1
00:00:00,560 --> 00:00:04,940
Hola, os voy a resolver el examen del 19 de diciembre, ¿vale? De análisis.

2
00:00:05,339 --> 00:00:08,900
El primer ejercicio eran 5 integrales de las que teníais que elegir 4.

3
00:00:09,720 --> 00:00:13,880
Vamos a ver que cualquiera que hubierais elegido no eran muy complicadas.

4
00:00:14,039 --> 00:00:21,059
La primera, que teníamos el apartado A, se ve a simple vista que tenemos que hacer una integración por partes, ya que no es inmediata.

5
00:00:21,699 --> 00:00:29,559
Como tenemos una X, una polinómica por una trigonométrica, la trigonométrica sabemos que siempre es cíclica y sabemos sus integrales también.

6
00:00:29,559 --> 00:00:34,719
y x al derivarla se nos va a bajar en grado por lo tanto nos va a desaparecer

7
00:00:34,719 --> 00:00:41,159
así que vamos a llamar siempre u en este caso a la x y por lo tanto la diferencial de u

8
00:00:41,159 --> 00:00:48,320
sería simplemente diferencial de x y mi diferencial de v como hemos dicho va a ser el seno de 2x

9
00:00:48,320 --> 00:00:57,130
diferencial de x y por lo tanto mi función v va a ser si la integral del seno de 2x

10
00:00:57,130 --> 00:01:05,670
por lo tanto sería menos el coseno de 2x, y ojo, que es la única pequeña complicación y despiste que habéis tenido alguno,

11
00:01:05,790 --> 00:01:09,829
que lo tengo que dividir entre 2, ya que no está la derivada del 2x, ¿vale?

12
00:01:10,069 --> 00:01:19,890
Ahora ya aplicamos la regla de integración por partes, esto sería u por v, por lo tanto voy a poner el menos primero, la x, el coseno de 2x,

13
00:01:19,890 --> 00:01:26,849
y todo lo parto por 2 menos la integral de v diferencial de u.

14
00:01:27,150 --> 00:01:31,349
Como tengo en el v un menos, lo voy a transformar aquí, este menos con el menos hace más

15
00:01:31,349 --> 00:01:38,810
y me quedaría simplemente el coseno de 2x partido de 2 diferencial de x.

16
00:01:39,189 --> 00:01:40,909
Y esto ya es una integral inmediata.

17
00:01:41,609 --> 00:01:46,870
Esto sería menos x coseno de 2x, todo entre 2,

18
00:01:46,870 --> 00:01:50,930
más, si es un coseno es porque viene de un seno

19
00:01:50,930 --> 00:01:52,930
y ojo que aquí es donde habéis vuelto a fallar algunos

20
00:01:52,930 --> 00:01:57,090
esto sería el seno de 2x

21
00:01:57,090 --> 00:01:59,109
partido, ¿por quién?

22
00:01:59,530 --> 00:02:01,750
por el 2 que ya teníamos aquí

23
00:02:01,750 --> 00:02:04,250
y el 2 de la derivada de lo de dentro

24
00:02:04,250 --> 00:02:06,269
luego tiene que ser dividido entre 4

25
00:02:06,269 --> 00:02:09,930
aquí es donde algunos se os ha olvidado ponerme un 2

26
00:02:09,930 --> 00:02:11,210
más k

27
00:02:11,210 --> 00:02:14,550
y ya estaría, no había mucho más

28
00:02:14,550 --> 00:02:41,509
Entonces el apartado b era una integral inmediata, ¿vale? Porque fijaos, es una función potencial, o sea es la potencia de una función y arriba justamente en el numerador tengo la derivada de 1 más e elevado a x, es decir esto lo podríamos poner, por si acaso lo veis mejor, como e elevado a x por 1 más e elevado a x todo elevado a menos 2 diferencial de x, ¿vale?

29
00:02:41,509 --> 00:02:52,669
y justamente la derivada del paréntesis es justamente el elevado a x, luego esta era inmediata y esto es 1 más elevado a x elevado a un exponente más,

30
00:02:52,669 --> 00:03:10,789
es decir, menos 2 más 1 menos 1 partido por el menos 2 más 1 que es menos 1 más k y lo podemos arreglar como menos 1 partido por 1 más elevado a x más k, ¿vale?

31
00:03:11,509 --> 00:03:17,169
Integral inmediata, muy facilita, pero que ya tenemos que ser capaces de ver estas cosas.

