1
00:00:23,670 --> 00:00:28,309
Hola a todos y todas, vamos con la corrección de la hoja de ejercicios de logaritmos

2
00:00:28,309 --> 00:00:32,710
y bueno, empezamos con el ejercicio número 1, en el que me piden que usando la definición

3
00:00:32,710 --> 00:00:34,530
determine el valor de sus logaritmos.

4
00:00:35,049 --> 00:00:38,210
Antes de empezar tengo que tener bien claro cuál es la definición de logaritmo

5
00:00:38,210 --> 00:00:46,009
y es que el logaritmo en base a de b es c, si se cumple que a elevado a c es b.

6
00:00:46,729 --> 00:00:49,310
Algunos diréis, vale, pero es que aquí no aparece el a.

7
00:00:49,310 --> 00:00:57,090
Bueno, si no aparece la a es porque estoy trabajando con un logaritmo en base 10, porque le dimos un logaritmo decimal.

8
00:00:58,469 --> 00:01:07,590
Teniendo esto en cuenta, es muy sencillo, porque simplemente lo que busco es que 10 elevado a x sea igual a 1000.

9
00:01:08,730 --> 00:01:13,530
Pues está clarísimo que en este caso la x es 3 porque 10 al cubo es 1000.

10
00:01:13,930 --> 00:01:18,689
Del mismo modo, en el apartado de b buscaré que 10 elevado a x sea 100.000.

11
00:01:21,069 --> 00:01:26,109
Por lo tanto, la x en este caso será 5, porque 10 a la quinta es 100.000.

12
00:01:26,890 --> 00:01:32,909
El apartado C puede parecer un poco más complicado, pero tened en cuenta que 0,1 es un décimo.

13
00:01:34,269 --> 00:01:36,409
O lo que leímos, esto es 10 elevado a menos 1.

14
00:01:37,109 --> 00:01:42,329
Con lo cual, esto se traduce en que 10 elevado a algo tiene que ser 10 elevado a menos 1.

15
00:01:42,709 --> 00:01:46,469
Pues está claro que en ese caso la x es menos 1.

16
00:01:46,469 --> 00:02:06,859
Algo similar ocurre en el apartado D. 0,0001 es 1 partido de 10.000, o lo que es lo mismo 1 partido de 10 a la cuarta, o lo que es lo mismo otra vez 10 a la menos 4.

17
00:02:06,859 --> 00:02:16,039
por tanto 10 elevado a x es igual a 10 a la menos 4 con lo que x es menos 4

18
00:02:16,039 --> 00:02:25,840
el apartado e es similar porque 1 partido de 100 es lo mismo que 1 partido de 10 al cuadrado

19
00:02:25,840 --> 00:02:31,219
es decir 10 a la menos 2 con lo que se obtiene ya veis que la x es menos 2

20
00:02:31,219 --> 00:02:48,860
O en el último apartado, en el f, como 1 partido de 10.000 es lo mismo que 10 a la menos 4, obtienes que la x en este caso es menos 4.

21
00:02:50,120 --> 00:02:58,400
¿Entendido? Pues si es así y lo habéis entendido, estoy convencido de que el ejercicio 2 será igual de fácil.

22
00:02:58,400 --> 00:03:09,860
Vuelvo a poner por aquí arriba la definición, recuerdo, logaritmo en base a de b es c, si se cumple que a elevado a c es b, pues aquí lo tenemos, ¿no?

23
00:03:09,860 --> 00:03:28,219
Bueno, 6 elevado a x es 216, bueno, pues 6 por 6 son 36, 36 por 6 son 216, es decir, que esto es 3.

24
00:03:29,120 --> 00:03:36,580
Aquí voy a dejar el hueco para luego poner el resultado, pero el proceso es el mismo, 3 elevado a x es 729.

25
00:03:36,580 --> 00:03:52,580
Pues a ver, 3 por 3, 81. Perdón, 3 por 3, 9. Por 3, 27. Por 3, 81. Por 3, 243. Por 3, de nuevo, son 729.

26
00:03:53,120 --> 00:03:59,020
Es decir, que en este caso, lo que estoy buscando es aquí un 6.

