1
00:00:01,790 --> 00:00:06,469
Buenas, voy a hacer un recopilatorio de la clase de hoy, 17 de marzo del 2003.

2
00:00:06,650 --> 00:00:09,150
Hoy hemos estado viendo una cosa que se vio en cuarto,

3
00:00:09,750 --> 00:00:12,750
que eran las posiciones relativas entre rectas.

4
00:00:13,369 --> 00:00:16,649
Entonces, ¿cómo pueden ser dos rectas entre sí?

5
00:00:16,809 --> 00:00:19,050
Pues pueden ser secantes, si se cruzan.

6
00:00:19,929 --> 00:00:23,929
Pueden ser paralelas, si no se cruzan no tienen ningún punto en común.

7
00:00:24,109 --> 00:00:25,809
Aquí tienen un punto en común.

8
00:00:26,190 --> 00:00:30,670
O pueden ser coincidentes si estamos hablando de la misma recta.

9
00:00:30,670 --> 00:00:41,530
Entonces, para hallar la forma analítica, hallar las posiciones relativas entre rectas de forma analítica, nosotros necesitamos los vectores directores de las rectas, ¿vale?

10
00:00:41,530 --> 00:00:47,890
si nosotros tenemos una recta R cuyo vector director tiene las componentes VRX y VRI

11
00:00:47,890 --> 00:00:54,750
y una recta S que tiene como vector director Vsus con su componente X y su componente Y

12
00:00:54,750 --> 00:00:59,549
nosotros lo que tenemos que hacer es ver si se cumple esta proporcionalidad

13
00:00:59,549 --> 00:01:06,989
es decir, si entre ambos directores se cumple la misma proporcionalidad para la X como para la Y

14
00:01:06,989 --> 00:01:34,650
Si yo hago esta división, siempre tened en cuenta que aquí puedo elegir arriba las x, abajo las s, o de forma indiferente, pero siempre la misma recta, los componentes de una recta, por ejemplo, de la recta r arriba y la s abajo, o viceversa, pues si se cumple que al hacer la división de las componentes x y las componentes y sale el mismo número, son proporcionales, pues pueden ser o paralelas o coincidentes.

15
00:01:34,650 --> 00:01:46,129
¿De acuerdo? Por ejemplo, hicimos en clase este ejemplo donde r es a x menos 2t e y era igual a 5 más 5t.

16
00:01:46,310 --> 00:01:54,069
Eso está en paramétrica. Por otro lado, tenemos la recta S que es igual a x es igual a menos 4t y la y es igual a 2 más 10t.

17
00:01:54,569 --> 00:02:02,590
¿Cómo sacamos los vectores directores? Siempre en paramétrica los vectores directores son aquellos que acompañan a la t.

18
00:02:02,590 --> 00:02:11,469
Son los coeficientes, en este caso el menos 2 y el 5 que acompañan a la t, por lo tanto el v sub r es menos 2, 5, ¿de acuerdo?

19
00:02:11,969 --> 00:02:14,009
v sub r es menos 2, 5.

20
00:02:14,849 --> 00:02:28,650
De igual modo, la recta S, el coeficiente que acompaña a la t, en este caso es el 4, el menos 4, perdona, y este es el 10, pues tenemos que v sub s es menos 4.

21
00:02:28,650 --> 00:02:41,449
Por lo tanto, nosotros podemos ver aquí que menos 4 entre menos 2 da 2, que es lo mismo que 10 entre 5.

22
00:02:41,669 --> 00:02:47,729
Por lo tanto, esta recta R y esta recta S o son paralelas o son coincidentes.

23
00:02:48,030 --> 00:02:53,710
¿Cómo sé si son coincidentes? Pues si son coincidentes tienen infinitos puntos en común.

24
00:02:53,870 --> 00:02:56,550
Si son paralelas no tienen ningún punto en común.

25
00:02:56,550 --> 00:03:02,110
entonces lo que yo tengo que hacer es comprobar que un punto de la recta R

26
00:03:02,110 --> 00:03:05,449
pertenece o no a la recta S o viceversa

27
00:03:05,449 --> 00:03:08,009
puedo coger un punto de la recta S

28
00:03:08,009 --> 00:03:10,750
si veo que pertenece a la recta R

29
00:03:10,750 --> 00:03:14,849
entonces ambas rectas son coincidentes

30
00:03:14,849 --> 00:03:17,689
aquí veo que el punto de la recta R

31
00:03:17,689 --> 00:03:19,710
o uno de los puntos de la recta R

32
00:03:19,710 --> 00:03:24,590
es el 3,5, lo tengo directamente de las ecuaciones paramétricas de la recta R

33
00:03:24,590 --> 00:03:26,030
¿y qué tengo que hacer?

