1
00:00:00,000 --> 00:00:07,600
En este vídeo vamos a estudiar el movimiento orbital de un satélite en una órbita circular

2
00:00:07,600 --> 00:00:12,960
respecto de un planeta y a continuación también lo haremos en una órbita helística.

3
00:00:12,960 --> 00:00:19,440
Cuando el satélite se encuentra describiendo una órbita circular tendrá un radio orbital

4
00:00:19,440 --> 00:00:24,280
que será el radio del planeta más la altura h sobre la que se encuentra respecto de la

5
00:00:24,280 --> 00:00:29,840
superficie y estará sometido a la fuerza gravitatoria que viene dada por la expresión

6
00:00:29,840 --> 00:00:35,240
obtenida por la ley de gravitación universal de Newton que nos dice que la fuerza gravitatoria

7
00:00:35,240 --> 00:00:40,560
es igual a constante de gravitación universal G mayúscula por m mayúscula masa del planeta

8
00:00:40,560 --> 00:00:46,760
por m minúscula masa del satélite dividido entre el radio de la órbita al cuadrado.

9
00:00:46,760 --> 00:00:50,720
Puesto que el satélite está sometido a un movimiento circular su aceleración será

10
00:00:50,720 --> 00:00:55,880
una aceleración centrípeta que será igual a velocidad orbital al cuadrado dividido

11
00:00:55,880 --> 00:01:01,120
entre el radio de la órbita. Si aplicamos el segundo principio de la dinámica que nos

12
00:01:01,120 --> 00:01:05,920
dice que la fuerza neta es igual a la masa por la aceleración y teniendo en cuenta que

13
00:01:05,920 --> 00:01:11,160
aquí la fuerza neta es la fuerza gravitatoria que ejerce el planeta sobre el satélite y

14
00:01:11,160 --> 00:01:15,720
que la aceleración a la que está sometido es una aceleración centrípeta sustituyendo

15
00:01:15,720 --> 00:01:20,160
las expresiones de la fuerza gravitatoria y de la aceleración centrípeta obtendremos

16
00:01:20,160 --> 00:01:27,960
una ecuación que nos permite despejar la velocidad que será igual a la raíz cuadrada

17
00:01:27,960 --> 00:01:34,640
de G m mayúscula dividido entre r. Como podemos ver la velocidad orbital del satélite es

18
00:01:34,640 --> 00:01:41,280
independiente de su masa ya que solo depende de la masa del planeta y del radio de la órbita.

19
00:01:41,280 --> 00:01:45,880
También podemos tener otra expresión de la velocidad orbital por la propia definición

20
00:01:45,880 --> 00:01:51,040
de velocidad teniendo en cuenta que se da igual espacio entre el tiempo invertido que

21
00:01:51,040 --> 00:01:57,360
cuando realiza un movimiento circular en una órbita la distancia que recorre será la

22
00:01:57,360 --> 00:02:02,720
longitud de la circunferencia 2 pi r y el tiempo que invierte será el periodo de la

23
00:02:02,720 --> 00:02:08,400
órbita por lo tanto quedará que la velocidad orbital será igual a 2 pi r dividido entre

24
00:02:08,400 --> 00:02:16,360
el periodo. Si combinamos estas dos expresiones obtenemos una ecuación que nos da una relación

25
00:02:16,360 --> 00:02:23,680
entre el radio de la órbita y el periodo del satélite que nos dice que el radio al

26
00:02:23,680 --> 00:02:30,960
cubo entre el periodo al cuadrado es constante y esto es la demostración de la tercera ley

27
00:02:30,960 --> 00:02:39,080
de Kepler. En muchas situaciones de un satélite cuando un satélite gira en torno a un planeta

28
00:02:39,080 --> 00:02:44,360
me pueden dar el periodo con el que gira y pedirme que calcule la velocidad y el radio

29
00:02:44,360 --> 00:02:48,800
de la órbita bien pues con la tercera ecuación podemos calcular el periodo y con cualquiera

30
00:02:48,800 --> 00:02:54,080
de los dos anteriores podemos calcular la velocidad. Si por el contrario lo que me dan

31
00:02:54,080 --> 00:02:59,040
es el radio de la órbita por la primera ecuación podemos calcular su velocidad orbital y con

32
00:02:59,040 --> 00:03:04,640
la siguiente podemos calcular el periodo y por último si lo que me dan es la velocidad

33
00:03:04,640 --> 00:03:09,920
orbital del satélite con la primera podemos calcular el radio de la órbita y con la siguiente

34
00:03:09,920 --> 00:03:16,040
podemos calcular el periodo. También cuando un satélite se encuentra describiendo una

35
00:03:16,040 --> 00:03:21,680
órbita circular tendrá energía cinética debido a la velocidad orbital que posee que

36
00:03:21,680 --> 00:03:26,160
será igual a un medio de la masa por la velocidad al cuadrado y sustituyendo esta expresión

37
00:03:26,160 --> 00:03:31,120
de la velocidad al cuadrado por lo obtenido anteriormente nos encontramos que la energía

