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00:00:01,710 --> 00:00:09,730
Hola, en este vídeo vamos a terminar de ver los últimos tipos de matrices que nos quedan por estudiar en esta primera parte del tema.

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00:00:10,490 --> 00:00:14,470
Vamos a comenzar explicando qué es la matriz opuesta a otra matriz.

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00:00:14,470 --> 00:00:25,769
En matemáticas, dada una matriz genérica en la que aquí tenemos su nomenclatura de m filas por n columnas, no hace falta que sea cuadrada,

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00:00:25,769 --> 00:00:30,850
Decimos, hablamos de su matriz opuesta, sería la matriz menos A

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00:00:30,850 --> 00:00:38,250
Cuando nos referimos a aquella matriz que está formada por los elementos opuestos a los de la matriz original

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00:00:38,250 --> 00:00:45,049
¿Vale? En lugar de los elementos, los valores que estén en cada posición, sus valores opuestos

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00:00:45,049 --> 00:00:49,869
¿Vale? Si veis aquí en el ejemplo tenemos matrices cuadradas de orden 3

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00:00:49,869 --> 00:01:03,070
¿Vale? En la que cada elemento está formado, perdón, los elementos de la matriz opuesta son los opuestos a los elementos de la matriz principal

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00:01:03,070 --> 00:01:08,450
Bueno, si os dais cuenta, claro, aquí sale el 0 que no es opuesto de nadie, ¿vale?

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00:01:08,530 --> 00:01:12,230
Como no es positivo ni negativo, pues no habría que invertirlo, ¿vale?

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00:01:12,250 --> 00:01:16,590
Pero el resto de elementos sí que están formados por el elemento opuesto

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00:01:16,590 --> 00:01:23,109
Vemos ahora la definición de matriz traspuesta, esta es bastante importante en matemáticas

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00:01:23,109 --> 00:01:28,030
¿Vale? Y es la que surge cuando intercambiamos las filas por las columnas

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00:01:28,030 --> 00:01:34,409
¿Vale? Su nomenclatura es A super T ¿Vale? Con la T puesta como superíndice

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00:01:34,409 --> 00:01:37,170
¿Vale? Como si fuera un exponente

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00:01:37,170 --> 00:01:43,409
En la que en lugar de tener las matrices, perdón, las filas

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00:01:43,409 --> 00:01:51,930
que marco aquí con el índice i que irían desde la 1 hasta la m y las columnas que irían desde la 1 hasta la n con el índice j

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00:01:51,930 --> 00:02:00,590
las tengo intercambiadas, ¿vale? Por eso aquí aparece el elemento a sub j i y la matriz cambiaría de dimensiones

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00:02:00,590 --> 00:02:07,609
en lugar de tener m filas y n columnas como las hemos intercambiado ahora tengo n filas y m columnas.

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00:02:07,609 --> 00:02:11,150
Vais a entender esto bastante mejor con estos ejemplos, mirad

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00:02:11,150 --> 00:02:19,169
Aquí tengo como ejemplo una matriz A de dimensión 2x3, dos filas por tres columnas

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00:02:19,169 --> 00:02:27,229
Donde si yo hallo su matriz traspuesta simplemente lo que tengo que hacer es tomar los elementos de la primera fila

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00:02:27,229 --> 00:02:30,349
Y transformarlos en los elementos de la primera columna

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00:02:30,349 --> 00:02:37,430
Y después tomaré los elementos de la segunda fila y los pondré como los elementos de la segunda columna

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00:02:37,430 --> 00:02:51,110
¿Vale? Por eso ahora la matriz, bueno, originalmente era de orden 2x3, pues la matriz traspuesta ahora es de orden 3x2 porque los elementos están dispuestos en tres filas y en dos columnas porque las he intercambiado.

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00:02:51,110 --> 00:03:04,990
Cuando hablamos de matrices traspuestas y de matrices cuadradas, la dimensión de la matriz traspuesta va a ser la misma que la dimensión de la matriz original

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00:03:04,990 --> 00:03:10,189
Porque 3 por 3, pues bueno, 3 filas, 3 columnas, se va a transformar en algo de 3 filas y 3 columnas

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00:03:10,189 --> 00:03:18,990
Solo que los elementos que aquí estaban escritos formaban parte de la primera columna, ahora van a formar parte de la primera fila

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00:03:18,990 --> 00:03:39,789
Los que formaban parte de la segunda columna ahora formarán parte de la segunda fila y por último los elementos que formaban parte de la tercera columna ahora van a ser los elementos de la tercera fila, ¿vale? Así de sencilla se halla la matriz traspuesta, simplemente intercambia.