27
00:03:59,020 --> 00:04:08,340
en el apartado C 11 elevado a X es 121 es aún más fácil porque está claro que la X es 2

28
00:04:08,340 --> 00:04:23,800
en el apartado D vamos a verlo 4 por 4 es 16, 16 por 4 son 64, 64 por 4 son 256

29
00:04:23,800 --> 00:04:32,339
1096 por 4 son 1024 y por 4 son 1026, perdón, 4096.

30
00:04:33,040 --> 00:04:39,279
Es decir, que lo que he sacado aquí es que otra vez este valor es 6.

31
00:04:40,519 --> 00:04:48,339
De un modo similar se obtiene que 2 elevado a 9 son 512, por tanto, esto es 9.

32
00:04:48,339 --> 00:05:02,180
En el F, cuidado, 13 elevado a algo tiene que ser 1, pues está claro que este algo tiene que ser 0, porque cualquier potencia de base 0, ¿vale?

33
00:05:02,759 --> 00:05:09,699
Perdón, cualquier potencia con base distinta a 0 y exponente 0 es igual a 1, vamos, que esto es 0.

34
00:05:09,699 --> 00:05:15,240
aquí lo que yo tengo es que 5 a la cuarta son 625

35
00:05:15,240 --> 00:05:18,860
por lo que tanto esto es 4

36
00:05:18,860 --> 00:05:22,220
y la última, vamos a ir con cuidado

37
00:05:22,220 --> 00:05:31,430
0.25 es 25 partido de 100

38
00:05:31,430 --> 00:05:34,209
por lo que lo mismo es 1 cuarto

39
00:05:34,209 --> 00:05:37,949
por lo que lo mismo esto es 2 a la menos 2

40
00:05:37,949 --> 00:05:40,189
por lo tanto el logaritmo que estoy buscando

41
00:05:40,189 --> 00:05:46,610
el logaritmo en base 2 de 0 a 25 es menos 2.

42
00:05:47,629 --> 00:05:48,290
Fácil, ¿no?

43
00:05:50,399 --> 00:05:51,759
Pues seguimos con el 3.

44
00:05:52,959 --> 00:05:55,439
Mira, el logaritmo en base 2 de 2 es 1

45
00:05:55,439 --> 00:05:58,040
y el logaritmo en base 2 de 4 es 2.

46
00:05:59,060 --> 00:06:01,180
El logaritmo en base 2 de 8 es 3

47
00:06:01,180 --> 00:06:02,560
porque 2 al cubo es 8

48
00:06:02,560 --> 00:06:05,920
y del mismo modo el logaritmo en base 2 de 16 es 4

49
00:06:05,920 --> 00:06:07,860
porque 2 a la cuarta es 16

50
00:06:07,860 --> 00:06:14,139
Pues esto simplemente es 1 más 2 más 3 más 4 es 10.

51
00:06:15,120 --> 00:06:18,899
Alguno habrá pensado, oye, también puedo utilizar una propiedad de los logaritmos

52
00:06:18,899 --> 00:06:22,939
que me dice que si yo tengo la suma de un logaritmo, lo puedo transformar en el logaritmo del producto.

53
00:06:23,680 --> 00:06:24,980
Vale, vamos a ver si esto se cumple.

54
00:06:26,139 --> 00:06:32,300
Logaritmo en base 2 sería de 2 por 4 por 8 por 16.

55
00:06:33,399 --> 00:06:36,319
Es decir, el logaritmo en base 2, ¿de quién?

56
00:06:36,319 --> 00:07:00,740
2 por 4, 8. 8 por 8, 16. Perdón, 2 por 4, 8. 8 por 8, 64. Y 64 por 16 son 1024. 1024. Pues tened claro que esto también vale 10 porque 2 elevado a 10 son 1024.

57
00:07:00,740 --> 00:07:06,660
en el apartado B es andar con un poquito de cuidado

58
00:07:06,660 --> 00:07:11,040
porque digo, oye, raíz de 2 elevado a X es 32

59
00:07:11,040 --> 00:07:15,149
a uno dirá, ¿y esto cómo lo hago?

