1
00:00:01,139 --> 00:00:06,459
Bien, voy a grabar lo que no termine del ejercicio anterior, que es la curvatura.

2
00:00:07,540 --> 00:00:11,779
Debido a todos los problemas informáticos que he tenido, al final no he podido hacerlo.

3
00:00:12,580 --> 00:00:14,279
Vamos a ver si ahora consigo que funcione bien.

4
00:00:14,679 --> 00:00:15,580
Recuerdo lo que estábamos.

5
00:00:15,679 --> 00:00:20,359
Estábamos en una función, que era esta, x más 2 elevado al cuadrado a la parte de x al cuadrado a menos 2,

6
00:00:20,760 --> 00:00:24,359
de la cual ya habíamos hecho un estudio completo que nos permitía representarla.

7
00:00:24,359 --> 00:00:28,339
estudiamos el dominio, las asíntotas, la monotonía

8
00:00:28,339 --> 00:00:32,159
con los puntos singulares que identificamos como máximos o mínimos

9
00:00:32,159 --> 00:00:35,759
vemos los cortes con los ejes y ya nos hacíamos una idea de la función

10
00:00:35,759 --> 00:00:37,780
la función la tengo dibujada aquí

11
00:00:37,780 --> 00:00:44,179
esa función la tengo dibujada aquí, voy a borrar esto, y esta función pues es un poquito

12
00:00:44,179 --> 00:00:48,340
particular, en realidad está un poco preparada para que salgan un montón de cosas, salgan máximos

13
00:00:48,340 --> 00:00:52,200
salgan mínimos, salgan asíntotas, tanto horizontales como verticales

14
00:00:52,200 --> 00:01:15,340
Entonces, lo que nos ha quedado para poder hacer un estudio más pormenorizado es ver dónde está la curvatura. Normalmente, un estudio completo no se hace la curvatura. En una EBAU, por ejemplo, no se va a hacer un estudio tan largo como este porque no daría tiempo a hacerlo. Se preguntará en concreto alguna de las partes que hemos tratado hasta ahora.

15
00:01:15,340 --> 00:01:37,060
Pero bueno, como estábamos con este ejercicio ya, lo que observamos es que cuando viene desde la asíntota horizontal que estaba en 1, cuando viene hacia el mínimo que está en menos 2, vemos que la función es cóncava, pero de repente cambia a ser convexa para tener este mínimo y vuelva a subir hacia arriba, hacia la asíntota vertical.

16
00:01:37,620 --> 00:01:43,000
Entonces, en algún punto que se encuentra por aquí aproximadamente, vamos a tener un punto de inflexión.

17
00:01:43,540 --> 00:01:49,159
Vamos a intentar buscar ese punto de inflexión calculándolo formalmente con la derivada que habíamos calculado antes.

18
00:01:49,920 --> 00:01:56,260
Entonces, ya teníamos la primera derivada y para calcular el punto de inflexión vamos a buscar la segunda derivada igual a cero.

19
00:01:57,260 --> 00:02:00,719
Voy a copiar la derivada para hacer la segunda.

20
00:02:02,989 --> 00:02:04,909
Esta es la derivada que ya teníamos calculada, la primera.

21
00:02:04,909 --> 00:02:08,710
entonces en base a esta vamos a calcular la segunda

22
00:02:08,710 --> 00:02:11,849
esta es la primera derivada

23
00:02:11,849 --> 00:02:19,740
voy a borrar toda la borralla esta

24
00:02:19,740 --> 00:02:25,659
y venga, en base a esta primera derivada vamos a calcular la segunda

25
00:02:25,659 --> 00:02:29,840
pero para calcularla quizás no sea más fácil desarrollar el polinomio del numerador

26
00:02:29,840 --> 00:02:33,740
no así el del denominador, pero el del numerador sí que lo voy a desarrollar

27
00:02:33,740 --> 00:02:37,759
entonces, bueno y el del denominador también lo voy a desarrollar

28
00:02:37,759 --> 00:02:42,659
para que nos resulte más fácil hacer las derivadas y no tengamos un montón de paréntesis que luego después tengamos que multiplicar.

29
00:02:43,479 --> 00:02:46,259
Así que vamos a hacer este rápidamente.

30
00:02:47,379 --> 00:02:58,759
Menos 4x al cuadrado, el otro sería 2x más 3x por 4, sería 12x, y 2 por 1 es 2, por 4, menos 8.

31
00:02:58,759 --> 00:03:15,539
Y en el denominador también lo voy a desarrollar. Sería x a la cuarta menos 2 por 2, 4x al cuadrado y más 2 por 2, 4. Entonces, con esta función racional, con un polinomio número en el denominador, pues ya voy a intentar hacerlo rápidamente.

