1 00:00:02,609 --> 00:00:12,189 Hola. Vamos a pasar a la segunda parte de trigonometría. Vamos a ver el tema 5 de nuestro libro, que es el tema de fórmulas y funciones trigonométricas. 2 00:00:13,109 --> 00:00:25,370 Vamos a empezar viendo las fórmulas trigonométricas. Estas fórmulas nos van a permitir resolver ecuaciones trigonométricas, nos van a permitir también demostrar algunas igualdades 3 00:00:25,370 --> 00:00:37,810 Y el año que viene os van a permitir resolver algunas integrales. Vamos a empezar calculando el seno de la suma de dos ángulos. 4 00:00:38,350 --> 00:00:53,270 Vamos a ver que si nosotros tenemos dos ángulos alfa y beta y conocemos las razones trigonométricas de dichos ángulos, podemos calcular el seno de alfa más beta con esa fórmula que veis escrita en la pantalla del ordenador. 5 00:00:53,270 --> 00:00:59,909 El seno de alfa más beta es el seno de alfa por el coseno de beta más coseno de alfa por el seno de beta. 6 00:01:00,170 --> 00:01:03,109 Y voy a haceros una demostración geométrica. 7 00:01:03,670 --> 00:01:07,209 Vamos a empezar dibujando el ángulo alfa. 8 00:01:14,450 --> 00:01:16,790 Este ángulo será el ángulo alfa. 9 00:01:17,469 --> 00:01:22,969 Aquí tenemos el triángulo rectángulo que nos va a permitir después ver las razones trigonométricas. 10 00:01:22,969 --> 00:01:28,790 A continuación vamos a dibujar el ángulo beta. 11 00:01:29,290 --> 00:01:51,260 El ángulo beta lo voy a hacer de tal manera que la hipotenusa de este triángulo valga 1, por lo tanto este cateto directamente por ser el opuesto del ángulo beta va a ser el seno de beta y este cateto de aquí va a ser el coseno de beta. 12 00:01:51,260 --> 00:01:58,519 Ya tenemos dibujados alfa y beta, luego ya tenemos el ángulo de alfa más beta, que es la suma. 13 00:01:59,120 --> 00:02:07,159 Dibujamos su triángulo rectángulo, que nos va a permitir estudiar las razones trigonométricas. 14 00:02:07,640 --> 00:02:10,699 Y vamos a dibujar otro triángulo más. 15 00:02:11,400 --> 00:02:15,719 Vamos a dibujar otro triángulo rectángulo, aquí. 16 00:02:15,719 --> 00:02:32,819 Y quiero que os fijéis que este ángulo está formado por esta recta y por esta recta, que son las mismas que forman el ángulo alfa, por lo tanto, este ángulo de aquí y este son iguales. 17 00:02:32,819 --> 00:02:44,060 Ambos valen alfa. Vamos a poner nombre a los puntos para hacer la demostración que quiero hacer. 18 00:02:50,300 --> 00:03:18,710 Bien, entonces, nosotros hemos dicho que vamos a demostrar cuánto vale el seno de alfa más beta, bien, entonces el seno de alfa más beta será el cateto opuesto partido de la hipotenusa, hemos visto que esta hipotenusa es el segmento OB que vale 1, 19 00:03:18,710 --> 00:03:27,530 Por lo tanto, el seno de alfa más beta será el segmento PB. 20 00:03:28,250 --> 00:03:49,250 Fijaros que el segmento PB será igual al segmento ACU más el segmento AC. 21 00:03:50,250 --> 00:03:54,250 Vamos a fijarnos en el segmento ACU. 22 00:03:57,990 --> 00:04:06,590 Este segmento AQ es este de aquí y fijaros que es el cateto opuesto al ángulo alfa. 23 00:04:06,590 --> 00:04:15,210 Por lo tanto, seno de alfa será igual a AQ partido de la hipotenusa. 