1
00:00:00,000 --> 00:00:06,400
Bueno, pues como no me acuerdo el ejercicio que hemos hecho en clase, se busca uno incluso

2
00:00:06,400 --> 00:00:11,200
un poquito más difícil para ver cómo se hacen estas integrales.

3
00:00:11,200 --> 00:00:15,320
Bien, empezamos que el grado de arriba es igual que el grado de abajo.

4
00:00:15,320 --> 00:00:20,520
Si el grado de arriba fuera mayor que el grado de abajo o igual como en este caso, podemos

5
00:00:20,520 --> 00:00:28,440
empezar por hacer la división, hacer la prueba de la división, descomponerlo en cociente

6
00:00:28,440 --> 00:00:35,800
más resto partido por divisor, pues podemos hacer la división, es una de las maneras.

7
00:00:35,800 --> 00:00:40,600
Lo voy a hacer con la división para que después entendáis todavía mejor lo de completar.

8
00:00:40,600 --> 00:00:51,920
Evidentemente cabe a 2, sería menos 2x cuadrado menos 4x menos 10 y queda de resto menos 5x

9
00:00:51,920 --> 00:00:54,040
menos 7.

10
00:00:54,040 --> 00:01:02,880
La otra manera que os proponía esta mañana era 2x cuadrado menos x más 3 y quiero completarlo

11
00:01:02,880 --> 00:01:08,280
para poder hacer la división sin hacer la división.

12
00:01:08,280 --> 00:01:17,280
Entonces la dificultad aquí, que por eso lo he hecho, es que además de poner lo mismo

13
00:01:17,280 --> 00:01:22,320
que abajo, hay que poner el doble de lo de abajo, porque hay el doble de x cuadrado.

14
00:01:22,320 --> 00:01:28,080
Realmente nosotros lo que pondríamos es el doble de x cuadrado 2x cuadrado y hasta

15
00:01:28,080 --> 00:01:35,560
el doble de 2x, 4x, pero al poner 4x tengo que poner menos 4x.

16
00:01:35,560 --> 00:01:43,600
El doble de 5, 10, pues además de poner más 10 tengo que poner menos 10 y eso me ha permitido

17
00:01:43,600 --> 00:01:56,280
que ahora tengo 2x cuadrado más 4x más 10, que es el doble exactamente del denominador

18
00:01:56,280 --> 00:02:03,720
y por tanto esta división vale 2, ¿vale?

19
00:02:03,720 --> 00:02:07,040
Y por otro lado ¿qué me ha quedado?

20
00:02:07,040 --> 00:02:14,880
Menos x menos 4x menos 5x y más 3 menos 10 menos 7, que es la otra integral que tengo

21
00:02:14,880 --> 00:02:15,880
que hacer.

22
00:02:15,880 --> 00:02:16,880
¿Cómo podéis comprobar?

23
00:02:16,880 --> 00:02:21,680
Es muy fácil comprobar, os ha quedado lo mismo que en la división, menos 5x menos

24
00:02:21,680 --> 00:02:24,760
7 del resto, ¿vale?

25
00:02:24,760 --> 00:02:31,240
Luego volveremos a esta integral, a estas dos integrales, porque ahora lo que voy a

26
00:02:31,240 --> 00:02:38,800
hacer es copiar esta segunda integral aquí, menos 5x menos 7 y la voy a hacer aparte,

27
00:02:38,800 --> 00:02:43,440
es decir, como si fuera la única que tengo que hacer, ¿vale?

28
00:02:43,440 --> 00:02:50,700
Lo primero que hago para este tipo es comprobar que el denominador no tiene raíces reales.

29
00:02:50,700 --> 00:03:00,520
Si yo intento resolver esto, si os acordáis el discriminante b cuadrado menos 4ac, pues

30
00:03:00,520 --> 00:03:03,440
da menos 16, que es menor que 0.

31
00:03:03,440 --> 00:03:10,080
Por tanto, no tiene soluciones reales, porque si no se haría de manera diferente.

32
00:03:10,080 --> 00:03:16,440
Lo segundo que voy a hacer es darme cuenta que la derivada del denominador es 2x más

33
00:03:16,440 --> 00:03:18,280
2.