34
00:03:26,030 --> 00:03:30,629
Pues voy a ver si el 3, 5 verifica la ecuación de la resta S.

35
00:03:30,849 --> 00:03:36,849
Si lo verifican, es decir, tienen la misma T, pues son dos restas coincidentes.

36
00:03:37,030 --> 00:03:42,449
Si no lo verifica, al ser proporcionales van a ser restas paralelas.

37
00:03:43,330 --> 00:03:50,949
Por lo tanto, sustituyo el punto 3, 5 en la resta S y veo que 3 tiene que ser igual a menos 4T.

38
00:03:51,169 --> 00:03:55,710
Yo despejo la T de aquí, veo que T es menos 3 cuartos.

39
00:03:56,030 --> 00:04:05,550
Hago lo mismo con la componente Y. Sustituyo la Y por 5 y tengo que 5 tiene que ser igual que 2 más 10T.

40
00:04:05,550 --> 00:04:17,850
Y si aquí despejo la T, veo que T tiene que valer 3 décimos. Como menos 3 cuartos es distinto de menos 3 décimos, el punto 3,5 no pertenece a la recta S.

41
00:04:18,569 --> 00:04:21,129
Por lo tanto, ¿qué son? Son rectas paralelas.

42
00:04:21,129 --> 00:04:46,129
¿De acuerdo? Si aquí hubiéramos tenido que el punto 3, 5 hubiera satisfecho estas ecuaciones de aquí, de la recta S, pues entonces hubiesen llegado a ser coincidentes.

43
00:04:46,129 --> 00:04:54,990
coincidente. Vámonos a este ejemplo de aquí, donde tenemos esta resta r y esta resta s, ¿de acuerdo?

44
00:04:55,350 --> 00:05:01,910
¿Qué obtengo? Pues, como hemos hecho antes, el menos 2 menos 4, que son los coeficientes que

45
00:05:01,910 --> 00:05:06,990
acompañan a la t, me dan directamente el vector director. Aquí es muy importante poner siempre

46
00:05:06,990 --> 00:05:12,850
una flechita en lo alto de los vectores directores para distinguir los vectores que no lo son. Y

47
00:05:12,850 --> 00:05:17,629
Y aquí el vector director de S, pues igual, son los coeficientes que acompañan a la T.

48
00:05:17,709 --> 00:05:19,269
Por lo tanto, tenemos el 3 menos 10.

49
00:05:19,829 --> 00:05:27,730
¿Qué hago? Yo compruebo si menos 2 partido de 3 es igual que 4 veinteavos o menos 4 veinteavos.

50
00:05:27,730 --> 00:05:32,829
Y veo que efectivamente esto de aquí, pues no son proporcionales.

51
00:05:32,990 --> 00:05:40,529
Al no ser proporcionales, pues entonces son secantes y tienen un punto en común.

52
00:05:40,529 --> 00:05:54,759
Hemos visto después, pues, si nosotros las rectas las tenemos en forma general, pues tenemos que ver esto de aquí.

53
00:05:54,800 --> 00:06:10,639
Si ambas rectas, la r y la s, están en forma general, lo que se tiene que cumplir es, si yo divido el coeficiente que acompaña a la x de una recta entre el coeficiente que acompaña a la x de la otra recta, es decir, a entre a',

54
00:06:10,639 --> 00:06:15,600
y lo divido y me da igual que el coeficiente que acompaña a la i

55
00:06:15,600 --> 00:06:19,680
y entre el coeficiente que acompaña a la i de la otra recta,

56
00:06:19,680 --> 00:06:25,779
es decir, a entre a' es igual a b entre, es distinto, perdona, que b entre b',

57
00:06:25,779 --> 00:06:27,839
entonces son secantes, se cortan.

58
00:06:28,500 --> 00:06:34,500
Sin embargo, si son iguales, a entre a' es igual que b entre b',

59
00:06:34,500 --> 00:06:38,399
pues nos puede pasar dos cosas, o que son paralelas o que son coincidentes.

60
00:06:38,399 --> 00:06:43,519
Y entonces me tengo que ir a este término de aquí, que no acompaña ni a la x ni a la y.

61
00:06:44,000 --> 00:06:50,220
Y si esos coeficientes también son proporcionales, pues entonces son paralelas, son coincidentes, perdona.

62
00:06:50,379 --> 00:06:53,319
Pero si no son iguales, entonces son paralelas.

63
00:06:53,800 --> 00:06:55,180
Viendo un ejemplo se ve mejor.