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00:03:39,789 --> 00:03:46,870
Venga, vamos a ver dos últimos conceptos que son el de matriz simétrica y matriz antisimétrica

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00:03:46,870 --> 00:03:50,530
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada, ¿vale?

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00:03:50,669 --> 00:03:52,729
Donde veis aquí su nomenclatura

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00:03:52,729 --> 00:04:02,620
Vamos a estudiar ahora qué es una matriz simétrica

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00:04:02,620 --> 00:04:08,919
En matemáticas llamamos matriz simétrica a las matrices cuadradas de orden n por n

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00:04:08,919 --> 00:04:12,680
¿Vale? Formadas por n filas y n columnas

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00:04:12,680 --> 00:04:19,319
en las que se cumple lo siguiente si nos imaginamos que trazamos la diagonal de

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00:04:19,319 --> 00:04:27,079
la matriz los elementos que quedan a cada lado de la matriz son iguales

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00:04:27,079 --> 00:04:34,639
dados cuenta el elemento que está en la posición en la fila 2 columna 1 tiene

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00:04:34,639 --> 00:04:38,540
que ser igual al elemento que está en la fila 1 columna 2 vale como si yo

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00:04:38,540 --> 00:04:43,620
intercambiar a los puestos de fila y columna vale con otro ejemplo pues bueno

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00:04:43,620 --> 00:04:50,360
si veis aquí el elemento que está en la posición 31 fila 3 columna 1 tiene que

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00:04:50,360 --> 00:04:55,459
ser el mismo que el elemento que está en la fila 1 columna 3 de acuerdo como si

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00:04:55,459 --> 00:05:04,000
yo intercambiar vale y que sucede lo mismo con este de aquí abajo el elemento

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00:05:04,000 --> 00:05:08,620
que está en la fila 3 columna 2 es el mismo que el que está en la fila 2

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00:05:08,620 --> 00:05:15,480
columna 3. Dicho de modo más fácil, ¿vale? Es una matriz simétrica que si yo sacara

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00:05:15,480 --> 00:05:20,639
su traspuesta, esta sería la misma que la matriz original, daos cuenta, al intercambiar

47
00:05:20,639 --> 00:05:26,139
filas y columnas obtengo lo mismo, porque si leo por filas o columnas encuentro siempre

48
00:05:26,139 --> 00:05:30,899
los mismos valores, ¿vale? Se le llama simétrica porque es como, bueno, nos podemos imaginar

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00:05:30,899 --> 00:05:35,480
que al trazar la diagonal principal eso hace ahí de espejo, ¿vale? Y los elementos que

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00:05:35,480 --> 00:05:42,060
van quedando a cada lado a la misma distancia son iguales. Por último, en matemáticas

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00:05:42,060 --> 00:05:50,759
llamamos matriz antisimétrica a la matriz que cumple que los elementos que quedan a

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00:05:50,759 --> 00:05:58,279
cada lado de la matriz, perdón, de la diagonal principal son opuestos, ¿vale? Dados cuenta,

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00:05:58,279 --> 00:06:08,620
El elemento que está aquí en la posición del a sub 2, 1 es el opuesto al a sub 1, 2, ¿vale?

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00:06:08,740 --> 00:06:11,379
Opuesto porque aquí encuentro menos 1 y aquí tengo 1.

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00:06:11,939 --> 00:06:18,600
De igual manera, si me fijo, por ejemplo, en el elemento que está en la fila 3, columna 1,

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00:06:19,100 --> 00:06:22,519
me encuentro que el que está en la fila 1, columna 3, ¿vale?

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00:06:22,860 --> 00:06:25,839
Es su opuesto, el menos 3, ¿vale?

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00:06:25,839 --> 00:06:34,279
¿Vale? Mientras que, uy, perdón, sí, bueno, pues este elemento también es el opuesto, ¿vale?

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00:06:34,300 --> 00:06:37,819
El de la fila 3 columna 2 es el opuesto al a sub 2, 3.

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00:06:39,399 --> 00:06:45,420
Para poder hablar de matrices antisimétricas necesito que los elementos de la diagonal principal sean todos nulos, ¿vale?

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00:06:45,519 --> 00:06:51,120
Porque el 0 es el único valor que no tiene valor positivo ni negativo.