1
00:00:02,160 --> 00:00:04,940
Vamos a ver ahora el producto escalar de dos vectores.

2
00:00:06,059 --> 00:00:07,900
La definición es la siguiente.

3
00:00:08,560 --> 00:00:13,740
Dados dos vectores u y v pertenecientes al espacio vectorial v2,

4
00:00:14,580 --> 00:00:17,879
se llama producto escalar de dichos dos vectores

5
00:00:17,879 --> 00:00:20,879
al módulo del primero por el módulo del segundo

6
00:00:20,879 --> 00:00:23,379
por el coseno del ángulo que forman,

7
00:00:24,120 --> 00:00:26,199
entendiendo el ángulo que forman,

8
00:00:27,199 --> 00:00:29,559
el ángulo menor que forman esos dos vectores,

9
00:00:29,559 --> 00:00:31,820
es decir, este de aquí.

10
00:00:32,159 --> 00:00:44,990
en lugar de este. Esta definición no depende de la base en la cual estén expresados u y v.

11
00:00:46,950 --> 00:00:57,869
¿Por qué? Porque los módulos de los vectores u y v son longitudes, con lo cual esas longitudes van a ser invariantes

12
00:00:57,869 --> 00:01:05,170
en cualquier base en la cual estén expresados y el coseno del ángulo que forman esos dos vectores también es un número.

13
00:01:05,170 --> 00:01:14,599
El resultado de este producto es un escalar, por eso a este producto se le llama producto escalar de dos vectores.

14
00:01:14,939 --> 00:01:26,159
El año que viene veréis el producto vectorial de dos vectores, cuyo resultado es un vector, por eso toma el nombre de producto vectorial.

15
00:01:27,519 --> 00:01:32,939
Vamos a ver ahora una serie de consecuencias de esta definición.

16
00:01:32,939 --> 00:01:42,640
La primera es la condición de ortogonalidad, que nos va a permitir ver cuántos dos vectores son ortogonales.

17
00:01:42,939 --> 00:01:47,900
El prefijo orto significa perpendicular, cuántos dos vectores son perpendiculares.

18
00:01:49,200 --> 00:01:55,859
Cuando dos vectores son perpendiculares, el ángulo que forman entre ellos es de 90.

19
00:01:55,859 --> 00:02:04,859
Si u y v forman un ángulo de 90, como el coseno de 90 vale 0

20
00:02:04,859 --> 00:02:09,759
aplicando la definición, tendríamos módulo de u por módulo de v

21
00:02:09,759 --> 00:02:14,479
por el coseno de 90 que vale 0, ese producto escalar nos daría 0

22
00:02:14,479 --> 00:02:22,939
Así que la condición de ortogonalidad nos la va a dar el producto escalar igualado a 0

23
00:02:22,939 --> 00:02:30,599
otra definición importante, la de módulo de un vector

24
00:02:30,599 --> 00:02:39,270
el módulo de un vector hemos visto al principio del tema

25
00:02:39,270 --> 00:02:43,430
que lo vamos a calcular haciendo la raíz cuadrada

26
00:02:43,430 --> 00:02:49,659
de la primera componente al cuadrado más la segunda componente al cuadrado

27
00:02:49,659 --> 00:02:56,060
esto como veremos es una definición de módulo

28
00:02:56,060 --> 00:03:07,340
pero que solamente es válida si las coordenadas de u están expresadas en una base que sea ortonormal

29
00:03:07,340 --> 00:03:09,699
como por ejemplo la base canónica.

30
00:03:10,900 --> 00:03:13,939
Como es la base que vamos a utilizar generalmente

31
00:03:13,939 --> 00:03:18,939
estamos acostumbrados a decir que el módulo de un vector lo calculamos así.

