1
00:00:00,000 --> 00:00:14,359
Voy a grabar las clases y antes de empezar cada clase voy a preguntar que si alguien tiene algún inconveniente, dejo de grabar y si no, proseguimos y punto.

2
00:00:14,359 --> 00:00:27,300
No sé si las habéis localizado, si no las localizáis. Bueno, voy a hacerlo rápido porque luego hay veces que con estas cosas gastamos tiempo que parece que lo estamos perdiendo.

3
00:00:27,300 --> 00:00:47,019
A ver, si os metéis en el aula virtual de López de Vega, en distancia, estamos en segundo, segundo de bachillerato, aquí matemáticas 2.

4
00:00:47,020 --> 00:00:50,020
Si os metéis en los recursos generales…

5
00:01:06,100 --> 00:01:15,120
Lo digo porque lo mismo, ayer me metí en otro ordenador y hay veces que parece un poco dificultoso, difícil acceder.

6
00:01:15,120 --> 00:01:38,520
En los recursos generales, fijaos que estoy en la primera antes de que empiecen los temas. La última pone canal de clases del curso. Esto es un acceso a la mediateca. Yo, por lo menos, sí quiero tener los recursos dentro de EducaMadrid. Y aquí pone contraseña distancia 23-24 más, que es la misma clave.

7
00:01:38,519 --> 00:01:55,920
Entonces, ahora, cuando os metéis en la mediateca, pone iniciar sesión. Si queréis iniciar sesión tenéis que poner la contraseña de Duca Madrid, pero donde tenéis que poner lo de distancia 23-24 es aquí.

8
00:01:58,060 --> 00:02:02,179
Le dais aquí, ahora no lo guardo, y ya pone ver el contenido.

9
00:02:08,520 --> 00:02:14,560
Bueno, el enlace se va aquí. Disculpad que es que no había puesto la pantalla aquí.

10
00:02:15,560 --> 00:02:24,740
Entonces, aquí ponéis la contraseña y aquí, de momento, pues solo está disponible la última de la otra grabación,

11
00:02:24,980 --> 00:02:29,500
porque yo tenía entendido que estaba prohibido grabar las clases, creo que ya lo hablamos algún día,

12
00:02:30,060 --> 00:02:32,560
y de un día para otro me entero que la gente lo está grabando.

13
00:02:33,300 --> 00:02:37,320
Pues bueno, disculpad que no lo he hecho antes, no tengo intención.

14
00:02:38,520 --> 00:02:48,219
Y eso sí, siempre os pediré permiso para grabar las clases. Creo que esa precaución es buena tenerla.

15
00:02:49,020 --> 00:02:56,439
Entonces, ahora nos vamos a la clase de hoy, que hoy es día 13 del 2, y hoy empezamos el último bloque.

16
00:02:57,100 --> 00:03:05,219
El año pasado lo di en otro orden y el año pasado tenía que preguntaros la geometría, en la primera y en la segunda oración, por lo cual era una vez.

17
00:03:05,219 --> 00:03:07,620
la geometría

18
00:03:07,620 --> 00:03:10,840
a ver, es más fácil que no

19
00:03:10,840 --> 00:03:12,240
el análisis por las cuentas

20
00:03:12,240 --> 00:03:13,719
pero

21
00:03:13,719 --> 00:03:16,259
aquí tenéis que relacionar muy bien

22
00:03:16,259 --> 00:03:17,219
tener muy hilados

23
00:03:17,219 --> 00:03:21,180
los conceptos

24
00:03:21,180 --> 00:03:23,240
al respecto

25
00:03:23,240 --> 00:03:24,979
os diría

26
00:03:24,979 --> 00:03:27,139
bueno, hoy empezamos el tema de vectores

27
00:03:27,139 --> 00:03:28,800
si no me equivoco

28
00:03:28,800 --> 00:03:30,099
solo lo vamos a ver hoy

29
00:03:30,099 --> 00:03:32,900
veréis que hay cosas parecidas a la simetría

30
00:03:32,900 --> 00:03:35,079
de primero, que eran dos dimensiones

31
00:03:35,080 --> 00:03:37,480
pero un consejo

32
00:03:37,480 --> 00:03:39,680
que os estoy dando últimamente

33
00:03:39,680 --> 00:03:41,480
y para determinados temas

34
00:03:41,480 --> 00:03:43,720
para la probabilidad a lo mejor no están así

35
00:03:43,720 --> 00:03:44,800
pero para

36
00:03:44,800 --> 00:03:46,920
el tema de geometría

37
00:03:46,920 --> 00:03:49,860
al final del tema tenéis un resumen

38
00:03:49,860 --> 00:03:50,760
¿sí?

39
00:03:51,660 --> 00:03:53,880
que yo recomiendo que lo uséis

40
00:03:53,880 --> 00:03:55,760
pero que hagáis el vuestro

41
00:03:55,760 --> 00:03:56,200
propio

42
00:03:56,200 --> 00:03:59,640
porque yo algún día a lo mejor os digo, mira este truco

43
00:03:59,640 --> 00:04:02,000
vale para esto y eso no viene en los resúmenes

44
00:04:02,000 --> 00:04:03,700
yo no veo en un resumen donde venga

45
00:04:03,700 --> 00:04:05,980
todo y además yo por experiencia

46
00:04:05,980 --> 00:04:07,680
de cuando estudiaba yo tengo mis

47
00:04:07,680 --> 00:04:09,780
trucos propios o tengo mis cosas propias

48
00:04:09,780 --> 00:04:11,880
pero vamos, que os inspiréis

49
00:04:11,880 --> 00:04:12,380
en esto

50
00:04:12,380 --> 00:04:15,680
yo el vector unitario lo doy un poco

51
00:04:15,680 --> 00:04:16,960
diferente pero

52
00:04:16,960 --> 00:04:19,720
vamos, que esto es lo que vamos

53
00:04:19,720 --> 00:04:21,580
a ver y lo vamos a ver por encima

54
00:04:21,580 --> 00:04:23,520
de lo que estamos aquí, cuando el producto

55
00:04:23,520 --> 00:04:24,740
escalar de dos vectores

56
00:04:24,740 --> 00:04:27,300
es exactamente

57
00:04:27,300 --> 00:04:29,900
igual que el de dos dimensiones

58
00:04:29,900 --> 00:04:31,439
el producto escalar de dos vectores

59
00:04:31,439 --> 00:04:33,560
es el módulo del primer vector por el

60
00:04:33,560 --> 00:04:47,120
La fórmula consiste en multiplicar. Primera coordenada por primera, segunda por segunda, tercera por tercera y sumarlo todo.

61
00:04:48,340 --> 00:04:57,100
Entonces, lo único es que estáis añadiendo una coordenada. El módulo de un vector es como el teorema de Pitágoras, pero en vez de con dos catetos es con tres.

62
00:04:57,100 --> 00:04:59,660
porque la figura es un

63
00:04:59,660 --> 00:05:00,340
paralelo

64
00:05:00,340 --> 00:05:02,720
es un paraleletípero

65
00:05:02,720 --> 00:05:04,800
hablaremos de paraleletípero

66
00:05:04,800 --> 00:05:07,660
con un vector unitario, sabéis que si un vector

67
00:05:07,660 --> 00:05:09,520
mide 5 y la dividís entre 5

68
00:05:09,520 --> 00:05:10,580
ese vector mide 1

69
00:05:10,580 --> 00:05:13,860
esto más o menos es el resumen de lo que vamos a ver

70
00:05:13,860 --> 00:05:15,879
la proyección de un vector

71
00:05:15,879 --> 00:05:18,200
sobre otro, yo generalmente

72
00:05:18,200 --> 00:05:19,379
no lo uso mucho pero

73
00:05:19,379 --> 00:05:20,800
bueno, que

74
00:05:20,800 --> 00:05:23,420
hay que dar, es fundamental

75
00:05:23,420 --> 00:05:26,000
el ángulo entre dos vectores, la fórmula

76
00:05:26,000 --> 00:05:27,259
es la misma que la de primero.

77
00:05:28,019 --> 00:05:30,660
Lo que varía son las cuentas que hay una coordenada más.

78
00:05:31,399 --> 00:05:34,000
Y luego se introduce el producto vectorial

79
00:05:34,000 --> 00:05:36,160
que los que habéis dado física ya lo habréis visto.

80
00:05:37,939 --> 00:05:39,959
Yo lo calculo con un determinante.

81
00:05:40,500 --> 00:05:41,660
Aquí lo hace de otra forma.

82
00:05:42,060 --> 00:05:43,579
Lo podéis elegir como queráis.

83
00:05:43,779 --> 00:05:45,680
Aquí lo hace desarrollando por adjuntos.

84
00:05:46,699 --> 00:05:49,079
Y que sepáis, estas son cosas muy claras.

85
00:05:49,420 --> 00:05:51,459
El producto escalar que os he dicho antes

86
00:05:51,459 --> 00:05:53,959
sirve para calcular distancias y ángulos.

87
00:05:54,680 --> 00:05:55,699
Ahí tenéis las fórmulas.