60
00:07:15,350 --> 00:07:18,629
bueno, pues es bastante sencillo si yo expreso todo esto como potencias de 2

61
00:07:18,629 --> 00:07:24,490
fijaos, 2 elevado a 1 medio es la raíz de 2

62
00:07:24,490 --> 00:07:27,110
y 32 es 2 a la quinta

63
00:07:27,110 --> 00:07:33,829
por lo tanto puedo llegar a deducir que 2 elevado a X medios

64
00:07:33,829 --> 00:07:39,689
porque recordad que para hacer la potencia de una potencia se multiplican los exponentes, ¿no?

65
00:07:39,709 --> 00:07:46,089
Y aquí tengo estos dos exponentes que puedo multiplicar, ¿vale?

66
00:07:47,230 --> 00:08:00,740
Por lo tanto, 2 elevado a x medios es igual a 5, por lo que x medios es 5, es decir, que la x es 10.

67
00:08:00,740 --> 00:08:05,839
vamos, que este logaritmo vale 10

68
00:08:05,839 --> 00:08:12,959
y por último vamos a ver cuánto es esto

69
00:08:12,959 --> 00:08:16,079
porque yo debo pensar que un medio elevado a algo

70
00:08:16,079 --> 00:08:18,100
es un cuarto

71
00:08:18,100 --> 00:08:20,980
pero bueno, creo que en este caso es más sencillo ver

72
00:08:20,980 --> 00:08:22,540
que un medio al cuadrado

73
00:08:22,540 --> 00:08:25,319
es un cuarto

74
00:08:25,319 --> 00:08:28,439
por lo que el logaritmo que me están pidiendo aquí

75
00:08:28,439 --> 00:08:29,600
es 2

76
00:08:29,600 --> 00:08:30,860
¿ok?

77
00:08:34,259 --> 00:08:36,100
llegamos ya al ejercicio número 4

78
00:08:36,100 --> 00:08:50,159
Hasta ahora prácticamente lo único que hemos tenido que usar es la definición de logaritmo, sin embargo aquí los ejercicios ya se complican un poquito más y tenemos que tener en cuenta las distintas propiedades que hemos estudiado de ellos para poder hacerlos.

79
00:08:50,159 --> 00:08:55,059
Son cinco. La primera, pues que el logaritmo en base a de a es uno.

80
00:08:55,559 --> 00:08:57,879
Claro, está claro, porque a elevado a uno es a.

81
00:08:58,340 --> 00:09:03,399
La segunda, que el logaritmo en base a de uno es cero, porque a elevado a cero es uno.

82
00:09:04,320 --> 00:09:09,659
Y las otras tres, lo que me dicen, la primera de ellas es que si tengo la suma del logaritmo,

83
00:09:09,740 --> 00:09:13,639
lo puedo transformar en logaritmo del producto, que en lugar de la suma es la resta,

84
00:09:13,639 --> 00:09:15,159
se transforma en el cociente.

85
00:09:15,899 --> 00:09:19,879
Y por último, aquí no me ha salido, me ha dejado un exponente, ¿de acuerdo?

86
00:09:20,580 --> 00:09:28,279
El logaritmo en base a de x elevado a n es igual a n por el logaritmo en base a de x.

87
00:09:29,460 --> 00:09:32,879
Teniendo esto en cuenta, vamos a ver si somos capaces de hacer los distintos apartados.

88
00:09:33,779 --> 00:09:35,340
¿En el apartado a qué me encuentro?

89
00:09:35,759 --> 00:09:40,440
Bueno, en el primer miembro, en la parte de la izquierda, lo que me encuentro es el logaritmo de x.

90
00:09:41,000 --> 00:09:45,360
Ahí no puedo hacer nada, pero en la parte de la derecha tengo una suma de dos logaritmos.

91
00:09:45,360 --> 00:09:56,120
¿Qué hago? Utilizar la tercera propiedad y decir, mira, pues es que el logaritmo de x será igual al logaritmo de 17 por 13.

92
00:09:56,500 --> 00:10:05,799
Es decir, que el logaritmo de x es igual al logaritmo de 221.