32
00:03:17,949 --> 00:03:20,509
Venga, vamos un poquito y vamos con el apartado C.

33
00:03:21,129 --> 00:03:26,270
Es también una integración típica por partes, pero en este caso tenemos un x cuadrado,

34
00:03:26,270 --> 00:03:30,550
luego lo vamos a tener que hacer dos veces, igual que lo que hemos hecho al principio.

35
00:03:31,210 --> 00:03:40,710
Entonces hacíamos u, llamamos a x cuadrado, y por lo tanto diferencial de u será 2x diferencial de x

36
00:03:40,710 --> 00:03:55,150
y diferencial de v, vamos a llamar al seno de x diferencial de x y por lo tanto mi v va a ser menos coseno de x, ¿vale?

37
00:03:55,629 --> 00:04:01,389
En este caso como simplemente es el seno de x y no de 2x como antes, pues no tengo que dividirlo por nada.

38
00:04:01,389 --> 00:04:21,550
Vale, aplicamos la fórmula u por v, pongo el menos delante, x cuadrado coseno de x menos la integral de v diferencial de u, como el v es menos coseno, transformo el menos en más y me quedaría 2x por el coseno de x diferencial de x.

39
00:04:21,550 --> 00:04:26,910
vale, pues volvemos a hacer la misma integración por partes

40
00:04:26,910 --> 00:04:29,810
llamo u al 2x

41
00:04:29,810 --> 00:04:36,889
por lo tanto diferencial de u será 2 diferencial de x

42
00:04:36,889 --> 00:04:43,970
y mi diferencial de v va a ser el coseno de x diferencial de x

43
00:04:43,970 --> 00:04:49,790
por lo tanto mi v va a ser simplemente el seno de x

44
00:04:49,790 --> 00:04:54,670
sin que se nos olvide la primera parte

45
00:04:54,670 --> 00:04:58,410
el menos x cuadrado coseno de x

46
00:04:58,410 --> 00:05:01,350
y ahora sería más u por v

47
00:05:01,350 --> 00:05:04,930
pues 2x seno de x

48
00:05:04,930 --> 00:05:09,230
menos la integral de v diferencial de u

49
00:05:09,230 --> 00:05:12,050
es decir de dos veces el seno de x

50
00:05:12,050 --> 00:05:14,329
diferencial de x

51
00:05:14,329 --> 00:05:17,089
y esto ya es una integral inmediata

52
00:05:17,089 --> 00:05:40,050
Lo pongo aquí abajo mismo y esto es menos x cuadrado coseno de x más 2x seno de x menos, tengo el menos del seno, o sea el menos lo puedo entender como que es menos seno de x que es la derivada del coseno,

53
00:05:40,050 --> 00:05:47,550
por tanto aquí me quedaría más dos veces el coseno de x más k, ¿vale?

54
00:05:47,990 --> 00:05:53,550
Y ya estaría esta integral también, es muy sencillito el método de integración por partes.

55
00:05:54,149 --> 00:05:58,689
El 1d, a ver, el 1d es el cociente de una función racional,

56
00:05:59,269 --> 00:06:01,649
en el numerador no está la derivada del denominador

57
00:06:01,649 --> 00:06:04,790
y el grado del numerador es más pequeño que el grado del denominador,

58
00:06:04,930 --> 00:06:06,230
por tanto no podemos dividir.

59
00:06:06,230 --> 00:06:12,089
lo que vamos a hacer es transformarlo en una suma de fracciones más sencillas

60
00:06:12,089 --> 00:06:18,230
nos tendríamos que dar cuenta, yo creo que todos deberíamos darnos cuenta

61
00:06:18,230 --> 00:06:24,149
que el denominador no es otra cosa que x menos 1 al cuadrado

62
00:06:24,149 --> 00:06:27,529
es el cuadrado de una diferencia, tiene una raíz doble

63
00:06:27,529 --> 00:06:34,740
por lo tanto tenemos que utilizar el método x cuadrado menos 2x más 1

64
00:06:34,740 --> 00:06:46,500
Como tenemos una raíz doble, se ponía por un lado una raíz simple más, en la otra fracción, la raíz doble, ¿vale?

65
00:06:47,480 --> 00:06:49,420
x menos 1 al cuadrado.

66
00:06:49,899 --> 00:06:52,939
Y aquí le llamamos, por ejemplo, a y aquí le llamamos b.

67
00:06:52,939 --> 00:07:08,800
Y si sumáramos, esto me quedaría a por x menos 1 más b entre x menos 1 al cuadrado, ¿vale?

