1
00:00:02,540 --> 00:00:12,580
En un vídeo anterior habíamos visto que, si repetimos un experimento aleatorio muchísimas

2
00:00:12,580 --> 00:00:18,100
veces, la frecuencia relativa de un suceso tiende a acercarse a un valor teórico límite

3
00:00:18,100 --> 00:00:25,260
que llamamos probabilidad. Este hecho se llamaba ley de los grandes números. Habíamos visto

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00:00:25,260 --> 00:00:30,300
también que es habitual que el espacio muestral descomponga como unión de sucesos elementales

5
00:00:30,300 --> 00:00:35,920
equiprobables. Esto sucede en los juegos de azar, como tirar dados, extraer cartas de una baraja o

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00:00:35,920 --> 00:00:42,079
sacar una bola de una urna. En estos casos, la probabilidad de un suceso compuesto se puede

7
00:00:42,079 --> 00:00:46,619
calcular entonces a través de la ley de Laplace, dividiendo los casos favorables entre casos

8
00:00:46,619 --> 00:00:52,280
posibles. El problema, como vimos, es que no siempre es sencillo determinar los sucesos

9
00:00:52,280 --> 00:01:00,579
elementales y la equiprobabilidad de los mismos. No fue hasta pleno siglo XX cuando el matemático

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00:01:00,579 --> 00:01:06,200
ruso Kolgomorov encontró la forma de dar mayor rigor al trabajo con probabilidad proponiendo

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00:01:06,200 --> 00:01:10,739
una definición axiomática. Se fijó para ello en las propiedades básicas de la teoría

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00:01:10,739 --> 00:01:15,239
de conjuntos y de la frecuencia relativa de un suceso. Y lo mejor de todo, fue capaz de

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00:01:15,239 --> 00:01:20,459
demostrar un montón de propiedades de la probabilidad a partir de tan solo tres axiomas

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00:01:20,459 --> 00:01:26,900
de tremenda sencillez. Vamos con ellos. Supongamos que realizamos un experimento aleatorio

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00:01:26,900 --> 00:01:32,620
n veces si nos fijamos en un suceso A. Como la frecuencia de A está entre 0 y n, la frecuencia

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00:01:32,620 --> 00:01:39,280
relativa de A estará entre 0 y 1, evidente. Si A es imposible, su frecuencia será 0 y

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00:01:39,280 --> 00:01:45,980
si A es seguro, su frecuencia será 1. Además, si dos sucesos A y B son incompatibles, esto

18
00:01:45,980 --> 00:01:51,400
es, no pueden ocurrir a la vez, la intersección es el vacío, entonces la frecuencia de la

19
00:01:51,400 --> 00:01:55,879
unión de los dos sucesos será la frecuencia de A más la frecuencia de B, con lo que las

20
00:01:55,879 --> 00:02:01,579
frecuencias relativas verifican la misma igualdad. Con estas propiedades elementales, Kolgomorov

21
00:02:01,579 --> 00:02:06,060
definió la probabilidad de un experimento aleatorio con espacio muestra al gamma como

22
00:02:06,060 --> 00:02:10,419
una función definida sobre el conjunto de sucesos posibles que verifica las siguientes

23
00:02:10,419 --> 00:02:16,280
propiedades. 1. La probabilidad de un suceso es mayor o igual que 0. 2. Si los sucesos

24
00:02:16,280 --> 00:02:20,319
son incompatibles, la probabilidad de la unión es la probabilidad de A más la probabilidad

25
00:02:20,319 --> 00:02:27,719
de B. Y tres, la probabilidad del suceso seguro es uno. A partir de tan solo estos tres axiomas

26
00:02:27,719 --> 00:02:32,939
se pueden demostrar un montón de propiedades de la forma más sencilla posible. Veámoslo.

27
00:02:34,159 --> 00:02:38,780
La primera de ellas, muy sencilla, ¿cómo calcular la probabilidad del complementario?