24 00:04:15,770 --> 00:04:24,730 La hipotenusa es OA, pero fijaros que hemos dicho que OA es el coseno de beta. 25 00:04:24,730 --> 00:04:45,240 Por lo tanto, despejando, el segmento que nosotros queríamos calcular, que es aq, mide seno de alfa por coseno de beta. 26 00:04:46,420 --> 00:04:50,439 Vamos ahora a fijarnos en el segmento AC. 27 00:04:51,300 --> 00:04:59,699 El segmento AC es este que está aquí en verde y se relaciona con el coseno de alfa. 28 00:04:59,699 --> 00:05:10,019 El coseno de alfa será igual al cateto contiguo, que es AC, partido de la hipotenusa de ese triángulo, que es AB. 29 00:05:10,959 --> 00:05:17,300 Esa hipotenusa AB, hemos dicho ya antes, que era el seno de beta. 30 00:05:19,800 --> 00:05:30,040 Por lo tanto, tenemos que AC será igual a coseno de alfa por el seno de beta. 31 00:05:30,040 --> 00:05:47,389 Bien, si ahora nosotros sustituimos esta expresión que hemos obtenido aquí y esta otra expresión que hemos obtenido aquí, la sustituimos aquí, ¿qué obtenemos? 32 00:05:47,389 --> 00:06:07,610 Pues obtenemos precisamente lo que nosotros queríamos ver, ¿no? Que el seno de alfa más beta, que es pb, será igual a seno de alfa por coseno de beta más coseno de alfa por el seno de beta. 33 00:06:07,610 --> 00:06:14,149 Ya está, ya hemos llegado a la demostración que nosotros queríamos hacer. 34 00:06:14,569 --> 00:06:27,110 Bien, ¿para qué nos puede servir esto? Pues, por ejemplo, esto nos puede servir para hacer una demostración, o sea, perdón, sí, nos puede servir para hacer una demostración, 35 00:06:27,110 --> 00:06:35,750 Pero hoy lo vamos a utilizar nosotros para hacer, por ejemplo, el seno de 75. 36 00:06:36,329 --> 00:06:48,230 Nosotros conocemos las razones trigonométricas de 30 y de 45, pues nosotros vamos a hacerlo, vamos a calcular el seno de 75 usando esto. 37 00:06:48,230 --> 00:07:02,230 El seno de 75 será, por lo tanto, seno de 30 por coseno de 45 más coseno de 30 por el seno de 45. 38 00:07:04,029 --> 00:07:10,850 Recordad que el seno de 30 valía un medio, el coseno de 45 raíz de 2 partido de 2. 39 00:07:10,850 --> 00:07:20,449 El coseno de 30 valía raíz de 3 partido de 2, el seno de 45 igual que el coseno, raíz de 2 partido de 2. 40 00:07:21,009 --> 00:07:29,730 Por lo tanto, tenemos que el seno de 75 será raíz de 2 más raíz de 6 partido de 4, ¿vale? 41 00:07:30,949 --> 00:07:38,949 Venga, vamos ahora a hacer el coseno de alfa más beta. 42 00:07:38,949 --> 00:08:15,589 El coseno de alfa más beta lo vamos a encontrar a partir del seno de alfa más beta, pero para eso tenemos que recordar una cosa que hacíamos en el tema anterior y era ver qué relación había entre las razones trigonométricas de un ángulo phi y de un ángulo 90 más phi. 43 00:08:16,889 --> 00:08:38,940 Si nosotros teníamos dos ángulos que se diferenciaban en 90 grados, recordad que nosotros sabíamos que el seno de 90 más fi se correspondía con el coseno de fi. 44 00:08:38,940 --> 00:08:51,700 Y el coseno de 90 más pi es el opuesto al seno de pi. 45 00:08:52,100 --> 00:08:53,899 Me había olvidado el menos, ¿vale? 46 00:08:54,379 --> 00:09:02,399 Bueno, pues entonces, teniendo en cuenta esto y teniendo en cuenta la fórmula que hemos demostrado antes, 47 00:09:02,779 --> 00:09:07,919 vamos a ver cómo es el coseno de alfa más beta, ¿vale? 48 00:09:07,919 --> 00:09:31,419 Entonces, el coseno de alfa más beta será igual al seno de 90 más alfa más beta. 49 00:09:33,580 --> 00:09:42,759 Es decir, vamos a agrupar y vamos a poner por un lado este 90 más alfa. 50 00:09:42,759 --> 00:10:11,029 Y vamos a desarrollar la expresión como hemos hecho antes. Vamos a poner con la fórmula anterior seno del primero por seco más coseno del primero por el seno de beta. 51 00:10:11,029 --> 00:10:35,330 ¿Vale? Bueno, ¿cuánto vale el seno de 90 más alfa? Pues el coseno de alfa lo tenemos ahí. ¿Cuánto vale el coseno de beta? Pues coseno de beta más coseno de 90 más alfa, que es menos el seno de alfa por el seno de beta. 52 00:10:35,330 --> 00:10:48,929 Por lo tanto, será coseno de alfa por coseno de beta menos seno de alfa por seno de beta. 53 00:10:49,409 --> 00:10:58,970 Esa es la expresión que nos da, esa es la fórmula que nos va a dar el coseno de la suma. 54 00:10:58,970 --> 00:11:08,610 La voy a poner aquí. Coseno del primero por coseno del segundo menos seno del primer ángulo por el seno del segundo. 