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00:00:01,090 --> 00:00:06,089
Hola chicos, hola chicas. En este vídeo vamos a hablar de la simetría de las funciones.

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00:00:06,769 --> 00:00:13,349
Bueno, algunas funciones, no todas, con la mayoría no pasará, pero algunas funciones presentan algunos tipos de simetrías

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00:00:13,349 --> 00:00:17,949
que es importante estudiar porque nos da mucha información acerca de las funciones.

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00:00:19,230 --> 00:00:23,649
Mirad, entonces, vamos a fijarnos en la primera función que está dibujada ahí, en la función verde.

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00:00:24,190 --> 00:00:30,769
Fijaros que si yo considero el eje Y, que es este de aquí, un momentito que voy a sacar el lápiz,

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00:00:31,010 --> 00:00:34,729
El eje Y, ¿vale? Eje X, eje Y.

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00:00:35,109 --> 00:00:38,189
Fijaros que la función va a ser simétrica respecto al eje Y.

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00:00:38,289 --> 00:00:40,310
¿Qué significa que es simétrica respecto al eje Y?

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00:00:40,770 --> 00:00:45,030
Pues que si yo dibujo este eje Y de aquí, fijaros, si yo dibujo esta recta, ¿vale?

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00:00:45,130 --> 00:00:49,310
Esa recta me divide a la función en dos partes que son el reflejo una de otra.

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00:00:49,429 --> 00:00:52,789
Es como si en el eje Y hubiera un espejo, ¿vale?

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00:00:52,789 --> 00:00:54,530
Y la función sí estuviera reflejando.

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00:00:55,229 --> 00:00:59,070
Entonces, cuando ocurre eso, diremos que la función es simétrica respecto al eje Y.

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00:00:59,070 --> 00:01:04,030
también se dice en ese caso que la función presenta simetría par

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00:01:04,030 --> 00:01:07,890
¿vale? diremos que es simétrica respecto al eje ahí o que es par

16
00:01:07,890 --> 00:01:10,390
¿vale? las dos cosas significan lo mismo

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00:01:10,390 --> 00:01:12,829
vamos a fijarnos ahora en la otra función

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00:01:12,829 --> 00:01:18,370
mirad, en la otra función por ejemplo voy a fijarme en la imagen del 2

19
00:01:18,370 --> 00:01:22,189
¿vale? aquí tengo el 2 ¿vale? ese sería el punto

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00:01:22,189 --> 00:01:25,530
fijaros que la imagen del 2 en este caso es el 2

21
00:01:25,530 --> 00:01:30,750
Y ahora voy a fijarme en la imagen del menos 2. La imagen del menos 2 estaría aquí.

22
00:01:31,329 --> 00:01:38,010
Mirad, si yo miro esos dos puntos, fijaros, esos dos puntos son simétricos con respecto al origen.

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00:01:38,989 --> 00:01:42,409
Y eso pasa en cualquiera otros dos puntos de la función.

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00:01:43,549 --> 00:01:45,670
Voy a hacerlo con otros dos para que veáis que también pasa.

25
00:01:46,530 --> 00:01:53,239
Por ejemplo, si cogemos la imagen del 1, que estaría aquí,

26
00:01:53,239 --> 00:02:10,960
Y la imagen del menos 1, que estaría aquí, ¿vale? Fijaros, esos dos puntos también son simétricos con respecto al origen, ¿vale? Están a la misma distancia del origen y en la misma recta, ¿vale? Y la recta que los une pasa por el origen y los dos están a la misma distancia.

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00:02:10,960 --> 00:02:25,620
Y eso ocurre en cualquiera de los puntos de la función que cojamos. Este estaría aquí, etc. Y cuando ocurre eso se dice que la función es simétrica respecto al origen o que es una función impar.

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00:02:25,620 --> 00:02:33,520
bueno entonces si tenemos la gráfica de una función podemos reconocer simplemente visualmente si la

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00:02:33,520 --> 00:02:38,840
gráfica tiene simetría par simetría impar o ninguna porque la mayoría de las gráficas de

30
00:02:38,840 --> 00:02:44,500
las funciones pues no van a ser simétricas vale el asunto es ahora si en lugar de la gráfica lo

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00:02:44,500 --> 00:02:50,860
que conocemos es la fórmula la fórmula de la función cómo detectar cómo saber sin dibujarla

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00:02:50,860 --> 00:02:58,340
si la función es simétrica con respecto al eje Y, simétrica con respecto al origen o ninguno de las dos cosas.

33
00:02:58,479 --> 00:03:02,919
Es decir, si es una función par, una función impar o ninguna de esas dos cosas.

34
00:03:03,039 --> 00:03:04,560
Y ahora vamos a ver cómo se estudia eso.