64
00:06:55,379 --> 00:07:06,660
Si yo tengo la recta R, que es 5x menos 7y más 1 igual a 0 por un lado, y tengo la recta x menos 14 igual a 0,

65
00:07:06,660 --> 00:07:21,680
yo lo que hago es primero cojo los coeficientes que acompañan a la x que es 5 y 1, lo divido, es lo mismo 5 entre 1 que es 5, es igual que los coeficientes que acompañan a la y menos 7 menos 14,

66
00:07:21,680 --> 00:07:44,779
Aquí hay que prestar atención en el sentido de que esto de aquí es la componente, los de arriba son las componentes X e Y de la recta R, este y este son de la recta R y este y este son de la componente S, tened mucho cuidado, y estos de aquí son la componente X y estos de aquí son la componente Y, ¿de acuerdo?

67
00:07:44,779 --> 00:07:49,459
Vamos a ver la fórmula, esta de aquí, que además está en el libro, echarle un vistazo.

68
00:07:49,839 --> 00:07:53,879
Pues como no son proporcionales, R y S son restas secantes.

69
00:07:54,240 --> 00:08:01,759
Sin embargo, si nosotros tenemos este ejemplo de aquí, donde tenemos la resta R, que es 10X más 3Y menos 25 igual a 0,

70
00:08:02,199 --> 00:08:09,240
y por otro lado tenemos la resta S, que es 11X más 33 décimos de Y igual a 0, pues ¿yo qué tengo que ver?

71
00:08:09,240 --> 00:08:36,019
Pues yo divido 10 entre 11, es lo mismo que 3 partido de 33 partido de 10, cuando eran dos fracciones equivalentes, si yo las multiplico en cruz y me dan lo mismo, son equivalentes, entonces si veis, 10 por 33 entre 10, ¿cuánto es? 33, y 11 por 3, ¿cuánto es? 33, por lo tanto, son proporcionales, o, ahora, son proporcionales, entonces podemos decir,

72
00:08:36,019 --> 00:08:40,980
Estas dos restas o bien son paralelas o bien son coincidentes, ¿vale?

73
00:08:41,539 --> 00:08:46,820
¿Qué ocurre? Que ahora me voy al tercer elemento, el que no está acompañado a la x y la y.

74
00:08:46,960 --> 00:08:50,580
Aquí veo que es menos 25 y aquí que no tengo, pues vale 0.

75
00:08:51,120 --> 00:08:56,320
Por lo tanto, 10 partido de 11 es lo mismo que 3 partido de 30 y 3 partido de 10,

76
00:08:56,320 --> 00:09:01,379
pero es distinto de menos 25 partido de 0, que de hecho esto es infinito, menos infinito.

77
00:09:01,720 --> 00:09:05,480
Por lo tanto, ya no son coincidentes, son restas paralelas.

78
00:09:05,480 --> 00:09:30,100
¿De acuerdo? Sin embargo, aquí hay un ejemplo muy bueno donde yo una recta la tengo, por ejemplo, en paramétricas, ¿de acuerdo? Y otra sí la tengo en su forma general. Pues nada, aquí lo suyo es pasar la de paramétricas, la pasamos a recta a forma general.

79
00:09:30,100 --> 00:09:53,519
¿Vale? ¿Cómo se pasaba a forma general? Pues yo aquí despejo la late, o bueno, como yo sé ya aquí un punto, un punto es el 1 menos 4, pues vamos aquí en forma continua, y menos 1, y menos 4, y luego el vector director es menos 1, 2, ¿de acuerdo? Es menos 1, 2.

80
00:09:53,519 --> 00:10:01,539
Entonces, ahora aquí multiplicando en cruz veo que 2 por x menos 1 es lo mismo que menos 1 por y menos 4, que es esto de aquí.

81
00:10:02,039 --> 00:10:09,159
Por lo tanto, yo ya obtengo que 2x más y menos 6 es igual a 0, ¿de acuerdo?

82
00:10:10,460 --> 00:10:19,600
Por lo tanto, ya al tener la resta r de forma general y la resta s que ya me la habían dado de forma general,

83
00:10:19,600 --> 00:10:40,759
Yo lo que hago es la división de 6 entre 2 es lo mismo que 3 entre 1 y es lo mismo que menos 18 entre menos 6, pues evidentemente esto da 3, esto de aquí también da 3 y esto de aquí también da 3, ¿vale? Con lo cual estas restas son coincidentes, se trata de la misma resta.

84
00:10:40,759 --> 00:10:53,269
Aquí hemos hecho otro ejemplo donde nosotros partíamos de una recta en paramétrica y otra recta en forma general.

85
00:10:54,990 --> 00:11:01,649
Una forma también de hallarlo es decir, yo tengo el vector director de la recta R que los tengo de los coeficientes que acompañan a la T.

