1 00:00:00,690 --> 00:00:05,990 Hola, buenas. En esta clase voy a ver los fundamentos de inversión más relevantes. 2 00:00:06,929 --> 00:00:14,289 Voy a empezar directamente por los puntos que ya sabemos hacer la inversión de los mismos. 3 00:00:14,970 --> 00:00:18,550 Los vimos en la sesión anterior, que es la clase de inversión 1. 4 00:00:20,629 --> 00:00:25,570 Hay distintas maneras para calcular el inverso de los puntos. 5 00:00:25,570 --> 00:00:28,710 nosotros vamos a ver dos de los mismos 6 00:00:28,710 --> 00:00:30,370 así que el primer caso 7 00:00:30,370 --> 00:00:32,570 utilizando las rectas antiparalelas 8 00:00:32,570 --> 00:00:35,090 no lo vamos a ver 9 00:00:35,090 --> 00:00:35,950 ¿vale? porque 10 00:00:35,950 --> 00:00:38,609 digamos que no lo vamos a necesitar 11 00:00:38,609 --> 00:00:40,409 y así quitamos un poquito de teoría 12 00:00:40,409 --> 00:00:42,250 vale 13 00:00:42,250 --> 00:00:45,380 en este caso 14 00:00:45,380 --> 00:00:47,899 vamos a hacer el inverso del punto B 15 00:00:47,899 --> 00:00:50,060 empleando la circunferencia auxiliar 16 00:00:50,060 --> 00:00:52,460 ¿vale? esa circunferencia 17 00:00:52,460 --> 00:00:54,179 auxiliar que llamamos 18 00:00:54,179 --> 00:00:55,960 de autoinversión 19 00:00:55,960 --> 00:01:13,799 ¿Vale? Recordamos que si tenemos un centro de inversión, que aquí lo llama I, nosotros lo llamamos I normalmente, para no confundir con el centro de la circunferencia, tenemos dos puntos alineados a ese centro y un tercer punto. 20 00:01:13,799 --> 00:01:22,859 por tanto, para encontrar la circunferencia de autoinversión y conocer cuál es el punto B' que estará dentro de la circunferencia, 21 00:01:23,519 --> 00:01:31,420 pues vamos a hacer simplemente las mediatrices como ya hicimos en la teoría, ¿vale? 22 00:01:31,420 --> 00:01:37,129 Para ver cómo se encuentran esos puntos, ¿vale? 23 00:01:37,129 --> 00:02:05,840 Entonces este caso es tremendamente sencillo, lo hago para repasar los casos básicos, ¿vale? Hacemos una mediatriz y hacemos formando 90 grados, ¿vale? 24 00:02:05,840 --> 00:02:39,560 Una segunda mediatriz y entonces hacemos esta circunferencia auxiliar que sería inversa de sí misma, por eso la llamo de autoinversión y que nos permite deducir utilizando la propiedad primera inversión, nos dice que los puntos siempre están alineados con el centro de inversión, tendríamos aquí el punto B'. 25 00:02:39,680 --> 00:02:43,400 ¿Vale? Siempre tenemos un punto de entrada y un punto de salida de la circunferencia. 26 00:02:44,300 --> 00:02:47,280 En este caso, pues lo hacéis vosotros exactamente igual, 27 00:02:47,419 --> 00:02:52,460 solo tendríamos que hacer las mediatrices y nos saldría el punto, pues, por aquí más o menos. 28 00:02:53,659 --> 00:02:54,340 ¿De acuerdo? 29 00:02:55,340 --> 00:02:59,879 Bueno, en este siguiente caso sería hacer lo mismo, ¿vale? 30 00:03:00,020 --> 00:03:02,360 Es invertir puntos, ¿vale? 31 00:03:02,719 --> 00:03:05,020 Invertir puntos, invertir puntos. 32 00:03:05,539 --> 00:03:08,199 Y en este caso, como veis, es exactamente el mismo ejercicio, 33 00:03:08,199 --> 00:03:26,020 Lo que pasa es que lo vamos a resolver en lugar de por el método de la circunferencia de autoinversión o auxiliar, lo vamos a utilizar utilizando la circunferencia de los puntos dobles, o sea, la teoría de potencia. 34 00:03:28,340 --> 00:03:36,199 Entonces, ¿esto cómo lo hacemos? Pues muy fácil, recordad que utilizamos siempre la recta que forma 90 grados 35 00:03:36,199 --> 00:03:43,479 con respecto del punto más cercano en este caso, que es lo que llamaríamos la recta polar, este sería el polo, 36 00:03:43,919 --> 00:03:50,240 y vamos a buscar el punto de tangencia que sabemos que tiene que formar justo 90 grados, ¿vale? 37 00:03:50,300 --> 00:03:57,020 Aquí habría que hacer un arco capa de 90, ¿vale? En lugar de hacer el arco capa de 90 lo voy a marcar directamente 38 00:03:57,020 --> 00:04:05,960 porque sale bastante preciso, ¿vale? Haríamos el arco capa de 90 y ahí encontraríamos esos 90 grados 39 00:04:05,960 --> 00:04:17,399 y por tanto el punto doble de T' que nos permitiría dibujar la circunferencia de los puntos dobles 40 00:04:17,399 --> 00:04:24,100 que siempre la voy a hacer a trazos, ¿vale? Para no confundirme, ¿vale? 41 00:04:24,100 --> 00:04:30,199 Aquí tendría el otro punto de tangencia y ahora voy a hacer lo mismo con respecto del otro punto. 