35
00:03:06,099 --> 00:03:12,099
Vale, vamos a empezar por las funciones pares, las que tienen simetría con respecto al eje Y.

36
00:03:12,819 --> 00:03:14,900
Entonces, mirad, para eso vamos a hacer una cosa.

37
00:03:15,199 --> 00:03:20,479
Voy a coger un valor de la función, por ejemplo, fijaros, el 1, ¿vale?

38
00:03:20,860 --> 00:03:25,680
Y fijaros que la imagen del 1 sería esta de aquí, más o menos.

39
00:03:26,479 --> 00:03:29,520
¿Vale? Y ahora me voy al menos 1, que es el número opuesto.

40
00:03:30,479 --> 00:03:34,460
Fijaros, la imagen del menos 1 es la misma.

41
00:03:34,879 --> 00:03:41,520
¿Vale? Esto quiere decir que si yo comparo f de 1 y f de menos 1, las dos me dan este valor.

42
00:03:41,520 --> 00:03:47,719
¿Vale? Es decir, en este caso ocurriría que f de 1 es igual que f de menos 1.

43
00:03:47,719 --> 00:04:13,560
Pero eso además ocurre para todos los puntos. Fijaros, si yo cojo aquí un valor x y aquí cojo su correspondiente opuesto, el menos x, que estaría ahí, sean los que sean, y yo calculo las imágenes de este de aquí, que me daría este valor de aquí, más o menos, y calculo el de este de aquí, fijaros que me sale en el mismo sitio.

44
00:04:13,560 --> 00:04:28,879
¿Vale? Siempre que, si yo calculo, un momentito que ya cambió, si yo calculo la imagen de un número x cualquiera y calculo la de su opuesto, que sería menos x, las dos me van a dar lo mismo.

45
00:04:29,180 --> 00:04:41,300
Así es como se identifica que una función es par. ¿Vale? Por ejemplo, imaginad que tenéis la función f de x, que es x a la cuarta menos x al cuadrado.

46
00:04:41,300 --> 00:04:47,040
¿Vale? Pues lo que voy a hacer es que en vez de x voy a sustituir su opuesto, menos x

47
00:04:47,040 --> 00:04:49,779
Es decir, cambio en la función la x por menos x

48
00:04:49,779 --> 00:04:50,620
¿Y qué me quedaría?

49
00:04:51,259 --> 00:04:53,519
Menos x elevado a la cuarta

50
00:04:53,519 --> 00:04:57,319
Menos menos x elevado al cuadrado

51
00:04:57,319 --> 00:05:01,300
¿Vale? Fijaros, esto de aquí, menos x cuando lo elevo a la cuarta

52
00:05:01,300 --> 00:05:05,259
Menos elevado a la cuarta, un número negativo elevado a la cuarta me sale positivo, ¿no?

53
00:05:05,300 --> 00:05:07,139
Esto sería x a la cuarta

54
00:05:07,139 --> 00:05:09,360
Y lo mismo queda con menos x al cuadrado, ¿no?

55
00:05:09,360 --> 00:05:13,620
Cuando elevo un número al cuadrado queda positivo, con lo cual esto sale x al cuadrado.

56
00:05:13,680 --> 00:05:17,620
Que fijaros, que es lo mismo que la función original, ¿vale?

57
00:05:17,759 --> 00:05:25,259
Entonces, cuando cambio x por menos x y vuelvo a obtener la función original, otra vez es que la función es par.

58
00:05:25,740 --> 00:05:30,699
Y esta función obligatoriamente va a ser simétrica con respecto al eje y.

59
00:05:31,939 --> 00:05:34,860
Vale, vamos a ver qué ocurre en el caso de las funciones impares.

60
00:05:35,759 --> 00:05:40,579
Bueno, en este caso voy a hacer lo mismo, mirad, voy a sustituir, por ejemplo, el 1, ¿vale?

61
00:05:42,259 --> 00:05:47,079
Y voy a ver cuál es la imagen del menos 1, que es el número opuesto, ¿vale?

62
00:05:47,139 --> 00:05:50,180
Y fijaros que me han salido justo imágenes opuestas también.

63
00:05:50,180 --> 00:05:59,959
Si yo cojo números opuestos, ¿vale? Si yo cojo números opuestos, perdonad, así, me salen imágenes opuestas también, ¿vale?

64
00:05:59,959 --> 00:06:09,279
Es decir, aquí la imagen, si calculo la imagen del 1 y la imagen del menos 1, van a ser opuestas una de otra, ¿vale?

65
00:06:09,300 --> 00:06:14,540
Es decir, si sustituyo el número opuesto, me va a salir el número opuesto también, ¿vale?

66
00:06:14,740 --> 00:06:17,939
Y eso me va a ocurrir para cualquier valor que sustituya.

67
00:06:18,939 --> 00:06:22,420
Voy a coger uno al azar, por ejemplo, este de aquí.