86
00:11:01,649 --> 00:11:06,110
Aquí vemos que es menos 2, 1, con lo cual tengo ya el vector director de R.

87
00:11:06,110 --> 00:11:11,809
Y luego recordamos que la forma general, cuando tenemos la ecuación general de una recta,

88
00:11:12,090 --> 00:11:15,669
nosotros lo que podemos obtener del tirón es un vector normal.

89
00:11:15,909 --> 00:11:19,330
Esto es un vector normal.

90
00:11:23,450 --> 00:11:26,750
¿Vale? Esto es un vector normal.

91
00:11:26,870 --> 00:11:27,370
Perdonad.

92
00:11:28,450 --> 00:11:31,429
Vale, a ver si me sale aquí lo que yo quiero.

93
00:11:32,769 --> 00:11:34,429
Esto es un vector normal.

94
00:11:34,830 --> 00:11:36,850
¿Cómo hallo yo el vector director?

95
00:11:36,850 --> 00:11:57,710
Pues, perdonad, esto es un vector normal. ¿Cómo hay un vector director? Pues nada, le doy la vuelta, le cambio el signo a uno de ellos. Aquí tengo un vector director o puedo utilizar este, uno u otro. Los dos son, si os fijáis, son proporcionales porque uno de los dos, lo multiplico por menos uno y ya lo tengo.

96
00:11:57,710 --> 00:12:12,289
Con lo cual, yo ya tengo del tirón de la fórmula paramétrica el vector director y luego he hallado, a través del vector normal de la ecuación general de la recta S, he obtenido el vector director de la recta S.

97
00:12:12,570 --> 00:12:27,309
Veo que no son proporcionales, ¿por qué? Porque menos 2 partido de 2 es distinto que un cuarto. Por lo tanto, como los vectores directores no son proporcionales, pues son rectas secantes. ¿De acuerdo?

98
00:12:27,710 --> 00:12:28,990
Son proporcionales.

99
00:12:31,500 --> 00:12:36,639
Otra forma, pues, lo que hemos dicho antes, yo paso R a forma general.

100
00:12:37,279 --> 00:12:39,860
Para ello paso por la forma continua, ¿vale?

101
00:12:39,919 --> 00:12:44,500
Esto es la continua, las ecuaciones continuas de la recta,

102
00:12:44,580 --> 00:12:49,460
que es x menos un punto partido por el vector, la componente x del vector directo,

103
00:12:49,639 --> 00:12:55,539
y menos un punto, que en este caso es cero partido de la componente y del vector directo,

104
00:12:55,539 --> 00:13:09,620
Y de aquí multiplicando en cruz tengo que x menos 5 es igual que menos 2y. Es decir, yo ahora lo agrupo todo en un miembro y lo igualo a cero. Esta es la ecuación general de la recta R.

105
00:13:10,179 --> 00:13:25,279
Por lo tanto, si yo tengo la ecuación general de la recta R y la recta S, que ya me la habían dado también en general, pues yo lo que hago es, al ser secante, pues esto lo trato como un sistema de ecuaciones que se han dado ya en tercero y en cuarto.

106
00:13:25,539 --> 00:13:46,980
Es decir, yo pongo aquí x más 2 es igual a 5, 4x menos 2 es igual a menos 3 y en este caso de aquí lo que aplico es reducción, yo sumo estas dos ecuaciones, por lo tanto, x más 5x más 4x es 5x, 2y menos 2y se van y 5 menos 3 es 2, por lo tanto despejo la x y x me sale 2 quintos.

107
00:13:46,980 --> 00:14:07,840
Para hallar la componente Y, este punto de aquí pertenece a ambas rectas, pues nada, sustituyo la X por 2 quintos, por ejemplo lo he hecho en R, sustituyo la X por 2 quintos y hallo la Y y me sale que la Y es 23 décimos.

108
00:14:07,840 --> 00:14:21,419
¿De acuerdo? Entonces, como son secantes, el punto de corte es el punto B, por ejemplo, es 2 quintos 23, decimos.

109
00:14:22,080 --> 00:14:26,360
¿Vale? Esto lo podéis hacer en GeoGebra y veis que sale perfectamente.

110
00:14:26,360 --> 00:14:41,179
En este caso de aquí tenemos otra vez la ecuación R en paramétrica y S la tenemos en la ecuación general de la recta.

111
00:14:41,320 --> 00:14:51,320
Esto es otra forma de hallar el punto de corte, un poquito más complicado, pero se puede hallar igual, donde nosotros lo que hacemos es la recta R, ya la tenemos en paramétrica,

112
00:14:51,320 --> 00:15:02,539
Lo único que aquí lo que hemos hecho es cambiarla por una letra mu, para no confundir, y la recta S la hemos convertido en paramétrica.