32
00:03:19,639 --> 00:03:24,979
Sin embargo la definición general, la que no depende de la base en la cual esté expresado u

33
00:03:24,979 --> 00:03:36,340
es esta otra. En efecto, si yo multiplico un vector por sí mismo, esto sería el módulo de u por el módulo de u

34
00:03:36,340 --> 00:03:43,039
otra vez, por el coseno de 0, porque un vector consigo mismo forma un ángulo de 0 grados.

35
00:03:43,840 --> 00:03:52,719
Entonces, como el coseno de 0 vale 1, esto sería igual al módulo de u al cuadrado y de aquí despejando

36
00:03:52,719 --> 00:04:00,479
tendríamos que el módulo de u es la raíz cuadrada positiva de dicho vector por sí mismo

37
00:04:00,479 --> 00:04:03,400
el producto escalar de dicho vector por sí mismo

38
00:04:03,400 --> 00:04:11,979
Bien, y otra definición importante que viene a partir del producto escalar de dos vectores

39
00:04:11,979 --> 00:04:15,800
es la de proyección de un vector u sobre el vector v

40
00:04:15,800 --> 00:04:24,319
Es decir, si yo tengo dos vectores u y v, llamamos proyección del vector u sobre v,

41
00:04:26,079 --> 00:04:38,899
si aquí trazamos de forma perpendicular a la dirección de v una línea de trazos formando aquí un ángulo de 90 grados,

42
00:04:38,899 --> 00:04:44,000
la proyección sería esta que estamos trazando

43
00:04:44,000 --> 00:04:47,800
la que estaba en color verde y ahora estoy trazando en color rojo

44
00:04:47,800 --> 00:04:51,839
esto sería la proyección de u sobre v

45
00:04:51,839 --> 00:04:55,540
si os dais cuenta en el producto escalar de u por v

46
00:04:55,540 --> 00:05:00,720
tenemos módulo de u por el módulo de v por el coseno de alfa

47
00:05:00,720 --> 00:05:07,920
pero precisamente el módulo de u por el coseno del ángulo que forman

48
00:05:07,920 --> 00:05:20,079
es el módulo de esa proyección, es decir, que esto lo puedo expresar como módulo de la proyección

49
00:05:20,079 --> 00:05:28,360
por el módulo de V. Fijaros, coseno de alfa, coseno de este ángulo, aquí tenemos un triángulo rectángulo,

50
00:05:28,360 --> 00:05:41,579
el coseno de alfa sería igual al cateto contiguo, módulo de la proyección, dividido por la hipotenusa

51
00:05:41,579 --> 00:05:52,379
que sería el módulo de u, de ahí que el producto de módulo de u por el coseno sea igual a esto.

52
00:05:52,540 --> 00:06:06,139
Es decir que de aquí despejando tendríamos que módulo de la proyección sería igual al producto escalar de u por v

53
00:06:06,139 --> 00:06:11,810
dividido por el módulo de V.

54
00:06:11,810 --> 00:06:21,480
Esto si estoy haciendo la proyección de U sobre V.

55
00:06:21,920 --> 00:06:27,000
Si estuviéramos haciendo la proyección de V sobre U,

56
00:06:28,459 --> 00:06:40,800
esa proyección sería proyectando de igual manera,

57
00:06:40,980 --> 00:06:52,069
pero ahora sobre V sobre U, sería este vector azul la proyección, hasta aquí.

58
00:06:52,069 --> 00:07:09,379
Y la proyección de V sobre U sería producto escalar de U por V dividido por el módulo de U.

59
00:07:13,170 --> 00:07:21,410
Vamos a ver ahora la expresión analítica del producto escalar, partiendo de la más general a la más particular,

60
00:07:21,410 --> 00:07:30,310
que ya hemos hablado de ella, es decir, que el producto escalar se puede calcular como u1 por v1 más u2 por v2.

61
00:07:31,389 --> 00:07:40,170
Y vamos a ver que esa forma de calcular el producto escalar es válida si la base en la cual se expresan los vectores u y v

62
00:07:40,170 --> 00:07:43,589
es una base ortonormal. Vamos a ir deduciéndolo.