34
00:03:18,280 --> 00:03:25,000
Entonces yo lo que voy a buscar es que arriba haya 2x más 2 y por tanto voy a intentar

35
00:03:25,000 --> 00:03:32,160
que menos 5x, lo voy a poner un poco más a la derecha, menos 5x menos 7 me quede algo

36
00:03:32,160 --> 00:03:35,520
por 2x más 2.

37
00:03:35,520 --> 00:03:40,280
Lo primero que hago, como quiero que quede 2x, pues multiplico y divido por 2.

38
00:03:40,280 --> 00:03:43,840
Si no multiplicaría y dividiría por 2 sería trampa, ¿no?

39
00:03:43,840 --> 00:03:49,600
Entonces tengo menos 10x menos 14 partido por 2.

40
00:03:49,600 --> 00:04:01,240
Y entonces veo que menos 10x, esto lo tengo que ver, es menos 5 por 2x más 2, ¿de acuerdo?

41
00:04:01,240 --> 00:04:05,680
Porque es la única manera de que me quede menos 10x, que es lo que me ha salido de esta

42
00:04:05,680 --> 00:04:07,040
multiplicación.

43
00:04:07,040 --> 00:04:15,640
Pero por otro lado, si yo pongo que esto es menos 5 por 2x más 2, si vosotros hicierais

44
00:04:15,920 --> 00:04:17,320
eso ¿qué quedaría?

45
00:04:17,320 --> 00:04:24,040
Menos 10x menos 10, menos 10x menos 10 y yo no tengo menos 10x menos 10, tengo menos

46
00:04:24,040 --> 00:04:28,720
10x menos 14, o sea que me falta un menos 4.

47
00:04:28,720 --> 00:04:34,640
Y esto me queda menos 5 medios de 2x más 2 y menos 2.

48
00:04:34,640 --> 00:04:42,260
Entonces esto es el numerador, esto si os dais cuenta no es nada más que el numerador,

49
00:04:42,260 --> 00:04:45,860
por tanto puedo ponerlo en lugar del numerador.

50
00:04:45,860 --> 00:04:55,500
Y me quedará que tengo menos 5 medios por 2x más 2, en integral por supuesto el menos

51
00:04:55,500 --> 00:05:02,900
5 medios, si queréis lo sacamos fuera de la integral, de 2x más 2 partido x cuadrado

52
00:05:02,900 --> 00:05:14,020
más 2x más 5, que obviamente va a ser un logaritmo y por otro lado menos 2 la integral

53
00:05:14,020 --> 00:05:20,040
de 1 partido x cuadrado más 2x más 5, fijaros que no he hecho nada más que descomponer

54
00:05:20,040 --> 00:05:25,140
el numerador en 2, descomponer el numerador en 2, ¿vale?

55
00:05:25,140 --> 00:05:34,140
Y ahora tengo dos integrales nuevas, la primera integral que es la integral de 2x más 2 partido

56
00:05:34,140 --> 00:05:40,460
x cuadrado más 2x más 5, que como lo de arriba es la derivada de lo de abajo, pues

57
00:05:40,460 --> 00:05:47,100
simplemente es el logaritmo neperiano del denominador, fácil ¿no?

58
00:05:47,100 --> 00:05:57,420
Y por otro lado tengo otra integral que es 1 partido por x cuadrado más 2x más 5, bien,

59
00:05:57,420 --> 00:06:02,540
esta como no es un logaritmo, arriba tiene un número, tiene que ser por narices un arco

60
00:06:02,540 --> 00:06:10,300
tangente y para que sea un arco tangente tiene que quedar la suma de 2 cuadrados, 1 más

61
00:06:10,300 --> 00:06:18,980
algo al cuadrado. Si a mí no se me ocurriera, nosotros tenemos esto, si a mí no se me ocurriera

62
00:06:18,980 --> 00:06:28,300
lo puedo siempre igualar a esto, trabajarlo y ver cuánto valen a y b. Pongo x cuadrado

63
00:06:28,300 --> 00:06:38,340
más 2x más 5, sería x cuadrado menos 2ax más a cuadrado más b cuadrado. Una rápida

64
00:06:38,340 --> 00:06:49,820
comparación, me permite ver que eso está bien, 2x sería esto, así que eso implica