32
00:03:15,539 --> 00:03:18,219
la segunda derivada va a ser

33
00:03:18,219 --> 00:03:21,770
derivada del primero

34
00:03:21,770 --> 00:03:29,750
menos 8x

35
00:03:29,750 --> 00:03:32,090
menos 12, este multiplicará

36
00:03:32,090 --> 00:03:32,849
x a la

37
00:03:32,849 --> 00:03:36,830
no, casi el denominador

38
00:03:36,830 --> 00:03:38,370
no lo voy a desarrollar porque yo creo que

39
00:03:38,370 --> 00:03:39,710
luego voy a poder sacar factor común

40
00:03:39,710 --> 00:03:41,430
y casi lo voy a dejar así

41
00:03:41,430 --> 00:03:44,250
sí, mejor, porque luego voy a poder sacar factor común

42
00:03:44,250 --> 00:03:45,229
b

43
00:03:45,229 --> 00:03:49,840
x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado

44
00:03:49,840 --> 00:03:51,879
para menos, venga, la derivada del de abajo

45
00:03:51,879 --> 00:03:54,080
que sería 2 multiplicado

46
00:03:54,080 --> 00:04:02,240
por 2x, es decir, 4x, y multiplicado por x al cuadrado menos 2 elevado a 2 menos 1, 1.

47
00:04:02,379 --> 00:04:09,120
Y esto multiplicado por el numerador. En el numerador voy a sacar un factor común. El

48
00:04:09,120 --> 00:04:13,560
factor común que voy a sacar va a ser menos 4, así que cambio de signo el menos, saco

49
00:04:13,560 --> 00:04:20,079
el 4, y si extraigo el 4 como factor común, tendría x al cuadrado, he sacado menos 4,

50
00:04:20,079 --> 00:04:24,360
más 3x y más 2

51
00:04:24,360 --> 00:04:27,420
todo esto es lo que tendremos que operar ahora

52
00:04:27,420 --> 00:04:32,439
al final no deja de ser un ejercicio de operatividad algebraica

53
00:04:32,439 --> 00:04:35,120
que tampoco es que aporte demasiado

54
00:04:35,120 --> 00:04:37,779
más allá de que tenemos mucha probabilidad de equivocarnos

55
00:04:37,779 --> 00:04:42,600
voy a permitirme sacar el factor común de menos 8x menos 12

56
00:04:42,600 --> 00:04:45,319
voy a sacar un factor común menos 4

57
00:04:45,319 --> 00:04:50,600
y quedaría menos 4 por 2x más 3.

58
00:04:56,300 --> 00:05:00,000
Y de esta manera ya puedo identificar lo que quiero sacar o lo que puedo sacar más bien

59
00:05:00,000 --> 00:05:02,019
como factor común para simplificar un poco las cosas.

60
00:05:02,660 --> 00:05:08,199
Este menos 4, un x al cuadrado menos 2, es decir, de aquí saco un menos 4,

61
00:05:08,620 --> 00:05:12,040
quedaría menos entonces, y este x al cuadrado menos 2.

62
00:05:13,180 --> 00:05:15,980
Así que sacando ese factor común para facilitar un poquito las cosas,

63
00:05:15,980 --> 00:05:19,000
menos 4 por x al cuadrado menos 2

64
00:05:19,000 --> 00:05:20,959
quedaría multiplicando a

65
00:05:20,959 --> 00:05:25,680
2x más 3

66
00:05:25,680 --> 00:05:28,399
el otro x al cuadrado menos 2

67
00:05:28,399 --> 00:05:29,759
recuerdo que saca un menos 4

68
00:05:29,759 --> 00:05:31,519
por tanto aquí tendríamos que poner un menos

69
00:05:31,519 --> 00:05:35,139
x que multiplicaría al 4 que teníamos por ahí

70
00:05:35,139 --> 00:05:39,139
x al cuadrado más 3x más 2

71
00:05:39,139 --> 00:05:43,560
partido de x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado

72
00:05:43,560 --> 00:05:44,600
a la cuarta, perdón

73
00:05:44,600 --> 00:05:47,439
cuidado porque aquí se me ha olvidado poner el cuadrado del de abajo

74
00:05:47,439 --> 00:05:48,199
este va a la cuarta

75
00:05:48,199 --> 00:05:52,100
así que, venga, vamos a intentar simplificar

76
00:05:52,100 --> 00:05:54,660
no va a simplificar, sino reducir términos semejantes arriba

77
00:05:54,660 --> 00:05:56,420
esto es

78
00:05:56,420 --> 00:05:59,040
venga, multiplico todo lo que se pueda

79
00:05:59,040 --> 00:06:03,709
voy a hacerlo por orden

80
00:06:03,709 --> 00:06:29,160
vale, con esto

81
00:06:29,160 --> 00:06:35,160
con esto reducimos los términos semejantes del numerador