68
00:07:08,800 --> 00:07:15,199
y, como siempre, para que dos fracciones sean iguales teniendo el mismo denominador,

69
00:07:15,300 --> 00:07:24,620
los numeradores deben ser iguales y lo que me queda es que x más 2 tiene que ser lo mismo que a por x menos 1 más b.

70
00:07:27,600 --> 00:07:33,079
Aquí algunos, el fallo que tuvisteis es que no salían dos raíces simples, o sea, doble,

71
00:07:33,079 --> 00:07:41,620
no salía la misma raíz, no sé cómo lo hicisteis, entonces, pues bueno, estos son simplemente los típicos errores de cálculo.

72
00:07:42,100 --> 00:07:51,480
Venga, y ahora vamos a dar valores, primero la raíz que tenemos, que es x igual a 1, si la x vale 1, me queda 1 más 2, 3, es igual a a por 0 más b,

73
00:07:51,680 --> 00:07:58,199
por lo tanto me sale directamente el valor de b, y luego si por ejemplo la x vale 0, el valor también más sencillo,

74
00:07:58,199 --> 00:08:01,839
me queda 0 más 2 es 2

75
00:08:01,839 --> 00:08:05,980
igual a 0 menos 1 menos 1

76
00:08:05,980 --> 00:08:07,259
por lo tanto menos a

77
00:08:07,259 --> 00:08:11,379
ay perdón que se me ha olvidado

78
00:08:11,379 --> 00:08:14,519
que la b es 3 más el 3

79
00:08:14,519 --> 00:08:16,420
y vaya directa a ponerlo

80
00:08:16,420 --> 00:08:18,959
por lo tanto si paso la a al otro miembro

81
00:08:18,959 --> 00:08:21,339
y el 2 al otro me queda que la vale

82
00:08:21,339 --> 00:08:25,319
y entonces ya aquí ya tendríamos los valores

83
00:08:25,319 --> 00:08:29,139
sustituimos en la integral inicial

84
00:08:29,139 --> 00:08:46,919
y me queda que esto es la integral de a, que es 1 partido de x menos 1, más 3 partido de x menos 1 al cuadrado con el diferencial de x, ¿vale?

85
00:08:47,179 --> 00:08:54,100
Y esto ya es inmediato, la primera vemos que es un logaritmo, el primer sumando y el segundo sumando es una potencia, ¿vale?

86
00:08:54,100 --> 00:09:06,000
Es decir, lo podemos poner, voy a seguir arrastrando el primero, x menos 1, más, y si lo preferís ver de esta manera, como x menos 1 a la menos 2 diferencial de x, ¿vale?

87
00:09:07,419 --> 00:09:11,220
La derivada de lo de dentro del paréntesis es 1, por lo tanto lo tenemos.

88
00:09:12,500 --> 00:09:19,600
Sigo aquí abajo, y esto sería el logaritmo neperiano del valor absoluto de x menos 1, ¿vale?

89
00:09:19,600 --> 00:09:26,139
más 3 veces x menos 1 elevado a un exponente más

90
00:09:26,139 --> 00:09:28,299
o sea, menos 2 más 1 es menos 1

91
00:09:28,299 --> 00:09:32,059
partido del exponente de menos 1

92
00:09:32,059 --> 00:09:36,259
podemos poner ya directamente el más k

93
00:09:36,259 --> 00:09:39,059
y ahora lo podemos poner un poco más mono

94
00:09:39,059 --> 00:09:41,899
logaritmo neperiano de x menos 1

95
00:09:41,899 --> 00:09:47,659
sería menos 3 partido por x menos 1

96
00:09:47,659 --> 00:09:50,059
más k

97
00:09:50,059 --> 00:09:51,220
vale

98
00:09:51,220 --> 00:09:54,480
pues si no me he equivocado nos quedaría así

99
00:09:54,480 --> 00:09:55,779
y luego el último

100
00:09:55,779 --> 00:09:58,000
la última integral que teníamos

101
00:09:58,000 --> 00:10:00,580
me decían, me daban incluso el cambio

102
00:10:00,580 --> 00:10:02,419
me decían que calculara

103
00:10:02,419 --> 00:10:04,379
esa integral haciendo el cambio de t

104
00:10:04,379 --> 00:10:05,460
igual a elevado a x

105
00:10:05,460 --> 00:10:07,460
en un principio

106
00:10:07,460 --> 00:10:09,679
nos podemos asustar al verla pero

107
00:10:09,679 --> 00:10:12,179
porque yo ya sé que el tema de las exponenciales

108
00:10:12,179 --> 00:10:13,240
como que nos mola mucho

109
00:10:13,240 --> 00:10:15,360
pero la verdad es que es bastante sencilla

110
00:10:15,360 --> 00:10:17,080
solo nos tenemos que dar cuenta de una cosa

111
00:10:17,080 --> 00:10:22,080
Y es que si en un exponente tenemos una suma, es porque viene de un producto, ¿vale?

