1 00:00:00,180 --> 00:00:08,099 Vale, y vamos ya con el último ejercicio, que es lo típico, calcular puntos de inflexión y la curvatura, dónde es cóncava y dónde es convexa. 2 00:00:08,539 --> 00:00:16,460 Fijaos que en el ejercicio anterior, que era de máximos y mínimos, pongo siempre una función un poquito más complicada, porque solo tenemos que calcular la derivada primera. 3 00:00:17,559 --> 00:00:29,980 En este caso, con la curvatura os estoy poniendo polinomios, porque tenéis que calcular la derivada segunda, pero ojo, que también nos podemos pedir la curvatura o los puntos de inflexión de funciones racionales. 4 00:00:30,179 --> 00:00:34,119 ¿Vale? Pero bueno, en este caso, si lo estoy poniendo más o menos así sencillito, 5 00:00:34,759 --> 00:00:40,719 racionales para máximos y mínimos y polinómicas para los puntos de inflexión y la curvatura. 6 00:00:41,439 --> 00:00:46,659 Venga, lo mismo, para que haya un punto de inflexión, lo que necesitamos es que la derivada segunda se anule. 7 00:00:47,299 --> 00:00:51,479 Pues vamos a calcular la derivada primera para poder calcular la segunda. 8 00:00:52,179 --> 00:00:53,859 Tengo fracciones, pero fijaos por qué. 9 00:00:53,859 --> 00:01:02,359 Porque ahora es un tercio por 3 que es 1 y me queda x cuadrado más un medio por 2 es 1, o sea, me queda x menos 2. 10 00:01:02,960 --> 00:01:10,519 Y ahora f segunda de x me queda 2x más 1, ¿vale? 11 00:01:10,840 --> 00:01:17,239 Y ahora lo que hemos dicho que queremos es que la derivada segunda de x sea 0, ¿vale? 12 00:01:17,239 --> 00:01:26,879 Pues esto significa 2x más 1 igual 0, es decir, x igual a menos 1 medio, ¿vale? 13 00:01:27,079 --> 00:01:28,959 Me sale fracción, no pasa nada. 14 00:01:29,659 --> 00:01:35,040 Y ahora lo mismo que hemos dicho antes, bueno, podríamos calcular directamente la derivada tercera, ¿vale? 15 00:01:35,060 --> 00:01:40,879 Porque en este caso es sencillo, si yo calculo la derivada tercera de x es 2. 16 00:01:42,620 --> 00:01:46,879 ¿Cuánto es la derivada tercera en menos 1 medio? 17 00:01:47,239 --> 00:01:51,239 pues va a seguir siendo 2 porque no tengo x, es distinto de 0. 18 00:01:51,459 --> 00:01:57,000 ¿Y esto qué significa? Pues significa que x igual a menos 1 medio es un punto de inflexión. 19 00:02:03,260 --> 00:02:06,219 Y aquí sí que es cierto que tendríamos que calcular el valor, 20 00:02:06,680 --> 00:02:11,879 y aquí tenemos que tirar un poquito de calculadora o de cálculo mental, según veáis. 21 00:02:12,120 --> 00:02:17,280 El punto sería menos 1 medio, y ahora voy a intentar hacer, no tengo aquí calculadora, así que de cabeza. 22 00:02:17,280 --> 00:02:20,860 Sería el menos un medio al cubo es menos un octavo 23 00:02:20,860 --> 00:02:23,319 Por un tercio sería menos un veinticuatroavos 24 00:02:23,319 --> 00:02:25,159 Lo voy a poner aquí los cálculos intermedios 25 00:02:25,159 --> 00:02:28,939 Ahora sería menos un medio al cuadrado es un cuarto 26 00:02:28,939 --> 00:02:30,620 Por un medio es un octavo 27 00:02:30,620 --> 00:02:34,900 Menos dos por un medio es más uno 28 00:02:34,900 --> 00:02:36,479 Y más uno 29 00:02:36,479 --> 00:02:40,740 Luego esto si le ponemos todo denominado al veinticuatro 30 00:02:40,740 --> 00:02:43,280 Me quedaría menos uno más tres 31 00:02:43,280 --> 00:02:46,379 Esto sería dos por veinticuatro, cuarenta y ocho 32 00:02:46,379 --> 00:02:58,939 Bueno, todo entre 24, y estos serían menos 1 más 3 son 2, más 48, 50, 24 avos, es decir, 25 doceavos. 33 00:02:59,419 --> 00:03:03,680 Si me he equivocado, pues bueno, ya sabéis que soy de las que me equivoco muy a menudo. 34 00:03:04,460 --> 00:03:07,620 Vosotros tiráis de calculadora y lo calculáis bien, ¿vale? 35 00:03:09,000 --> 00:03:10,759 No voy a comprobar los cálculos. 36 00:03:12,500 --> 00:03:14,659 Simplemente ese sería el punto de inflexión. 