113
00:15:02,620 --> 00:15:13,279
¿Cómo la convertimos en paramétrica? Yo aquí sé directamente el vector normal, lo que hallo es un vector perpendicular, por lo tanto este es el vector director de S,

114
00:15:13,279 --> 00:15:40,820
Y luego hay un punto. ¿Cómo hay un punto? Hago que la x sea igual a 0 y al ser la x igual a 0, ¿qué me queda? Pues que menos 2y es igual a 3, de donde a menos 3, perdona, vamos a hacerlo todo por paso, menos 2y más 3 es igual a 0, de donde 2y es igual a 3 y es igual a 3 medios.

115
00:15:40,820 --> 00:15:47,940
Por lo tanto, como la X vale 0, la Y vale 3,2, este punto A pertenece a la recta AS.

116
00:15:48,720 --> 00:15:54,220
Aquí el 0, 3,5, pues yo para pasarlo a paramétrica, este es el 0 y este es el 3,5.

117
00:15:54,360 --> 00:15:56,980
Ya tengo S en forma paramétrica.

118
00:15:57,600 --> 00:16:02,039
Al tenerlo en forma paramétrica, yo sé que ese cante que lo hemos analizado antes,

119
00:16:02,460 --> 00:16:06,139
hay un punto de corte que cumple, que pertenece a las dos.

120
00:16:06,139 --> 00:16:31,960
El punto de corte de esta recta R y esta recta S es este de aquí, es el punto P, por ejemplo, y es común a ambas, por lo tanto, la X de uno y la X de otro tienen que ser igual, ¿verdad? Pues es lo que estoy haciendo aquí. La X de la recta R tiene que ser igual que la X de la recta S. Y por otro lado, la Y de la recta R es igual a la Y de la recta S.

121
00:16:31,960 --> 00:16:50,220
Y aquí, como he cambiado la t por mu, si yo no lo cambiara, pues entonces me hago un lío, ¿vale? Estas letras se llaman, estos parámetros se llaman letras mudas porque realmente me da igual cómo se llamen que tienen la misma función, ¿vale?

122
00:16:50,220 --> 00:16:56,139
Entonces yo en vez de denominar las t, para evitar la confusión, la he llamado mu, ¿vale?

123
00:16:56,919 --> 00:17:00,980
De aquí lo que tengo es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitos.

124
00:17:01,139 --> 00:17:07,400
Yo he optado por hacer sustitución, como mu ya la tengo aquí despejado, pues lo sustituyo en la ecuación de arriba

125
00:17:07,400 --> 00:17:14,400
y obtengo que t en este caso vale un quinto, ¿vale?

126
00:17:14,400 --> 00:17:30,660
Si t vale 1 quinto, pues yo en cualquiera de las dos ecuaciones sustituyo la t por 1 quinto, ya tengo que la componente x es 2 quintos y luego de la componente y obtengo que vale 23 décimos.

127
00:17:30,660 --> 00:17:45,559
Esto lo hacéis en la cebra y efectivamente veis que el punto P, que es 2 quintos partido de 23 décimos, es un punto que pertenece a la recta R, un punto que pertenece a la recta S.

128
00:17:45,759 --> 00:17:51,000
Y además el punto de corte es el punto común a ambas rectas, ¿vale?

129
00:17:52,099 --> 00:17:53,140
Más cosillas.

130
00:17:54,519 --> 00:17:59,680
Aquí, aquí lo que estamos es hallando las distancias entre rectas paralelas, ¿vale?

131
00:17:59,680 --> 00:18:08,400
Si yo sé que son dos rectas paralelas, yo puedo hallar la distancia entre rectas paralelas, ¿de acuerdo?

132
00:18:09,779 --> 00:18:16,440
Para ello, ¿qué ocurre? Yo tengo que saber, esto se da en cuartos, la distancia de un punto a una recta, ¿vale?

133
00:18:16,519 --> 00:18:25,619
Yo tengo un punto, yo tengo una recta en forma general, es súper importante pasar la recta a forma general o implícita, ¿de acuerdo?

134
00:18:25,619 --> 00:18:51,359
Y tengo que aplicar esta fórmula que vemos aquí, ¿vale? La distancia de un punto a una recta, ¿vale? Es sustituir mi punto en la ecuación general de la recta, es decir, yo sustituyo mi punto PXPI, lo sustituyo en esta ecuación de la recta R, hallo su valor absoluto porque las distancias siempre son positivas.