93
00:10:07,500 --> 00:10:11,840
Perdón, que aquí me he comido el logaritmo, pero son cosas que pasan.

94
00:10:11,840 --> 00:10:24,610
Esto es el logaritmo, como decía, de 221, es decir, que la x es 221.

95
00:10:26,519 --> 00:10:32,639
El apartado b es parecido, lo único que ahora en lugar de tener una suma tengo una resta.

96
00:10:33,360 --> 00:10:42,600
¿Qué ocurre? Que se transforma en el logaritmo del cociente, es decir, que en este caso la x es 36 entre 9, 4.

97
00:10:42,600 --> 00:10:54,200
Voy con el C. Aquí tengo un 3 que aparece multiplicando al logaritmo. ¿Qué hago? Utilizar la última propiedad.

98
00:10:55,379 --> 00:11:05,820
Logaritmo de X es igual a logaritmo de 5 al cubo, con lo que deduzco que X es 5 al cubo, es decir, 125.

99
00:11:10,509 --> 00:11:16,210
Pasamos de página y seguimos con el apartado D. La estrategia es similar. ¿Qué me encuentro?

100
00:11:16,409 --> 00:11:24,070
Bueno, logaritmo de 12 más logaritmo de 25 que puede transformarlo en una multiplicación

101
00:11:24,070 --> 00:11:30,210
y con este 2 que aparece aquí puedo ponerlo como 6 al cuadrado.

102
00:11:31,330 --> 00:11:32,590
Ya lo tengo.

103
00:11:33,470 --> 00:11:45,269
Logaritmo de x es igual a logaritmo de 12 por 25 entre 36 que es 6 al cuadrado.

104
00:11:45,269 --> 00:12:01,179
Es decir, X es 12 por 25 entre 36, que esto es 300 partido de 36.

105
00:12:01,500 --> 00:12:02,960
¿Se puede simplificar todo esto?

106
00:12:03,419 --> 00:12:09,299
Sí, se puede simplificar, por ejemplo, dividiendo entre 6, con lo que deduzco,

107
00:12:09,299 --> 00:12:20,379
y x es 50 sextos e incluso se puede decir que esto es 25 tercios, ¿ok?

108
00:12:21,779 --> 00:12:26,279
Y vamos ya por 5 en la última, que bueno, puede parecer un poco más complicada,

109
00:12:26,399 --> 00:12:27,419
pero tampoco es para tanto.

110
00:12:28,960 --> 00:12:31,000
El logaritmo de x sigue estando en el primer miembro,

111
00:12:32,340 --> 00:12:37,039
este 4 puedo meterlo dentro del logaritmo como vamos a la cuarta,

112
00:12:37,039 --> 00:12:43,620
y este 1 medio, lo mismo, logaritmo de 25 elevado a 1 medio.

113
00:12:45,500 --> 00:12:51,639
Recordad que hacer una potencia fraccionaria

114
00:12:51,639 --> 00:12:58,440
equivalía a calcular la raíz cuadrada, bueno, cuadrada cúbica, en este caso cuadrada, de 25.

115
00:12:59,820 --> 00:13:01,500
Es decir, que esto es el logaritmo.

116
00:13:01,500 --> 00:13:12,779
El logaritmo de x es igual al logaritmo de 16 entre la raíz de 25, x es 16 y 2.

117
00:13:13,440 --> 00:13:14,000
¿Entendido?

118
00:13:17,629 --> 00:13:19,549
Y vamos con el ejercicio número 5.

119
00:13:20,110 --> 00:13:22,590
De nuevo aquí vuelvo a trabajar con la definición de logaritmo.

120
00:13:23,649 --> 00:13:28,029
Creo que ya era bastante sencillo, al menos los primeros apartados de obtener.

121
00:13:28,850 --> 00:13:33,149
En este caso, 7 elevado a menos 2 tiene que ser x.

122
00:13:33,850 --> 00:13:42,009
Bueno, pues es lo mismo que 1 partido de 7 al cuadrado tiene que ser x, es decir, que la x es 1 partido de 49.