88
00:05:56,000 --> 00:06:07,259
Y el producto vectorial sirve para calcular el área de un paralelogramo, o de un triángulo, y el volumen de un paralelo de Pippen.

89
00:06:07,860 --> 00:06:11,699
Luego, si es una pirámide, pues se divide entre 4 y lo que sea.

90
00:06:12,399 --> 00:06:20,540
Esto más o menos es el resumen de hoy en cuanto a lo que son los conceptos principales.

91
00:06:20,540 --> 00:06:36,340
Ahora, vamos ya al grano, porque esto es en su miga. Bueno, un vector fijo del año pasado, supongo que sabéis que es un segmento orientado, ¿no?

92
00:06:36,340 --> 00:06:43,480
En un segmento, a los puntos A y B se les llama extremos.

93
00:06:44,280 --> 00:06:51,260
Pero como el segmento es orientado, a A se le llama origen y a B se le llama extremo.

94
00:06:51,960 --> 00:06:53,080
Supongo que fuera, ¿no?

95
00:06:56,400 --> 00:06:58,740
No es lo mismo el vector AB que el vector B.

96
00:06:59,200 --> 00:07:00,720
Tienen el sentido opuesto, ¿no?

97
00:07:01,200 --> 00:07:02,860
Bueno, ¿qué es el módulo de un vector?

98
00:07:03,440 --> 00:07:05,360
El módulo de un vector es un óxido.

99
00:07:06,340 --> 00:07:21,000
En física puede ser su intensidad en cuanto que sea una fuerza, pero geométricamente el módulo de un vector es su longitud.

100
00:07:21,000 --> 00:07:35,320
La dirección de un vector se define como aquello que es común a él y a sus familiares.

101
00:07:36,340 --> 00:07:51,420
Y el sentido del vector AB es de A, que se llama origen, a B, que se llama distrito.

102
00:07:55,740 --> 00:08:05,420
Entonces, esto voy rápido porque se supone que los conceptos principales, lo que os he pasado, todo lo que vale para el plan, los conceptos, vamos a integrarlos.

103
00:08:06,340 --> 00:08:13,560
que es la generación espacial, sabéis que si tenéis dos vectores que están situados en puntos distintos del espacio

104
00:08:13,560 --> 00:08:18,880
y tienen la misma longitud, la misma dirección y el mismo sentido, se llaman equiponentes.

105
00:08:18,880 --> 00:08:24,200
Y vector libre es aquel que representa a todos esos vectores.

106
00:08:25,000 --> 00:08:36,300
Un vector libre es aquel que representa a todos los vectores equiponentes.

107
00:08:36,340 --> 00:08:49,960
Eso. Donde equipo lente quiere decir que tienen en el mismo módulo la misma dirección y el mismo.

108
00:08:51,240 --> 00:08:57,560
¿Por qué se llama libre? Porque como yo no estoy imponiendo cuál es el origen, lo puedo colocar en cualquier lugar del plano.

109
00:08:57,740 --> 00:09:01,480
Que eso ya lo veréis, que yo cogeré un vector y lo colocaré donde me parece.

110
00:09:01,480 --> 00:09:20,100
¿Sí? Bueno, ¿en qué consiste multiplicar un vector por un escalar? De momento estamos trabajando en geométrico. Ya veréis que vamos a trabajar en geométrico y en algebraico.

111
00:09:20,100 --> 00:09:24,720
Cuando hagamos las cuentas, pues abrimos las determinadas operaciones algebraicas.

112
00:09:27,200 --> 00:09:38,420
Ya os digo, estos son conceptos que creo que debo ir un poco deprisa para priorizar otras cosas.

113
00:09:38,800 --> 00:09:41,300
A ver, yo tengo un vector v, lo llamo v, ¿no?

114
00:09:41,300 --> 00:09:47,980
V

115
00:09:47,980 --> 00:09:51,480
cuando tenga un número, sabéis que se llama escalar

116
00:09:51,480 --> 00:09:53,100
¿no? entonces

117
00:09:53,100 --> 00:09:54,620
¿cuál va a ser el vector 2V?

118
00:09:55,840 --> 00:09:57,140
pues el mismo, puesto

119
00:09:57,140 --> 00:09:58,840
dos veces, ¿no? este es 2V

120
00:09:58,840 --> 00:10:01,180
y el vector 3V

121
00:10:01,180 --> 00:10:02,360
sería tres veces, ¿no?

122
00:10:03,740 --> 00:10:05,100
y ¿cuál sería

123
00:10:05,100 --> 00:10:06,620
el vector menos V?

124
00:10:08,980 --> 00:10:11,140
el mismo, pero con el

125
00:10:11,139 --> 00:10:37,319
sentido contrario, ¿no? Este es el vector menos v, ¿sí? Entonces, el vector a v, su módulo es a veces el módulo de v.

126
00:10:37,320 --> 00:10:41,780
¿sabéis por qué he puesto

127
00:10:41,780 --> 00:10:42,940
valor absoluto?

128
00:10:44,320 --> 00:10:45,640
porque si por ejemplo

129
00:10:45,640 --> 00:10:47,940
cojo el vector menos 2V

130
00:10:47,940 --> 00:10:49,620
es dos veces

131
00:10:49,620 --> 00:10:52,220
el módulo, es en positivo

132
00:10:52,220 --> 00:10:54,260
¿no? el módulo no puede ser

133
00:10:54,260 --> 00:10:56,260
negativo, tiene la misma

134
00:10:56,260 --> 00:10:56,960
dirección

135
00:10:56,960 --> 00:11:05,240
y ahora

136
00:11:05,240 --> 00:11:06,380
si ya

137
00:11:06,379 --> 00:11:08,559
es positivo

138
00:11:08,559 --> 00:11:10,639
tiene

139
00:11:10,639 --> 00:11:12,740
el mismo

140
00:11:12,740 --> 00:11:13,259
sentido.

141
00:11:18,059 --> 00:11:20,820
Y si A es negativo

142
00:11:20,820 --> 00:11:24,820
tiene el sentido opuesto.

143
00:11:31,120 --> 00:11:32,200
Esto básicamente.

144
00:11:32,460 --> 00:11:34,919
La operación ya la sabéis del año pasado

145
00:11:34,919 --> 00:11:35,820
y es muy sencilla.

146
00:11:37,360 --> 00:11:43,299
Bueno, para hacer la suma de dos vectores, los que veis física, pues lo tenéis más claro.

147
00:11:43,439 --> 00:11:52,320
Sabéis que si tenéis dos vectores u y v, se coloca con el mismo origen y se hace la regla del paralelogramo.

148
00:11:52,980 --> 00:12:03,320
También se puede poner aquí en paralelo a este y hacer directamente, este es el vector u más v, o se hace el paralelogramo completo.

149
00:12:03,320 --> 00:12:24,140
La diagonal del paralelogramo es u más v. Y ahora, ¿cómo se hace? De todas formas es bueno que sepáis que si yo después de u pongo v, parto del origen del principio y llego al extremo al que llego y esa es la suma de vectores.

150
00:12:24,139 --> 00:12:27,899
esto está muy asociado con la composición de fuerzas

151
00:12:27,899 --> 00:12:30,080
físicas

152
00:12:30,080 --> 00:12:34,159
y la diferencia la puedo hacer de dos formas

153
00:12:34,159 --> 00:12:38,059
cuesta más verlo

154
00:12:38,059 --> 00:12:41,000
por eso os lo voy a dar de dos formas

155
00:12:41,000 --> 00:12:43,899
a ver, hay gente que quiere hacer

156
00:12:43,899 --> 00:12:44,740
u menos v

157
00:12:44,740 --> 00:12:53,580
u menos v es lo que le falta a v

158
00:12:53,580 --> 00:12:54,580
para llegar a u, ¿no?

159
00:12:56,600 --> 00:12:57,040
¿Sí?

160
00:12:57,960 --> 00:12:59,840
5 menos 3 es lo que le falta a 3

161
00:12:59,840 --> 00:13:00,720
para llegar a 5.

162
00:13:01,600 --> 00:13:04,180
Bueno, pues u menos v es lo que le falta

163
00:13:04,180 --> 00:13:07,200
a...

164
00:13:07,200 --> 00:13:09,240
No, esto es u menos v.

165
00:13:09,740 --> 00:13:11,660
Si yo estoy en v, ¿qué le falta a v

166
00:13:11,660 --> 00:13:12,900
para llegar a u? ¿Sí?

167
00:13:13,460 --> 00:13:15,440
Hay gente que le gusta más decir

168
00:13:15,440 --> 00:13:16,560
que si esto es u

169
00:13:16,560 --> 00:13:18,860
y esto es v,

170
00:13:21,340 --> 00:13:22,780
el vector menos v

171
00:13:22,779 --> 00:13:23,620
es este, ¿no?

172
00:13:26,539 --> 00:13:28,379
Este es el vector menos V, ¿sí?

173
00:13:28,860 --> 00:13:30,779
Si hacéis un paralelogramo

174
00:13:31,519 --> 00:13:34,919
a ver que tal vez

175
00:13:34,919 --> 00:13:36,779
sale, os sale este

176
00:13:36,779 --> 00:13:37,220
vector.