135
00:18:51,359 --> 00:19:13,059
Y luego, esto de aquí no es más que el módulo del vector normal de la recta R. ¿De acuerdo? ¿Cuál es el vector normal de R? Aquí que no se nos olvide la flechita, pues es AB. ¿De acuerdo?

136
00:19:13,640 --> 00:19:15,680
Entonces, lo suyo es ver un ejemplo.

137
00:19:15,900 --> 00:19:20,420
Si yo tengo mi resta, que es 2x menos y igual a 0,

138
00:19:20,480 --> 00:19:24,539
y luego tengo la resta 4x menos 2y más 5 igual a 0,

139
00:19:24,960 --> 00:19:25,700
¿son paralelas?

140
00:19:25,819 --> 00:19:32,440
Sí, porque 2 entre 4 es lo mismo que menos 1 entre menos 2.

141
00:19:33,000 --> 00:19:34,079
¿Vale? Aquí me falta un menos.

142
00:19:34,380 --> 00:19:36,859
¿De acuerdo? Y esto es, son iguales.

143
00:19:36,859 --> 00:19:42,599
Por lo tanto, o son paralelas o son coincidentes.

144
00:19:42,599 --> 00:19:56,839
¿Vale? ¿Cómo sabría yo si son coincidentes o no? Pues precisamente la c aquí, ¿cuánto vale? Cero, ¿verdad? Y abajo, ¿qué vale? Cinco. Pues como ya son distintas, entonces yo ya puedo decir que son paralelas.

145
00:19:56,839 --> 00:20:09,579
Con esto de aquí, únicamente puedo decir que son o paralelas o coincidentes. Pero ya con esta parte tercera, que es con la letra c, ¿vale? Que es la que no tiene ni x ni y, yo ya puedo decir que son paralelas.

146
00:20:09,579 --> 00:20:27,359
¿Qué hago al ser paralela? Pues yo hallo un punto de cualquiera de las dos rectas. He decidido hallar el punto de la recta R. Si yo a la X le doy el valor 0, pues que tengo 2 por 0 menos Y es igual a 0. ¿Cuánto vale Y? Pues Y vale 0.

147
00:20:27,359 --> 00:20:35,119
Por lo tanto, el punto 0,0 pertenece a la recta R. ¿Por qué? Porque verifica esta ecuación de aquí.

148
00:20:35,539 --> 00:20:46,599
¿Y entonces cómo sé la distancia entre dos rectas paralelas? Pues hallando la distancia que hay entre el punto A sub R, que pertenece a la recta R, y la recta S.

149
00:20:46,599 --> 00:20:52,759
No me vayáis a hacer la distancia entre AR y R, que al ser un punto de la recta sería 0.

150
00:20:53,019 --> 00:20:57,039
Aquí es la distancia entre un punto R.

151
00:20:57,180 --> 00:21:00,900
Por ejemplo, si yo tengo esta es la recta R y esta es la recta paralela S,

152
00:21:01,359 --> 00:21:09,240
yo cojo aquí un punto de AR y aquí mido la distancia que hay entre este punto AR y la recta S.

153
00:21:09,660 --> 00:21:10,339
¿Qué es lo que hago?

154
00:21:10,339 --> 00:21:16,539
Pues sustituyo en la ecuación general de la recta S, sustituyo mi punto, que es el 0, 0.

155
00:21:16,599 --> 00:21:23,339
¿Vale? Aquí pongo el 0, aquí pongo el 0 y aquí tengo el más 5 y hallo el valor absoluto, eso que no se os olvide.

156
00:21:23,500 --> 00:21:32,339
Y abajo, ¿qué tengo? Pues es la raíz de 4 al cuadrado más menos 2 al cuadrado y me sale 5 partido de raíz de 20.

157
00:21:32,460 --> 00:21:36,160
Yo racionalizo y al final me sale raíz de 5 partido de 2.

158
00:21:37,039 --> 00:21:43,259
Si yo en vez de coger el punto 0, 0 cojo un punto B, que es el 1, 2, ¿cómo hallo el punto 1, 2?

159
00:21:43,259 --> 00:21:47,859
Pues yo, de la recta R, sé que es 2X menos Y igual a 0.

160
00:21:48,119 --> 00:21:52,299
Pues si yo esfuerzo que X vale 1, ¿vale?

161
00:21:52,420 --> 00:21:54,539
Si X vale 1, ¿qué ocurre?

162
00:21:54,779 --> 00:21:59,440
Pues que 2 por 1 menos Y es igual a 0.

163
00:21:59,640 --> 00:22:01,880
¿Cuánto vale Y? Pues Y vale 2.

164
00:22:02,079 --> 00:22:06,539
Por lo tanto, el punto BR es 1, 2.

165
00:22:06,880 --> 00:22:07,200
¿De acuerdo?