37 00:03:14,659 --> 00:03:18,139 Vale, pues ahora vamos con los intervalos de concavidad y convexidad 38 00:03:18,139 --> 00:03:20,080 Es un polinomio, lo que significa 39 00:03:20,080 --> 00:03:21,639 Vale, es un polinomio 40 00:03:21,639 --> 00:03:23,680 Lo que significa que es continua 41 00:03:23,680 --> 00:03:27,699 Es continua en todo R 42 00:03:27,699 --> 00:03:29,379 Ya que su dominio 43 00:03:29,379 --> 00:03:31,759 Es todo R 44 00:03:31,759 --> 00:03:33,379 ¿Vale? O sea, es lo mejor que nos puede ocurrir 45 00:03:33,379 --> 00:03:35,520 No tenemos que poner ningún punto 46 00:03:35,520 --> 00:03:36,719 Directamente 47 00:03:36,719 --> 00:03:39,259 Hago aquí mi tablita 48 00:03:39,259 --> 00:03:41,319 Esto está aquí en menos infinito 49 00:03:41,319 --> 00:03:43,219 Aquí ponemos el punto que hemos obtenido 50 00:03:43,219 --> 00:03:45,060 Que es menos un medio 51 00:03:45,060 --> 00:03:47,819 Y aquí ponemos el infinito, no tenemos más 52 00:03:47,819 --> 00:03:52,879 Y os pongo aquí en un ladito lo que significa cuando es cóncavo y cuando es convexa 53 00:03:52,879 --> 00:03:58,860 Si la derivada segunda de x es mayor que 0, es sonriente 54 00:03:58,860 --> 00:04:01,479 Que yo a esto le llamo cóncavo 55 00:04:01,479 --> 00:04:06,090 Lo que siempre digo, porque es positiva, así que soy feliz 56 00:04:06,090 --> 00:04:12,009 Si la derivada segunda de x es negativa, está triste 57 00:04:12,009 --> 00:04:14,110 Y yo le llamo convexa 58 00:04:14,110 --> 00:04:21,949 me da igual si los dibujos para vosotros son de una manera o le llamáis al revés 59 00:04:21,949 --> 00:04:26,410 cóncava o convexa, lo que me interesa es que si es positiva tiene que ser una u 60 00:04:26,410 --> 00:04:28,470 y si es negativa es como si fuera la intersección 61 00:04:28,470 --> 00:04:33,550 vale, pues ponemos aquí derivada segunda de x 62 00:04:33,550 --> 00:04:37,250 y aquí como va a ser mi función 63 00:04:37,250 --> 00:04:43,180 vale, pues a ver, uy he dejado un sitio de más 64 00:04:43,180 --> 00:04:45,519 Tenía que haber puesto aquí la 65 00:04:45,519 --> 00:04:50,040 Aquí quería haber puesto el f segunda de x 66 00:04:50,040 --> 00:04:51,720 Y aquí la f de x 67 00:04:51,720 --> 00:04:53,519 Porque empieza en menos infinito 68 00:04:53,519 --> 00:04:54,379 ¿Vale? 69 00:04:55,399 --> 00:04:57,360 No tengo nada más por ahí 70 00:04:57,360 --> 00:04:59,100 Se me ha ido un poquito 71 00:04:59,100 --> 00:05:01,540 Entre menos infinito y menos un medio 72 00:05:01,540 --> 00:05:03,899 Pues por ejemplo cojo el menos uno 73 00:05:03,899 --> 00:05:06,000 Y entre el menos un medio y el infinito 74 00:05:06,000 --> 00:05:07,600 Pues cogemos el cero que es más fácil 75 00:05:07,600 --> 00:05:11,959 Sustituimos el menos uno en la derivada segunda 76 00:05:11,959 --> 00:05:16,360 Y esto sería menos 2 más 1, menos 2 más 1, menos 1. 77 00:05:18,259 --> 00:05:20,240 Negativo, por lo tanto, triste. 78 00:05:21,420 --> 00:05:24,220 Aquí no haría falta, ya sabemos que como es un punto de inflexión, 79 00:05:24,339 --> 00:05:27,100 está cambiando la curvatura, pero aún así sustituimos para verificar. 80 00:05:27,860 --> 00:05:29,540 2 por 0, 0, más 1, 1. 81 00:05:30,019 --> 00:05:34,339 Positivo, convexo y congao. 82 00:05:34,959 --> 00:05:37,139 Y como sabíamos, este es un punto de inflexión. 83 00:05:37,139 --> 00:05:42,220 Por lo tanto, ahora, ¿cuáles son los intervalos de convexidad? 84 00:05:44,839 --> 00:05:50,399 Y para mi convexo es triste, sería de menos infinito a menos un medio. 85 00:05:51,220 --> 00:06:02,339 Y los intervalos de concavidad, que en este caso solo hay un intervalo cuando es feliz, que es de menos un medio a infinito. 86 00:06:02,339 --> 00:06:13,019 ¿Vale? Y como os dije en el ejercicio anterior, es muy rápido de hacer, por eso normalmente es un apartado en un ejercicio, ¿vale? 87 00:06:13,579 --> 00:06:19,459 Y lo que os he dicho al empezar, os estoy poniendo polinomios, pero también pudiera ser que fueran funciones racionales, 88 00:06:19,800 --> 00:06:24,620 o que en lugar de ser solamente un valor, tuviéramos más de uno, ¿vale? Pero sería siempre igual.