112
00:10:22,659 --> 00:10:30,840
Es decir, esto es lo mismo que si yo pusiera e elevado a x por e elevado a e elevado a x, diferencial de x.

113
00:10:31,399 --> 00:10:33,139
¿Por qué tenemos que darnos cuenta de esto?

114
00:10:33,200 --> 00:10:41,120
Porque si no, yo quiero hacer el cambio t igual a e elevado a x, y aquí tengo e elevado a x más algo, no podríamos ponerlo.

115
00:10:41,980 --> 00:10:49,259
Entonces ahora ya sí, ya lo puedo sustituir todo, pero tengo que hacer previamente, calcular también para poder sustituir el diferencial de x.

116
00:10:50,039 --> 00:10:59,840
Si t es elevado a x, la x es el logaritmo neperiano de t, y por lo tanto su derivada diferencial de x es 1 partido por t, diferencial de t.

117
00:11:00,159 --> 00:11:02,559
Este es el cambio típico de la exponencial.

118
00:11:02,980 --> 00:11:05,899
Y ahora lo único que tengo que hacer es sustituir, esto es la integral, ¿de quién?

119
00:11:05,899 --> 00:11:13,580
de t por e elevado a t, y ahora sustituimos el diferencial de x, que es 1 partido de t,

120
00:11:14,960 --> 00:11:21,639
diferencial de t. ¿Y qué ocurre? Que esta t con esta t se me va, y que me queda simplemente

121
00:11:21,639 --> 00:11:28,220
la integral de e elevado a t, diferencial de t. Integral inmediata, que es ella misma,

122
00:11:30,159 --> 00:11:34,700
más k, y ahora lo que tendríamos que hacer es deshacer el cambio. O bueno, podríamos

123
00:11:34,700 --> 00:11:38,500
no haber puesto todavía la k y haberla puesto después, una vez que deshago el cambio, ¿vale?

124
00:11:39,080 --> 00:11:47,080
Da lo mismo. Elevado a t, o sea, la t es elevado a x, luego esto es e elevado a e elevado a x, más k.

125
00:11:48,600 --> 00:11:56,080
Y este sería el primer ejercicio. Vale, el ejercicio 2 lo que me piden es calcular el área comprendida

126
00:11:56,080 --> 00:12:03,879
por las funciones f de x raíz de 2x y g de x cuadrado partido por 2. A ver, no hace falta tampoco dibujarlas.

127
00:12:04,700 --> 00:12:22,559
La G es una parábola, ¿vale?, con coeficiente positivo, por lo tanto es sonriente, y la F es una raíz, que de alguna manera es como lo que yo os digo que le llamo como una ceja, es como una, o sea, es la mitad de la parábola que está proyectada, digamos, luego será algo así.

128
00:12:22,559 --> 00:12:26,320
por lo tanto lo que me estarían pidiendo sería este recinto

129
00:12:26,320 --> 00:12:29,159
es decir, lo que yo necesito es calcular este punto y este punto

130
00:12:29,159 --> 00:12:34,059
es decir, los dos puntos de intersección para poder aplicar la regla de Barrow

131
00:12:34,059 --> 00:12:35,539
para poder calcular el área

132
00:12:35,539 --> 00:12:38,179
entonces para calcular esos dos puntos de intersección

133
00:12:38,179 --> 00:12:40,460
lo que tengo que hacer es resolver el sistema

134
00:12:40,460 --> 00:12:43,000
en lugar de f y g la voy a llamar y

135
00:12:43,000 --> 00:12:45,919
y tengo el sistema y igual a raíz de 2x

136
00:12:45,919 --> 00:12:50,899
y igual a x cuadrado partido por 2

137
00:12:50,899 --> 00:12:54,980
y para resolver este sistema aplicamos el método de igualación

138
00:12:54,980 --> 00:13:00,039
y me queda que la raíz de 2x es igual a x cuadrado partido de 2

139
00:13:00,039 --> 00:13:03,100
para quitar la raíz elevamos los dos mingos al cuadrado

140
00:13:03,100 --> 00:13:09,240
y me queda 2x igual a x cuadrado, perdón, x cuarta partido de 4

141
00:13:09,240 --> 00:13:15,559
y si lo paso a la izquierda todo, primero multiplico el 4 por 2

142
00:13:15,559 --> 00:13:24,740
me quedaría 8x igual a x cuarta, o lo que es lo mismo, x cuarta menos 8x igual a cero.

