1
00:00:01,399 --> 00:00:03,140
Continuamos con los vectores.

2
00:00:03,859 --> 00:00:09,419
En general, siempre o la mayor parte del tiempo estaremos trabajando en bases ortonormales.

3
00:00:09,539 --> 00:00:14,160
Acordaos que una base es ortonormal, puesto que estamos en el plano tendremos dos vectores

4
00:00:14,160 --> 00:00:15,480
que serán los que conforman la base.

5
00:00:15,939 --> 00:00:25,620
Diremos que es base ortonormal si los vectores tienen módulo 1 y son perpendiculares.

6
00:00:27,760 --> 00:00:31,260
Esto es lo que define una base ortonormal.

7
00:00:31,260 --> 00:00:34,920
Bueno, pues en esta base, en una base ortonormal

8
00:00:34,920 --> 00:00:38,159
se cumplen una serie de condiciones

9
00:00:38,159 --> 00:00:42,039
que nos permiten calcular el producto escalar de una forma más sencilla

10
00:00:42,039 --> 00:00:45,079
y deducir el módulo también de una forma más sencilla

11
00:00:45,079 --> 00:00:47,119
coordenadas de vectores perpendiculares

12
00:00:47,119 --> 00:00:50,560
todo se simplifica cuando consideramos una base ortonormal

13
00:00:50,560 --> 00:00:55,640
por eso lo interesante es siempre referir todos los vectores a este tipo de base

14
00:00:55,640 --> 00:00:59,939
Supongamos ahora que tenemos una base ortonormal de este tipo

15
00:00:59,939 --> 00:01:03,520
vamos a considerar, por seguir el ejemplo que tenéis en el libro

16
00:01:03,520 --> 00:01:06,120
una base de otro animal i, j, además que me decíais el otro día

17
00:01:06,120 --> 00:01:10,340
que son las coordenadas que se utilizan en física también

18
00:01:10,340 --> 00:01:15,239
el vector i será el 1, 0

19
00:01:15,239 --> 00:01:18,459
y el vector j el 0, 1

20
00:01:18,459 --> 00:01:21,239
se trata por tanto de vectores de módulo 1

21
00:01:21,239 --> 00:01:22,760
y perpendiculares entre sí

22
00:01:22,760 --> 00:01:25,379
si nosotros lo representamos, este es el 1, 0

23
00:01:25,379 --> 00:01:28,319
y este es el 0, 1

24
00:01:28,319 --> 00:01:38,519
Bueno, pues suponiendo que tenemos esta base, lo que se cumple es que si tenemos las coordenadas de u respecto de esta base como u sub 1 y u sub 2

25
00:01:38,519 --> 00:01:48,280
y las coordenadas de v respecto de esta base v sub 1 y v sub 2, se verifica que el producto escalar u por v,

26
00:01:48,439 --> 00:01:57,780
aparte de ser módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman, sería directamente u sub 1 por v1 más u sub 2 por v2.

27
00:01:58,319 --> 00:02:04,900
¿Vale? Entendiendo esta multiplicación como la multiplicación normal, ¿vale?

28
00:02:05,599 --> 00:02:09,259
Ya no estamos hablando de producto escalar, ya estamos hablando de multiplicación de números, ¿vale?

29
00:02:09,319 --> 00:02:14,860
v sub 1 multiplicado por v, u sub 1 multiplicado por v sub 1 normal más u sub 2 multiplicado por v sub 2,

30
00:02:15,219 --> 00:02:17,439
lo que es la multiplicación normal, este sería el producto escalar.

31
00:02:18,500 --> 00:02:21,479
Esto solo pasa si tengo una base ortonormal, ¿vale?

32
00:02:21,500 --> 00:02:24,680
Si están los vectores referenciados respecto de una base ortonormal.