177
00:13:38,519 --> 00:13:39,899
Y este es U menos V.

178
00:13:41,019 --> 00:13:42,139
Como veis queda lo mismo.

179
00:13:42,579 --> 00:13:44,579
Si el dibujo tal vez lo hace, por supuesto, ¿no?

180
00:13:44,779 --> 00:13:46,779
Que no lo está. Bueno, esto

181
00:13:46,779 --> 00:13:48,779
tampoco nos vamos a

182
00:13:49,299 --> 00:13:50,779
embarrar en esto,

183
00:13:50,779 --> 00:13:55,839
fangar en esto porque hay muchos detalles, pero más o menos que veáis que geométricamente

184
00:13:55,839 --> 00:14:01,319
esto tiene un sentido. Cuando hagamos un esquema, pues esto nos servirá para entender determinadas cosas.

185
00:14:02,639 --> 00:14:12,360
Bueno, ahora, vamos ya a lo que son las muestras. ¿Qué es una combinación lineal de vectores en el espacio?

186
00:14:12,360 --> 00:14:25,379
Bueno, esto ya empieza a relacionar lo que es el álgebra con la geometría en sí.

187
00:14:25,620 --> 00:14:36,180
Entonces, ahora ya vamos a empezar a relacionar elementos geométricos con elementos álgebra.

188
00:14:36,180 --> 00:14:39,220
A ver, ¿qué es una combinación lineal de vectores?

189
00:14:39,220 --> 00:14:51,440
Por ejemplo, si yo tengo un vector u y un vector v, esto sería una combinación lineal de esos dos vectores.

190
00:14:52,279 --> 00:14:53,779
Esto es un ejemplo.

191
00:14:54,379 --> 00:15:01,800
¿Qué sería? Si yo tengo el vector u y tengo el vector v, voy a poner más 3 por comodidad.

192
00:15:01,800 --> 00:15:17,180
Y aquí tengo un vector v, pues si pongo tres veces v y dos veces u, hago el paralelogramo, ¿no? Y esto es una combinación lineal de esos vectores.

193
00:15:17,180 --> 00:15:34,100
¿Qué tienen en particular? Esto es 2U más 3U. ¿Qué tienen en común todos esos vectores? Que cualquier combinación lineal de esos dos vectores están formando un plano.

194
00:15:34,100 --> 00:15:52,000
¿No? Tenedos en cuenta que estamos ahora en dimensión 3, ¿no? Y estoy diciendo que estamos en un plano. Ahora, ¿cuándo dos vectores son linealmente independientes?

195
00:15:52,000 --> 00:16:03,120
Para que sean independientes, lo que tiene que ocurrir, os acordáis, dos líneas, para que sean linealmente independientes no pueden ser proporcionales.

196
00:16:03,460 --> 00:16:13,860
Y esto equivale a decir a cuando no tienen la misma dirección.

197
00:16:13,860 --> 00:16:21,340
no sé si lo veis

198
00:16:21,340 --> 00:16:23,759
linealmente dependientes quiere decir

199
00:16:23,759 --> 00:16:26,220
dos vectores que uno sería proporcionar a otro

200
00:16:26,220 --> 00:16:27,940
y si dos vectores son

201
00:16:27,940 --> 00:16:29,680
proporcionales tienen la misma dirección

202
00:16:29,680 --> 00:16:31,800
que sean independientes quiere decir

203
00:16:31,800 --> 00:16:33,180
que no tienen la misma dirección

204
00:16:33,180 --> 00:16:36,019
porque luego ya veréis que vamos a estudiar

205
00:16:36,019 --> 00:16:38,000
rangos y si el rango de dos

206
00:16:38,000 --> 00:16:39,779
vectores es dos

207
00:16:39,779 --> 00:16:42,019
quiere decir que están

208
00:16:42,019 --> 00:16:43,759
en distintas rectas

209
00:16:43,759 --> 00:16:45,700
Y si no, ¿qué tiene la misma adicción?

210
00:16:46,039 --> 00:16:46,120
¿Sí?

211
00:16:46,759 --> 00:16:51,860
Bueno, de la misma forma, para que tres vectores sean linealmente independientes,

212
00:16:53,319 --> 00:16:55,439
lo voy a poner abajo,

213
00:16:56,399 --> 00:17:02,100
no pueden ser coplanarios.

214
00:17:05,079 --> 00:17:07,180
¿Entendéis lo que significa coplanar?

215
00:17:07,180 --> 00:17:07,200
¿Qué significa coplanar?

216
00:17:07,200 --> 00:17:26,980
A ver, si yo tengo un plano que contiene… Efectivamente, si yo tengo tres vectores que son linealmente dependientes, uno de ellos tiene que ser combinación lineal de los otros.

217
00:17:26,980 --> 00:17:31,680
Y como veis están en el mismo plano. Esto es que son coplanarios.

218
00:17:34,860 --> 00:17:45,039
Pero ¿qué pasa si yo tengo este vector y este vector que están en un plano y luego tengo otro que se me escapa hacia arriba?

219
00:17:45,900 --> 00:17:50,980
Que no son coplanarios. Entonces, estos tres vectores son linealmente independientes.

220
00:17:52,579 --> 00:17:54,980
Linealmente independientes. No son coplanarios.

221
00:17:56,980 --> 00:18:03,740
independientes. Todo esto es lo que tienes que relacionar el álgebra con la geometría.

222
00:18:04,319 --> 00:18:09,960
Dependencia lineal de dos vectores tiene la misma dirección. De tres vectores están en el mismo

223
00:18:09,960 --> 00:18:19,420
plan. Si son independientes no están en el mismo plan. Una base ortonormal de los vectores del

224
00:18:19,420 --> 00:18:31,180
espacio, consisten, son tres vectores que son linealmente independientes, pero además

225
00:18:31,180 --> 00:18:41,360
son perpendiculares entre sí, perpendiculares 2 a 2 y de longitud 1.

226
00:18:41,360 --> 00:18:51,440
Y los que habéis visto física sabéis que son los vectores I, J, K.

227
00:18:51,860 --> 00:18:53,160
En física se llaman así.

228
00:18:54,180 --> 00:18:59,560
Los tres miden uno, su módulo es uno, y son los tres perpendiculares en precio.

229
00:19:00,320 --> 00:19:04,900
90 grados, esto 90 grados porque está en perspectiva y esto 90 grados.

230
00:19:04,900 --> 00:19:19,600
Bueno, una vez hecho esto, yo de esta parte me quedaría sobre todo con cuándo dos vectores son linealmente independientes y cuándo tres vectores son linealmente independientes.

231
00:19:19,600 --> 00:19:36,040
Esos son los conceptos más importantes de lo que hay aquí. Que, por cierto, no sé si está en la hoja de resumen, por eso os digo que hagáis vuestras propias anotaciones.

232
00:19:36,039 --> 00:19:57,960
Bueno, vamos entonces a dibujar un vector de coordenadas 1, 2, 3 en una base autónoma. Voy a hacer uno nada más a nivel de que visualicéis las cosas. Además, hay algunos de vosotros que veis mejor las cosas algebraicas y hay algunos que veis mejor las cosas geométricas.

233
00:19:58,279 --> 00:20:00,600
¿Qué significa el vector 1, 2, 3?

234
00:20:01,519 --> 00:20:03,500
Depende cómo tome los ejes.

235
00:20:03,700 --> 00:20:12,019
Yo generalmente tomo este como eje OX, este el eje OI y este el eje OC.

236
00:20:12,620 --> 00:20:14,700
Pero a veces incluso los cambia.

237
00:20:16,259 --> 00:20:25,340
Entonces, si yo tengo una base autonormal, pues este es I, este es J y este es K.

238
00:20:26,380 --> 00:20:27,680
¿Para qué me sirve esto?

239
00:20:27,680 --> 00:20:29,880
para dar las unidades de medida, los ejes.

240
00:20:30,380 --> 00:20:32,299
Ahora, ¿cuál es el vector 1, 2, 3?

241
00:20:32,680 --> 00:20:35,920
Pues en la X es 1, en la Y es 2,

242
00:20:36,759 --> 00:20:38,400
con lo cual tendría que hacer esto, ¿no?

243
00:20:39,820 --> 00:20:43,019
Y en la Z es 3, 1, 2 y 3.

244
00:20:43,759 --> 00:20:45,600
Entonces, ¿cómo se dibuja esto?

245
00:20:46,320 --> 00:20:50,740
Pues yo todo esto de aquí lo tengo que levantar 3 unidades.

246
00:20:53,560 --> 00:20:55,440
Esto lo levanto 3 unidades,

247
00:20:55,440 --> 00:20:57,600
lo levanto tres unidades

248
00:20:57,600 --> 00:20:59,660
y se forma un parámetro

249
00:20:59,660 --> 00:21:00,559
de piper, ¿sí?

250
00:21:01,180 --> 00:21:03,559
Bueno, pues gráficamente el vector

251
00:21:03,559 --> 00:21:05,420
1, 2, 3 es el que

252
00:21:05,420 --> 00:21:07,420
empieza aquí, en el origen, y

253
00:21:07,420 --> 00:21:08,240
termina aquí.