143
00:13:25,399 --> 00:13:33,240
Sacamos factor común y lo que me queda es x por x cubo menos 8 igual a cero.

144
00:13:34,159 --> 00:13:41,259
Y de aquí ¿qué obtenemos? Que o bien la x es cero, mi primer valor, o bien que la x cubo es igual a 8.

145
00:13:41,259 --> 00:14:07,559
Por lo tanto, x es igual a 2. Y de aquí ya tendría mis dos valores. Por lo tanto, el área que me están pidiendo, el área, no es otra cosa que la integral entre 0 y 2 de f de x menos g de x, es decir, de la raíz de 2x menos x cuadrado partido por 2, diferencial de x.

146
00:14:07,559 --> 00:14:10,500
ojo, bueno y aquí como no sé cuál va adelante

147
00:14:10,500 --> 00:14:12,440
cuál va por arriba o por abajo

148
00:14:12,440 --> 00:14:14,659
por si acaso lo pongo en valor absoluto

149
00:14:14,659 --> 00:14:16,860
ojo con poner directamente

150
00:14:16,860 --> 00:14:18,519
la ecuación que me quedaba aquí

151
00:14:18,519 --> 00:14:19,440
del x cuarta

152
00:14:19,440 --> 00:14:22,720
eso en este caso es para resolverlo

153
00:14:22,720 --> 00:14:24,340
sí que es cierto que cuando hemos estado

154
00:14:24,340 --> 00:14:26,240
haciendo funciones que a lo mejor

155
00:14:26,240 --> 00:14:28,720
eran una parábola y una recta o dos parábolas

156
00:14:28,720 --> 00:14:30,399
al restarlas me quedaba

157
00:14:30,399 --> 00:14:32,360
justamente como la ecuación

158
00:14:32,360 --> 00:14:33,700
la parte izquierda de la ecuación

159
00:14:33,700 --> 00:14:35,860
pero en este caso no es así, tenemos que poner

160
00:14:35,860 --> 00:14:40,580
Incluso en el otro caso siempre tenemos que poner una función menos la otra

161
00:14:40,580 --> 00:14:43,840
Porque si no ahí estamos cometiendo errores

162
00:14:43,840 --> 00:14:47,059
Y ahora simplemente es integral, son integrales inmediatas

163
00:14:47,059 --> 00:14:50,240
La integral de la raíz de 2x

164
00:14:50,240 --> 00:14:55,700
A ver, 2x es como si fuera, bueno, lo voy a poner como potencia

165
00:14:55,700 --> 00:15:05,870
Esto es 2x elevado a 1 medio menos x cuadrado partido por 2 diferencial de x

166
00:15:05,870 --> 00:15:08,190
¿Vale? Por si me cuesta de la otra manera

167
00:15:08,190 --> 00:15:09,789
Valores absolutos, lo cierro

168
00:15:09,789 --> 00:15:12,549
Y ahora ya sí, a ver si lo hemos visto así más fácil

169
00:15:12,549 --> 00:15:15,710
Sería, es una potencia, luego esto sería 2x

170
00:15:15,710 --> 00:15:19,210
Elevado a 1 medio más 1

171
00:15:19,210 --> 00:15:22,389
1 medio más 1 son 3 medios

172
00:15:22,389 --> 00:15:24,470
¿Vale?

173
00:15:25,149 --> 00:15:26,950
Y lo tengo que dividir ¿Entre quién?