42 00:04:31,220 --> 00:04:42,160 Entonces como tengo el otro punto B, pues lo voy a hacer hacia el otro lado y voy a hacer esta polar, que con que haga la mitad valdría. 43 00:04:45,089 --> 00:04:46,790 Espérate, me estoy confundiendo, perdón. 44 00:04:49,290 --> 00:04:54,649 Me he confundido porque siempre los 90 grados hay que hacerlo con respecto de su propia línea. 45 00:04:54,649 --> 00:05:02,889 ¿vale? Entonces alineamos I y B, ¿vale? Entonces yo sé que el inverso me va a quedar en algún 46 00:05:02,889 --> 00:05:15,319 punto de por aquí y ahora sí, perdón, hacemos los 90 grados, ¿vale? Y aquí tendríamos 47 00:05:15,319 --> 00:05:19,980 dibujada, ¿vale? Pues su recta polar que va a tener como dos puntos dobles de tangencia. 48 00:05:20,120 --> 00:05:26,420 Lo voy a hacer hacia este lado porque queda más limpio. Tendría T2 coincidente con T2 49 00:05:26,420 --> 00:05:41,959 prima, vale, este lo vamos a llamar 1, y aquí, pues uniendo con I, vale, uno este punto y 50 00:05:41,959 --> 00:05:56,110 ahora completaríamos con los 90 grados, vale, de manera que el punto inverso me sale, vale, 51 00:05:56,110 --> 00:05:59,269 El resultado es aquí, B' 52 00:05:59,649 --> 00:06:03,230 ¿Vale? Como veis sale exactamente el mismo punto 53 00:06:03,230 --> 00:06:04,970 ¿Vale? Son dos maneras 54 00:06:04,970 --> 00:06:12,360 de hacer lo mismo, ¿vale? En el caso de que sean tres puntos no alineados 55 00:06:12,360 --> 00:06:16,620 es mucho más fácil hacerlo con la circunferencia auxiliar, pero bueno, para que 56 00:06:16,620 --> 00:06:21,319 sepáis hacerlo, ¿vale? Entonces este ejercicio 57 00:06:21,319 --> 00:06:25,379 os lo queréis igual practicarlo, recordad que estos ejercicios resueltos 58 00:06:25,379 --> 00:06:33,540 los tenéis subidos en el aula virtual con todas las soluciones. 59 00:06:34,220 --> 00:06:39,779 En este caso, que también lo vimos en los apuntes, tendríamos que calcular el inverso 60 00:06:39,779 --> 00:06:43,339 de un punto que sí que están los tres alineados. 61 00:06:43,779 --> 00:06:48,279 Esta sería lo que llamábamos la recta de autoinversión. 62 00:06:48,279 --> 00:07:00,540 Si una recta R contiene el centro de inversión, su inversa va a ser ella misma. 63 00:07:00,699 --> 00:07:02,899 Por tanto, sus puntos van a encontrarse todos ellos aquí. 64 00:07:06,740 --> 00:07:11,879 Entonces, para encontrar, como no puedo dibujar esa circunferencia auxiliar de ninguna de las maneras, 65 00:07:11,879 --> 00:07:18,939 pues voy a tener que utilizar otra vez la relación de potencia y la circunferencia de los puntos. 66 00:07:19,660 --> 00:07:50,329 ¿Vale? Entonces voy a dibujar esta recta en perpendicular, que es la que denominamos como recta polar, que forma justo 90 grados con la recta, hago la cocapa de 90, que os estoy haciendo versión rápido para ir un poquito más rápido, y aquí encontraría, ¿vale? El punto T coincidente con T'1, ¿vale? 67 00:07:50,329 --> 00:07:56,850 Y aquí empezaría esa circunferencia de los puntos dobles, ¿vale? 68 00:07:56,910 --> 00:08:04,350 Esa circunferencia de los puntos dobles con centro en O, que nosotros lo llamamos I normalmente, 69 00:08:04,529 --> 00:08:07,149 para no confundirnos con circunferencias auxiliares, ¿vale? 70 00:08:07,670 --> 00:08:17,209 Lo podéis cambiar siempre que queráis, un nombre, y haríamos esa circunferencia de los puntos dobles, ¿vale? 71 00:08:17,209 --> 00:08:20,250 Voy a trazar aquí el arco un poquito más grande para que se vea bien. 72 00:08:20,329 --> 00:08:27,709 Y lo hago a trazos, ¿vale? Para no confundirme nunca con la circunferencia de autoinversión o una circunferencia cualquiera. 73 00:08:27,709 --> 00:08:39,409 Entonces aquí haríamos otra vez esta recta polar, ¿vale? Que es justo la que forma 90 grados. 