166
00:22:07,619 --> 00:22:11,599
Y ahora, pues nada, como siempre, sustituyo la ecuación.

167
00:22:11,599 --> 00:22:17,259
En la ecuación general de S pongo la x que vale 1 y la y que vale 2.

168
00:22:17,619 --> 00:22:26,559
Hayo esto de aquí, 4 por 1 es 4, menos 2 por 2 es menos 4, 4 menos 4 es 0, más 5 es 5 y abajo raíz de 20.

169
00:22:26,680 --> 00:22:29,579
Por lo tanto, me tiene que salir igual, es lógico, ¿no?

170
00:22:29,880 --> 00:22:38,019
Al ser dos rectas paralelas, yo cojo a cualquier punto de una recta, siempre va a estar a la misma distancia respecto a la otra.

171
00:22:38,599 --> 00:22:38,940
¿De acuerdo?

172
00:22:38,940 --> 00:22:48,799
Cuando las rectas son secantes, pues además de tener un punto de intersección entre ellas, forman un ángulo, ¿vale?

173
00:22:49,019 --> 00:22:54,920
Entonces ese ángulo lo puedo hallar bien con los dos vectores directores de la recta o con los dos vectores normales.

174
00:22:55,039 --> 00:22:59,380
¿Y qué tengo que aplicar? Pues la ecuación del producto escalar, ¿vale?

175
00:22:59,660 --> 00:23:02,720
Voy a hacerlo un poquito más recto que queda mejor.

176
00:23:03,180 --> 00:23:09,519
Entonces, el producto escalar de dos vectores que era el módulo de uno por el módulo del otro por el coseno del ángulo que forma.

177
00:23:10,160 --> 00:23:15,579
Entonces, en esta recta de aquí, ¿cuánto es el vector director? Pues menos 1, 1, que está aquí.

178
00:23:15,960 --> 00:23:20,240
En la recta S, ¿cuál es el vector director? Pues menos 1, menos 1.

179
00:23:20,640 --> 00:23:26,240
En este caso, si os fijáis, si yo hago el producto escalar, este es el producto escalar, ¿vale?

180
00:23:26,240 --> 00:23:28,359
el producto escalar

181
00:23:28,359 --> 00:23:30,359
de vr con vs

182
00:23:30,359 --> 00:23:32,140
pues me sale que son ortogonales

183
00:23:32,140 --> 00:23:34,200
porque me sale 0 ¿vale? es decir yo

184
00:23:34,200 --> 00:23:36,339
multiplico menos 1 por menos

185
00:23:36,339 --> 00:23:38,339
1 más 1 por menos

186
00:23:38,339 --> 00:23:40,339
1 me sale 0

187
00:23:40,339 --> 00:23:42,119
¿de acuerdo? esto de aquí

188
00:23:42,119 --> 00:23:44,339
lo voy a hacer

189
00:23:44,339 --> 00:23:45,019
mejor

190
00:23:45,019 --> 00:23:48,319
¿vale? y esto es un menos

191
00:23:48,319 --> 00:23:50,339
1 ¿vale? que parece otra

192
00:23:50,339 --> 00:23:52,180
cosa, esto es un

193
00:23:52,180 --> 00:23:54,420
menos 1, menos 1 por

194
00:23:54,420 --> 00:23:59,359
menos uno, más uno por menos uno, eso es cero. Entonces, ¿qué hago? Si yo aplico

195
00:23:59,359 --> 00:24:06,000
el despejo del producto escalar, el coseno del ángulo, el coseno del ángulo que es

196
00:24:06,000 --> 00:24:13,940
el producto escalar, el coseno de u y v, que es lo que es, es igual al producto escalar

197
00:24:13,940 --> 00:24:22,099
de u por v, ¿verdad? Partido por el módulo de u, por el módulo de v. Yo aquí hay el

198
00:24:22,099 --> 00:24:27,180
módulo de v sub r que es raíz de 2 y de v sub s también es raíz de 2. Por lo tanto, 0 partido de

199
00:24:27,180 --> 00:24:35,079
raíz de 2 raíz de 2 es 0. Al ser 0, el coseno, el arco coseno y me sale 90 grados. Es lo que ya

200
00:24:35,079 --> 00:24:39,700
habíamos visto. Cuando dos vectores son perpendiculares, el producto escalar es 0.