63
00:07:43,589 --> 00:07:52,389
¿Qué significa que el vector u tiene coordenadas u1, u2 en una base cualquiera de v2?

64
00:07:52,610 --> 00:07:57,209
Es decir, t y s son dos vectores linealmente independientes únicamente, forman base

65
00:07:57,209 --> 00:08:02,269
¿Qué significa que el vector u tiene estas componentes?

66
00:08:02,269 --> 00:08:08,589
Pues significa que lo puedo expresar como combinación lineal de t y de s

67
00:08:08,589 --> 00:08:14,730
es decir, u1 por t más u2 por s.

68
00:08:16,029 --> 00:08:23,170
Igualmente el vector v tiene componentes o de coordenadas v1, v2 en esta base,

69
00:08:23,990 --> 00:08:29,750
eso significa que se puede expresar como combinación lineal de t y s

70
00:08:29,750 --> 00:08:35,190
y que los escalares que multiplican a esos vectores respectivamente serían v1 y v2.

71
00:08:35,190 --> 00:08:43,549
Es decir, esto sería igual a V1 por T más V2 por S.

72
00:08:46,620 --> 00:08:51,320
Ahora lo que vamos a hacer va a ser multiplicar escalarmente U y V.

73
00:08:54,240 --> 00:09:06,730
U es todo esto y V como combinación lineal de T y de S es esa otra combinación.

74
00:09:11,039 --> 00:09:15,120
Aquí tendremos que multiplicar estos dos sumandos por estos dos.

75
00:09:15,120 --> 00:09:19,539
es decir, este por este, este por este, este por este y este por este

76
00:09:19,539 --> 00:09:22,279
Vamos escribiendo cada uno de los sumandos

77
00:09:22,279 --> 00:09:29,720
El primer sumando sería u1 por v1, t por t

78
00:09:29,720 --> 00:09:36,039
Voy multiplicando primero los escalares y luego los vectores

79
00:09:36,039 --> 00:09:47,340
más este por este nos quedaría u1 por v2 t por s

80
00:09:47,340 --> 00:09:58,940
más este otro término por este otro sería u2 v1 s por t

81
00:09:58,940 --> 00:10:04,299
y el último sumando sería multiplicar este por este

82
00:10:04,299 --> 00:10:10,440
U2 por V2, S por S.

83
00:10:15,519 --> 00:10:21,879
Recordando lo que hemos dicho del producto escalar, esto que tenemos aquí,

84
00:10:23,399 --> 00:10:28,159
el producto de un vector por sí mismo sería módulo del primero por el módulo del segundo

85
00:10:28,159 --> 00:10:33,700
por el coseno del ángulo que forman, pero es que como estoy multiplicando dos vectores que son iguales,

86
00:10:34,299 --> 00:10:36,919
esto sería igual al módulo de t al cuadrado.

87
00:10:36,919 --> 00:10:41,620
Sería módulo de t por el módulo de t por el coseno de 0

88
00:10:41,620 --> 00:10:44,679
Igualmente para este otro

89
00:10:44,679 --> 00:10:51,289
Esto sería el módulo de s al cuadrado

90
00:10:51,289 --> 00:11:06,629
Bueno, supongamos ahora que la base es ortogonal

91
00:11:06,629 --> 00:11:16,220
Si es ortogonal significa que t es perpendicular a s

92
00:11:16,220 --> 00:11:25,980
es decir, que T por S escalarmente o S por T es igual a 0

93
00:11:25,980 --> 00:11:31,360
de tal manera que estos dos sumandos que tenemos aquí se me van a ir

94
00:11:31,360 --> 00:11:34,580
porque aquí aparecen los productos de T por S y de S por T

95
00:11:34,580 --> 00:11:42,399
es decir, que si la base es ortogonal, la expresión analítica del producto escalar se simplifica

96
00:11:42,399 --> 00:11:57,220
Me quedaría u1 por v1, módulo de t al cuadrado, más u2 por v2, módulo de s al cuadrado.