123
00:13:42,549 --> 00:13:55,720
En el b, x al cuadrado tiene que ser 16, es decir, que la x podría ser, bueno, en principio podría ser más o menos 4,

124
00:13:55,720 --> 00:14:00,139
pero está claro que en este caso la x tiene que ser 4

125
00:14:00,139 --> 00:14:04,000
porque recordad que la base, la base de un logaritmo

126
00:14:04,000 --> 00:14:06,019
nunca puede ser negativa

127
00:14:06,019 --> 00:14:09,320
si me dices un número mayor que 0 y distinto de 1

128
00:14:09,320 --> 00:14:14,419
con el apartado C vamos a ver qué hacemos

129
00:14:14,419 --> 00:14:17,039
en este caso cuidado porque algunos dirán

130
00:14:17,039 --> 00:14:18,679
se hace exactamente igual como en el anterior

131
00:14:18,679 --> 00:14:21,659
pero ahora aquí no hay ninguna base

132
00:14:21,659 --> 00:14:24,940
bueno cuando no hay ninguna base es que realmente lo que hay ahí es un 10

133
00:14:24,940 --> 00:14:30,779
Entonces lo que tengo es que 10 elevado a 12 es igual a 5 elevado a x.

134
00:14:31,919 --> 00:14:32,919
¿Cómo hago esto?

135
00:14:34,120 --> 00:14:36,139
Bueno, tengo varios modos de hacerlo.

136
00:14:36,820 --> 00:14:45,519
Quizá el modo más sencillo, bajo mi punto de vista, sea coger y aplicar una propiedad de los logaritmos que me permita a mí bajar esta x del exponente.

137
00:14:45,519 --> 00:14:59,240
Yo lo que voy a hacer aquí es considerar el logaritmo en base 5 de 10 elevado a 12 y el logaritmo en base 5 de 5 elevado a x.

138
00:15:00,019 --> 00:15:02,840
Este apartado es un poquito más complicado ya, yo lo sé.

139
00:15:04,059 --> 00:15:10,879
¿Qué consigo con esto? Bueno, en el miembro de la izquierda, en principio lo dejo así.

140
00:15:10,879 --> 00:15:21,379
Y en el de la derecha lo que consigo es poder bajar esta x y multiplicar al logaritmo en base 5 de 5.

141
00:15:22,919 --> 00:15:27,360
¿Por qué he multiplicado por el logaritmo en base 5 y no cualquier otra base?

142
00:15:27,559 --> 00:15:38,360
Pues precisamente para darme cuenta que teniendo aquí esto, lo que tengo es un 1 porque la base coincide con el 5, ¿vale?

143
00:15:38,360 --> 00:15:46,179
con lo cual en este caso yo lo podría dejar así como que x es el logaritmo en base 5 de 10 elevado a 12

144
00:15:46,179 --> 00:15:48,500
y así se queda

145
00:15:48,500 --> 00:15:56,000
y bueno el apartado d en algún caso lo comenté en clase que era quizá demasiado complicado

146
00:15:56,000 --> 00:15:57,080
pero bueno yo lo voy a resolver

147
00:15:57,080 --> 00:15:59,039
la estrategia es similar a la de antes

148
00:15:59,039 --> 00:16:03,299
yo tengo una x aquí en el exponente que voy a tratar de eliminar

149
00:16:03,299 --> 00:16:05,580
¿cómo lo voy a poder hacer?

150
00:16:05,580 --> 00:16:15,279
tomando el logaritmo en base 3 en ambos miembros y vamos a ver qué obtengo, ¿vale? Vamos a ver qué me queda.

151
00:16:16,639 --> 00:16:26,120
El primer miembro me queda x por el logaritmo en base 3 de 3 y aquí el logaritmo en base 3 de 173.

152
00:16:26,340 --> 00:16:37,279
¿Qué ocurre? Que esto de nuevo es 1, con lo que obtengo que estoy buscando el valor en el cual x es logaritmo en base 3 de 173

153
00:16:37,279 --> 00:16:40,480
y por feo que nos parezca, dejamos esto así.

154
00:16:41,120 --> 00:16:41,399
¿De acuerdo?

155
00:16:42,080 --> 00:16:44,500
Bueno, seguiremos con el siguiente vídeo con el ejercicio número 6.