1 00:00:00,940 --> 00:00:17,910 Bien, este problema nos dice que tenemos una chapa metálica, entiendo que de forma rectangular, así que vamos a dibujarla aquí, y mide 8 por 5. 2 00:00:20,210 --> 00:00:42,429 Bien, queremos cortar cuadrados en las esquinas, así que vamos a hacer este corte, de manera que levantamos por aquí y queremos una caja de volumen máximo. 3 00:00:42,429 --> 00:00:49,109 vale, el volumen, la caja sería un prisma y el volumen de un prisma sabéis todos que es la superficie de la base por la altura 4 00:00:49,109 --> 00:00:55,750 bien, si levantamos esto llamamos x al lado del cuadradito que estamos cortando 5 00:00:55,750 --> 00:01:06,709 con lo cual la nueva caja, su base será 8 menos x menos x, es decir, 8 menos 2x 6 00:01:07,769 --> 00:01:12,170 este sería el largo, el ancho sería 5 menos 2 veces y 7 00:01:12,170 --> 00:01:16,450 5 menos 2 veces x, perdón, no y 8 00:01:16,450 --> 00:01:19,069 y la altura es x 9 00:01:19,069 --> 00:01:25,510 con lo cual ya tengo una función que podemos llamar función del volumen 10 00:01:25,510 --> 00:01:28,049 que además vamos a desarrollar 11 00:01:28,049 --> 00:01:29,790 y nos queda 12 00:01:29,790 --> 00:01:34,030 40 menos 10x 13 00:01:34,030 --> 00:01:37,230 menos 16x 14 00:01:37,230 --> 00:01:39,969 más 4x cuadrado 15 00:01:39,969 --> 00:01:41,950 todo ello multiplicado por x 16 00:01:41,950 --> 00:01:47,650 Definitivamente el volumen, después de operar y ordenar el polinomio me queda 17 00:01:47,650 --> 00:01:56,010 4x cubo menos 26x al cuadrado más 40x 18 00:01:56,010 --> 00:01:59,650 Esto es una función que me va a dar el volumen de la caja en función de x 19 00:01:59,650 --> 00:02:03,290 ¿Cómo optimizamos esta función? 20 00:02:04,030 --> 00:02:05,450 Pues vamos a hacer la derivada 21 00:02:05,450 --> 00:02:27,389 La derivada de la función será 12x al cuadrado menos 52x más 40, que como todos sabéis, como todos son múltiplos de 4, podemos hacer esta simplificación 13x más 10. 22 00:02:27,389 --> 00:02:44,949 Y ahora sabemos que la derivada es 0 si solo si 3x cuadrado menos 13x más 10 es igual a 0, porque este producto será 0 cuando una de las dos cosas sean 0 y el 4 nunca puede ser 0. 23 00:02:44,949 --> 00:02:58,930 Hacemos esta ecuación de segundo grado, que nos queda que la x es 13 más menos la raíz cuadrada de 169 menos 120 24 00:02:58,930 --> 00:03:09,500 Y todo dividido entre 6 25 00:03:09,500 --> 00:03:13,780 Si operáis la ecuación de segundo grado hay dos soluciones 26 00:03:13,780 --> 00:03:17,680 una da 10 tercios y otra da 1 27 00:03:17,680 --> 00:03:21,400 las dos son factibles porque esto sería 3 y pico 28 00:03:21,400 --> 00:03:24,099 y ¿puedo quitar 3 y pico a cada lado? 29 00:03:24,360 --> 00:03:25,620 no, esta no es factible 30 00:03:25,620 --> 00:03:28,719 esta no me sirve para el problema 31 00:03:28,719 --> 00:03:33,520 porque esto es 3,3 periodo 32 00:03:33,520 --> 00:03:37,219 entonces si quito 3,3 a cada lado 33 00:03:37,219 --> 00:03:38,719 y 3,3 a este lado 34 00:03:38,719 --> 00:03:41,080 pues yo a 5 no le puedo quitar 6,6 35 00:03:41,080 --> 00:03:45,479 Si no nos damos cuenta de que esta solución no es factible, no es mucho problema 36 00:03:45,479 --> 00:03:50,099 Porque todavía no hemos visto si esto es el máximo o el mínimo 37 00:03:50,099 --> 00:03:52,139 ¿Cómo vamos a ver eso? Con la segunda derivada 38 00:03:52,139 --> 00:03:54,800 Si hacemos la segunda derivada de mi función 39 00:03:54,800 --> 00:04:00,280 La segunda derivada la podemos hacer aquí, sería 24x menos 52 40 00:04:00,280 --> 00:04:06,800 Ahora, estudiando el signo de la segunda derivada en el 10 tercios 41 00:04:06,800 --> 00:04:11,919 y en el 1 vamos a ver cuál de los dos es máximo o es mínimo 42 00:04:11,919 --> 00:04:15,400 resulta que en el 1 es negativo 43 00:04:15,400 --> 00:04:18,560 y en el 10 tercios es positivo 44 00:04:18,560 --> 00:04:25,160 eso quiere decir que me he equivocado 45 00:04:25,160 --> 00:04:28,399 es al revés 46 00:04:28,399 --> 00:04:31,040 eso pasa por no escribir la cuenta entera 47 00:04:31,040 --> 00:04:37,000 en el 1 el signo de la segunda derivada es 24 por 1 menos 52 48 00:04:37,000 --> 00:04:40,939 claramente 24 menos 52 es menor que 0 49 00:04:40,939 --> 00:04:44,740 con lo cual, x igual a 1 es un máximo 50 00:04:44,740 --> 00:04:48,939 y queda demostrado, y en el de 10 tercios, pues 24 51 00:04:48,939 --> 00:04:52,040 por 10, 240 entre 3, 80 menos 52 52 00:04:52,040 --> 00:04:57,040 es positivo, con lo cual en el x igual a 10 tercios 53 00:04:57,040 --> 00:05:00,220 lo que tiene la función es un mínimo y no nos sirve 54 00:05:00,220 --> 00:05:04,839 solución del problema, tiene que medir 1, es decir 55 00:05:04,839 --> 00:05:20,379 Nos quedaría una caja de, podemos dibujarla aquí, mediría 6, 3 y 1 de alto. 56 00:05:20,699 --> 00:05:24,660 Sería este paralelopípedo, más o menos. 57 00:05:26,120 --> 00:05:29,759 Y no lo preguntan aquí, pero nos podrían preguntar, ¿y cuál sería el volumen de esa caja? 58 00:05:29,759 --> 00:05:36,600 Pues el volumen sería 6 por 3 por 1, 18 centímetros cúbicos. 59 00:05:36,860 --> 00:05:37,759 ¿De acuerdo?