82
00:06:35,160 --> 00:06:38,420
y quedarían 2x al cubo

83
00:06:38,420 --> 00:06:39,920
menos 4x al cubo serían

84
00:06:39,920 --> 00:06:43,899
menos 2x al cubo, voy a ir tachándolos para no contarlos un par de veces

85
00:06:43,899 --> 00:06:48,040
3 menos 12 son 9x al cuadrado

86
00:06:48,040 --> 00:06:52,540
en x tendría 12x

87
00:06:52,540 --> 00:06:59,300
y menos 6. Vale, como procedimiento

88
00:06:59,300 --> 00:07:03,060
estándar, pues igualaríamos esto a 0 y las raíces

89
00:07:03,060 --> 00:07:07,199
del numerador son las que hacen que la segunda derivada sea 0. Esta recuerdo que es la segunda derivada

90
00:07:07,199 --> 00:07:11,199
de la función que estamos analizando. Si igualamos esto a 0, aquellos puntos

91
00:07:11,199 --> 00:07:17,720
en los que la segunda derivada se anule, son candidatos a ser puntos de inflexión

92
00:07:17,720 --> 00:07:21,779
y para que lo sean, la tercera derivada tendría que ser distinta de cero.

93
00:07:22,300 --> 00:07:25,160
Como ya la función ya la he dibujado y esto solamente es un ejemplo,

94
00:07:25,220 --> 00:07:30,040
además es un ejemplo que no está preparado para buscar puntos de inflexión,

95
00:07:30,540 --> 00:07:34,120
entonces el punto que nos pueda salir o el punto de inflexión que nos debería salir

96
00:07:34,120 --> 00:07:37,279
no tiene por qué ser un número entero ni un número fácil de calcular.

97
00:07:38,000 --> 00:07:45,120
Entonces, el numerador igual a cero, la primera posibilidad es que x sea igual a raíz de 2.

98
00:07:45,120 --> 00:07:49,180
Pero yo sé que en raíz de 2 y en menos raíz de 2, que es lo que anularía el primer factor,

99
00:07:49,860 --> 00:07:52,500
este primer factor se anularía en raíz de 2 y en menos raíz de 2.

100
00:07:53,759 --> 00:07:58,120
Ese primer factor no me interesa porque yo sé que ahí están las asíntotas.

101
00:07:58,220 --> 00:08:03,600
Así que voy a analizar únicamente las raíces que me saldrían de igualar a cero el segundo factor.

102
00:08:03,600 --> 00:08:26,060
Esto es. Vale. Bueno, me puedo ahorrar el signo menos porque la raíz la puedo calcular también cambiando de signo a todo. Así que de aquí obtendría las x que serían candidatas a ser punto de inflexión. Vale.

103
00:08:26,879 --> 00:08:31,819
Como decía antes, este ejercicio no está preparado para calcular puntos de inflexión y puede salir cualquier cosa de aquí.

104
00:08:31,959 --> 00:08:34,919
Y esto es una ecuación de tercer grado que no es precisamente fácil de calcular.

105
00:08:36,080 --> 00:08:50,899
Entonces, para no gastar tiempo en intentar hacer un Ruffini, intentar buscar por algún teorema alguno de los puntos entre los que cambia de signo,

106
00:08:51,659 --> 00:08:55,299
voy a hacerlo con la máquina. Voy a meter directamente esta función en GeoGebra.

107
00:08:56,059 --> 00:08:58,379
Y GeoGebra me va a calcular cuáles son las raíces.

108
00:09:02,129 --> 00:09:04,669
Ya digo que esto no es un ejercicio preparado para hacer esto.

109
00:09:04,750 --> 00:09:07,029
En un ejercicio de eva1 no va a salir un ejercicio como este.

110
00:09:07,129 --> 00:09:10,169
Es imposible hacer este cálculo en un tiempo razonable.

111
00:09:10,629 --> 00:09:16,809
Saldrá un ejercicio en el que será un poquito más sencillo hacer el cálculo de las raíces del polinomio o del que nos pongan.

112
00:09:17,350 --> 00:09:21,429
Entonces, yo voy a hacer la representación para que GeoGebra me calcule cuáles son las raíces.

113
00:09:36,379 --> 00:09:36,500
Vale.

114
00:09:37,440 --> 00:09:44,539
Fijaos que la función, la que estoy representando, la que quiero saber cuáles son sus soluciones,

115
00:09:46,639 --> 00:09:51,279
esta función que está representada en azul, tiene solamente una raíz.

116
00:09:51,700 --> 00:09:53,799
Es decir, un solo corte con el eje X.