174
00:15:27,090 --> 00:15:29,190
Entre el exponente, que es 3 medios

175
00:15:29,190 --> 00:15:32,450
Pero también lo tengo que dividir entre la derivada de 2x

176
00:15:32,450 --> 00:15:33,169
Que sería 2

177
00:15:33,169 --> 00:15:36,490
¿Vale? Ya que no está ese 2

178
00:15:36,490 --> 00:15:43,750
Menos la integral de x cuadrado que es x3 partido de 3

179
00:15:43,750 --> 00:15:45,929
Como teníamos el 2, pues 2 por 3

180
00:15:45,929 --> 00:15:50,570
Y esto lo vamos a tener que evaluar entre 0 y 2

181
00:15:50,570 --> 00:15:52,990
Y cierro el valor absoluto

182
00:15:52,990 --> 00:15:55,330
¿Vale? Voy a subir un poquito

183
00:15:55,330 --> 00:16:01,230
Venga, pues ahora ya simplemente o lo podemos arreglar un poquito si queremos

184
00:16:01,230 --> 00:16:09,169
o podemos directamente ya sustituir valores, fijaos que aquí el 3 medios por 2, el 2 con el 2 se me va, ¿vale?

185
00:16:09,169 --> 00:16:32,200
Y ahora si sustituyo en el 2 me quedaría 2 por 2, 4, 4 serían, vamos a ponerlo todo, esto sería 4 elevado a 3 medios partido de 3 menos

186
00:16:32,200 --> 00:16:35,700
2 al cubo es 8

187
00:16:35,700 --> 00:16:39,600
ay que no me pinta

188
00:16:39,600 --> 00:16:41,720
8 partido de 6

189
00:16:41,720 --> 00:16:42,340
¿vale?

190
00:16:42,659 --> 00:16:44,539
y ahora lo tendríamos que evaluar en el 0

191
00:16:44,539 --> 00:16:45,559
por la regla de Barrow

192
00:16:45,559 --> 00:16:48,899
primero en la primitiva en el 2

193
00:16:48,899 --> 00:16:50,100
menos la primitiva en el 0

194
00:16:50,100 --> 00:16:51,299
pero al sustituir en el 0

195
00:16:51,299 --> 00:16:53,559
todo se nos va

196
00:16:53,559 --> 00:16:55,500
por lo tanto

197
00:16:55,500 --> 00:16:56,740
¿esto cuánto va a ser?

198
00:16:59,519 --> 00:17:00,679
pues esto sería

199
00:17:00,679 --> 00:17:03,659
es la raíz cuadrada

200
00:17:03,659 --> 00:17:05,799
de 4 al cubo

201
00:17:05,799 --> 00:17:31,779
¿Vale? Pero la raíz cuadrada de 4 es 2, luego 2 al cubo es 8, serían 8 tercios menos 8 sextos, o lo que es lo mismo, 16 sextos menos 8, pues directamente esto queda 8 sextos, ¿vale? En valor absoluto, me sale positivo, 4 tercios unidades al cuadrado.

202
00:17:31,779 --> 00:17:45,400
A ver, por si no os ha quedado claro lo que he hecho, el 4 elevado a 3 medios es la raíz cuadrada de 4 al cubo, o lo que es lo mismo, 2 al cubo, que es 8.

203
00:17:46,039 --> 00:17:49,599
No sé si lo he hecho muy rápido así al deciros lo de cabeza.

204
00:17:50,720 --> 00:17:55,220
Pues este sería el ejercicio 2. Pauso para copiar el último.

205
00:17:56,400 --> 00:18:01,099
En el ejercicio 3, en el último, lo único que me pedían era estudiar la derivabilidad de esa función.

206
00:18:01,779 --> 00:18:05,599
Es un valor absoluto, luego lo que vamos a hacer primero es desarrollarlo, ¿vale?

207
00:18:06,660 --> 00:18:10,779
Entonces, esto lo vamos a poner como una función definida a trozos.

208
00:18:11,240 --> 00:18:17,039
¿Y esto qué sería? A ver, lo único que tenemos sería el x cuadrado menos, en los dos casos,

209
00:18:17,039 --> 00:18:23,839
y ahora, ¿el valor absoluto de x cuánto es? Pues ella misma, si la x es mayor, voy a poner aquí el igual a cero,

210
00:18:24,319 --> 00:18:30,680
y menos ella, es decir, menos x, con el menos sería más, cuando la x es menor que cero.