74 00:08:40,889 --> 00:08:50,190 Uniríamos con el centro de inversión, lo voy a hacer ahora en color para que se vea mejor, y terminaríamos con los 90 grados, ¿vale? 75 00:08:50,190 --> 00:08:59,429 Completamos siempre los 90 grados y tendríamos el punto B', ¿vale? Subinverso, ¿vale? 76 00:08:59,429 --> 00:09:01,870 Igual que aquí hacíamos los 90 grados. 77 00:09:02,610 --> 00:09:07,149 Perfecto, ¿vale? Pues con esto vamos a poder hacer el inverso de cualquier punto que nos den, ¿vale? 78 00:09:07,230 --> 00:09:13,269 Dada una inversión, ¿vale? Pues vamos a continuar con un pelín de teoría. 79 00:09:13,269 --> 00:09:21,389 Ahora lo que vamos a hacer es invertir figuras que no se autoinverten en sí mismas, ¿vale? 80 00:09:21,769 --> 00:09:27,669 Hasta ahora hemos visto la circunferencia de autoinversión y la recta de autoinversión, ¿vale? 81 00:09:31,200 --> 00:09:37,840 Vale, pues entonces vamos a ver todos los casos de figuras que se pueden invertir, ¿vale? 82 00:09:37,879 --> 00:09:56,720 Entonces, lo que hemos comentado, repito, tenemos primero la recta de autoinversión, ¿vale? 83 00:09:56,720 --> 00:10:03,179 Esta ya la hemos visto, ahora la voy a repetir para que queden los tres casos concretos que hay, ¿vale? 84 00:10:03,700 --> 00:10:07,600 Bueno, realmente serían cinco porque uno se puede dividir en dos, ¿vale? 85 00:10:07,600 --> 00:10:14,710 Lo vamos a llamar 1, 2, 3, 1, 3, 2 y 4, ¿vale? 86 00:10:15,269 --> 00:10:55,120 Y luego tenemos la circunferencia de autoinversión y luego de tercero vamos a tener rectas inversas de circunferencias, ¿vale? 87 00:10:55,120 --> 00:11:16,039 Con el caso de, primero, hacer la inversa de una recta, que va a ser una circunferencia, que se llama el caso 3.1, y va a ser el 3.2 de una circunferencia, que su inversa va a ser una recta, ¿vale? Ahora veremos en qué condiciones. 88 00:11:16,039 --> 00:11:42,559 Y, por último, el caso cuarto, que vamos a tener circunferencias inversas, cuyo resultado sea de una circunferencia, la inversa es otra circunferencia de distinto tamaño. 89 00:11:43,559 --> 00:11:50,200 Con estos cuatro casos vamos a poder resolver todos los ejercicios y los dos primeros ya los conocemos. 90 00:11:50,200 --> 00:12:08,350 Vale, repaso y repito. Tengo una recta, tengo un centro de inversión y tengo un par de puntos inversos, está definida la inversión. 91 00:12:08,350 --> 00:12:25,289 La inversa de una recta cuyo centro de inversión esté sobre la propia recta y sus puntos alineados, la inversa va a ser ella misma, ¿vale? 92 00:12:25,289 --> 00:12:33,190 Por tanto, si quisiéramos sacar el inverso de un punto cualquiera, B, por ejemplo, 93 00:12:33,870 --> 00:12:43,220 necesitaríamos hacer lo que hemos hecho antes de definir auxiliarmente la recta polar, 94 00:12:45,840 --> 00:12:50,139 que la podemos hacer a un lado o a dos, hacer el arco capa de 90, 95 00:12:52,940 --> 00:12:57,240 que lo estoy haciendo con la escuadra directamente para ir un poquito más rápido, 96 00:12:57,240 --> 00:12:59,379 pierdo un poquito de precisión 97 00:12:59,379 --> 00:13:01,220 pero sale bien 98 00:13:01,220 --> 00:13:10,240 vale 99 00:13:10,240 --> 00:13:11,539 ahí 100 00:13:11,539 --> 00:13:13,700 y ahí 101 00:13:13,700 --> 00:13:16,039 voy a ajustar un poquito el vértice 102 00:13:16,039 --> 00:13:20,779 entonces 103 00:13:20,779 --> 00:13:22,559 si este es el punto T 104 00:13:22,559 --> 00:13:24,980 coincidente con T' 105 00:13:25,340 --> 00:13:26,259 vale 106 00:13:26,259 --> 00:13:28,740 digamos que 107 00:13:28,740 --> 00:13:31,639 define la circunferencia de los puntos dobles 108 00:13:31,639 --> 00:13:33,320 que la suelo 109 00:13:33,320 --> 00:13:34,679 hacer así a trazos 110 00:13:34,679 --> 00:13:43,240 vale, no habría 111 00:13:43,240 --> 00:13:45,240 no daría falta trazarla entera, estoy trazando 112 00:13:45,240 --> 00:13:46,039 todo lo que me cabe 113 00:13:46,039 --> 00:13:49,500 vale, y el inverso del punto 114 00:13:49,500 --> 00:13:51,039 B, bueno me ha vuelto a pasar que me queda 115 00:13:51,039 --> 00:13:53,360 super pegado a la circunferencia de los puntos dobles 116 00:13:53,360 --> 00:13:57,379 este punto sería el inverso 117 00:13:57,379 --> 00:13:58,700 de sí mismo, por ejemplo N 118 00:13:58,700 --> 00:14:00,559 coincidente con N' 119 