65
00:06:49,820 --> 00:07:05,100
a igual a menos 1. Y la última, perdón, que se quiere ir esto, y la última pues quedaría

66
00:07:05,100 --> 00:07:15,540
que 5 es a cuadrado más b cuadrado. Como a cuadrado es 1, pues b cuadrado es 4. Y entonces

67
00:07:15,540 --> 00:07:20,380
ya he descompuesto eso en lo que quería. También podía haberme dado cuenta que x

68
00:07:20,380 --> 00:07:28,500
cuadrado más 2x más 5 no es nada más que x cuadrado más 2x más 1 más 4, y x cuadrado

69
00:07:28,500 --> 00:07:36,660
más 2x más 1 es x más 1 al cuadrado más 4 o más 2 al cuadrado. ¿De acuerdo? Y ya

70
00:07:36,660 --> 00:07:47,940
tengo lo que busco para hacer un arco tangente. Lo meto aquí y tengo 1 partido x más 1 al

71
00:07:47,940 --> 00:07:57,780
cuadrado más 4. Divido todo por 4, como hacemos en nuestros arcos tangentes, me queda un cuarto

72
00:07:58,580 --> 00:08:08,060
de la integral, cambio el orden que es lo de menos en la suma, y me queda que es más 1 partido por

73
00:08:08,060 --> 00:08:17,180
2 al cuadrado. O sea que esto es la integral de un cuarto de la arco tangente de x más 1 partido

74
00:08:17,180 --> 00:08:26,060
por 2, así. Y como la derivada de x partido por 2 es un medio, pues tengo que añadir un 2. O en

75
00:08:26,060 --> 00:08:33,500
otras palabras, esto me queda un medio. Y ya ha terminado. Ya tengo las dos integrales hechas.

76
00:08:33,500 --> 00:08:43,180
Lo único que tengo que hacer ahora es subirlas. Y me queda menos 5 medios de el logaritmo neperiano

77
00:08:43,180 --> 00:08:55,340
de x cuadrado más 2x más 5, y aquí menos 2 por un medio menos arco tangente de x más 1 partido por

78
00:08:55,340 --> 00:09:07,940
2. Y a su vez, esta integral la tendría que subir aquí arriba. Sería 2x menos 5 medios del logaritmo

79
00:09:07,940 --> 00:09:23,780
neperiano de x cuadrado más 2x más 5, menos el arco tangente, el arco tangente de x más 1 partido

80
00:09:23,780 --> 00:09:36,140
por 2, y más c. Y este es el resultado final. ¿De acuerdo? 2x menos 5 medios del logaritmo neperiano de x cuadrado

81
00:09:36,140 --> 00:09:47,140
más 2x más 5, menos el arco tangente. Y por si acaso, pues bueno, yo se me ha ocurrido, tengo aquí,

82
00:09:48,140 --> 00:09:59,020
hacerlo con GeoGebra. Lo podía haber preparado antes la copia, pero bueno.

83
00:10:06,460 --> 00:10:10,260
Una captura de pantalla que tendría que haber por aquí. Esto es...

84
00:10:10,260 --> 00:10:29,380
A ver, sí, copiar. ¿No tiene esto el botón copiar? Bueno, insertar. ¿No tiene esto insertar?

85
00:10:30,260 --> 00:10:43,060
Luego lo editaré. A ver aquí, imágenes, sí. Lo hacemos así. X, Y, J, G, N, 24, apuntes,

86
00:10:43,060 --> 00:10:49,020
examen 2, captura de pantalla. Vale, pues ahí lo tenéis. He puesto

87
00:10:49,020 --> 00:11:03,420
que GeoGebra nos derivara la función esa que habíamos escrito ahí arriba. 2x menos 5 medios del logaritmo neperiano de x cuadrado

88
00:11:03,420 --> 00:11:11,900
más 2x más 5, menos el arco tangente de x más 1 partido por 2. Y resulta que nos dice que la derivada de 2x cuadrado

89
00:11:11,900 --> 00:11:20,940
menos x más 3 partido de x cuadrado más 2x más 5, que era nuestra integral. Y por tanto,

90
00:11:20,940 --> 00:11:27,540
demostrado que la hemos hecho bien. Bueno, espero que lo hayáis entendido.