¿Qué vamos a hacer? Tres veces los elementos de la fila 2, le voy a sumar ocho veces los elementos de la fila 3. 64 00:06:16,410 --> 00:06:21,870 ¿Y dónde lo voy a escribir? En la fila 3 del siguiente sistema. La primera y la segunda se van a quedar tal cual. 65 00:06:23,819 --> 00:06:32,120 ¿Cuál sería el resultado? Este de aquí. Hemos dicho, la primera se queda tal cual, la segunda se queda tal cual. 66 00:06:32,819 --> 00:06:36,319 Vamos a ver de dónde salen estos números de aquí, ¿vale? 67 00:06:37,399 --> 00:06:42,439 Cogemos tres veces los elementos de la fila 2 y le sumamos ocho veces los elementos de la fila 3. 68 00:06:43,259 --> 00:06:49,120 0 por 3, 0, más 8 por 0, 0. Si lo sumo, 0. 69 00:06:50,319 --> 00:06:55,279 Esta de aquí, 3 por menos 8, menos 24. Y esta hemos dicho por 8. 70 00:06:55,959 --> 00:06:59,879 8 por 3, 24, menos 24, más 24, 0. 71 00:07:00,639 --> 00:07:02,319 Vamos con este elemento de aquí. 72 00:07:03,379 --> 00:07:09,519 La fila 2 hemos dicho que la multiplicamos por 3, así que la fila 2 la vamos a multiplicar por 3. 73 00:07:10,019 --> 00:07:14,459 3 por 7, 21. 21 más esta por 8. 74 00:07:15,160 --> 00:07:17,680 8 por menos 5, menos 40. 75 00:07:18,680 --> 00:07:22,180 Si lo opero, me queda menos 19. 76 00:07:24,019 --> 00:07:26,300 ¿Cuál es la siguiente cuenta que tenemos que hacer? 77 00:07:26,879 --> 00:07:29,060 Esta la tengo que multiplicar por 3. 78 00:07:29,879 --> 00:07:31,920 3 por menos 1, menos 3. 79 00:07:32,579 --> 00:07:35,759 Y esta la voy a multiplicar por 8. 80 00:07:35,759 --> 00:07:47,980 Así que será 8 por menos 2, menos 16, menos 16 y el menos 3 que teníamos antes, me queda el menos 19. 81 00:07:48,600 --> 00:07:53,379 Así que ya sabemos de dónde sale este de aquí y este de aquí. 82 00:07:54,040 --> 00:07:55,680 Ya hemos conseguido lo que perseguíamos. 83 00:07:55,680 --> 00:08:01,819 mirar, chicos, lo que perseguíamos eran ceros aquí y aquí. Ya tengo mi sistema escalonado, 84 00:08:01,920 --> 00:08:06,819 tengo aquí como una escalera imaginaria, ¿vale? Igual que hemos pasado de este sistema a la 85 00:08:06,819 --> 00:08:14,399 forma matricial, ahora vamos a pasar de la forma matricial al sistema. Fijaros, los elementos 86 00:08:14,399 --> 00:08:20,819 de esta columna correspondían a los coeficientes de las x, los coeficientes de esta columna 87 00:08:20,819 --> 00:08:25,379 corresponden a los de las y y los coeficientes de esta columna corresponden a los de z. 88 00:08:25,680 --> 00:08:31,000 Pues ahora va a pasar lo mismo. Esta columna será x, esta columna será y y esta columna será z. 89 00:08:31,439 --> 00:08:40,519 Así que será x más y menos z igual a 1. 0x, que no lo pongo, menos 8y más 7z igual a menos 1. 90 00:08:41,500 --> 00:08:45,960 0x más 0y, que no lo voy a poner, menos 19z igual a menos 19. 91 00:08:46,659 --> 00:08:51,320 Mirad lo que hemos conseguido con el sistema escalonado. Abajo solamente tengo una incógnita. 92 00:08:51,320 --> 00:08:55,960 Al tener solamente una incógnita, puedo despejarla y obtener el valor de Z. 93 00:08:56,480 --> 00:09:01,600 Una vez que tengo el valor de Z, me subo a esta ecuación y donde pone Z sustituyo el valor. 94 00:09:02,059 --> 00:09:08,259 Z me ha salido 1, así que pondré menos 8Y más 7 por 1 y me quedará menos 1. 95 00:09:09,559 --> 00:09:12,740 ¿Qué he conseguido con esto? Que ya puedo calcular el valor de Y. 96 00:09:15,750 --> 00:09:19,730 Ya tengo el valor de Y. Una vez que tengo el valor de Y y el valor de Z, 97 00:09:19,730 --> 00:09:24,070 puedo venirme a esta ecuación y sustituir la y por su valor, que me ha quedado 1, 98 00:09:24,409 --> 00:09:26,629 y la z por su valor, que me ha quedado 1. 99 00:09:27,929 --> 00:09:32,190 Cuando sustituyo los valores, ya directamente me sale el valor de x. 100 00:09:33,009 --> 00:09:34,350 Pues ya hemos resuelto el sistema. 101 00:09:34,629 --> 00:09:40,289 La solución del sistema será x igual 1, y igual 1, z igual 1. 102 00:09:41,110 --> 00:09:43,470 Espero que con esto ya haya quedado muy claro.