00:14:00,860 --> 00:14:03,360 vale, el punto doble y el punto 120 00:14:03,360 --> 00:14:04,860 B, vale, pues 121 00:14:04,860 --> 00:14:07,480 lo vamos a poner, tiene que quedar siempre 122 00:14:07,480 --> 00:14:11,279 de aquí hacia atrás, ¿vale? 123 00:14:12,840 --> 00:14:14,720 Entonces, el inverso del punto B, 124 00:14:15,220 --> 00:14:17,000 pues por ejemplo aquí, ¿vale? 125 00:14:17,139 --> 00:14:19,679 Vamos a considerar que B está aquí en lugar de aquí. 126 00:14:30,629 --> 00:14:32,409 Bueno, lo voy a hacer hacia el otro lado. 127 00:14:33,450 --> 00:14:35,070 Bueno, hacemos los 90 grados, 128 00:14:36,429 --> 00:14:38,049 marco el punto de tangencia 129 00:14:38,049 --> 00:14:43,990 y en sus 90 grados me va a definir el inverso de B, ¿vale? 130 00:14:44,330 --> 00:14:52,370 Esto yo creo que ya lo he hecho suficientemente número de veces para que ya haya quedado claro que sé que al principio cuesta un poco. 131 00:14:53,110 --> 00:15:05,149 Vale, entonces hemos quedado que la recta de autoinversión es una recta que tiene el centro de inversión en la propia recta y sus puntos A y A'. 132 00:15:05,149 --> 00:15:09,009 Si quisiera sacar su inverso, un punto inverso, pues lo tendría que hacer por potente. 133 00:15:09,690 --> 00:15:11,110 Vale, entonces este es el caso 1. 134 00:15:11,110 --> 00:15:12,909 Hago un esquemita aquí muy fácil. 135 00:15:12,909 --> 00:15:17,490 vale, siempre nos tenemos que fijar en el punto de inversión 136 00:15:17,490 --> 00:15:21,190 donde cae, vale, si cae en la propia recta 137 00:15:21,190 --> 00:15:24,230 R, su inversa es coincidente con R' 138 00:15:24,570 --> 00:15:29,490 vale, siguiente caso, lo mismo que hemos visto antes 139 00:15:29,490 --> 00:15:32,289 tengo un centro de inversión 140 00:15:32,289 --> 00:15:42,620 y una circunferencia, vale 141 00:15:42,620 --> 00:15:47,899 y en el caso, aquí hay que fijaros muy bien, vale 142 00:15:47,899 --> 00:16:01,879 De que el centro de inversión no esté en la circunferencia y sus dos puntos que definen la inversión sí que están sobre la circunferencia, ¿vale? 143 00:16:01,879 --> 00:16:16,080 Pues se trata de un caso de circunferencia de autoinversión, ¿vale? Cualquier punto inverso que busquemos, ¿vale? Debe estar en B', ¿vale? 144 00:16:16,080 --> 00:16:29,519 En esta circunferencia. De manera que esta circunferencia, su inversa es ella misma. Por eso se llama la circunferencia de autoinversión. 145 00:16:30,779 --> 00:16:40,139 Entonces, en el esquemita lo que tenemos es una circunferencia, un punto de inversión que no está en la circunferencia, ¿vale? 146 00:16:40,139 --> 00:16:48,480 Esto tiene siempre un centro y la inversión definida por dos de sus puntos, A y A'. 147 00:16:48,480 --> 00:16:55,169 Fácil, ¿vale? A y A' que sí que están en la circunferencia. 148 00:16:56,009 --> 00:17:03,330 Vale, pues ahora vamos a pasar al siguiente caso, rectas inversas de las circunferencias, ¿vale? 149 00:17:03,529 --> 00:17:08,349 Voy a copiar la teoría para que la tengáis escrita, ¿vale? 150 00:17:08,349 --> 00:17:15,730 Luego se entiende mucho mejor en la práctica, pero para que podáis volver a ella lo vamos a exhibir, ¿vale? 151 00:17:15,730 --> 00:17:59,410 Entonces, el primer caso me dice que la inversa de una recta que no contiene ahí es una circunferencia que sí la contiene. 152 00:17:59,410 --> 00:18:27,769 Y donde la recta o el segmento hoy forma 90 grados con la misma. 153 00:18:30,230 --> 00:18:34,970 Aquí tenemos la definición de la inversa de una recta. 154 00:18:34,970 --> 00:18:37,950 ¿Vale? Entonces, fijaros 155 00:18:37,950 --> 00:18:40,170 Tengo una recta cualquiera 156 00:18:40,170 --> 00:18:42,849 R 157 00:18:42,849 --> 00:18:45,549 ¿Vale? La hago así un poco girada 158 00:18:45,549 --> 00:18:46,690 Para que se entienda mejor 159 00:18:46,690 --> 00:18:49,089 ¿Vale? Y entonces 160 00:18:49,089 --> 00:18:51,809 Imaginar que me dan el centro de inversión 161 00:18:51,809 --> 00:18:53,210 Pon que está aquí 162 00:18:53,210 --> 00:18:54,390 El centro de inversión 163 00:18:54,390 --> 00:18:56,849 ¿Vale? 164 00:18:56,849 --> 00:18:58,769 Y me dan la inversión definida 165 00:18:58,769 --> 00:19:00,009 De manera que tengo 166 00:19:00,009 --> 00:19:03,490 Aquí A 167 00:19:03,490 --> 00:19:06,170 Y aquí A' 168 00:19:06,470 --> 00:19:09,000 ¿Vale? 169 00:19:09,000 --> 00:19:31,680 Pues ya sé, yo sé que el inverso de esta recta, que es la que estoy buscando, voy a marcar la figura en morado para que se vea, la inversa de esta recta va a ser una circunferencia, o sea que realmente R' va a ser en sí mismo una circunferencia. 