55 00:11:08,610 --> 00:11:19,370 ¿Vale? Pues por ejemplo con esto nosotros podríamos calcular, igual que hemos hecho antes, vamos a calcular el coseno de 75. 56 00:11:19,370 --> 00:11:51,809 El coseno de 75 será igual al coseno de 30 más 45, que será igual a coseno de 30 por coseno de 45 menos seno de 30 por seno de 45. 57 00:11:51,809 --> 00:12:16,139 El coseno de 30 ¿cuánto vale? El coseno de 30 es raíz de 3 partido de 2. Coseno de 45 raíz de 2 partido de 2 menos el seno de 30 un medio, el seno de 45 raíz de 2 partido de 2. 58 00:12:16,139 --> 00:12:24,039 Luego esto nos queda raíz de 6 menos raíz de 2 partido de 4, ¿vale? 59 00:12:25,460 --> 00:12:36,500 Bien, vamos a ver ahora, igual que hemos visto las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, 60 00:12:36,980 --> 00:12:55,230 vamos a ver las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos, ¿vale? 61 00:12:55,230 --> 00:13:23,580 Bien, pues vamos a ver que el seno de alfa menos beta es igual al seno de alfa por el coseno de beta menos coseno de alfa por el seno de beta. 62 00:13:23,580 --> 00:13:44,419 Y del mismo modo el coseno de alfa menos beta será igual al coseno de alfa por coseno de beta más seno de alfa por el seno de beta. 63 00:13:44,419 --> 00:13:53,860 Como veis no os he escrito las relaciones trigonométricas de la tangente de alfa más beta ni de la tangente de alfa menos beta 64 00:13:53,860 --> 00:14:00,799 Si nosotros sabemos hacer el seno y el coseno, la tangente será simplemente hacer la división 65 00:14:00,799 --> 00:14:12,799 Pero si vosotros queréis demostrarlo de forma general podéis hacerlo y tenéis la fórmula en el libro, en las páginas 130 y 131 66 00:14:12,799 --> 00:14:21,600 Yo lo que sí que voy a demostraros es el seno de alfa menos beta y el coseno de alfa menos beta. 67 00:14:22,080 --> 00:14:36,620 Para eso vamos a partir de las razones trigonométricas que hemos demostrado antes y vamos a recordar cómo son las razones trigonométricas de dos ángulos que son opuestos. 68 00:14:36,620 --> 00:14:59,759 Acordaros que si nosotros tenemos el ángulo fi y el ángulo menos fi, pues el seno de menos fi es el opuesto al seno de fi y los cosenos coinciden. 69 00:15:00,960 --> 00:15:01,759 ¿Vale? 70 00:15:01,759 --> 00:15:24,600 ¿Vale? Venga, entonces, sabiendo esto y sabiendo cuánto vale el seno de alfa más beta, pues yo voy a calcular el seno de alfa menos beta. 71 00:15:24,600 --> 00:15:32,600 Simplemente voy a convertir esta resta en una suma. 72 00:15:33,320 --> 00:15:37,080 En lugar de poner el ángulo beta, pongo el ángulo menos beta. 73 00:15:37,940 --> 00:15:43,059 Y esto será igual a, por la fórmula que hemos demostrado geométricamente antes, 74 00:15:43,059 --> 00:15:59,450 seno del primero por coseno del segundo más coseno de alfa por el seno de menos beta. 75 00:16:00,830 --> 00:16:07,809 Como hemos recordado que el coseno de menos beta y el coseno de beta son iguales, 76 00:16:07,929 --> 00:16:11,090 pues este primer término lo escribo así, seno de alfa por coseno de beta. 77 