28
00:02:39,180 --> 00:02:44,919
Pues como uno menos la probabilidad de A. Entonces, ¿cómo probar esta y otras propiedades

29
00:02:44,919 --> 00:02:52,340
de la probabilidad. Bien, la idea consiste en utilizar sobre todo esta propiedad 2 que

30
00:02:52,340 --> 00:02:56,719
indica que si los sucesos son incompatibles, entonces la probabilidad de la unión es la

31
00:02:56,719 --> 00:03:01,099
suma de las probabilidades. Y lo que vamos a hacer es descomponer una serie de sucesos

32
00:03:01,099 --> 00:03:06,340
como unión disjunta de sucesos que no se intersecan. Por ejemplo, en este caso, si

33
00:03:06,340 --> 00:03:14,500
tenemos el suceso espacimuestral, es el suceso total, el suceso A, pues el complementario

34
00:03:14,500 --> 00:03:23,240
está fuera y no se corta con A, es decir, que el total es igual a A unión A complementario

35
00:03:23,240 --> 00:03:26,879
y esta unión es disjunta, es decir, estos dos sucesos son incompatibles.

36
00:03:27,500 --> 00:03:39,000
Por tanto, podemos decir que la probabilidad descompone como probabilidad de A más probabilidad de A complementario

37
00:03:39,000 --> 00:03:42,280
porque esto es precisamente la unión.

38
00:03:42,280 --> 00:03:48,680
Bien, aquí estamos aplicando exactamente la propiedad 2 que tenéis ahí.

39
00:03:51,139 --> 00:03:59,259
La segunda parte de esta demostración consiste simplemente en que esto vale 1 por la propiedad 3, esta de aquí,

40
00:04:04,189 --> 00:04:09,050
y eso demuestra lo que estamos buscando, que es que la probabilidad del complementario es 1 menos la probabilidad de A.

41
00:04:09,569 --> 00:04:11,990
Y así podemos hacer con muchas otras propiedades.

42
00:04:11,990 --> 00:04:35,139
Bien, vamos a demostrar la siguiente propiedad. La propiedad del conjunto vacío del suceso imposible es 0. Esto es simplemente porque el conjunto vacío es el complementario del suceso seguro y entonces por la propiedad 4 la probabilidad del suceso imposible es 0.

43
00:04:35,139 --> 00:04:39,199
vamos con la propiedad 6 de la probabilidad

44
00:04:39,199 --> 00:04:45,759
que dice que la probabilidad de A intersección B complementario

45
00:04:45,759 --> 00:04:52,259
es igual a la probabilidad de A menos la probabilidad de A intersección B

46
00:04:52,259 --> 00:04:58,160
este suceso a veces también se le conoce como el suceso A menos B

47
00:04:58,160 --> 00:05:03,759
si dibujamos este suceso tenemos dos sucesos que se cortan

48
00:05:03,759 --> 00:05:10,639
unos A y otros B, la probabilidad de A intersección B complementario sería la probabilidad de este suceso de aquí.

49
00:05:10,779 --> 00:05:13,980
Es decir, son los elementos que están en A y no están en B.

50
00:05:14,600 --> 00:05:18,720
Entonces, ¿cómo demostramos esto? Pues simplemente de la siguiente forma.

51
00:05:22,529 --> 00:05:29,269
Fijaos que A descompone como unión disjunta de A intersección B complementario y A intersección B.

52
00:05:29,269 --> 00:05:33,750
¿Por qué? Porque los elementos que están en A o no están en B o sí están en B.

53
00:05:33,750 --> 00:05:44,100
fácil entonces ahora aplicando la propiedad 2 tendremos y si despejamos de

54
00:05:44,100 --> 00:05:55,410
aquí pues tenemos la propiedad buscada que es listo bueno vamos a demostrar una

55
00:05:55,410 --> 00:05:58,290
de las propiedades más importantes que permite calcular la probabilidad de la

56
00:05:58,290 --> 00:06:02,430
unión de dos sucesos cuando la intersección es no vacía es decir dos

57
00:06:02,430 --> 00:06:07,949
sucesos a y b y si se cortan tienen intersección no vacía lo que vamos a

58
00:06:07,949 --> 00:06:12,329
hacer es descomponer esta unión como unión disjunta de tres sucesos de la

59
00:06:12,329 --> 00:06:21,620
siguiente forma y ahora la probabilidad de la unión disjunta de sucesos es la

60
00:06:21,620 --> 00:06:28,779
suma de las probabilidades por lo tanto y en la anterior propiedad vimos cómo

61
00:06:28,779 --> 00:06:39,399
calcular la probabilidad de la resta sustituyendo y ahora lo único que

62
00:06:39,399 --> 00:06:45,860
tenemos que hacer es simplificar y obtenemos la fórmula exactamente la