97
00:11:58,100 --> 00:12:07,429
Ahora vamos a ver una simplificación más y es si la base b, formada por los vectores t y s,

98
00:12:09,730 --> 00:12:12,850
además de ser ortogonal, es ortonormal.

99
00:12:12,850 --> 00:12:32,000
Eso significa que entonces los vectores, además de ser perpendiculares, además de ser ortogonal, de cumplirse ya esto, los módulos de esos vectores son igual a 1, es decir, estos vectores son unitarios.

100
00:12:32,000 --> 00:12:37,960
Si valen 1, esto de aquí vale 1 y esto de aquí vale 1

101
00:12:37,960 --> 00:12:47,320
Es decir, que la expresión que nos queda para el producto escalar sería la que ya hemos comentado

102
00:12:47,320 --> 00:12:59,350
Entonces, dos definiciones de producto escalar que vamos a utilizar en casi todos los ejercicios

103
00:12:59,350 --> 00:13:13,500
Una es esta, que es independiente de la base en la cual están expresados u y v

104
00:13:13,500 --> 00:13:18,000
Esta definición no depende de la base en la cual están expresados

105
00:13:18,000 --> 00:13:23,379
Sin embargo, si los vectores u y v, como hemos visto en esta demostración

106
00:13:23,379 --> 00:13:27,200
Están expresados en una base ortonormal

107
00:13:27,200 --> 00:13:31,000
La expresión analítica del producto escalar se simplifica mucho

108
00:13:31,000 --> 00:13:40,759
y nos queda reducida a esto, a multiplicar u1 por v1 más u2 por v2.

109
00:13:53,139 --> 00:13:59,059
Según esto, si u y v tienen estas coordenadas en una base ortonormal,

110
00:13:59,799 --> 00:14:02,620
el módulo de cualquiera de ellos, por ejemplo de u,

111
00:14:03,360 --> 00:14:13,750
que habíamos dicho que era la definición, la raíz cuadrada positiva del producto escalar de u por sí mismo,

112
00:14:13,990 --> 00:14:25,429
Esto sería igual, si u está expresado en una base ortonormal, a u sub 1 al cuadrado más u sub 2 al cuadrado

113
00:14:25,429 --> 00:14:28,149
Igualmente para v

114
00:14:28,149 --> 00:14:37,909
Dada esta definición que era la general, si v está expresado en una base ortonormal

115
00:14:37,909 --> 00:14:43,370
Pues el módulo lo podemos calcular de esta forma en función de sus componentes

116
00:14:43,370 --> 00:14:55,070
Otro resultado importante es que podemos calcular el ángulo formado por dos vectores

117
00:14:55,070 --> 00:14:59,970
Es decir, si yo tengo las coordenadas de u y de v

118
00:14:59,970 --> 00:15:05,070
Por un lado el producto escalar, la definición de producto escalar, la general

119
00:15:05,070 --> 00:15:11,710
La definición general, dice que esto es igual al módulo de u por el módulo de v

120
00:15:11,710 --> 00:15:14,710
Por el coseno del ángulo que forman

121
00:15:14,710 --> 00:15:17,950
Es decir, siendo alfa este ángulo

122
00:15:17,950 --> 00:15:35,370
Por otro lado, en la expresión analítica del producto escalar hemos visto que si v y v están expresadas en una base ortonormal, esto es igual a u1 por v1 más u2 por v2.

123
00:15:35,370 --> 00:15:54,440
de tal manera que igualando estas dos expresiones y despejando coseno de alfa

124
00:15:54,440 --> 00:16:00,179
podemos calcular el ángulo formado por esos dos vectores

125
00:16:00,179 --> 00:16:13,970
donde el módulo de u y el módulo de v lo podremos calcular de esta forma