00:16:11,090 --> 00:16:22,409 Pero los senos son opuestos, así que en lugar de poner seno de menos beta voy a poner menos seno de beta y el coseno de alfa se queda igual, ¿vale? 78 00:16:22,830 --> 00:16:37,049 Por lo tanto, así he demostrado que el seno de alfa menos beta es igual que el coseno de alfa más beta, pero cambiando este signo que veis aquí, ¿vale? 79 00:16:37,049 --> 00:16:44,350 vosotros solos podéis hacer la demostración del coseno de alfa menos beta exactamente igual que 80 00:16:44,350 --> 00:16:52,870 yo he hecho ahora. A continuación os propongo que paréis el vídeo y resolváis de la página 131 81 00:16:52,870 --> 00:17:02,529 los ejercicios 4 y 5. En el ejercicio 4 os dan el seno de 12 y el seno de 37 y os piden las 82 00:17:02,529 --> 00:17:10,369 razones trigonométricas de 49, que son 12 más 37, y de 25, que son 37 menos 12. Luego, es decir, 83 00:17:10,470 --> 00:17:17,349 os están pidiendo que apliquéis estas fórmulas que nosotros acabamos de demostrar. En el ejercicio 5, 84 00:17:18,029 --> 00:17:25,910 lo que os dan es una igualdad y os piden que la demostréis. Como sugerencia para que empecéis a 85 00:17:25,910 --> 00:17:34,349 trabajar con esa igualdad, os digo que empecéis trabajando con el lado izquierdo y que desarrolléis 86 00:17:34,349 --> 00:17:39,650 el coseno de a más b, el coseno de a menos b, el seno de a más b y el seno de a menos b, los 87 00:17:39,650 --> 00:17:46,690 desarrolléis y operéis todo eso hasta ver si sois capaces de llegar a que lo que hay a la izquierda 88 00:17:46,690 --> 00:17:55,990 es igual a 1 partido de tangente de A. ¿Vale? Bien, pues una vez que vosotros hayáis hecho 89 00:17:55,990 --> 00:18:03,150 esto, yo voy a hacer las razones trigonométricas, os voy a demostrar las razones trigonométricas 90 00:18:03,150 --> 00:18:34,799 del ángulo doble. Se me resiste. Bien, para hacer las razones trigonométricas del ángulo 91 00:18:34,799 --> 00:18:46,220 doble, voy a partir otra vez del seno de alfa más beta. Pero, ¿qué voy a poner ahora? 92 00:18:46,680 --> 00:18:50,960 En lugar de poner alfa más beta voy a poner seno de alfa más alfa, ¿no? Y entonces ya 93 00:18:50,960 --> 00:18:58,839 tengo el seno de 2 alfa, que es el que yo quiero encontrar. Ángulo doble, ¿vale? Luego 94 00:18:58,839 --> 00:19:16,460 Entonces, el seno de 2 alfa será igual al seno de alfa más alfa, que será seno de alfa por coseno de alfa más coseno de alfa por seno de alfa. 95 00:19:17,000 --> 00:19:25,539 Fijaros que aquí tengo el seno de un ángulo por el coseno del mismo ángulo y aquí tengo lo mismo pero escrito en orden inverso. 96 00:19:25,539 --> 00:19:29,539 es una multiplicación, se cumple la propiedad conmutativa, luego estos dos factores son 97 00:19:29,539 --> 00:19:39,559 iguales dos veces seno de alfa por coseno de alfa. Vamos a hacer el coseno de 2 alfa. 98 00:19:40,559 --> 00:19:51,819 Igual, ¿no? El coseno de 2 alfa será igual al coseno de alfa más alfa, que será igual 99 00:19:51,819 --> 00:20:02,640 coseno de alfa por coseno de alfa menos seno de alfa por seno de alfa. Es decir, que el 100 00:20:02,640 --> 00:20:11,640 coseno de 2 alfa será coseno cuadrado de alfa menos seno cuadrado de alfa. En este 101 00:20:11,640 --> 00:20:17,920 caso, fijaros, sí que os voy a recomendar que calcule, calcular la tangente de 2 alfa 102 00:20:17,920 --> 00:20:27,339 porque la vais a utilizar bastantes veces. La tangente de 2 alfa será el seno de 2 alfa 103 00:20:27,339 --> 00:20:42,519 entre el coseno de 2 alfa, es decir, que será 2 seno