201
00:24:41,099 --> 00:24:46,799
Aquí, si no me equivoco, he hecho con otra recta. Tengo esta recta de aquí r, tengo esta recta de

202
00:24:46,799 --> 00:24:53,900
aquí, quiero ver el ángulo que hay entre ellos. Entonces, como tengo la forma general, obtengo del

203
00:24:53,900 --> 00:25:01,160
tirón el vector normal, que es el 2 menos 1. De la S también obtengo del tirón el 1, 5, que es el

204
00:25:01,160 --> 00:25:07,019
vector normal. Y puedo hacer igual los vectores normales. Hago el producto escalar entre ellos,

205
00:25:07,339 --> 00:25:15,200
¿vale? Me sale menos 3. Hayo el módulo del vector normal de R, que es raíz de 5. Hayo el módulo del

206
00:25:15,200 --> 00:25:45,180
vector normal de s que es raíz de 26, ahora aplico la fórmula. La fórmula que era, pues, si yo tengo u por v, ¿verdad? El producto escalar es igual al módulo de u, ¿vale? Por el módulo de v por el coseno del ángulo que forma. Si yo despejo de aquí el coseno del ángulo que forma es el producto escalar de u por v, ¿vale? No os olvidéis la flechita, partido de

207
00:25:45,180 --> 00:25:49,099
el módulo de u por el módulo de v.

208
00:25:49,319 --> 00:25:51,240
Tengo el producto escalar con un asterisco

209
00:25:51,240 --> 00:25:53,420
y el por normal con un puntito.

210
00:25:53,839 --> 00:25:56,200
Por lo tanto, el coseno de alfa es igual a menos 3,

211
00:25:56,380 --> 00:25:58,380
que es lo que hemos hallado aquí, el producto escalar.

212
00:25:58,720 --> 00:25:59,799
Este es el producto escalar.

213
00:26:00,460 --> 00:26:04,759
Este es el módulo del vector normal de r,

214
00:26:04,759 --> 00:26:13,259
y raíz de 26, el módulo del vector normal de s.

215
00:26:13,259 --> 00:26:16,759
Con lo cual, yo aquí hago la multiplicación y me sale esto de aquí.

216
00:26:17,240 --> 00:26:26,240
Si yo hago ahora el arco coseno de esto que me he dado aquí, pues el ángulo que me sale es 105,31 grados, ¿vale?

217
00:26:27,859 --> 00:26:30,359
Ahora, ¿qué es lo que esto también es de cuarto?

218
00:26:30,359 --> 00:26:33,940
Esto es para ver lo que es el punto medio, ¿vale?

219
00:26:34,180 --> 00:26:37,839
El punto medio de un segmento.

220
00:26:37,900 --> 00:26:41,940
Yo tengo un punto A, yo tengo aquí un punto B,

221
00:26:41,940 --> 00:26:46,559
y quiero hallar el punto medio, pues la fórmula es esta de aquí, ¿vale?

222
00:26:47,400 --> 00:26:53,599
Sumo las componentes de A y de B y lo divido entre 2, sumo las componentes de Y y la divido entre 2.

223
00:26:53,660 --> 00:26:58,259
Es decir, si yo tengo el punto A que es 3, 2 y el punto B que es 10, 1,

224
00:26:58,740 --> 00:27:04,619
si yo quiero hallar el punto medio, pues sumo 3 más 10 y lo divido entre 2, eso que es 13 medios, ¿lo veis?

225
00:27:04,619 --> 00:27:18,000
Y ahora, si quiero hallar la componente Y del punto medio, sumo la Y de A con la Y de B, que es 2 más 1 es 3, 3 entre 2, este es el punto medio.

226
00:27:18,579 --> 00:27:22,160
Si yo ahora lo que quiero hallar es el punto simétrico, ¿vale?

227
00:27:23,059 --> 00:27:29,960
Que tengo el punto A, quiero hallar el simétrico de A respecto de B, ¿vale?

228
00:27:29,960 --> 00:27:45,640
Pues si os fijáis, el simétrico que es que si yo tengo una distancia D entre A y B, la misma distancia la tengo con S, con lo cual él ve que es el punto medio de A y S, el punto medio de A y S.

229
00:27:45,759 --> 00:27:55,640
Pues nada, yo lo que sé es que si B es el punto medio, ¿no? Pues cumple las ecuaciones que hemos dicho antes, ¿vale?

230
00:27:55,640 --> 00:28:24,079
Si yo, por ejemplo, utilizo el ejemplo de antes, donde A es 3, 2, B era el punto medio anterior, esto era M, que es 3, medio, 3, medio, pues yo si aplico esta fórmula de aquí, ¿vale? De aquí, que se obtiene de aplicar el punto medio, ¿de acuerdo? Pues obtengo el punto 10, 1, que era mi B de antes.

231
00:28:24,079 --> 00:28:26,480
probarlo ustedes y me decís

232
00:28:26,480 --> 00:28:27,700
cualquier cosa, ¿vale?