170 00:19:31,680 --> 00:19:55,859 Esto es un poco lo que a veces cuesta un poco de entender, que la inversión sea una figura totalmente distinta y que a su vez esa circunferencia va a tener siempre esta cualidad, que va a formar 90 grados respecto del centro de inversión y su centro va a estar también en este lugar geométrico. 171 00:19:55,859 --> 00:20:00,799 Por tanto, tengo un primer lugar geométrico y tengo un punto por el que sé que tiene que pasar esa curva. 172 00:20:01,400 --> 00:20:07,759 Por tanto, ¿vamos a resolver esto cómo? Pues muy fácilmente, simplemente haciendo una mediatriz. 173 00:20:15,299 --> 00:20:24,680 Hacemos una mediatriz y no donde se una la mediatriz, sino en el punto, en el lugar geométrico, 174 00:20:24,680 --> 00:20:28,140 donde se corte con esta perpendicular 175 00:20:28,140 --> 00:20:33,500 voy a tener lo que sería R', ¿vale? 176 00:20:33,559 --> 00:20:35,099 Que sea una circunferencia, ¿vale? 177 00:20:35,980 --> 00:20:38,579 Que podéis llamarlo, bueno, voy a llamar, 178 00:20:39,019 --> 00:20:41,740 perdona, voy a llamarlo O mejor, ¿vale? 179 00:20:43,119 --> 00:20:44,839 Voy a trazar la circunferencia 180 00:20:44,839 --> 00:20:47,700 y a la circunferencia es a la que voy a llamar R', ¿vale? 181 00:20:51,680 --> 00:20:54,259 Y esto, pues la primera vez que se hace 182 00:20:54,259 --> 00:20:56,599 por el grupo un poco lioso, pero luego es como 183 00:20:56,599 --> 00:20:58,819 muy metódico, siempre lo mismo 184 00:20:58,819 --> 00:21:00,259 ¿vale? entonces 185 00:21:00,259 --> 00:21:02,779 vemos que cumple que la inversa de una recta 186 00:21:03,779 --> 00:21:04,960 que no contiene a I 187 00:21:04,960 --> 00:21:06,460 o sea que I está aquí fuera 188 00:21:06,460 --> 00:21:08,619 siempre hay que fijarse bien en I 189 00:21:08,619 --> 00:21:10,279 es una circunferencia 190 00:21:10,279 --> 00:21:12,839 que sí que lo contiene y donde 191 00:21:12,839 --> 00:21:14,599 OI forma 90 grados 192 00:21:14,599 --> 00:21:16,500 con la misma, ¿vale? y normalmente 193 00:21:16,500 --> 00:21:17,319 queda I 194 00:21:17,319 --> 00:21:20,920 bueno, no tiene porqué 195 00:21:20,920 --> 00:21:22,359 puede estar aquí o puede estar aquí 196 00:21:22,359 --> 00:21:24,380 en función de los casos 197 00:21:24,380 --> 00:21:26,220 ¿vale? entonces el centro 198 00:21:26,220 --> 00:21:58,000 vale, lo hemos encontrado ahí, vale, entonces para reconocer este tipo de figuras, vale, pues el esquemita que nos vamos a hacer es una recta, vale, R, que no contiene ahí, vale, y que el centro de esa circunferencia va a estar siempre formando 90 grados, vale, 199 00:21:58,000 --> 00:22:06,500 Vamos a tener esa circunferencia, un punto A y su inverso, ¿vale? 200 00:22:08,700 --> 00:22:09,140 Perfecto. 201 00:22:11,779 --> 00:22:17,200 Vale, pues me lo pueden dar al revés, que en lugar de darme la recta, lo que hagan es darme la circunferencia. 202 00:22:17,759 --> 00:22:19,700 Pero ¿cómo tiene que ser esa circunferencia? 203 00:22:19,920 --> 00:22:22,079 ¿Para que su inversa sea una recta? 204 00:22:22,980 --> 00:22:25,220 Pues tiene que estar el punto de inversión sobre la misma. 205 00:22:25,220 --> 00:22:31,660 Entonces se dice que, recíprocamente, voy a poner aquí la siguiente definición, 206 00:22:32,799 --> 00:23:26,299 La inversa de una circunferencia que contiene ahí, siendo ahí el centro de inversión, es una recta que forma 90 grados con el segmento OI, que sería el centro de la circunferencia con el centro de inversión. 