63
00:06:45,860 --> 00:06:57,939
fórmula pedida. Vamos con esta propiedad 8 que dice que si A es un subconjunto de B,

64
00:06:59,379 --> 00:07:02,779
un subsuceso de B, entonces la probabilidad de A es menor o igual que la probabilidad

65
00:07:02,779 --> 00:07:08,939
de B. Y esto lo vamos a deducir directamente de la propiedad 6. Fijaos, B va a descomponer

66
00:07:08,939 --> 00:07:17,399
como unión de A con B intersección A complementario. Los sucesos que están en B o están en A

67
00:07:17,399 --> 00:07:22,639
o están fuera de A. Eso significa, en términos de probabilidades, lo siguiente.

68
00:07:26,629 --> 00:07:31,670
Y ahora bien, este suceso tiene probabilidad mayor o igual que cero,

69
00:07:32,170 --> 00:07:38,509
porque es un suceso que podría ser imposible, pero puede tener una probabilidad mayor que cero.

70
00:07:38,670 --> 00:07:43,769
¿Eso qué significa? Bueno, pues directamente significa que la probabilidad de B

71
00:07:43,769 --> 00:07:47,910
tiene que ser mayor o igual que la probabilidad de A, necesariamente.

72
00:07:47,910 --> 00:07:57,829
Como consecuencia inmediata de esta propiedad, de la propiedad 8, tenemos que para todo suceso, la probabilidad de ese suceso es menor o igual que 1.

73
00:07:57,970 --> 00:08:07,290
Y eso es porque todo suceso está dentro del suceso seguro. Significa por la propiedad 8 que la probabilidad de A es menor o igual que la probabilidad del suceso seguro.

74
00:08:07,670 --> 00:08:11,589
Y como vemos por la propiedad 3, esto es igual a 1. Inmediato, ¿verdad?

75
00:08:11,589 --> 00:08:16,370
Bueno, y la última propiedad que vamos a demostrar es la regla de Laplace

76
00:08:16,370 --> 00:08:19,529
Vamos a demostrarla a partir de esta axiomática de Kolgomorov

77
00:08:19,529 --> 00:08:21,089
¿Qué decía la regla de Laplace?

78
00:08:21,089 --> 00:08:28,470
Bueno, pues decía que si un espacio muestral descompone como unión disjunta de sucesos elementales

79
00:08:28,470 --> 00:08:31,850
Que son, pues, incompatibles 2 a 2 y equiprobables

80
00:08:31,850 --> 00:08:35,289
Es decir, cuya probabilidad siempre es la misma, la de los sucesos elementales

81
00:08:35,289 --> 00:08:40,889
Entonces, la probabilidad de un suceso B es el número de casos favorables

82
00:08:40,889 --> 00:08:47,750
es decir, los K sucesos elementales favorables a B, partido por el número total de casos posibles, que es N.

83
00:08:48,529 --> 00:08:51,769
¿Cómo lo vamos a demostrar? Bueno, pues en realidad es muy sencillo.

84
00:08:52,169 --> 00:09:05,600
Si yo tengo el espacio mostral descompuesto como N casos elementales,

85
00:09:06,059 --> 00:09:13,440
y las sumas son disjuntos y la suma total es 1, entonces ¿qué debe ocurrir?

86
00:09:13,440 --> 00:09:27,940
Pues que si la suma de todos es 1 y todas las probabilidades son iguales, eso significa que n veces la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales va a ser 1.

87
00:09:28,179 --> 00:09:35,480
Y eso significa que la probabilidad de cada uno de esos sucesos elementales tiene que ser necesariamente 1 partido por n.

88
00:09:35,480 --> 00:09:58,909
Bien, y si ahora yo tengo un determinado suceso B que está formado por K sucesos elementales, eso significará que la probabilidad de B va a ser, pues, probabilidad del primero más así la probabilidad de estos K sucesos elementales.

89
00:09:58,909 --> 00:10:07,529
Y como todos valen 1 partido por n, pues esto va a ser 1 partido por n más 1 partido por n, así k veces.

90
00:10:08,909 --> 00:10:17,149
Es decir, esto es k partido por n, que es el número de casos favorables a b partido por el número total de casos.

91
00:10:19,570 --> 00:10:23,509
Y esto ha sido todo. Espero que os haya gustado el vídeo. Nos vemos en próximos vídeos. Un saludo.