33
00:02:24,680 --> 00:02:29,599
Bueno, para esto hay una demostración que es la que aparece en el libro y es muy sencilla

34
00:02:29,599 --> 00:02:34,319
porque se trata únicamente de aplicar las propiedades del producto escalar y de espacio.

35
00:02:34,860 --> 00:02:39,520
Entonces, imaginaos que yo quiero demostrar esta igualdad.

36
00:02:39,819 --> 00:02:42,599
Bueno, pues voy a partir de la izquierda y voy a intentar llegar a la derecha.

37
00:02:43,379 --> 00:02:50,159
Si yo escribo el vector u en su base ortonormal, esto tendría el siguiente aspecto.

38
00:02:50,159 --> 00:03:03,939
sería u1 por el vector i más u2 por el vector j, puesto que u1 y u2 son las coordenadas

39
00:03:03,939 --> 00:03:13,580
respecto de esa base. Todo esto producto escalar de v1 por i más v2 por j. Bueno, pues ahora

40
00:03:13,580 --> 00:03:17,719
voy a aplicar la propiedad distributiva y voy a ir multiplicando este por todo este

41
00:03:17,719 --> 00:03:24,400
y este por todo este, cada sumando por el siguiente paréntesis.

42
00:03:24,400 --> 00:03:35,419
Si voy multiplicando, me quedaría u sub 1 i que multiplica a v1 por i más v2 por j.

43
00:03:37,909 --> 00:03:48,509
Esto sería producto escalar más u sub 2 j, producto escalar v1 i más v2 j.

44
00:03:49,349 --> 00:04:17,089
De nuevo vuelvo a aplicar las propiedades del producto escalar, ahora lo que voy a hacer es multiplicar este por este y luego por este propiedad distributiva y este por este y luego por este propiedad distributiva y voy a tener en cuenta aquello de que cuando tengo un número que multiplica a un vector producto escalar otro número que multiplica a otro vector es lo mismo que multiplicar esos dos números y luego hacer el producto escalar de los correspondientes vectores.

45
00:04:17,089 --> 00:04:39,790
Entonces, teniendo esto en cuenta, que son las propiedades que vimos ayer, pues puedo escribir u sub 1 por v1 que multiplica a i producto escalar i más u sub 1 v2 que multiplica a i producto escalar j.

46
00:04:39,790 --> 00:04:57,490
Del mismo modo, U2V1 que multiplica a J producto escalar I, más U2V2 que multiplica a J producto escalar J.

47
00:04:57,490 --> 00:05:03,009
bueno, puesto que se trata de una base ortonormal

48
00:05:03,009 --> 00:05:09,149
este producto escalar va a dar 0 porque los vectores son perpendiculares

49
00:05:09,149 --> 00:05:12,470
este producto va a dar 0 porque los vectores son perpendiculares

50
00:05:12,470 --> 00:05:21,370
y en estos casos el módulo de y por el módulo de y por el coseno del ángulo que forman que es 0

51
00:05:21,370 --> 00:05:32,300
es lo mismo que el módulo de y al cuadrado que como es 1, pues 1 al cuadrado es 1

52
00:05:32,300 --> 00:05:51,660
Lo mismo pasa con este, módulo de j por módulo de j por el coseno que forma j consigo mismo que es el coseno del ángulo que forma j consigo mismo que es 0, luego el coseno de 0 es 1, esto sería el módulo de j al cuadrado, pero como tiene módulo 1 pues es 1.

53
00:05:51,660 --> 00:06:00,199
Con lo cual me quedaría u sub 1 por v1 más u sub 2 por v2, ¿vale?

54
00:06:00,259 --> 00:06:07,459
Porque como hemos dicho, esto vale 1 y esto vale 1.

55
00:06:07,939 --> 00:06:11,540
Así que hemos demostrado lo que buscábamos, ¿de acuerdo?

56
00:06:12,639 --> 00:06:17,379
Esto siempre, siempre que estén referenciados los vectores con respecto a una base ortonormal.