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00:00:12,400 --> 00:00:18,039
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:18,039 --> 00:00:22,780
Arquitecto Pedro Gomiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,780 --> 00:00:34,439
de la unidad AN1 dedicada a los límites. En la videoclase de hoy estudiaremos las reglas

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00:00:34,439 --> 00:00:51,850
para el cálculo de límites. En esta videoclase vamos a ver algunas reglas que, junto con

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00:00:51,850 --> 00:00:55,869
las propiedades que habíamos estudiado en la videoclase anterior, en referencia a las

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00:00:55,869 --> 00:01:00,270
operaciones con funciones y los límites finitos van a ser muy útiles para la determinación de

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00:01:00,270 --> 00:01:06,409
límites. Como veis aquí, lo que vamos a hacer en esencia va a ser determinar los límites por

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00:01:06,409 --> 00:01:12,250
evaluación de la función en el valor x0 en el cual se está determinando el límite. Vamos a tomar

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00:01:12,250 --> 00:01:17,930
provecho de esa última regla, de esa última propiedad que mencionábamos en la videoclase

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00:01:17,930 --> 00:01:21,849
anterior. Nosotros habitualmente estaremos trabajando con funciones continuas y,

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00:01:21,849 --> 00:01:27,709
consecuentemente los límites se podrán determinar, como veis, por evaluación directa sustituyendo el

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00:01:27,709 --> 00:01:33,069
valor de x por el x0 en el cual se está calculando el límite. Hay que tener en cuenta, aparte de las

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00:01:33,069 --> 00:01:38,950
propiedades de la videoclase anterior, ciertas peculiaridades que involucran al valor 0 y son

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00:01:38,950 --> 00:01:43,730
las siguientes. Si nos encontramos con que tenemos que multiplicar 0 por un valor real cualquiera,

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00:01:43,730 --> 00:01:49,150
el resultado va a ser 0. Si tenemos que dividir 0 entre un valor real cualquiera siempre y cuando

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00:01:49,150 --> 00:01:55,370
este no sea cero, el resultado será cero. Si tenemos que dividir un número real cualquiera

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00:01:55,370 --> 00:02:00,790
que no sea cero entre cero, el resultado va a ser una divergencia hacia más infinito

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00:02:00,790 --> 00:02:06,069
o hacia menos infinito. Y fijaos cómo lo he representado, sin signo, porque en este

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00:02:06,069 --> 00:02:11,370
momento lo único que podemos saber es que el límite va a ser o bien divergente hacia

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00:02:11,370 --> 00:02:17,349
más infinito o hacia menos infinito, no sabemos cuál sea. Muy probablemente no nos sea necesario

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00:02:17,349 --> 00:02:20,669
determinar o identificar cuál de los dos sea y esto sea suficiente.

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00:02:21,310 --> 00:02:24,469
En el caso en el que necesitáramos saber si es más o menos infinito

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00:02:24,469 --> 00:02:28,270
deberemos tener en cuenta el límite lateral en el cual estamos tomándolo

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00:02:28,270 --> 00:02:31,250
puesto que muy probablemente la divergencia sea distinta

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00:02:31,250 --> 00:02:34,669
si es límite por la derecha o por la izquierda y el signo de esta K.

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00:02:35,889 --> 00:02:39,129
Por último, dentro del capítulo de estas reglas

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00:02:39,129 --> 00:02:42,770
podemos encontrarnos con que tenemos que determinar el logaritmo de

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00:02:42,770 --> 00:02:44,169
el límite de una cierta función.

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00:02:44,169 --> 00:02:53,889
Y entonces nos encontramos con logaritmo de cero, por supuesto, por la derecha, puesto que la función logaritmo estaría definida únicamente para valores positivos del argumento.

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00:02:54,530 --> 00:03:03,750
En este caso, dependiendo de cuál sea la base, si es menor que uno, está entre cero y uno, o bien si es mayor que uno, este límite será más infinito o menos infinito.

