1 00:00:02,540 --> 00:00:11,380 Hola, ¿qué tal chicos? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de 2 00:00:11,380 --> 00:00:16,539 bachillerato. Seguimos con la serie de vídeos dedicados a determinantes de matrices cuadradas. 3 00:00:16,960 --> 00:00:22,440 En esta ocasión vamos a explicar cómo calcular una importantísima noción usando determinantes. 4 00:00:22,559 --> 00:00:29,440 Se trata del rango de una matriz. El rango de una matriz es una noción esencial, principalmente 5 00:00:29,440 --> 00:00:34,560 en la geometría y en el álgebra, por dos motivos principalmente. En geometría, porque 6 00:00:34,560 --> 00:00:38,740 te sirve para calcular la dimensión de un subespacio vectorial. Por ejemplo, podemos 7 00:00:38,740 --> 00:00:43,240 determinar si tres vectores son coplanarios o no, están en el mismo plano. En el álgebra 8 00:00:43,240 --> 00:00:49,079 lineal nos sirve para resolver sistemas de ecuaciones y poder saber qué ecuaciones dependen 9 00:00:49,079 --> 00:00:55,140 unas de otras y poder eliminar esas ecuaciones en un sistema dado. Bien, vamos a recordar 10 00:00:55,140 --> 00:00:59,920 brevemente la definición de rango de una matriz. Si tenemos una matriz rectangular, no tiene por qué 11 00:00:59,920 --> 00:01:07,500 ser cuadrada, cogemos un conjunto de líneas, ya sean filas o columnas, y una serie de números 12 00:01:07,500 --> 00:01:13,159 escalares, alfas. Si cogemos cada número alfa, lo multiplicamos por una de las líneas y al final 13 00:01:13,159 --> 00:01:19,159 sumamos todo, eso es una combinación lineal. Un conjunto de líneas se dice linealmente independiente 14 00:01:19,159 --> 00:01:24,900 si ninguna de ellas se puede escribir como combinación lineal del resto. Y llamamos rango 15 00:01:24,900 --> 00:01:29,500 de la matriz al número de líneas, ya sea filas o columnas, linealmente independientes. 16 00:01:29,900 --> 00:01:34,900 Se verifica, como veremos, que el rango se puede calcular tanto por filas como por columnas. 17 00:01:36,180 --> 00:01:40,359 Bien, la propiedad fundamental de los determinantes que vamos a utilizar a lo largo de todo este 18 00:01:40,359 --> 00:01:45,840 vídeo es la siguiente. Si una línea es combinación lineal del resto en una matriz cuadrada, su 19 00:01:45,840 --> 00:01:50,799 determinante es cero. Vimos esta propiedad en el vídeo de propiedades de determinantes. 20 00:01:50,799 --> 00:02:08,460 Y eso qué significa? Pues que si tú tienes un determinante que es no nulo, eso es un buen punto de partida porque esas líneas serán independientes. Tenemos que buscar el máximo número de líneas independientes, es decir, el mayor de esos posibles menores no nulos. 21 00:02:08,460 --> 00:02:25,599 Pero ojo, estamos hablando de matrices cuadradas cuando hablamos de determinantes. Entonces, ¿qué pasa cuando tenemos una matriz rectangular M por N, de dimensión M por N? Bueno, pues que tendremos que extraer menores, que es lo que se llaman submenores, submatrices cuadradas y calcular determinantes. 22 00:02:25,599 --> 00:02:30,919 Entonces un menor de orden k va a ser la intersección de k filas y k columnas y calcular el determinante de esta submatriz. 23 00:02:31,520 --> 00:02:39,379 Por ejemplo, imaginemos que nos piden calcular un menor de orden 3 de esta matriz, que es una matriz de 5 filas y 4 columnas. 24 00:02:40,060 --> 00:02:50,360 Pues por ejemplo podemos coger esas 3 columnas, estas otras 3 filas y la intersección nos quedaría un determinante de orden 3, 3 por 3, lo calculamos y el menor valdría menos 16. 25 00:02:51,139 --> 00:02:58,780 Bien, el rango va a coincidir con el orden del menor no nulo de orden máximo de todos. 26 00:02:58,939 --> 00:03:03,139 Es decir, dentro de todos los menores no nulos tenemos que coger el de orden máximo y ese va a ser el rango. 27 00:03:04,199 --> 00:03:08,699 En la práctica, ¿cómo se va a calcular el rango de una matriz? 28 00:03:09,139 --> 00:03:14,080 Bien, pues lo primero de todo es que puede que haya algunas líneas que sobren a ojo, 29 00:03:14,360 --> 00:03:19,039 porque directamente veamos que hay una de esas líneas es combinación lineal del resto. 