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00:00:00,620 --> 00:00:07,780
Hola a todos, en este tutorial nos vamos a plantear si pi elevado a e es mayor o menor que e elevado a pi

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00:00:07,780 --> 00:00:14,320
y lo vamos a resolver haciendo un uso del teorema del valor medio y el cálculo integral

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00:00:14,320 --> 00:00:16,980
que usamos en clase bastante poco.

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00:00:18,280 --> 00:00:23,780
Bien, tenemos claro que e es menor que pi

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00:00:23,780 --> 00:00:40,450
Y también hay que tener en mente que la función logaritmo es una función creciente que pasa siempre por el 1,0.

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00:00:40,450 --> 00:00:49,810
si nos fijamos en el tramo desde la e hasta pi

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00:00:49,810 --> 00:00:56,490
y usamos el teorema del valor medio del cálculo integral

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00:00:56,490 --> 00:01:10,719
este nos asegura que existe un valor entre medias de e y pi

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00:01:10,719 --> 00:01:23,900
que cumple que la integral entre e y pi del logaritmo es exactamente pi menos e logaritmo de c.

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00:01:26,150 --> 00:01:29,450
Bien, como vemos que la función logaritmo es creciente,

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00:01:29,450 --> 00:01:36,030
esto siempre va a ser estrictamente menor que pi menos e logaritmo de pi,

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00:01:36,349 --> 00:01:39,450
pues pi es el mayor valor en ese intervalo.

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00:01:39,450 --> 00:01:51,069
Y si desarrollamos esta expresión, tenemos que nos sale pi logaritmo de pi menos e logaritmo de pi.

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00:01:52,689 --> 00:02:02,069
Ahora vamos a proceder a calcular esa integral, que la haremos por partes, y así podremos comparar con esa desigualdad.

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00:02:02,069 --> 00:02:27,189
igualdad. Para ello llamaremos a la función f será el logaritmo de x y la función derivada va a ser

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00:02:27,189 --> 00:02:35,169
1. De forma que cuando derivemos logaritmo se transforma en 1 partido por x y cuando integremos

17
00:02:35,169 --> 00:02:47,020
1 se transforma en x. De forma que esta integral ha quedado como x logaritmo de x menos la integral

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00:02:47,020 --> 00:03:00,740
de 1 partido por x, x diferencial de x. Todo ello entre e y pi. Si integramos 1 partido por x por x,

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00:03:00,740 --> 00:03:06,560
que es 1, nos queda simplemente la integral de x entre e y pi.

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00:03:07,620 --> 00:03:25,120
Y este valor será pi logaritmo de pi menos pi menos e logaritmo de e menos e.

21
00:03:25,919 --> 00:03:31,159
Que todo esto va a ser 0, puesto que logaritmo de e es 1 y e menos e es 0.

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00:03:31,159 --> 00:03:37,900
Luego esta expresión ha quedado, esta integral, pi logaritmo de pi menos pi.

23
00:03:38,680 --> 00:03:57,210
Y hemos visto que esta expresión era estrictamente menor que pi logaritmo de pi menos e logaritmo de pi.

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00:03:57,210 --> 00:04:00,889
cancelando los términos que son iguales

25
00:04:00,889 --> 00:04:07,229
podemos saber que pi menos e logaritmo de pi

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00:04:07,229 --> 00:04:10,189
guardan esta relación

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00:04:10,189 --> 00:04:13,370
si cambiamos los términos de lado

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00:04:13,370 --> 00:04:17,509
y añadimos que el logaritmo neperiano de e es 1

29
00:04:17,509 --> 00:04:21,370
nos queda la expresión que e logaritmo de pi

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00:04:21,370 --> 00:04:25,230
es menor que pi logaritmo de e

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00:04:25,230 --> 00:04:38,610
Utilizando las propiedades de los logaritmos con respecto a las potencias, la e y la pi suben dentro del logaritmo y nos queda pi a la e, e a la pi.

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00:04:38,610 --> 00:04:50,629
Y de nuevo, como mi función logaritmo es creciente, podemos entre comillas quitar los logaritmos, puesto que la relación se mantiene.

33
00:04:50,629 --> 00:05:03,209
así hemos podido demostrar que pi elevado a e es menor que elevado aquí pi

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00:05:03,209 --> 00:05:10,269
y ha sido un camino bastante ingenioso a través del teorema del valor medio del cálculo integral

35
00:05:10,269 --> 00:05:16,290
que nos ha pedido, nos ha permitido calcular una desigualdad

36
00:05:16,290 --> 00:05:21,470
que nos permitiese comparar estas cantidades a priori

37
00:05:21,470 --> 00:05:25,089
siendo unas potencias muy desconocidas

38
00:05:25,089 --> 00:05:29,209
bueno, espero que haya quedado claro

39
00:05:29,209 --> 00:05:32,689
y que este teorema del valor medio del cálculo integral

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00:05:32,689 --> 00:05:34,990
pues se ha tenido un poco más en cuenta

41
00:05:34,990 --> 00:05:39,649
a la hora de resolver este tipo de desigualdades

42
00:05:39,649 --> 00:05:40,610
un saludo