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00:00:00,750 --> 00:00:08,669
Hola, hoy vamos a resolver este problema propuesto como modelo en la BAU de 2019.

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00:00:09,109 --> 00:00:10,869
Es un problema de álgebra de matrices.

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00:00:11,990 --> 00:00:19,149
Nos dice que propongamos para cada uno de los cuatro casos una matriz cuadrada de dimensión 3x3

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00:00:19,149 --> 00:00:24,929
en el que todos los números sean distintos de cero. Esto es un aspecto importante, no puedes tener ceros.

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00:00:25,789 --> 00:00:29,370
Y que tengas las tres filas y las tres columnas diferentes.

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00:00:29,370 --> 00:00:42,670
Y que además cumpla cada una de las cuatro condiciones que nos van poniendo aquí. En el apartado primero, o apartado A, nos dicen que el determinante valga cero.

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00:00:42,670 --> 00:00:55,990
Para que en una matriz el determinante valga cero basta que dos filas o dos columnas sean combinación lineal o que una tercera columna sea combinación de las dos anteriores, etc.

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00:00:55,990 --> 00:01:09,750
O sea que, por ejemplo, vamos a inventarnos una matriz y vamos a poner dos columnas que cumplan las condiciones y luego la tercera columna lo que hacemos es una combinación de las anteriores.

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00:01:09,750 --> 00:01:29,150
Por ejemplo, esta matriz, 1, menos 2, 5, que sean números diferentes entre sí y distintos de 0, la segunda columna, 2, 3, 2, y la tercera puede ser, por ejemplo, la suma de las dos anteriores, o la segunda columna multiplicada por 2, etc.

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00:01:29,150 --> 00:01:54,090
Eso significa combinación, ¿vale? Entonces, por ejemplo, si sumamos las dos, esto sería tres, aquí nos quedaría un uno y este sería un siete. Bueno, esta matriz, por el hecho de que la tercera columna es combinación de la primera y la segunda, nos da un determinante nulo, ¿vale? Sin más que desarrollar el determinante se puede ver que vale cero, ¿vale?

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00:01:54,090 --> 00:02:21,110
Esto os lo dejaría a vosotros, o sea, este determinante vale cero porque la columna 3 es igual a la columna 1 más la columna 2 y eso hace que el determinante sea cero. Esto mismo lo podemos hacer también por filas, que la fila 3 sea la suma de las dos anteriores o sea la segunda multiplicada por alguien, etc. Eso es lo que significa combinación lineal.

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00:02:21,110 --> 00:02:25,469
Bien, en el apartado B lo que nos piden es que el determinante valga 1.

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00:02:26,610 --> 00:02:30,750
Bueno, me voy a inventar otra matriz que no tenga determinante 0.

14
00:02:31,849 --> 00:02:40,909
Por ejemplo, 1, 2, 1, menos 2, 3, 4, 5, 2, 6.

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00:02:41,310 --> 00:02:46,370
Bien, esta matriz, pues como vemos, las filas o columnas no son combinación lineal entre ellas.

16
00:02:46,370 --> 00:03:04,169
Pues para que su determinante sea 1, basta que nos calculemos el determinante de esta matriz, que sería, vamos por diagonales, recordad que las diagonales hacia abajo van con más y las diagonales de abajo arriba van con menos.

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00:03:04,169 --> 00:03:34,340
Así que primera diagonal, 1 por 3 por 6 me da 18, segunda diagonal, 2 por 4 por 5 da más 40, ¿vale? Tercera diagonal, 1 por menos 2 y por 2 me da menos 4 y le restamos las otras diagonales de abajo arriba, 5 por 3 por 1, 15, 2 por 4 por 1, 8, 6 por menos 2 y por 2, menos 24.