117
00:09:54,259 --> 00:09:57,179
Una sola posibilidad de que la Y sea igual a cero.

118
00:09:58,059 --> 00:09:59,860
Ya digo que GeoGebra nos lo permite calcular.

119
00:10:00,860 --> 00:10:04,919
Seleccionamos esta opción y pinchamos en la función de la cual queremos calcular las raíces.

120
00:10:04,919 --> 00:10:08,360
y fijaos que este punto no es fácil de calcular

121
00:10:08,360 --> 00:10:09,679
pone menos 2,68

122
00:10:09,679 --> 00:10:11,779
no es un punto que podamos calcular fácilmente

123
00:10:11,779 --> 00:10:12,659
no es un número entero

124
00:10:12,659 --> 00:10:16,279
no es un número racional fácil

125
00:10:16,279 --> 00:10:21,159
entonces digamos que el cálculo

126
00:10:21,159 --> 00:10:22,559
haciendo un poquito de trampa

127
00:10:22,559 --> 00:10:27,700
la única x que existiría como raíz

128
00:10:27,700 --> 00:10:31,240
para este polinomio sería menos 2,68

129
00:10:31,240 --> 00:10:33,860
y es precisamente en esa x

130
00:10:33,860 --> 00:10:36,500
donde vamos a encontrar el punto de inflexión

131
00:10:36,500 --> 00:10:38,639
de la función original que estábamos analizando

132
00:10:38,639 --> 00:10:39,940
que es la función de color verde

133
00:10:39,940 --> 00:10:42,399
si yo represento esta función

134
00:10:42,399 --> 00:10:44,120
bueno, represento, si

135
00:10:44,120 --> 00:10:46,539
la pongo, es decir

136
00:10:46,539 --> 00:10:50,279
si la dibujo, a esta la he llamado

137
00:10:50,279 --> 00:10:58,409
a, veis

138
00:10:58,409 --> 00:11:00,610
sería esta, esta de aquí no sé que es lo que ha hecho

139
00:11:00,610 --> 00:11:01,870
voy a borrarlo

140
00:11:01,870 --> 00:11:04,730
veis, justamente este punto

141
00:11:04,730 --> 00:11:06,429
la intersección

142
00:11:06,429 --> 00:11:07,450
que también voy a pintarla

143
00:11:07,450 --> 00:11:12,750
justamente este punto que es

144
00:11:12,750 --> 00:11:29,250
A ver si lo puedo hacer. Entre esta y esta. Este punto B es precisamente el punto de inflexión que se calcularía, como ya he dicho, igualando a cero y comprobando la segunda derivada y comprobando que la tercera es distinta de cero.

145
00:11:29,250 --> 00:11:40,850
Como eso es un cálculo prácticamente imposible ahora mismo con esta función, con este polinomio, vemos que la única x es menos 2,68.

146
00:11:41,169 --> 00:11:46,450
Si hiciéramos la tercera derivada y le aplicáramos este punto, veríamos que es distinta de 0.

147
00:11:47,110 --> 00:11:50,909
A ver, hacer la tercera derivada aquí es un dolor, con lo cual no lo vamos a hacer.

148
00:11:50,909 --> 00:12:01,389
Lo único que quería comprobar es que realmente, siguiendo los pasos, podríamos hacer el cálculo, aunque en este caso algebraicamente, por su dificultad, sea difícil hacerlo de una manera sistemática.

149
00:12:01,389 --> 00:12:23,090
Pero lo que sí que comprobamos es que existe ese punto de inflexión porque si representamos la segunda derivada y buscamos los cortes con el eje x, es decir, los ceros de esa función, vemos que justamente caen en este punto que es donde consideramos, no consideramos sino es que realmente ocurre ahí, que la función verde cambia de curvatura.

150
00:12:23,090 --> 00:12:44,549
En ese punto veis donde la función verde cambia de curvatura. Un ejercicio de curvaturas, que sea específico para calcular curvaturas y puntos de inflexión, no es este. Sería algo un poquito más sencillo de calcular la segunda derivada, como se pueden ver en ejemplos que tenéis en el libro y que ya os he indicado que hagáis.

151
00:12:44,549 --> 00:12:47,029
vale, bueno pues como esto había quedado a medias

152
00:12:47,029 --> 00:12:49,110
lo colgaré como un anexo, un añadido

153
00:12:49,110 --> 00:12:49,909
al vídeo del

154
00:12:49,909 --> 00:12:52,549
de la hora que correspondía

155
00:12:52,549 --> 00:12:54,929
y podéis consultarlo

156
00:12:54,929 --> 00:12:56,330
vale, venga pues nada

157
00:12:56,330 --> 00:12:57,809
terminamos aquí el vídeo