254
00:21:09,960 --> 00:21:10,980
Sería como la diagonal,

255
00:21:11,340 --> 00:21:12,660
el opuesto del origen, ¿sí?

256
00:21:13,120 --> 00:21:15,120
Por ejemplo, los que estáis en clase,

257
00:21:15,580 --> 00:21:16,680
si ese es el origen, ¿no?

258
00:21:17,160 --> 00:21:19,440
El vector A más B

259
00:21:19,440 --> 00:21:21,660
más C es el que en esa esquina

260
00:21:21,660 --> 00:21:22,600
va a estar ahí,

261
00:21:23,120 --> 00:21:24,100
en la opuesta, ¿sí?

262
00:21:24,100 --> 00:21:26,360
esto gráficamente

263
00:21:26,360 --> 00:21:28,280
hay muchas cosas que haremos el esquema

264
00:21:28,280 --> 00:21:30,420
y nos basta

265
00:21:30,420 --> 00:21:32,220
pero bueno, esto

266
00:21:32,220 --> 00:21:34,120
sobre todo es ir entendiendo

267
00:21:34,120 --> 00:21:38,380
ir entendiendo para que

268
00:21:38,380 --> 00:21:40,000
luego cuando pintemos un esquema

269
00:21:40,000 --> 00:21:41,740
pues que sepamos que es lo que estamos haciendo

270
00:21:41,740 --> 00:21:44,280
bueno, y ahora vamos a la parte

271
00:21:44,280 --> 00:21:45,960
que en principio es la más sencilla

272
00:21:45,960 --> 00:21:48,160
porque esto además se supone que lo sabéis

273
00:21:48,160 --> 00:21:50,200
del año pasado, vemos que es una

274
00:21:50,200 --> 00:21:51,960
de las coordenadas de los vectores

275
00:21:54,100 --> 00:22:00,600
Que se suma el primero con el primero, el segundo con el segundo, y ahora como estamos en el espacio, el tercero con el tercero.

276
00:22:01,560 --> 00:22:03,300
Entonces, ¿cómo voy a escribir esto?

277
00:22:06,940 --> 00:22:21,040
Pues sería x1 más y1, más x2, perdón, y1 más y2.

278
00:22:21,039 --> 00:22:24,480
la X la sumo con la X, la Y con la Y

279
00:22:24,480 --> 00:22:25,539
y la Z con la Z

280
00:22:25,539 --> 00:22:30,480
¿Cómo multiplico un número

281
00:22:30,480 --> 00:22:33,680
por un vector? Pues supongo que os acordáis del año pasado

282
00:22:33,680 --> 00:22:36,680
que se hace coordenada, se multiplica

283
00:22:36,680 --> 00:22:38,039
cada coordenada por un número

284
00:22:38,039 --> 00:22:43,079
entonces esto, si quiero multiplicar

285
00:22:43,079 --> 00:22:44,839
este número por ese vector

286
00:22:44,839 --> 00:22:49,420
pues AX lo multiplico

287
00:22:49,420 --> 00:22:51,460
por A, ahí lo multiplico

288
00:22:51,460 --> 00:22:53,360
por A y aceptar lo multiplico

289
00:22:53,360 --> 00:22:53,759
por A.

290
00:22:55,440 --> 00:22:56,880
A mí me gusta

291
00:22:56,880 --> 00:22:59,039
distinguir puntos y rectas

292
00:22:59,039 --> 00:23:00,800
casi siempre. A veces se me escapa

293
00:23:00,800 --> 00:23:03,100
pero

294
00:23:03,100 --> 00:23:05,440
me gusta distinguir puntos y rectas

295
00:23:05,440 --> 00:23:07,000
poniendo el gorrito

296
00:23:07,000 --> 00:23:09,360
o no poniéndolo. Ahí, por ejemplo, se me ha escapado

297
00:23:09,360 --> 00:23:11,300
porque a la hora de escribir

298
00:23:11,300 --> 00:23:13,080
ecuaciones se tarda mucho

299
00:23:13,080 --> 00:23:15,340
y a veces uno

300
00:23:15,340 --> 00:23:17,200
simplifica. Bueno, entonces

301
00:23:17,200 --> 00:23:20,559
el siguiente ejercicio, que ya va a ser el primer

302
00:23:20,559 --> 00:23:23,620
os dice, expresa si es posible

303
00:23:23,620 --> 00:23:26,480
el vector u como combinación lineal

304
00:23:26,480 --> 00:23:27,580
de esos dos vectores

305
00:23:27,580 --> 00:23:31,840
para que sea combinación lineal

306
00:23:31,840 --> 00:23:35,420
el vector u, que es 1, 2, 1

307
00:23:35,420 --> 00:23:39,860
para que sea combinación lineal

308
00:23:39,860 --> 00:23:41,039
de esos dos vectores

309
00:23:41,039 --> 00:23:44,220
tendrá que ser un múltiplo del primero

310
00:23:44,220 --> 00:23:47,900
más

311
00:23:47,900 --> 00:23:49,839
un múltiplo del segundo

312
00:23:49,839 --> 00:23:55,680
tiene que ser suma

313
00:23:55,680 --> 00:23:57,779
de vectores proporcionales

314
00:23:57,779 --> 00:24:08,259
si, si, todos los vectores

315
00:24:08,259 --> 00:24:10,180
en tres dimensiones tienen tres coordenadas

316
00:24:10,180 --> 00:24:12,079
si hubiera alguna

317
00:24:12,079 --> 00:24:13,860
porque sea obvia una de ellas es que

318
00:24:13,860 --> 00:24:24,740
entonces cómo se hace esto pues de la siguiente forma como multiplico un número por un vector

319
00:24:27,100 --> 00:24:34,500
dos por a dos a y a por menos uno menos a como multiplico este vector pues 3 b

320
00:24:34,500 --> 00:24:36,980
B, 2B.

321
00:24:39,559 --> 00:24:40,079
Esto

322
00:24:40,079 --> 00:24:41,539
es

323
00:24:41,539 --> 00:24:44,759
operar con matrices filas.

324
00:24:44,900 --> 00:24:45,339
Si os fijáis,

325
00:24:46,640 --> 00:24:47,559
1, 2, 1

326
00:24:47,559 --> 00:24:50,480
y ahora, ¿cómo sumo vectores?

327
00:24:50,980 --> 00:24:52,460
El primero con el primero, ¿no?

328
00:24:52,740 --> 00:24:53,519
A más 3B.

329
00:24:56,000 --> 00:24:56,960
El segundo,

330
00:24:56,960 --> 00:24:58,059
2A más B

331
00:24:58,059 --> 00:25:01,000
y el tercero, menos A

332
00:25:01,000 --> 00:25:01,920
más 2B.

333
00:25:02,819 --> 00:25:04,059
Si esto

334
00:25:04,059 --> 00:25:05,659
tiene solución

335
00:25:05,659 --> 00:25:07,740
quiere decir que

336
00:25:07,740 --> 00:25:09,839
puedo expresar este vector

337
00:25:09,839 --> 00:25:11,639
como combinación lineal de estos dos

338
00:25:11,639 --> 00:25:14,099
eso querría decir que esos tres vectores

339
00:25:14,099 --> 00:25:15,319
son coplanarios

340
00:25:15,319 --> 00:25:17,980
si esto no tiene

341
00:25:17,980 --> 00:25:20,200
solución, no se puede poner

342
00:25:20,200 --> 00:25:22,159
uno como combinación lineal de los otros

343
00:25:22,159 --> 00:25:24,000
dos y los vectores no son

344
00:25:24,000 --> 00:25:24,599
coplanarios

345
00:25:24,599 --> 00:25:27,659
hay que hacer un pequeño matiz

346
00:25:27,659 --> 00:25:30,039
pero bueno, más o menos esa es la idea

347
00:25:30,039 --> 00:25:32,139
entonces, ¿cuándo dos vectores son

348
00:25:32,139 --> 00:25:33,859
iguales? pues cuando uno es igual

349
00:25:33,860 --> 00:25:45,480
a a más 3b, cuando 2 es igual a 2a más b y cuando 1 es igual a menos a más 2b.

350
00:25:47,940 --> 00:25:55,120
Bueno, entonces, ¿cómo hago esto? Yo lo haría por sustitución. a es igual a 1 menos 3b

351
00:25:55,120 --> 00:25:58,680
y sustituyo en los otros dos.

352
00:25:59,940 --> 00:26:05,380
2 es igual a 2 menos 6b más b.

353
00:26:06,320 --> 00:26:09,840
Y si sustituyo en el otro me queda 1 es igual a

354
00:26:09,840 --> 00:26:14,660
menos a sería menos 1 más 3b más 2b.

355
00:26:15,600 --> 00:26:20,840
De esta ecuación me queda este...

356
00:26:20,840 --> 00:26:22,380
Aquí falta una a, ¿no?

357
00:26:22,380 --> 00:26:36,400
Ah, no, no, no, no, no, porque es 2 por 1. No, es 2A y es 2 por 1 y 3 por menos 6.