30 00:03:19,039 --> 00:03:21,539 Bien, pues esa línea la eliminamos, nos olvidamos de ella. 31 00:03:22,099 --> 00:03:27,139 Después tenemos que buscar un menor de orden 2 que sea no nulo, esto se ve a simple vista. 32 00:03:27,520 --> 00:03:31,939 Después partimos de ese menor de orden 2 no nulo y orlamos. 33 00:03:32,080 --> 00:03:35,159 ¿Qué va a significar esto? Bueno, pues enseguida lo vamos a entender, 34 00:03:35,580 --> 00:03:40,500 pero es a partir de ese menor no nulo encontrar menores de orden 3 que lo contengan 35 00:03:40,500 --> 00:03:44,360 y mirar a ver si esos menores de orden 3 son nulos o no nulos. 36 00:03:45,120 --> 00:03:46,919 Y así sucesivamente, así tenemos que seguir. 37 00:03:46,919 --> 00:03:54,979 Pero hay que tener una cosa en cuenta, que el rango no va a superar nunca el menor de las dimensiones n o m. 38 00:03:55,159 --> 00:04:04,620 Es decir, por ejemplo, si tenemos como en esta matriz 5 filas y 4 columnas, pues el menor, el rango como mucho va a ser el mínimo de 5 y 4, pues 4. 39 00:04:04,740 --> 00:04:08,900 El rango como mucho será 4. Vamos a calcular el rango de esta matriz 5 por 4. 40 00:04:09,000 --> 00:04:16,660 Para ello, pues nos fijamos que la última de las filas se puede obtener como la suma de las dos primeras, ahí lo veis a simple vista. 41 00:04:16,920 --> 00:04:24,439 Es decir, ¿qué significa eso? Bueno, pues significa que la fila 5 no aporta nada al rango y por lo tanto nos podemos perfectamente olvidar de ella. 42 00:04:25,240 --> 00:04:29,779 Bien, partimos de un menor no nulo de orden 2. A simple vista, ese es no nulo. 43 00:04:29,879 --> 00:04:34,639 Eso significa que el rango, como poco es 2, significa que esas dos filas primeras son linealmente independientes. 44 00:04:35,180 --> 00:04:39,079 Entonces, ¿qué tenemos que hacer? Orlar a menores de orden 3. ¿Qué significa eso? 45 00:04:39,079 --> 00:04:53,800 Bueno, pues partir de esas dos primeras filas y aumentar hasta menores de orden 3. ¿Qué hay que hacer? Calcular esos determinantes. Este primero es 0, así que no nos vale, no podemos deducir de ahí que las tres primeras filas sean independientes. 46 00:04:53,800 --> 00:05:10,680 Entonces calculamos otro. Ese también es 0. Entonces esto que significa, como todos los menores de orden 3 al orlar la tercera fila son 0, significa que esa tercera fila sobra, nos podemos olvidar de ella porque esa fila depende de las dos primeras, es linealmente dependiente de las dos primeras. 47 00:05:10,680 --> 00:05:14,819 entonces el rango al considerar esta tercera fila no aumenta 48 00:05:14,819 --> 00:05:17,560 ya sabíamos que la quinta fila tampoco aportaba nada 49 00:05:17,560 --> 00:05:19,160 así que solo nos falta la cuarta fila 50 00:05:19,160 --> 00:05:21,920 hay que considerar la cuarta fila menores de orden 3 51 00:05:21,920 --> 00:05:24,439 que contengan la cuarta fila 52 00:05:24,439 --> 00:05:27,100 por ejemplo ese, vale, resulta que es 0 también 53 00:05:27,100 --> 00:05:28,740 vamos a ver el último que nos queda 54 00:05:28,740 --> 00:05:31,360 ese, pues resulta que lo calculamos y es 0 55 00:05:31,360 --> 00:05:33,620 ¿qué podemos deducir de todo esto? 56 00:05:33,980 --> 00:05:37,939 bueno, pues podemos deducir que la cuarta fila tampoco va a aportar nada 57 00:05:37,939 --> 00:05:40,240 que todos los menores de orden 3 van a ser 0 58 00:05:40,240 --> 00:05:45,699 y que por tanto el rango tiene que ser 2. 59 00:05:46,879 --> 00:05:50,279 Este va a ser el máximo número de filas linealmente independientes 60 00:05:50,279 --> 00:05:52,000 que nos valen las dos primeras. 61 00:05:52,519 --> 00:05:56,100 Como veis es súper importante que calculemos bien los determinantes 62 00:05:56,100 --> 00:05:59,759 porque a poco que un determinante no nos dé 0 y nos dé distinto de 0 63 00:05:59,759 --> 00:06:03,319 por un error en cuentas, pues ya hemos fastidiado todo el argumento. 64 00:06:03,879 --> 00:06:05,459 Nos vemos en próximos vídeos. 65 00:06:05,639 --> 00:06:09,660 Espero que os haya quedado claro cómo calcular el rango por determinantes. 66 00:06:09,660 --> 00:06:11,519 Un saludo y hasta la próxima.