de alfa coseno de alfa partido de coseno 104 00:20:42,519 --> 00:20:51,539 cuadrado de alfa menos seno cuadrado de alfa. Vamos a dividir numerador y denominador por 105 00:20:51,539 --> 00:20:57,039 coseno cuadrado de alfa, entonces aquí nos va a quedar directamente un 1. ¿Y aquí qué 106 00:20:57,039 --> 00:21:08,809 nos va a quedar? Nos va a quedar esta expresión de aquí, de aquí nos va a quedar seno cuadrado 107 00:21:08,809 --> 00:21:17,670 de alfa entre coseno cuadrado de alfa. Fijaros que un coseno se me puede simplificar y entonces 108 00:21:17,670 --> 00:21:26,650 arriba lo que me queda es dos veces la tangente de alfa y abajo me queda 1 menos tangente cuadrado 109 00:21:26,650 --> 00:21:38,009 de alfa. ¿Vale? Bien, pues otra vez os propongo que paréis el vídeo y ahora los ejercicios que 110 00:21:38,009 --> 00:21:46,130 debéis hacer para practicar esto que hemos hecho aquí son los ejercicios 7, 8 y 9. Los ejercicios 111 00:21:46,130 --> 00:21:53,809 7 y 8 son muy sencillos y el ejercicio 9 os propongo otra vez lo mismo que antes. Se trata 112 00:21:53,809 --> 00:22:00,190 de demostrar una igualdad. Vosotros tenéis que desarrollar al máximo todo lo que podáis 113 00:22:00,190 --> 00:22:06,009 el lado izquierdo de la igualdad porque es donde van a aparecer los senos del ángulo 114 00:22:06,009 --> 00:22:12,450 doble. Operáis al máximo e intentáis llegar a la expresión que aparece en el lado de 115 00:22:12,450 --> 00:22:23,630 la derecha. ¿Vale? Y ahora vamos a ver las razones trigonométricas del ángulo mitad. ¿Vale? Razones 116 00:22:23,630 --> 00:22:59,559 trigonométricas del ángulo mitad. Las razones trigonométricas del ángulo mitad las vamos a 117 00:22:59,559 --> 00:23:08,200 demostrar partiendo del ángulo doble y partiendo de la relación fundamental de la trigonometría 118 00:23:08,200 --> 00:23:15,299 que recordad que nos dice que seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa es igual 119 00:23:15,299 --> 00:23:27,589 a 1. Vamos a partir del coseno de 2 alfa que es coseno cuadrado de alfa menos seno cuadrado 120 00:23:27,589 --> 00:23:37,250 de alfa y vamos a partir de 1 igual a coseno cuadrado de alfa más seno cuadrado de alfa. 121 00:23:37,549 --> 00:23:46,150 Si sumamos estas dos expresiones, fijaros que nos queda que 1 más coseno de 2 alfa 122 00:23:46,150 --> 00:23:53,890 será igual a dos veces el coseno cuadrado de alfa. Por lo tanto, que el coseno cuadrado 123 00:23:53,890 --> 00:24:04,230 de alfa es 1 más coseno de 2 alfa partido de 2. Y eso tendremos que, si cambio el coseno 124 00:24:04,230 --> 00:24:10,670 de 2 alfa por alfa y el coseno de alfa por la mitad, por alfa medios, será el coseno 125 00:24:10,670 --> 00:24:19,390 de alfa medios es igual, coseno cuadrado de alfa medios es igual a 1 más coseno de alfa 126 00:24:19,390 --> 00:24:31,470 partido de 2. Haciendo la raíz cuadrada nos queda que el coseno de alfa medios será más menos la 127 00:24:31,470 --> 00:24:44,329 raíz cuadrada de 1 menos coseno de alfa partido de 2. Y del mismo modo demostráis el coseno de 128 00:24:44,329 --> 00:25:03,529 alfa medios, perdón, el seno de alfa medios, que será más menos la raíz cuadrada de 1 menos coseno 129 00:25:03,529 --> 00:25:16,700 de alfa partido de 2. Y con esto hemos visto las razones trigonométricas, las relaciones 130 00:25:16,700 --> 00:25:24,640 trigonométricas entre la suma de ángulos, la resta de ángulos, el ángulo doble y el 131 00:25:24,640 --> 00:25:29,240 ángulo mitad. Espero que las explicaciones hayan sido claras.