358
00:26:36,400 --> 00:26:53,480
Entonces, aquí quedaría que 0 es igual a menos 5b, ¿no? Y aquí me quedaría que 2 es igual a 5b.

359
00:26:53,480 --> 00:27:14,579
Espero no haberme equivocado en las cuentas, pero 1 es igual a 3b, vale, 2 es igual a 2a más b y 1 es igual a menos a más 2b, ¿no?

360
00:27:14,579 --> 00:27:16,039
Bueno, ¿aquí qué sale?

361
00:27:17,460 --> 00:27:22,919
Que B vale 0 entre menos 5, que es 0.

362
00:27:23,619 --> 00:27:27,519
Y de aquí sale que B es 2 quintos.

363
00:27:28,899 --> 00:27:30,019
¿Esto qué quiere decir?

364
00:27:30,720 --> 00:27:32,500
Que es incompatible.

365
00:27:33,679 --> 00:27:42,699
Y si es incompatible, quiere decir que U no es combinación lineal.

366
00:27:44,579 --> 00:27:51,199
D, V y V2.

367
00:27:54,539 --> 00:27:59,659
No es exactamente que no sean coplanarios, porque hay que refinar una cosa con el rango,

368
00:27:59,839 --> 00:28:04,740
porque eso es muy de ayuda de los referentes interpersonales, pero por ahí van los tiros.

369
00:28:04,960 --> 00:28:10,879
No me voy a explicar más, porque me voy a ir por no extenderme.

370
00:28:11,359 --> 00:28:14,159
Bueno, entonces, sabemos operar con coplanadas, ¿no?

371
00:28:14,579 --> 00:28:17,980
Los vectores, sumar vectores y hay todas estas cosas, ¿no?

372
00:28:19,480 --> 00:28:24,559
Lo siguiente, que es extender el producto escalar a tres dimensiones.

373
00:28:25,079 --> 00:28:27,399
Esta es la definición de producto escalar.

374
00:28:29,099 --> 00:28:30,519
La ferométrica.

375
00:28:31,000 --> 00:28:34,500
El producto escalar de los vectores, en el libro pone un puntito,

376
00:28:34,679 --> 00:28:38,399
a mí me gustaría que pusierais este redondelito, porque este es el estándar.

377
00:28:38,659 --> 00:28:43,299
Esta es la notación, es internacional, y en el libro no sé si sale un punto que no está muy claro.

378
00:28:43,299 --> 00:28:44,319
Es un redondelito.

379
00:28:44,579 --> 00:29:05,599
Para luego no confundirnos las cosas, ¿sí? Entonces, el producto escalar es importante. Se llama escalar porque el resultado es un número, no es un vector. Y se obtiene, y la definición es que es el módulo del primero por el módulo del segundo por el coseno del ángulo que se suma.

380
00:29:05,600 --> 00:29:15,620
Pero su cálculo es como el del año pasado, ¿os acordáis? El primero se multiplica por el primero, el segundo por el segundo y el tercero por el tercero. Se suma y es el número que sale.

381
00:29:15,620 --> 00:29:25,480
Entonces, aquí, por ejemplo, ¿cómo se calcula el producto escalar de estos dos vectores?

382
00:29:26,380 --> 00:29:45,380
Pues sería 1 por 2, primero por el primero, más el segundo por el segundo, 3 por menos 1 y el tercero por el tercero, que sería más menos 2 por 3.

383
00:29:45,620 --> 00:29:51,280
esto es 2 menos 3

384
00:29:51,280 --> 00:29:52,480
menos 6

385
00:29:52,480 --> 00:29:54,740
y sale menos 7

386
00:29:54,740 --> 00:29:56,740
2

387
00:29:56,740 --> 00:29:59,060
menos 3 menos 1 menos 7

388
00:29:59,060 --> 00:30:01,460
insisto, un número

389
00:30:01,460 --> 00:30:03,360
¿sí? ¿qué significa

390
00:30:03,360 --> 00:30:05,220
ese número? el módulo de

391
00:30:05,220 --> 00:30:07,320
por el módulo de v por el coseno del ángulo

392
00:30:07,320 --> 00:30:07,880
que es a

393
00:30:07,880 --> 00:30:11,000
no me da más tiempo de aplicarlo

394
00:30:11,000 --> 00:30:11,540
a más

395
00:30:11,540 --> 00:30:14,720
bueno

396
00:30:14,720 --> 00:30:28,839
Es importante que miréis las propiedades. Sobre todo que sepáis que el producto escalar es conmutativo y que luego se puede operar, la propiedad distributiva se puede hacer y todas estas cosas.

397
00:30:28,839 --> 00:30:40,860
Lo miráis porque esas propiedades se aplican luego algebraicamente. Y ahora, aplicaciones del producto escalar. Esto lo tenéis en los resúmenes y lo tenéis grabado afuera.

398
00:30:40,860 --> 00:30:58,600
¿Sí? ¿Cómo se calcula un módulo de un vector? Pues, el módulo de un vector, el producto escalar es la raíz cuadrada de 1. Me voy a explicar, a ver, un poquito, aquí.

399
00:31:10,860 --> 00:31:28,800
Ahora, si yo hago u por u, un producto escalar por u, sé que es el módulo de u por el módulo de u por el coseno del ángulo que forma, ¿no?

400
00:31:29,620 --> 00:31:32,240
¿Qué ángulo forma una cosa consigo misma?

401
00:31:34,620 --> 00:31:35,520
Cero grados, ¿no?

402
00:31:36,140 --> 00:31:37,700
¿Y cuál es el coseno de cero?

403
00:31:40,860 --> 00:31:54,260
El coseno de cero es uno. Una cosa, en este tema la calculadora en grados, en el tema de análisis en radianes y en física supongo en radianes también.

404
00:31:54,799 --> 00:32:03,079
Bueno, o sea que U producto escalar U es igual al módulo de U por el módulo de V.

405
00:32:05,359 --> 00:32:11,599
Entonces, si veis, tomando la raíz cuadrada, el módulo de U es eso.

406
00:32:12,140 --> 00:32:19,079
En la práctica, y esto tomarlo en la práctica, esto os estoy explicando de dónde sale,

407
00:32:19,079 --> 00:32:23,700
pero ahora, en la práctica, ¿cómo se calcula el módulo de un vector?

408
00:32:24,259 --> 00:32:33,180
Pues haciendo el teorema de Pitágoras.

409
00:32:33,180 --> 00:32:41,539
Al hacer u por u, estáis multiplicando u1 por u1, u2 por u2 y u3 por u3.

410
00:32:43,400 --> 00:32:45,599
Entonces, al hacer la raíz cuadrada sale eso.

411
00:32:45,700 --> 00:32:48,700
En la práctica, tenerlo esto mecanizado porque se da la extensión.

412
00:32:49,519 --> 00:32:53,579
Ahora, ¿cómo se calcula un vector unitario con la misma dirección que u?

413
00:32:54,259 --> 00:33:03,440
Pues esto os lo he dicho al principio de la clase. Si yo tengo una cosa que mide 5 y la divido entre 5, lo que me sale tiene módulo 1.

414
00:33:03,440 --> 00:33:17,980
Hay otro que es menos 1 dividido por 1. O sea, que tenga la misma dirección sabéis que hay dos vectores, uno y el que tiene sentido opuesto.

415
00:33:17,980 --> 00:33:21,740
esto yo no lo uso mucho

416
00:33:21,740 --> 00:33:23,720
pero esto te deduce

417
00:33:23,720 --> 00:33:25,319
de las propiedades del producto escalar

418
00:33:25,319 --> 00:33:27,160
miradlo pero

419
00:33:27,160 --> 00:33:28,559
voy a priorizar

420
00:33:28,559 --> 00:33:32,019
y esto es lo importante

421
00:33:32,019 --> 00:33:36,000
esta es la definición

422
00:33:36,000 --> 00:33:37,700
de producto escalar despejando

423
00:33:37,700 --> 00:33:39,759
el producto escalar de dos

424
00:33:39,759 --> 00:33:41,860
vectores es módulo dv

425
00:33:41,860 --> 00:33:43,360
por el coseno del ángulo de forma

426
00:33:43,360 --> 00:33:45,839
si esto lo paso dividiendo

427
00:33:45,839 --> 00:33:46,819
me sale esta forma

428
00:33:46,819 --> 00:34:05,579
Y esta es la que vamos a usar con vectores. Por cierto, los vectores pueden tener o este ángulo o este ángulo. Cuando lo hagáis siempre vais a hacer el ángulo a 1, porque en la calculadora sale el ángulo a 1.

429
00:34:05,580 --> 00:34:23,820
Y ahora, ¿cuál es el coseno de 90 grados? Cero. Lo podéis hacer con la calculadora. Bueno, pues dos vectores son perpendiculares e importantísimo si su producto escalar es cero.

430
00:34:23,820 --> 00:34:37,000
Y esto también, como visteis en el curso pasado, no quiero detenerme por intentar poder explicar un poco de todo, pero vamos, esto es lo que tenéis que saber a la hora de hacer problemas.