68
00:06:23,000 --> 00:06:28,439
A ver, voy a sustituir, perdón, este de aquí, ¿vale?

69
00:06:28,439 --> 00:06:33,519
Fijaros, la imagen de este de aquí, que es el 2, la imagen del 2 es el 2.

70
00:06:33,879 --> 00:06:39,680
Sin embargo, si ahora cojo el menos 2, pues la imagen es la opuesta, el 2.

71
00:06:40,399 --> 00:06:42,839
Números opuestos me dan imágenes opuestas.

72
00:06:43,759 --> 00:06:46,199
Es decir, ¿cómo escribiríamos esto en general?

73
00:06:48,079 --> 00:06:55,819
Pues que si yo calculo la imagen de un número y de su opuesto, las imágenes también van a ser opuestas.

74
00:06:55,819 --> 00:06:59,220
¿Vale? Por ejemplo, vamos a poner un ejemplo

75
00:06:59,220 --> 00:07:03,839
Si tengo la función f de x igual a x al cubo más 7

76
00:07:03,839 --> 00:07:08,819
¿Vale? Fijaros, si yo en lugar de x sustituyo su opuesto

77
00:07:08,819 --> 00:07:11,360
Es decir, menos x, ¿vale?

78
00:07:11,560 --> 00:07:14,199
Cambio en la función x por menos x, ¿qué me quedaría?

79
00:07:14,459 --> 00:07:17,379
Menos x al cubo más 7

80
00:07:17,379 --> 00:07:19,759
¿Vale? Y ahora quito ese paréntesis

81
00:07:19,759 --> 00:07:23,100
Fijaros, menos x al cubo, como estoy elevando un número negativo al cubo

82
00:07:23,100 --> 00:07:24,779
Va a dar un resultado negativo

83
00:07:24,779 --> 00:07:30,000
vale, con lo cual esto me queda menos x al cubo sin paréntesis que es negativo

84
00:07:30,000 --> 00:07:38,180
más 7, vale, fijaros, esta función no es ni la misma de antes ni la opuesta

85
00:07:38,180 --> 00:07:41,279
vale, porque si fuera la opuesta tendría que cambiar el sentido de los dos

86
00:07:41,279 --> 00:07:49,910
entonces esta función no tiene simetría, vale, esto es un caso en que la función no tiene simetría

87
00:07:49,910 --> 00:07:55,170
fijaros que esto de aquí no es ni f de x, esta de aquí arriba, ni menos f de x

88
00:07:55,170 --> 00:08:01,790
Menos f de x me quedaría menos x al cubo menos 7, ¿vale? Entonces esta función no tiene simetría.

89
00:08:02,649 --> 00:08:13,610
Pero vamos a hacer lo mismo con la función x al cubo más x, ¿vale? Entonces voy a sustituir x por menos x, ¿vale?

90
00:08:13,610 --> 00:08:20,069
Y ahora me quedaría menos x al cubo más menos x, ¿vale?

91
00:08:20,290 --> 00:08:24,509
Menos x elevado al cubo me da menos x al cubo, como hemos hecho antes.

92
00:08:24,649 --> 00:08:27,970
Y aquí me sale más por menos, menos, menos x.

93
00:08:28,389 --> 00:08:32,509
Fijaros, y ahora sí me queda la función opuesta de la que tenía antes, ¿vale?

94
00:08:32,830 --> 00:08:35,870
Esto me sale lo mismo que cambiar a la función f de signo.

95
00:08:36,750 --> 00:08:40,990
Entonces, esto es una función impar.

96
00:08:40,990 --> 00:08:48,289
y sería simétrica respecto al origen, ¿vale?

97
00:08:48,610 --> 00:08:52,509
Entonces, ¿qué tengo que hacer para saber si una función es par o es impar?

98
00:08:52,590 --> 00:08:57,289
Pues simplemente tengo que sustituir menos x en la función, ¿vale?

99
00:08:57,450 --> 00:08:59,690
En la función sustituyo menos x.

100
00:08:59,909 --> 00:09:02,529
Aquí lo he puesto a la izquierda y aquí lo he puesto a la derecha, pero es lo mismo.

101
00:09:02,529 --> 00:09:07,950
Cojo la función que tengo y en la fórmula cambio la x por menos x y hago las operaciones.

102
00:09:08,570 --> 00:09:13,450
Si me sale la misma función es que la función es par y será simétrica respecto al eje y.

103
00:09:13,450 --> 00:09:19,590
si me sale la función opuesta como aquí es que la función es impar y será simétrica con respecto

104
00:09:19,590 --> 00:09:25,769
al origen y si no ocurre ni una cosa ni otra es que la función no tendrá simetría y con esto

105
00:09:25,769 --> 00:09:28,230
finalizamos el estudio un saludo