18
00:03:35,539 --> 00:03:55,240
¿Vale? Operamos esto y nos da 55. Pues bien, si yo cojo esta matriz A, la voy a llamar, la matriz B sea la matriz A, pero dividiendo una fila cualquiera de ellas por el determinante,

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00:03:55,240 --> 00:04:13,900
1, por ejemplo, la primera fila 1 partió por 55, 2 partió por 55, 1 partió por 55 y el resto lo dejo igual, menos 2, 3, 4, 5, 2, 6, pues el determinante de esta matriz es 1.

20
00:04:15,780 --> 00:04:22,540
¿De acuerdo? Simplemente basta con dividir cualquiera de sus filas por el determinante que tenía.

21
00:04:22,540 --> 00:04:29,360
¿vale? bien, en el tercer caso dice que una matriz coincida con su traspuesta

22
00:04:29,360 --> 00:04:34,360
bueno, pues para esto lo que hace falta es que esa matriz sea simétrica

23
00:04:34,360 --> 00:04:39,139
la matriz simétrica tiene esa propiedad que es su traspuesta

24
00:04:39,139 --> 00:04:46,180
por ejemplo, fijaos que cojo solo la parte del triángulo derecho, ¿no?

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00:04:46,180 --> 00:04:48,000
de la matriz inicial que teníamos

26
00:04:48,000 --> 00:04:51,420
voy a coger mejor la segunda

27
00:04:51,420 --> 00:04:56,360
porque como en la primera habíamos hecho una combinación lineal

28
00:04:56,360 --> 00:04:59,199
bueno, vamos a coger esta, que es la segunda que dice

29
00:04:59,199 --> 00:05:03,120
bueno, pues para que sea simétrica, esto tiene que ser un 2, esto un 1

30
00:05:03,120 --> 00:05:07,720
y esto un 4, de manera que A sea igual

31
00:05:07,720 --> 00:05:10,579
a la traspuesta, entonces para esto

32
00:05:10,579 --> 00:05:17,660
esto es cuando las matrices sean simétricas

33
00:05:17,660 --> 00:05:24,730
entonces la matriz y su traspuesta coinciden en este caso

34
00:05:24,730 --> 00:05:31,949
bien, en el último nos dicen que A por C sea igual a C por A

35
00:05:31,949 --> 00:05:37,430
A es la que nos tenemos que inventar y C nos dicen que sea una matriz

36
00:05:37,430 --> 00:05:42,529
que no sea ni la matriz unidad, o sea la matriz identidad y la matriz unidad es lo mismo

37
00:05:42,529 --> 00:05:45,569
aquella matriz que es todo cero menos la diagonal que son unos

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00:05:45,569 --> 00:05:50,110
entonces que C no puede ser ni la matriz nula ni la matriz identidad

39
00:05:50,110 --> 00:05:54,730
bueno, en realidad, para que el producto de matrices sea conmutativo

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00:05:54,730 --> 00:05:56,930
que en general nunca lo es

41
00:05:56,930 --> 00:06:00,250
el producto de matrices no es conmutativo

42
00:06:00,250 --> 00:06:06,370
pero para que sea conmutativo basta con que una de las dos matrices sea una matriz diagonal

43
00:06:06,370 --> 00:06:09,629
entonces si esa matriz es diagonal el producto sí es conmutativo

44
00:06:09,629 --> 00:06:31,220
Con lo cual, si C fuese una matriz diagonal, matriz diagonal es que tenga solo números en su diagonal, por ejemplo esta o que sea el 2, el 1 no porque sería la matriz identidad y nos han dicho que no vale.

45
00:06:31,220 --> 00:06:59,990
¿Vale? Entonces si C es una matriz diagonal con esos números en su diagonal, pues entonces el producto sí es conmutativo. ¿De acuerdo? Si A es la que habíamos dicho, 1, 2, 1, menos 2, 3, 4 y 5, 2, 6, pues aquí sí se cumple que A por C es igual a C por A. ¿De acuerdo?

46
00:06:59,990 --> 00:07:04,810
Entonces basta que esa una de las dos sea matriz diagonal.

47
00:07:06,250 --> 00:07:08,029
Pues con esto hemos terminado.