211
00:18:30,680 --> 00:18:33,420
entonces para que la función sea derivable

212
00:18:33,420 --> 00:18:35,740
lo primero que tenemos que estudiar es la continuidad

213
00:18:35,740 --> 00:18:38,740
¿vale? que eso algunos me lo escribisteis muy bien

214
00:18:38,740 --> 00:18:42,200
bien, pues vamos a ver

215
00:18:42,200 --> 00:18:45,220
el único punto posible de discontinuidad es en el cero

216
00:18:45,220 --> 00:18:48,500
ya que tanto x cuadrado menos x como x cuadrado más x

217
00:18:48,500 --> 00:18:51,000
es decir, las dos ramas son polinomios

218
00:18:51,000 --> 00:18:52,859
y por tanto son continuos y derivables

219
00:18:52,859 --> 00:18:56,099
el dominio son todos los números reales

220
00:18:56,099 --> 00:18:58,960
bien, pues entonces a ver, ¿qué significa?

221
00:18:58,960 --> 00:19:09,859
que f de x, lo primero, sea continua en x igual a cero. Esto lo que tiene que ocurrir es que f de cero

222
00:19:09,859 --> 00:19:19,380
tiene que coincidir con el límite cuando x tiende a cero por la izquierda de f de x y además con el límite

223
00:19:19,380 --> 00:19:29,170
cuando x tiende a cero por la derecha de f de x. Vale, vamos a calcularlo aquí. Podemos calcular, ojo,

224
00:19:29,170 --> 00:19:33,069
No, no puedo olvidar el f de 0, esto es súper importante que alguno se os olvide.

225
00:19:33,730 --> 00:19:48,490
Vale, pues en este caso el f de 0 va con el mayor que 0, por lo tanto con el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de x cuadrado menos x,

226
00:19:48,490 --> 00:20:02,410
Entonces sustituimos y esto es 0, calculamos el otro límite que me falta, el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda, del x cuadrado más x y esto es 0.

227
00:20:02,410 --> 00:20:13,210
¿Qué ocurre? Que los dos son iguales, por lo tanto, f de x es continuo en x igual a 0.

228
00:20:13,890 --> 00:20:19,609
Que sea continua no significa que sea derivable, pero para ser derivable tiene que ser continua, ¿vale?

229
00:20:19,609 --> 00:20:20,930
Entonces ese es el primer requisito.

230
00:20:21,569 --> 00:20:25,809
Ahora, para ver si es derivable, pues lo primero que hago es calcular el f' de x.

231
00:20:26,869 --> 00:20:30,990
La derivada de una función definida a trozos es la derivada de cada uno de los trozos,

232
00:20:30,990 --> 00:20:36,029
por lo tanto esto es 2x menos 1 para los x estrictamente mayores que 0

233
00:20:36,029 --> 00:20:42,170
y en el otro tramo es 2x más 1 para los x menores que 0

234
00:20:42,170 --> 00:20:47,089
y hacemos lo mismo que significa que f de x igual que pasaba antes

235
00:20:47,089 --> 00:20:51,089
el único posible punto que no sea derivable es en el 0

236
00:20:51,089 --> 00:20:56,430
ya que en cualquiera de las dos ramas las funciones son polinomios por lo tanto es derivable

237
00:20:56,430 --> 00:21:03,009
vale, pues f de x derivable en x igual 0

238
00:21:03,009 --> 00:21:05,509
si, ¿qué tiene que ocurrir?

239
00:21:06,509 --> 00:21:12,269
f' en 0 por la izquierda es igual a f' de 0 por la derecha

240
00:21:12,269 --> 00:21:15,750
vale, entonces comprobamos esto con los límites

241
00:21:15,750 --> 00:21:20,309
¿quién es f' de 0 por la izquierda?

242
00:21:20,309 --> 00:21:25,690
pues, el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda

243
00:21:25,690 --> 00:21:35,809
de 2x más 1, sustituyo y esto me queda 1, y ¿quién es f' de 0 por la derecha?

244
00:21:36,589 --> 00:21:43,890
Pues el límite cuando x tiende a 0 por la derecha, por la derecha es 2x menos 1,

245
00:21:45,890 --> 00:21:50,690
sustituyo y esto es menos 1. ¿Qué ocurre? Que los valores que hemos obtenido son diferentes,

246
00:21:50,690 --> 00:22:06,240
Luego, ¿esto qué significa? Que f de x no es derivable en x igual a cero, ¿vale? Era un ejercicio también muy sencillito.

247
00:22:06,640 --> 00:22:13,880
Y nos falta solamente el extra que os pusimos, ya que nos lo habíais pedido, ¿vale? Subo la pizarra y continuamos.

248
00:22:14,519 --> 00:22:21,759
Vale, pues el extra es este, era un límite cuando x tiende a cero del logaritmo neperiano del coseno de 2x partido por x cuadrado.