207 00:23:26,299 --> 00:23:30,059 Llevado al dibujo, que siempre se entiende mejor 208 00:23:30,059 --> 00:23:32,000 Si tengo una circunferencia 209 00:23:32,000 --> 00:23:38,380 Tengo un centro 210 00:23:38,380 --> 00:23:42,759 Y obviamente me tienen que dar 211 00:23:42,759 --> 00:23:44,480 Un centro de inversión 212 00:23:44,480 --> 00:23:46,599 Que tiene que estar en la circunferencia 213 00:23:46,599 --> 00:23:47,819 Porque si no la inversa 214 00:23:47,819 --> 00:23:50,319 No sería una 215 00:23:50,319 --> 00:23:52,720 Si no la inversa 216 00:23:52,720 --> 00:23:54,579 No sería una recta 217 00:23:54,579 --> 00:23:55,779 Esto va a pasar solo 218 00:23:55,779 --> 00:23:58,079 Porque se considera como un punto impropio 219 00:23:58,079 --> 00:24:00,819 De manera que la inversa es una recta infinita 220 00:24:00,819 --> 00:24:04,500 es una circunferencia infinita y por tanto una recta 221 00:24:04,500 --> 00:24:06,660 así lo podemos entender un poco mejor 222 00:24:06,660 --> 00:24:08,960 y entonces voy a marcar 223 00:24:08,960 --> 00:24:12,339 la inversión que me daría 224 00:24:12,339 --> 00:24:12,920 que sería 225 00:24:12,920 --> 00:24:15,359 uno de los puntos en este caso 226 00:24:15,359 --> 00:24:17,200 que va a estar sobre la circunferencia 227 00:24:17,200 --> 00:24:18,960 para facilitar un poco el ejercicio 228 00:24:18,960 --> 00:24:20,200 A 229 00:24:20,200 --> 00:24:23,799 y luego el siguiente punto 230 00:24:23,799 --> 00:24:24,059 A' 231 00:24:24,380 --> 00:24:26,859 pues va a tener que estar por aquí 232 00:24:26,859 --> 00:24:28,480 bueno, en este caso suele ser más fácil 233 00:24:28,480 --> 00:24:30,220 porque lo único que tenemos que hacer es 234 00:24:30,220 --> 00:24:33,759 hacer la recta 235 00:24:33,759 --> 00:24:36,599 OI 236 00:24:36,599 --> 00:24:38,759 y como sé que tiene que formar 237 00:24:38,759 --> 00:24:39,700 90 grados 238 00:24:39,700 --> 00:24:42,900 vale, pues el resultado 239 00:24:42,900 --> 00:24:43,559 sería 240 00:24:43,559 --> 00:24:48,789 esta recta 241 00:24:48,789 --> 00:24:50,730 que forma justo 90 grados 242 00:24:50,730 --> 00:24:52,670 vale, de manera que si esto es C 243 00:24:52,670 --> 00:24:53,869 esto es C' 244 00:24:54,150 --> 00:24:56,769 vale, es esa 245 00:24:56,769 --> 00:24:58,990 circunferencia abierta 246 00:24:58,990 --> 00:25:00,029 hasta el infinito 247 00:25:00,029 --> 00:25:02,809 y estos dos casos son 248 00:25:02,809 --> 00:25:08,509 el mismo, ¿vale? Pero son recíprocos y se hacen de una manera, o sea, se hacen, bueno, 249 00:25:08,569 --> 00:25:13,809 de formas parecidas, ¿vale? Suele ser más fácil si me dan la circunferencia, ¿vale? 250 00:25:13,829 --> 00:25:21,029 Con estos dos casos salen mucho en los ejercicios de inversión que vamos a hacer, ¿vale? Y 251 00:25:21,029 --> 00:25:25,690 este último caso también sale un poquito menos, ¿vale? Que sería el último caso 252 00:25:25,690 --> 00:25:33,690 y es en el caso de tener una circunferencia 253 00:25:33,690 --> 00:25:45,960 o un centro de inversión que no esté en la circunferencia tampoco. 254 00:25:49,519 --> 00:25:50,700 Voy a ponerlo aquí, por ejemplo. 255 00:25:54,220 --> 00:25:57,980 Y entonces me diréis, pero es que este es el primer caso. 256 00:25:59,119 --> 00:26:02,279 Pero no, porque mirad, digamos que el centro de inversión 257 00:26:02,279 --> 00:26:09,940 no está en la circunferencia, pero la inversión que la define, uno de los puntos está en la 258 00:26:09,940 --> 00:26:17,220 circunferencia y otro de los puntos no está en la circunferencia. Y esta es la clave para 259 00:26:17,220 --> 00:26:24,799 diferenciar. Entonces, en este caso, voy a marcar aquí el punto de inversión. En todos 260 00:26:24,799 --> 00:26:29,339 los voy a poner en rosa porque en verdad la relación del punto de inversión es fundamental. 261 00:26:29,339 --> 00:26:32,619 Aquí sí está sobre la circunferencia. 262 00:26:33,839 --> 00:26:38,940 Aquí no está, pero están los puntos sobre la circunferencia. 263 00:26:39,359 --> 00:26:42,839 Y aquí tenemos los puntos, uno dentro y otro fuera. 264 00:26:43,000 --> 00:26:44,799 Por tanto, ¿qué va a ocurrir? 265 00:26:46,480 --> 00:26:48,019 Pongo la definición. 