431
00:34:37,680 --> 00:34:45,500
Entonces, vamos a hacer algún ejemplo sencillo. Y esto os digo, tenéis que tenerlo lo más mecanizado posible.

432
00:34:45,500 --> 00:34:51,420
voy a hacer estos dos ejercicios

433
00:34:51,420 --> 00:34:53,860
como veis tenéis ahí actividades propuestas

434
00:34:53,860 --> 00:35:01,760
¿qué es? a ver, ¿cómo se calcula

435
00:35:01,760 --> 00:35:04,079
un vector unitario paralelo a este?

436
00:35:05,000 --> 00:35:08,480
pues ¿qué tengo que hacer? saber cuánto mide

437
00:35:08,480 --> 00:35:12,900
¿sí? y esto es la raíz cuadrada b

438
00:35:12,900 --> 00:35:16,039
1 al cuadrado más menos 1 al cuadrado

439
00:35:16,039 --> 00:35:17,360
más 2 al cuadrado

440
00:35:17,360 --> 00:35:19,900
veis que esto ya lo digo automático

441
00:35:19,900 --> 00:35:24,079
si quieres que repita algo

442
00:35:24,079 --> 00:35:27,559
a ver, hay gente que se entretiene en hacer lo siguiente

443
00:35:27,559 --> 00:35:30,460
el módulo de un vector es la raíz

444
00:35:30,460 --> 00:35:31,400
de u por 1

445
00:35:31,400 --> 00:35:36,019
de u por 1, esto es la raíz

446
00:35:36,019 --> 00:35:38,920
de 1 menos 1

447
00:35:38,920 --> 00:35:41,539
2, producto escalar

448
00:35:41,539 --> 00:35:43,900
1, menos 1, 2, ¿sí?

449
00:35:46,300 --> 00:35:47,579
Y esto que va a salir

450
00:35:47,579 --> 00:35:50,519
1 por 1, 1 al cuadrado, menos 1 por menos 1,

451
00:35:50,599 --> 00:35:52,840
menos 1 al cuadrado, y 2 por 2, 2 al cuadrado.

452
00:35:53,539 --> 00:35:55,820
Yo creo que si lo tenéis así mecanizado, mejor.

453
00:35:56,860 --> 00:35:59,599
¿Sí? U de L significa unidades de longitud.

454
00:36:01,639 --> 00:36:02,320
Y ahora,

455
00:36:02,779 --> 00:36:05,099
¿cuál va a ser el vector que me pide?

456
00:36:07,400 --> 00:36:07,880
Pues

457
00:36:07,880 --> 00:36:10,199
el vector

458
00:36:10,199 --> 00:36:12,980
unitario

459
00:36:12,980 --> 00:36:14,879
es

460
00:36:14,879 --> 00:36:18,039
1 menos 1, 2

461
00:36:18,039 --> 00:36:20,739
partido por la raíz de 6.

462
00:36:22,419 --> 00:36:23,799
¿Esto cómo se come?

463
00:36:24,219 --> 00:36:26,759
Pues se pone 1 partido por raíz de 6

464
00:36:26,759 --> 00:36:30,799
menos 1 partido por raíz de 6

465
00:36:30,799 --> 00:36:33,460
2 partido por raíz de 6.

466
00:36:33,859 --> 00:36:35,879
Si alguien quiere racionalizar, mejor.

467
00:36:35,879 --> 00:36:37,259
Pero esto no es lo que voy a pedir.

468
00:36:37,719 --> 00:36:39,359
Ya las rutas tienen bastante.

469
00:36:40,200 --> 00:36:47,400
y ahora el otro ejercicio

470
00:36:47,400 --> 00:36:50,040
uno va de módulos y este va de ángulos

471
00:36:50,040 --> 00:36:51,660
¿son perpendiculares

472
00:36:51,660 --> 00:36:52,760
estos dos vectores?

473
00:36:53,940 --> 00:36:54,820
yo sé que

474
00:36:54,820 --> 00:36:57,200
u y v

475
00:36:57,200 --> 00:36:58,640
son perpendiculares

476
00:36:58,640 --> 00:37:01,700
si su producto

477
00:37:01,700 --> 00:37:02,540
escalar es cero

478
00:37:02,540 --> 00:37:05,500
pues voy a ver que ocurre

479
00:37:05,500 --> 00:37:07,800
¿cómo calculo este producto

480
00:37:07,800 --> 00:37:08,240
escalar?

481
00:37:10,200 --> 00:37:16,800
1 por 3

482
00:37:16,800 --> 00:37:19,840
1 por 3 más

483
00:37:19,840 --> 00:37:22,120
menos 1 por menos 1

484
00:37:22,120 --> 00:37:26,120
más 2 por 2

485
00:37:26,120 --> 00:37:30,600
¿y qué sale? 4, 5

486
00:37:30,600 --> 00:37:31,240
sale 9

487
00:37:31,240 --> 00:37:36,600
3 más 2, 5 más 4

488
00:37:36,600 --> 00:37:38,360
son perpendiculares

489
00:37:38,360 --> 00:37:43,160
no son

490
00:37:43,160 --> 00:37:45,079
perpendiculares

491
00:37:45,079 --> 00:37:49,340
¿y ahora cuál es el ángulo que forman?

492
00:37:50,559 --> 00:37:51,360
pues

493
00:37:51,360 --> 00:37:53,140
yo sé que el coseno

494
00:37:53,140 --> 00:37:55,280
del ángulo que forman

495
00:37:55,280 --> 00:37:58,400
¿os acordáis cómo era?

496
00:37:59,539 --> 00:38:00,780
producto escalar

497
00:38:00,780 --> 00:38:01,800
partido por

498
00:38:01,800 --> 00:38:03,820
sus módulos

499
00:38:03,820 --> 00:38:05,480
el producto de sus módulos

500
00:38:05,480 --> 00:38:12,360
el producto escalar lo acabo de calcular

501
00:38:12,360 --> 00:38:13,119
que vale 9

502
00:38:13,119 --> 00:38:16,440
el módulo de u

503
00:38:16,440 --> 00:38:19,699
es

504
00:38:19,699 --> 00:38:22,519
lo he calculado aquí, es este vector

505
00:38:22,519 --> 00:38:24,659
pues ya directamente

506
00:38:24,659 --> 00:38:26,619
sé que vale raíz de 6

507
00:38:26,619 --> 00:38:30,119
y el módulo de v

508
00:38:30,119 --> 00:38:31,079
es

509
00:38:31,079 --> 00:38:34,360
es raíz cuadrada

510
00:38:34,360 --> 00:38:36,059
de 3 al cuadrado

511
00:38:36,059 --> 00:38:38,280
más menos 1 al cuadrado

512
00:38:38,280 --> 00:38:39,300
más 2 al cuadrado.

513
00:38:39,940 --> 00:38:42,599
Y esto sale 14, me parece, ¿no?

514
00:38:43,980 --> 00:38:44,760
Raíz de 14.

515
00:38:45,780 --> 00:38:47,960
Pues 6, raíz de 6

516
00:38:47,960 --> 00:38:49,420
por raíz de 14.

517
00:38:50,519 --> 00:38:52,760
Y ahora es donde interviene la calculadora.

518
00:38:53,140 --> 00:38:54,300
¿Sabéis qué tenéis que hacer?

519
00:38:55,280 --> 00:38:56,740
El ángulo que forma

520
00:38:56,740 --> 00:38:57,780
u y v

521
00:38:57,780 --> 00:39:01,920
¿Sabéis qué tenéis que hacer de esto?

522
00:39:02,039 --> 00:39:02,860
Sif coseno, ¿no?

523
00:39:02,860 --> 00:39:06,880
de esto.

524
00:39:07,400 --> 00:39:10,920
Cuidado que os tiene que salir lo mismo que a mí

525
00:39:10,920 --> 00:39:14,599
hacerlo con calculadora o la vuestra, porque

526
00:39:14,599 --> 00:39:17,740
no sale lo mismo es que no habéis metido bien los paréntesis.

527
00:39:19,900 --> 00:39:21,180
Me voy a la calculadora

528
00:39:21,180 --> 00:39:29,260
y le doy, a ver,

529
00:39:29,260 --> 00:39:33,920
A ver, sí, coseno, abro paréntesis, bueno, aquí ya lo abrí.

530
00:39:34,360 --> 00:39:36,180
Aquí me da la fracción, ¿sí?

531
00:39:37,340 --> 00:39:41,000
Sí, coseno, a ver.

532
00:39:43,420 --> 00:39:45,260
A ver, la función...

533
00:39:45,840 --> 00:39:52,520
Efectivamente, es la función inversa, no es uno partido por coseno.

534
00:39:53,240 --> 00:39:55,480
Entonces, míralo con tu calculadora, Lisbeth,

535
00:39:55,480 --> 00:39:58,660
porque aquí tienes que poner unos paréntesis en el denominador.

536
00:39:59,260 --> 00:40:12,560
En esta no hace falta. Aquí pongo 9 y abajo pongo raíz de 6 por, esto es más incómodo, raíz de 14.

537
00:40:12,560 --> 00:40:26,940
Raíz de 14 y sale 10,89. No me he fijado, ¿estaba la calculadora en grados?