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00:03:03,750 --> 00:03:10,590
Atendiendo a esto que acabo de mencionar, que los límites en su amplia mayoría se van a poder determinar por evaluación

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00:03:10,590 --> 00:03:14,849
sustituyendo el valor x por este x0 en el cual se está determinando el límite

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00:03:14,849 --> 00:03:19,930
ya se podrían realizar todos estos ejercicios que discutiremos en clase

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00:03:19,930 --> 00:03:22,509
que podremos discutir en alguna videoclase posterior

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00:03:22,509 --> 00:03:28,340
Continuamos con las reglas y vamos a preguntarnos qué es lo que ocurre

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00:03:28,340 --> 00:03:31,860
cuando la variable independiente x no tiene un valor concreto x0

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00:03:31,860 --> 00:03:34,819
sino como veis aquí cuando tiende a más o a menos infinito

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00:03:34,819 --> 00:03:38,280
cuando toma valores arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños.

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00:03:38,580 --> 00:03:42,659
Y vamos a comenzar con el caso particular de una función polinómica.

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00:03:42,800 --> 00:03:44,740
Es una de las más importantes con las que vamos a trabajar.

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00:03:45,460 --> 00:03:49,120
Bien, en este caso, si estamos calculando el límite de una función polinómica,

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00:03:49,319 --> 00:03:52,919
en el límite cuando x tendrá a más o a menos infinito,

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00:03:53,460 --> 00:03:58,080
lo que hemos de hacer es tener en consideración que el término dominante va a ser el de mayor grado.

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00:03:58,080 --> 00:04:02,360
Vamos a poder despreciar todos los términos que no sean el de mayor grado

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00:04:02,360 --> 00:04:14,620
Y entonces lo que haremos será, una vez que nos quedemos únicamente con este, tener en cuenta estas propiedades que vemos aquí para las operaciones con infinitos, que van a ser válidas únicamente en este contexto de cálculo de límites.

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00:04:15,599 --> 00:04:27,639
Más o menos infinito elevado a un número natural n se puede calcular, o el resultado se puede determinar como más infinito si n es par, o bien más o menos infinito si n es impar.

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00:04:27,639 --> 00:04:34,639
Y en este caso, lo que quiero decir es que, con independencia del signo del infinito, si n es par, el resultado va a ser más infinito.

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00:04:35,360 --> 00:04:43,439
Y en el caso en el que tengamos más infinito elevado a n impar, el resultado será más infinito, el signo de arriba va con el de arriba.

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00:04:44,300 --> 00:04:51,459
Si es menos infinito elevado a n y n es impar, el resultado será menos infinito, el signo de abajo va con el de abajo.

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00:04:52,279 --> 00:04:57,459
Si tenemos una constante, un número real cualquiera, que multiplica a más o a menos infinito,

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00:04:58,019 --> 00:05:01,279
dependiendo del signo de k, el resultado puede ser que cambie de signo.

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00:05:01,639 --> 00:05:05,899
Si k es positivo, más por más es más, más por menos es menos,

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00:05:06,060 --> 00:05:09,660
y k por más menos infinito será más menos infinito, igual que antes.

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00:05:10,079 --> 00:05:12,379
Signo de arriba con el de arriba, signo de abajo con el de abajo.

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00:05:13,120 --> 00:05:17,339
En el caso en el que k sea negativo, menos por más es menos, menos por menos es más,

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00:05:17,339 --> 00:05:19,079
vemos que nos cambiaría el signo.

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00:05:19,079 --> 00:05:27,139
Y entonces el resultado, como veis, será menos más infinito el signo de arriba con el de arriba, el signo de abajo con el de abajo.

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00:05:27,860 --> 00:05:34,079
Con esto ya se pueden determinar los límites que tenéis aquí y que discutiremos en clase y en alguna de las videoclases posteriores.