249
00:22:21,759 --> 00:22:26,019
vale pues lo primero aunque tengamos logaritmos y cosenos y demás sustituimos

250
00:22:26,019 --> 00:22:34,200
coseno de 0 es 0 el logaritmo de perdón coseno de 0 es 1 el logaritmo de 1 es 0

251
00:22:34,200 --> 00:22:37,779
ya me he ido directamente al resultado final partido por 0

252
00:22:37,779 --> 00:22:43,819
vale pues como es un 0 partido por 0 lo que vamos a hacer es aplicar el método de L'Hôpital

253
00:22:43,819 --> 00:22:50,420
L'Hôpital es hacer la derivada del numerador entre la derivada del denominador

254
00:22:50,420 --> 00:22:52,299
luego esto es el límite

255
00:22:52,299 --> 00:22:54,240
cuando x tiende a 0

256
00:22:54,240 --> 00:22:57,819
derivada del numerador es un logaritmo

257
00:22:57,819 --> 00:23:00,599
luego abajo es el coseno de 2x

258
00:23:00,599 --> 00:23:03,220
y arriba la derivada del coseno de 2x

259
00:23:03,220 --> 00:23:08,220
que es menos 2 seno de 2x

260
00:23:08,220 --> 00:23:12,960
y abajo sería la derivada de x cuadrado que es 2x

261
00:23:12,960 --> 00:23:16,980
y ahora a ver, aquí sé que algunos os fuisteis liando

262
00:23:16,980 --> 00:23:18,380
no sabéis muy bien cómo hacerlo

263
00:23:18,380 --> 00:23:20,059
pues tenemos dos opciones

264
00:23:20,059 --> 00:23:41,680
Una, operamos la fracción y dejamos arriba el seno y abajo un 2x por el coseno, o bien directamente, que es lo más rápido, si no sabemos la derivada de la tangente, pues lo escribimos como menos 2, tangente de 2x, de 2x partido por 2x, ¿vale?

265
00:23:41,680 --> 00:23:56,519
Incluso los dos se me van y me queda simplemente el límite cuando x tiende a 0 de menos tangente de 2x partido por x, ¿vale?

266
00:23:57,019 --> 00:24:07,720
Sustituimos los valores y me queda la tangente de 0 es 0 y x en 0 es 0 y lo que hacemos aquí es volvemos a aplicar el método del hospital.

267
00:24:07,720 --> 00:24:11,900
Venga, pues por eso os decía que si no sabemos la derivada de la tangente

268
00:24:11,900 --> 00:24:14,319
La derivada, bueno, esto sería el límite

269
00:24:14,319 --> 00:24:16,440
Cuando x tiende a 0

270
00:24:16,440 --> 00:24:20,259
D, derivada de menos tangente de 2x por la derivada de la tangente

271
00:24:20,259 --> 00:24:22,740
Bueno, el menos es el que teníamos

272
00:24:22,740 --> 00:24:27,519
Es 1 partido por el coseno cuadrado de 2x

273
00:24:27,519 --> 00:24:29,740
Por la derivada de 2x que es 2

274
00:24:29,740 --> 00:24:32,759
Dividido entre la derivada de x que es 1

275
00:24:32,759 --> 00:24:35,599
Poniendo esto un poquito, arreglándolo un poquito

276
00:24:35,599 --> 00:24:50,799
esto me queda el límite cuando x tiende a 0 de menos 2 partido por el coseno cuadrado de 2x, ¿vale?

277
00:24:51,039 --> 00:24:56,940
Y ahora ya directamente sustituimos en el 0 y me queda arriba menos 2 y en el denominador que me queda

278
00:24:56,940 --> 00:25:02,099
coseno de 0 es 1, al cuadrado sigue siendo 1, pues el límite ya estaría, ¿vale?

279
00:25:02,099 --> 00:25:03,720
que tampoco era demasiado complicado.

280
00:25:04,220 --> 00:25:06,400
Si no me sé la derivada de la tangente,

281
00:25:07,200 --> 00:25:08,440
es una de las que nos debemos saber,

282
00:25:09,119 --> 00:25:11,880
pues tendríamos que haberlo puesto como una única fracción

283
00:25:11,880 --> 00:25:16,500
y tendríamos que haber derivado el producto del 2x por el coseno de 2x,

284
00:25:16,579 --> 00:25:18,759
que tampoco era complicado, por si tardaba un poquito más.

285
00:25:19,420 --> 00:25:22,039
Bueno, pues con esto ya queda terminado el examen.