538
00:40:29,260 --> 00:40:45,580
Pues, a ver, en la tuya es con el mode, me parece. Aquí hay que darle así, mode, y hay que darle al 3.

539
00:40:59,260 --> 00:41:15,940
Bueno, entonces, me sale esto, ¿sí?

540
00:41:16,660 --> 00:41:18,760
¿Cómo lo aproximo? Pues a grados.

541
00:41:18,860 --> 00:41:22,320
10,89, pues aproximadamente serían 11 grados, ¿no?

542
00:41:24,260 --> 00:41:25,260
11 grados.

543
00:41:25,260 --> 00:41:28,740
A mí con que me lo regaléis a grado, basta.

544
00:41:29,260 --> 00:41:40,060
Bueno, pero eso, asegurar siempre que la calculadora está en grados, en DEG.

545
00:41:45,660 --> 00:41:55,980
Pues nos vamos aquí, porque creo que nos queda el producto vectorial y aunque sea muy rápido, intento darlo todo ahí.

546
00:41:55,980 --> 00:42:13,639
Bueno, el producto vectorial de dos vectores, como dice su nombre, su resultado es un vector.

547
00:42:14,420 --> 00:42:21,240
Se pone con aspa, ¿sí? Con la multiplicación de cuando estábamos en primaria, ¿sí?

548
00:42:21,240 --> 00:42:33,960
Y ahora, su módulo. Esto no va a ser importante salvo para los que veis física. El módulo del producto vectorial es el producto de los módulos en vez de por el seno, de por el coseno por el seno.

549
00:42:35,040 --> 00:42:50,580
La dirección. La dirección está muy bien porque es perpendicular a los dos. Eso lo veis espacialmente. En un plano, yo si tengo dos vectores, no hay ninguno perpendicular porque se tiene que salir de ese plano, pero en el espacio sí.

550
00:42:51,240 --> 00:43:00,300
Entonces, es perpendicular a los dos vectores. Si yo alguna vez necesito calcular un vector perpendicular a dos vectores, hago un producto vectorial y ya está.

551
00:43:01,260 --> 00:43:11,820
Bueno, la regla de sacacorchos, la que os la expliquen en física, porque no quiero mezclar una cosa con otra y en las temáticas no... O sea, lo que me interesa a mí es que es perpendicular a dos vectores, ¿no?

552
00:43:11,820 --> 00:43:26,480
Entonces, ¿cómo se calcula? Yo lo calculo así, pero en el libro lo calcula de otra forma. Yo os voy a explicar las dos formas y vosotros elegís la que más os guste.

553
00:43:26,480 --> 00:43:43,860
Si os acordáis de determinantes, esto, si yo lo desarrollo por la primera fila, os acordáis que esto era más, menos, más, ¿no?

554
00:43:43,860 --> 00:44:12,260
Pues si yo desarrollo esto sería I multiplicado por el determinante pequeñito que me queda U2, U3, V2, V3, más, no, más no, menos J multiplicado por su menor complementario que sería U1, U3, V1, V3 y más K.

555
00:44:13,860 --> 00:44:18,980
multiplicado por su

556
00:44:18,980 --> 00:44:21,420
sumador complementario que es

557
00:44:21,420 --> 00:44:23,640
U1, U2, V1, V2.

558
00:44:24,740 --> 00:44:25,760
Cada uno que lo haga

559
00:44:25,760 --> 00:44:27,300
como quiera. Yo no diría

560
00:44:27,300 --> 00:44:29,960
que hay una forma mejor y otra

561
00:44:29,960 --> 00:44:30,260
peor.

562
00:44:31,200 --> 00:44:33,960
Las propiedades las reviséis vosotros.

563
00:44:34,640 --> 00:44:35,559
Es muy importante

564
00:44:35,559 --> 00:44:37,559
que el producto vectorial es anticomutativo.

565
00:44:39,320 --> 00:44:39,960
Es una propiedad

566
00:44:39,960 --> 00:44:41,700
muy rara. En vez de ser

567
00:44:41,700 --> 00:44:43,340
U por U de igual a V por U es

568
00:44:43,340 --> 00:44:45,160
menos v por u. Eso

569
00:44:45,160 --> 00:44:47,400
está producido por esto del sentido

570
00:44:47,400 --> 00:44:49,059
la regla de Sarkozy, ¿no?

571
00:44:49,120 --> 00:44:51,120
Que se mide en un sentido o en el otro.

572
00:44:52,420 --> 00:44:52,620
Pero

573
00:44:52,620 --> 00:44:55,640
bueno,

574
00:44:55,940 --> 00:44:56,539
entonces

575
00:44:56,539 --> 00:45:01,760
¿qué os he dicho?

576
00:45:01,980 --> 00:45:03,360
Bueno, el producto vectorial

577
00:45:03,360 --> 00:45:05,140
se calcula así. Yo lo voy a hacer con el

578
00:45:05,140 --> 00:45:07,180
determinante en clase, salvo que me digáis

579
00:45:07,180 --> 00:45:08,900
que lo haga siempre de la otra forma.

580
00:45:09,920 --> 00:45:11,340
Y vamos a

581
00:45:11,340 --> 00:45:13,180
ver para qué

582
00:45:13,179 --> 00:45:18,500
se utiliza. Aquí la clase de hoy es producto escala al producto vectorial y para que se

583
00:45:18,500 --> 00:45:25,039
utilice, que lo tengáis clarísimo. Bueno, entonces, primera aplicación del producto

584
00:45:25,039 --> 00:45:36,259
vectorial, pues si yo quiero calcular un vector que sea perpendicular a otros dos, pues un

585
00:45:36,260 --> 00:45:37,820
vector perpendicular a otros dos

586
00:45:37,820 --> 00:45:39,640
entonces calculo el vector

587
00:45:39,640 --> 00:45:43,980
el vector perpendicular

588
00:45:43,980 --> 00:45:46,920
se me ha ido un poco la gata

589
00:45:46,920 --> 00:45:48,120
no se me ha ido el pie dicho

590
00:45:48,120 --> 00:45:53,820
os dicen

591
00:45:53,820 --> 00:45:55,460
calcula un vector perpendicular

592
00:45:55,460 --> 00:45:56,460
y unitar

593
00:45:56,460 --> 00:45:59,120
entonces primero voy a hacer un vector

594
00:45:59,120 --> 00:45:59,840
perpendicular

595
00:45:59,840 --> 00:46:10,380
es que en dos dimensiones

596
00:46:10,380 --> 00:46:12,100
no es lo mismo, es que aquí

597
00:46:12,100 --> 00:46:14,320
como son, el vector

598
00:46:14,320 --> 00:46:16,180
perpendicular a b es menos b a

599
00:46:16,180 --> 00:46:17,640
pero es que aquí hay tres coordenadas

600
00:46:17,640 --> 00:46:20,100
de tal forma que esto hay que hacerlo con

601
00:46:20,100 --> 00:46:21,100
producto vectorial

602
00:46:21,100 --> 00:46:23,920
bueno, pues un vector perpendicular

603
00:46:23,920 --> 00:46:25,800
un vector

604
00:46:25,800 --> 00:46:27,420
perpendicular

605
00:46:27,420 --> 00:46:32,800
a u y v

606
00:46:32,800 --> 00:46:35,860
como es

607
00:46:35,860 --> 00:46:40,559
un producto vectorial v. ¿Cómo calculo esto?

608
00:46:41,340 --> 00:46:42,860
Pues ijk

609
00:46:42,860 --> 00:46:47,800
1, 2, 1, 1, 2, menos i.

610
00:46:51,659 --> 00:46:53,119
Se hace con ese determinante.

611
00:46:53,599 --> 00:46:56,079
Entonces esto sería menos 2i

612
00:46:56,079 --> 00:46:57,460
más J

613
00:46:57,460 --> 00:46:59,880
más 2K

614
00:46:59,880 --> 00:47:02,360
y ahora cambiando el signo

615
00:47:02,360 --> 00:47:03,880
menos 2K

616
00:47:03,880 --> 00:47:06,920
menos 2I

617
00:47:06,920 --> 00:47:09,920
más J

618
00:47:09,920 --> 00:47:13,259
y a grupo me queda

619
00:47:13,259 --> 00:47:15,840
menos 4I

620
00:47:15,840 --> 00:47:19,079
más 2J

621
00:47:19,079 --> 00:47:21,480
y las K se van

622
00:47:21,480 --> 00:47:23,980
o sea que será el vector

623
00:47:23,980 --> 00:47:25,699
menos 4, 2, 0

624
00:47:26,079 --> 00:47:30,239
Pues yo sé que este vector, si hago producto escalar con este y con este, me sale.

625
00:47:31,079 --> 00:47:32,739
Con los dos al mismo tiempo.

626
00:47:33,659 --> 00:47:40,319
Este es u, este es v, pues este es el vector perpendicular común que es u por u.

627
00:47:42,239 --> 00:47:46,039
Para hacer un vector perpendicular lo hacéis así.

628
00:47:46,420 --> 00:47:49,920
Se podría hacer resolviendo un sistema A y luego segunda parte.