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00:05:37,420 --> 00:05:46,680
Finalizamos esta videoclase de reglas, también con reglas para límites, cuando x tiende a más o menos infinito, pero en este caso ya no, para el caso de funciones polinómicas.

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00:05:47,139 --> 00:05:53,759
En este caso, las reglas que tenemos que tener en cuenta son estas que tenemos aquí en relación con los infinitos.

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00:05:54,399 --> 00:05:58,819
La primera que vemos aquí es la misma que habíamos visto anteriormente con el caso de los polinomios.

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00:05:58,959 --> 00:06:02,920
¿Qué ocurre cuando una constante, un número real, multiplica a más o a menos infinito?

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00:06:03,079 --> 00:06:09,160
Pues que dependiendo del signo de este valor real, puede ser que cambie o no el signo del infinito.

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00:06:09,480 --> 00:06:12,660
Si K es positivo, no cambia el signo. Si K es negativo, sí lo cambiaría.

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00:06:13,240 --> 00:06:18,879
¿Qué ocurre si tenemos un infinito dividido entre un número real distinto de 0, por supuesto?

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00:06:19,439 --> 00:06:23,379
Bueno, pues dependiendo del signo de k, nos cambiará o no el signo del infinito.

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00:06:23,800 --> 00:06:27,500
Infinito entre un valor distinto de 0 constante va a ser infinito.

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00:06:28,000 --> 00:06:32,000
Si k es negativo, el signo cambiará. Si k es positivo, el signo no cambiará.

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00:06:33,100 --> 00:06:38,259
Al revés, ¿qué ocurre si en lugar de dividir infinito entre un número real, dividimos un número real entre infinito?

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00:06:38,600 --> 00:06:40,620
Pues en ese caso lo que vamos a obtener es un valor 0.

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00:06:41,579 --> 00:06:48,420
¿Qué ocurre si tenemos un cierto valor real, constante, elevado bien a más infinito, bien a menos infinito, como tenemos aquí?

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00:06:49,160 --> 00:06:54,959
Bien, pues lo primero, este valor constante no va a poder ser negativo, no va a poder ser cero, no va a poder ser uno,

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00:06:55,439 --> 00:07:00,639
y dependiendo de si la base está entre cero o uno o es mayor que uno, nos encontramos con estos resultados,

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00:07:00,639 --> 00:07:05,279
que se corresponden, por cierto, con lo que nosotros conocemos de las funciones exponenciales.

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00:07:05,699 --> 00:07:12,339
Si la base está entre 0 y 1 y estamos en el límite con x tendiendo a menos infinito, el límite es más infinito.

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00:07:12,620 --> 00:07:15,839
Mientras que si la base es mayor que 1, el mismo límite será 0.

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00:07:16,519 --> 00:07:22,500
Si la base está entre 0 y 1 y tenemos el límite hacia más infinito, lo que tenemos es 0.

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00:07:22,899 --> 00:07:26,339
Mientras que si la base es mayor que 1, el límite sería más infinito.

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00:07:26,639 --> 00:07:29,579
Se corresponde con las propiedades de las funciones exponenciales.

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00:07:30,160 --> 00:07:37,720
En el caso de los logaritmos, cuando tenemos el logaritmo de infinito, lo que tenemos son las propiedades de los límites.

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00:07:37,959 --> 00:07:48,160
En el límite del infinito, este límite va a ser 0, con independencia de si la base va a ser un número entre 0 y 1 o va a ser un número mayor que 1.

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00:07:48,699 --> 00:07:57,139
Con esto que hemos discutido, junto con lo que hemos discutido anteriormente, ya se va a poder resolver estos ejercicios que discutiremos en clase,

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00:07:57,360 --> 00:07:59,300
podremos discutir en alguna videoclase posterior.

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00:08:02,360 --> 00:08:07,980
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:08:08,720 --> 00:08:12,819
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:08:13,639 --> 00:08:18,399
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

87
00:08:18,939 --> 00:08:20,360
Un saludo y hasta pronto.