266 00:26:48,019 --> 00:27:11,509 Una circunferencia que no pasa por el centro de inversión 267 00:27:11,509 --> 00:27:42,690 y sus puntos A y A' no pertenecen a la misma circunferencia, 268 00:27:42,690 --> 00:28:21,890 su inversa es otra circunferencia que se relaciona 269 00:28:22,690 --> 00:28:47,079 Según una homotecia siendo y el centro homotético, ¿vale? 270 00:28:47,079 --> 00:28:55,000 Bueno, aquí tenemos un porrón de texto por si lo tenéis que repasar, pero la práctica se ve muchísimo más rápido, ¿vale? 271 00:28:55,000 --> 00:29:10,359 Entonces tenemos una circunferencia y estos dos puntos no están sobre la circunferencia, pues su inversa va a ser otra circunferencia cuyos puntos va a tener que pasar por aquí, la otra circunferencia, y se van a relacionar homotéticamente, ¿vale? 272 00:29:10,359 --> 00:29:15,000 cómo va a pasar esto, ¿vale? Tenemos dos posibilidades, en el caso de que el centro 273 00:29:15,000 --> 00:29:20,740 de inversión esté fuera de las dos curvas, ¿vale? Fijaros, yo siempre voy a unir con 274 00:29:20,740 --> 00:29:30,880 el centro, ¿vale? Porque yo sé que O prima va a tener que estar en esta recta, ¿vale? 275 00:29:30,880 --> 00:29:38,160 Y aquí os voy a enseñar un truco muy útil, ¿vale? Digamos que esta recta que va desde 276 00:29:38,160 --> 00:29:41,039 Y hasta, digamos que aquí entra, ¿vale? 277 00:29:41,160 --> 00:29:46,960 Y aquí sale, me da otro punto, me define otro punto, ¿vale? 278 00:29:46,980 --> 00:29:50,559 Este punto lo voy a poner en otro color, lo voy a llamar C, ¿vale? 279 00:29:52,319 --> 00:29:57,700 Y digamos que esta recta que entra por esta circunferencia, 280 00:29:58,859 --> 00:30:03,039 por el punto A tiene que ser punto de salida de la otra circunferencia, ¿vale? 281 00:30:03,059 --> 00:30:06,440 Entonces a este punto lo voy a llamar entra, ¿vale? 282 00:30:06,440 --> 00:30:08,779 Y a este punto lo voy a llamar sale. 283 00:30:09,480 --> 00:30:18,220 Entonces este punto C es un punto de salida, por lo tanto su inverso va a ser un punto de entrada. 284 00:30:19,079 --> 00:30:26,740 Y lo que va a ocurrir es que para definir el punto O voy a utilizar siempre el radio contrario. 285 00:30:28,319 --> 00:30:35,279 El radio contrario, de manera que hago una paralela con el punto de salida 286 00:30:35,279 --> 00:30:40,740 y lo llevo en paralelo al otro punto de salida 287 00:30:40,740 --> 00:30:45,990 con los radios contrarios. 288 00:30:46,069 --> 00:30:47,309 De manera que tengo aquí 289 00:30:47,309 --> 00:30:51,029 ya tendría la solución del ejercicio 290 00:30:51,029 --> 00:30:52,230 que sería O'. 291 00:30:52,230 --> 00:30:55,809 En este caso me han quedado montadas, 292 00:30:56,009 --> 00:30:57,630 no tiene por qué quedar montadas, 293 00:30:57,630 --> 00:30:59,490 pueden quedar totalmente separadas. 294 00:31:02,769 --> 00:31:05,470 Bueno, pero sabéis que dos circunferencias montadas 295 00:31:05,470 --> 00:31:06,710 también son homotétricas. 296 00:31:06,910 --> 00:31:20,569 De manera que, para deducir cuál sería C', sería este punto de entrada, C', ¿vale? 297 00:31:20,809 --> 00:31:24,609 Entra, sale, entra, sale, ¿vale? 298 00:31:25,390 --> 00:31:28,569 Voy a marcar bien esta línea para que la veáis. 299 00:31:28,569 --> 00:31:30,970 entra 300 00:31:30,970 --> 00:31:32,829 sale 301 00:31:32,829 --> 00:31:35,470 y con otro color 302 00:31:35,470 --> 00:31:36,809 aquí entra 303 00:31:36,809 --> 00:31:38,589 y aquí 304 00:31:38,589 --> 00:31:41,690 sale 305 00:31:41,690 --> 00:31:42,470 de la otra 306 00:31:42,470 --> 00:31:43,750 ¿vale? 307 00:31:44,509 --> 00:31:47,609 bueno, fijaros, si nos guiáramos 308 00:31:47,609 --> 00:31:49,430 un poco y lo quisiéramos hacer con radios 309 00:31:49,430 --> 00:31:51,369 siempre paralelos, siempre podríamos buscar 310 00:31:51,369 --> 00:31:54,049 justo el punto de tangencia 311 00:31:54,049 --> 00:31:54,670 ¿vale? 312 00:31:58,559 --> 00:32:01,440 y ahí siempre vamos a tener radios paralelos 313 00:32:01,799 --> 00:32:05,619 aquí no tengo problema ninguno, ¿vale? 314 00:32:05,640 --> 00:32:09,480 Pero yo creo que con lo de los radios opuestos se entiende muy bien, ¿vale? 315 00:32:09,660 --> 00:32:12,680 Y este caso nos lo podemos encontrar así en esa dirección 316 00:32:12,680 --> 00:32:19,960 o un