629
00:47:49,920 --> 00:47:53,699
Nos dice que sea unitario.

630
00:47:53,700 --> 00:48:11,480
¿Qué tengo que hacer para que sea unitario? Tengo que calcular su módulo. ¿Cómo se hace su módulo? La raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado más 3 al cuadrado más 3 al cuadrado. Esto sale en la raíz de 20.

631
00:48:11,480 --> 00:48:29,920
Pues ese vector que es unitario y perpendicular a estos dos será menos 4 partido por raíz de 20, 2 partido por raíz de 20, 0 partido por raíz de 20. Este es el vector unitario.

632
00:48:29,920 --> 00:48:32,940
Y si queréis otro, es este mismo cambiado.

633
00:48:34,599 --> 00:48:35,220
¿Vale?

634
00:48:36,380 --> 00:48:38,700
Y creo que ya es lo último.

635
00:48:39,420 --> 00:48:40,920
Si no es lo último...

636
00:48:42,579 --> 00:48:44,220
A ver, sí.

637
00:48:44,920 --> 00:48:45,200
Vale.

638
00:48:47,619 --> 00:48:47,920
Vale.

639
00:48:48,639 --> 00:48:54,740
Y lo último, que es muy importante, es que si los doctores no están alineados,

640
00:48:54,740 --> 00:48:57,300
el área del paralelo

641
00:48:57,300 --> 00:48:59,100
lo que forman es el módulo

642
00:48:59,100 --> 00:49:01,180
del producto vectorial, esto lo tenéis

643
00:49:01,180 --> 00:49:01,960
en el resumen

644
00:49:01,960 --> 00:49:05,000
esto es importantísimo porque es la

645
00:49:05,000 --> 00:49:06,940
programa de aplicación del producto vectorial

646
00:49:06,940 --> 00:49:08,740
bueno, me queda el volumen también

647
00:49:08,740 --> 00:49:09,740
entonces

648
00:49:09,740 --> 00:49:12,620
yo quiero calcular

649
00:49:12,620 --> 00:49:15,120
el área

650
00:49:15,120 --> 00:49:16,900
del triángulo

651
00:49:16,900 --> 00:49:18,460
cuyos lados son estos

652
00:49:24,740 --> 00:49:28,940
Tengo un y un.

653
00:49:31,440 --> 00:49:38,380
Este es el paralelogramo y este área es el módulo del conjunto vectorial.

654
00:49:40,260 --> 00:49:42,960
Este es el vector que nos ha salido antes, ¿verdad?

655
00:49:45,720 --> 00:49:47,300
Sí, ese sí.

656
00:49:49,300 --> 00:49:54,280
A ver, 1, 2, 1, 1, 2, menos 1.

657
00:49:54,740 --> 00:50:00,460
Sí, 1, 2, 9 es el mismo, ¿no?

658
00:50:00,680 --> 00:50:04,080
Bueno, entonces, voy a aprovechar el resultado porque esto ya sé que vale.

659
00:50:04,340 --> 00:50:05,680
¿Cuánto vale? ¿Lo tenéis apuntado?

660
00:50:08,780 --> 00:50:11,160
¿Qué era? ¿2, 4, 0 o algo así?

661
00:50:11,720 --> 00:50:12,320
No, 4.

662
00:50:15,840 --> 00:50:17,040
No lo tenéis apuntado.

663
00:50:18,360 --> 00:50:20,420
Es menos 4, 2, 0, ¿no?

664
00:50:20,420 --> 00:50:25,079
menos 4, 2, 0

665
00:50:25,079 --> 00:50:29,599
pues el área del paralelogramo

666
00:50:29,599 --> 00:50:33,079
es la raíz cuadrada

667
00:50:33,079 --> 00:50:35,180
de menos 4 al cuadrado

668
00:50:35,180 --> 00:50:37,539
más 2 al cuadrado más 0 al cuadrado

669
00:50:37,539 --> 00:50:39,639
que si os acordáis era raíz de 20

670
00:50:39,639 --> 00:50:42,619
y ahora como me pide el área del triángulo

671
00:50:42,619 --> 00:50:43,380
¿qué tengo que hacer?

672
00:50:48,099 --> 00:50:49,320
dividirlo entre 2

673
00:50:49,320 --> 00:50:51,220
bueno pues esto

674
00:50:51,220 --> 00:50:53,200
o lo dejáis así o si queréis

675
00:50:53,200 --> 00:50:55,600
racionalizado esto queda a raíz de 5

676
00:50:55,600 --> 00:50:57,440
unidades de superficie

677
00:50:57,440 --> 00:51:01,960
y queda otra cosa

678
00:51:01,960 --> 00:51:05,059
que os la voy a dar

679
00:51:05,059 --> 00:51:07,559
porque es muy

680
00:51:07,559 --> 00:51:08,200
rapidita

681
00:51:08,200 --> 00:51:11,280
que

682
00:51:11,280 --> 00:51:13,539
si tenéis 3 vectores

683
00:51:13,539 --> 00:51:17,420
esto es lo que se llama el producto

684
00:51:17,420 --> 00:51:18,220
mixto

685
00:51:19,320 --> 00:51:35,700
El producto mixto es el producto escalar de un vector con el producto vectorial de los otros dos. Pero en la práctica tenéis que hacer el determinante. Entonces, pues lo voy a hacer muy rapidito porque esto es importante.

686
00:51:35,700 --> 00:51:58,260
¿Sí? Buenas. A ver. A ver, os pide, calcula el volumen del tetraedro. Bueno, ¿sabéis que un tetraedro es la sexta parte de un paralelepípedo?

687
00:51:58,260 --> 00:52:02,560
esto miradlo en los apuntes

688
00:52:02,560 --> 00:52:04,220
porque está explicado en algún momento

689
00:52:04,220 --> 00:52:06,520
bueno, pues si yo quiero hacer

690
00:52:06,520 --> 00:52:08,500
el volumen del paralel

691
00:52:08,500 --> 00:52:09,100
epípedo

692
00:52:09,100 --> 00:52:14,640
calculo

693
00:52:14,640 --> 00:52:16,400
el producto mixto

694
00:52:16,400 --> 00:52:17,780
que se escribe así

695
00:52:17,780 --> 00:52:18,440
uv

696
00:52:18,440 --> 00:52:22,300
calculo el determinante

697
00:52:22,300 --> 00:52:23,540
1, 2, 1

698
00:52:23,540 --> 00:52:25,200
1, 2, menos 1

699
00:52:25,200 --> 00:52:26,560
2, 1, 1

700
00:52:26,559 --> 00:52:45,360
¿Sí? ¿Sí? Calculo su valor absoluto, porque este determinante puede ser negativo, ¿no? El volumen va a ser, el volumen del tetraedro es la sexta par.

701
00:52:45,360 --> 00:52:48,160
miradlo porque es una cuenta

702
00:52:48,160 --> 00:52:49,740
es una cuenta

703
00:52:49,740 --> 00:52:51,519
simplemente

704
00:52:51,519 --> 00:52:55,720
no se divide entre 6

705
00:52:55,720 --> 00:52:58,680
porque el paralelepípedo es la figura recta

706
00:52:58,680 --> 00:53:00,099
y la figura con pico

707
00:53:00,099 --> 00:53:01,380
se divide entre 3

708
00:53:01,380 --> 00:53:04,099
pero como además la base es la mitad

709
00:53:04,099 --> 00:53:06,160
se divide entre 6

710
00:53:06,160 --> 00:53:08,160
eso miradlo si tenéis cualquier duda

711
00:53:08,160 --> 00:53:10,320
me lo decís y si no lo intento

712
00:53:10,320 --> 00:53:11,920
explicar con más tiempo

713
00:53:11,920 --> 00:53:14,440
si lo tengo en la clase del jueves

714
00:53:14,440 --> 00:53:34,200
Pero vamos, esto lo podéis mirar porque lo tenéis en los tutoriales. Una cosa, en geometría hay muchos tutoriales que conviene que los veáis. Que hagáis los resúmenes, que hagáis los resúmenes, si os fijáis, tenéis nueve tutoriales.

715
00:53:34,200 --> 00:53:36,780
pueden ser dos horas de tutoriales

716
00:53:36,780 --> 00:53:38,840
¿sí? pero viene muy bien

717
00:53:38,840 --> 00:53:40,480
que veáis todos los casos

718
00:53:40,480 --> 00:53:40,860
¿vale?

719
00:53:42,120 --> 00:53:44,600
el video 9 por ejemplo también es un poco

720
00:53:44,600 --> 00:53:45,760
más especializado

721
00:53:45,760 --> 00:53:50,780
pues nada, pues muchas gracias

722
00:53:50,780 --> 00:53:52,220
por venir siempre

723
00:53:52,220 --> 00:53:54,900
y recordad

724
00:53:54,900 --> 00:53:56,520
que tenemos tutoriales en la página

725
00:53:56,520 --> 00:54:00,560
una de ellas es hoy precisamente

726
00:54:00,559 --> 00:54:04,320
entonces voy a

727
00:54:04,320 --> 00:54:06,139
terminar la oración, hasta luego