38
00:03:31,120 --> 00:03:39,160
cinética será igual a Gmm dividido por 2R. También el satélite tendrá energía potencial

39
00:03:39,160 --> 00:03:43,920
puesto que está en el campo gravitatorio generado por el planeta cuya expresión será

40
00:03:43,920 --> 00:03:51,720
menos Gmm dividido por el radio de la órbita. La energía cinética más la energía potencial

41
00:03:51,880 --> 00:03:56,400
es igual a la energía mecánica que tiene el satélite en su órbita que sustituyendo

42
00:03:56,400 --> 00:04:01,600
las dos expresiones anteriores encontramos que la energía mecánica será igual a menos

43
00:04:01,600 --> 00:04:08,480
Gmm dividido por 2R. Se puede ver que hemos encontrado una expresión para energía cinética

44
00:04:08,480 --> 00:04:13,920
para energía potencial y energía mecánica que depende del radio de la órbita por lo

45
00:04:13,920 --> 00:04:19,880
que nos permite establecer una ecuación que no relaciona las tres magnitudes anteriores.

46
00:04:19,880 --> 00:04:25,160
La energía mecánica será igual a la cinética, cambiado de signo, y será igual a la potencial

47
00:04:25,160 --> 00:04:30,280
dividido. Para estudiar el movimiento de un satélite en una órbita helística vamos a

48
00:04:30,280 --> 00:04:35,640
tener en cuenta el momento angular y el principio de conservación de la energía mecánica.

49
00:04:35,640 --> 00:04:40,880
El momento angular de un satélite que describe una órbita helística será igual al producto

50
00:04:40,880 --> 00:04:46,800
vectorial de R por P siendo R el vector de posición y P el momento lineal que es igual

51
00:04:46,800 --> 00:04:51,960
a la masa por la velocidad. Bien, por definición del producto vectorial el módulo del momento

52
00:04:51,960 --> 00:04:57,600
cinético, momento angular, será igual a RP por el seno del ángulo alfa siendo alfa

53
00:04:57,600 --> 00:05:04,400
el ángulo que forma R y V. Por lo que el módulo del momento cinético será RMV por

54
00:05:04,400 --> 00:05:09,000
seno de alfa. Bien, teniendo en cuenta que el momento cinético permanece constante en

55
00:05:09,000 --> 00:05:16,200
todo movimiento orbital vamos a aplicar la conservación de dicho momento en dos posiciones

56
00:05:16,200 --> 00:05:23,920
que son el apoastro y el periastro. El apoastro en la posición más alejada del satélite

57
00:05:23,920 --> 00:05:31,040
al planeta y el periastro en la posición más cercana del satélite al planeta. Bien,

58
00:05:31,040 --> 00:05:36,800
como el momento angular permanece constante el momento cinético en el apoastro será

59
00:05:36,800 --> 00:05:43,520
igual al momento cinético en el periastro. Sustituyendo quedará que RP por M por VP

60
00:05:43,520 --> 00:05:48,760
será igual a RA por M por VA y teniendo en cuenta que en estas posiciones el ángulo

61
00:05:48,760 --> 00:05:55,600
es de 90 grados por lo tanto el seno de alfa vale 1, me quedará la expresión que RP por

62
00:05:55,600 --> 00:06:02,080
VP es igual a RA por VA lo que me permite con las tres de las cuatro variables calcular

63
00:06:02,080 --> 00:06:06,280
la cuarta. También si aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica

64
00:06:06,280 --> 00:06:12,640
podemos tener una expresión para calcular la velocidad en el apoastro y en el periastro

65
00:06:12,640 --> 00:06:16,840
teniendo en cuenta que la energía mecánica es constante y que su expresión en una órbita

66
00:06:16,840 --> 00:06:23,520
helística se puede demostrar que es igual a menos gmm dividido entre el radio del apoastro

67
00:06:23,520 --> 00:06:30,440
más el radio del periastro. Es decir, si el movimiento fuese circular el RA y RP serían

68
00:06:30,440 --> 00:06:35,960
iguales y me quedaría la expresión de la energía mecánica igual a menos gmm dividido

69
00:06:35,960 --> 00:06:43,120
por 2R que es la expresión que hemos tenido antes en una órbita circular. Bien, teniendo

70
00:06:43,120 --> 00:06:47,960
en cuenta que la energía mecánica permanece constante y es igual a la suma de la cinética

71
00:06:47,960 --> 00:06:53,760
y la potencial y sustituyendo la expresión de energía mecánica como menos gmm dividido

72
00:06:53,760 --> 00:06:58,680
por RA más RP la energía cinética es un medio de la masa por la velocidad al cuadrado

73
00:06:58,680 --> 00:07:04,760
y la energía potencial como menos gmm dividido por R obtenemos una ecuación que me permite

74
00:07:04,760 --> 00:07:11,080
calcular la velocidad tanto en el periastro como en el apoastro. Estas velocidades solamente

75
00:07:11,080 --> 00:07:17,560
dependerán de la masa del planeta y de las distancias al apoastro y al periastro. Estas

76
00:07:17,560 --> 00:07:24,200
velocidades serán muy útiles para estudiar transferencias entre órbitas.