caso, bueno, voy a explicar dos casos particulares, ¿vale? 317 00:32:19,960 --> 00:32:31,559 En el caso de que el centro de inversión esté en el medio, ¿vale? 318 00:32:31,559 --> 00:32:34,319 imaginamos que tenemos aquí 319 00:32:34,319 --> 00:32:35,980 una circunferencia 320 00:32:35,980 --> 00:32:37,720 y tenemos el punto 321 00:32:37,720 --> 00:32:39,359 vale 322 00:32:39,359 --> 00:32:41,400 tengo el punto 323 00:32:41,400 --> 00:32:45,329 de inversión aquí 324 00:32:45,329 --> 00:32:48,230 y 325 00:32:48,230 --> 00:32:51,289 vale 326 00:32:51,289 --> 00:32:53,609 y tengo aquí 327 00:32:53,609 --> 00:32:55,970 el punto 328 00:32:55,970 --> 00:32:58,069 A, vale, que es de entrada 329 00:32:58,069 --> 00:32:59,190 vale 330 00:32:59,190 --> 00:33:04,519 y ya que tengo el punto A de entrada 331 00:33:04,519 --> 00:33:06,640 vale, su inverso me lo darían aquí 332 00:33:06,640 --> 00:33:07,619 por ejemplo, A' 333 00:33:07,619 --> 00:33:13,500 prima, y yo sé que va a ser punto de salida, ¿vale? Siempre en la dirección de la i, 334 00:33:13,680 --> 00:33:17,940 ¿vale? Aquí entra y aquí va a tener que salir, ¿vale? Siempre en la dirección de 335 00:33:17,940 --> 00:33:23,359 la i, ¿vale? Entonces, pensar que esto tiene esta dirección y esto tiene esta. Vale, pues 336 00:33:23,359 --> 00:33:30,319 entonces, como a y a prima no están sobre la misma circunferencia, sé que su circunferencia 337 00:33:30,319 --> 00:33:39,779 va a ser una homotética. Entonces, con respecto del centro O, hago una recta y uno con el 338 00:33:39,779 --> 00:33:48,240 radio opuesto. Y con el radio opuesto, que sería el de salida, que lo puedo llamar punto 339 00:33:48,240 --> 00:34:04,200 B, hago una paralela, salida con salida, paralela, y aquí me sale O', que sería el inverso. 340 00:34:04,200 --> 00:34:16,000 Y ya puedo definir, porque tengo un punto y su centro, puedo definir esa circunferencia 341 00:34:16,000 --> 00:34:21,139 inversa, esta sería 342 00:34:21,139 --> 00:34:23,599 CE y esta sería C' 343 00:34:23,880 --> 00:34:26,920 perfecto, y por último 344 00:34:26,920 --> 00:34:29,920 el último caso que es un caso muy particular 345 00:34:29,920 --> 00:34:31,400 ¿qué pasa? 346 00:34:33,079 --> 00:34:36,079 ¿qué pasa cuando el centro de inversión 347 00:34:36,079 --> 00:34:42,920 está sobre el propio centro de la circunferencia? 348 00:34:42,920 --> 00:34:44,820 lo voy a hacer aquí en pequeñito 349 00:34:44,820 --> 00:34:46,300 ¿vale? 350 00:34:46,300 --> 00:34:52,610 ¿Vale? Imaginar que tengo, esto es como un caso particular 351 00:34:52,610 --> 00:34:58,150 Tengo una circunferencia y coincide o es coincidente con el centro de inversión 352 00:34:58,150 --> 00:35:01,650 ¿Vale? Obviamente I no está en la circunferencia 353 00:35:01,650 --> 00:35:04,610 Está dentro de la circunferencia pero no está en la circunferencia 354 00:35:04,610 --> 00:35:11,550 Y aquí tengo, por ejemplo, A y A' está fuera de la circunferencia 355 00:35:11,550 --> 00:35:14,210 ¿Cuál va a ser el inversor de esta circunferencia? 356 00:35:14,210 --> 00:35:16,869 Pues como es una circunferencia homotética 357 00:35:16,869 --> 00:35:22,809 pues lo que va a ocurrir es que simplemente van a ser circunferencias concéntricas, ¿vale? 358 00:35:22,809 --> 00:35:28,230 Y esto a veces aparece en los ejercicios y resulta confuso, pero es muchísimo más fácil, ¿vale? 359 00:35:28,230 --> 00:35:31,469 De manera que tengo C y C'. 360 00:35:31,469 --> 00:35:38,670 Vale, pues con esta teoría vamos a poder resolver ya todos los ejercicios que tengamos, ¿vale? 361 00:35:38,750 --> 00:35:42,269 Quedaría la teoría finiquitada. 362 00:35:42,269 --> 00:36:09,349 Entonces, el próximo día voy a terminar de ver los elementos fundamentales de estas hojitas, que son casos específicos de recta-circunferencia, circunferencia-recta y circunferencia-circunferencia, para que los veáis y luego ya pasaremos a hacer los ejercicios en sí mismos, que son los casos de inversión, que este es el tipo de ejercicios que cae en el BAO y merece la pena practicar. 363 00:36:11,519 --> 00:36:13,000 Bueno, pues cierro aquí la clase. 364 00:36:13,840 --> 00:36:14,840 Gracias.