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00:00:12,339 --> 00:00:17,800
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,800 --> 00:00:22,679
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,679 --> 00:00:34,500
de la unidad AN5 dedicada a las integrales. En la videoclase de hoy estudiaremos las integrales

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00:00:34,500 --> 00:00:49,810
inmediatas y resolveremos el ejercicio propuesto 1. En esta videoclase vamos a iniciar el estudio

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00:00:49,810 --> 00:00:54,130
de las técnicas de integración, las técnicas que se emplean para determinar las integrales

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00:00:54,130 --> 00:00:59,810
indefinidas de ciertas funciones con las denominadas integrales inmediatas. Son aquellas que se

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00:00:59,810 --> 00:01:05,650
obtienen de leer directamente en sentido contrario la tabla de derivadas. Por ejemplo, tenemos

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00:01:05,650 --> 00:01:09,950
la integral de una cierta constante lambda perteneciente a los números reales. Bien,

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00:01:10,069 --> 00:01:15,569
pues la integral de lambda es lambda por x más k, más k, un número real. Puesto que

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00:01:15,569 --> 00:01:22,090
si derivamos una constante por x más otra constante, esta constante aditiva desaparece,

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00:01:22,090 --> 00:01:25,730
eso va a ocurrir en todas las integrales que vamos a ver, ya no lo voy a mencionar más,

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00:01:26,310 --> 00:01:29,090
y la derivada de lambda por x es lambda.

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00:01:29,950 --> 00:01:34,329
En el caso de una función potencial, x elevado a un número real, distinto de menos 1,

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00:01:34,969 --> 00:01:39,069
pues lo que tenemos es x elevado a el mismo exponente, una unidad superior,

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00:01:39,650 --> 00:01:43,409
y todo ello dividido entre ese nuevo exponente, por supuesto, más k.

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00:01:44,269 --> 00:01:48,049
La razón es que al derivar x elevado a a menos 1,

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00:01:48,689 --> 00:01:53,969
este a menos 1 quedaría multiplicando por delante y simplificaría a este a más 1 que tenemos aquí,

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00:01:54,569 --> 00:01:58,109
al exponente se le restaría una unidad y tendríamos x elevado a a.

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00:01:58,989 --> 00:02:06,109
En el caso de una función exponencial, la integral de una función exponencial es la misma función exponencial

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00:02:06,670 --> 00:02:10,789
dividido entre el logaritmo neperiano de la base, por supuesto más la constante aditiva,

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00:02:11,569 --> 00:02:18,030
puesto que al derivar esta exponencial lo que obtenemos es ella misma multiplicado por el logaritmo neperiano

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00:02:18,030 --> 00:02:21,729
de la base que cancelaría este logaritmo neperiano y obtendríamos la exponencial.

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00:02:22,409 --> 00:02:28,409
En el caso particular de la función exponencial, con base el número e, la integral es ella

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00:02:28,409 --> 00:02:32,009
misma al igual que la derivada de la función exponencial es ella misma.

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00:02:33,090 --> 00:02:38,530
En el caso de la función logarítmica la obtenemos como integral de 1 partido de x.

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00:02:38,710 --> 00:02:43,689
Recordad que la derivada del logaritmo neperiano de x es 1 partido de x, así que en este caso

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00:02:43,689 --> 00:02:47,530
para obtener una función logarítmica tenemos que tener 1 partido por x.

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00:02:48,030 --> 00:02:52,169
Y aquí tenemos estas barras de valor absoluto importantes en el argumento del logaritmo,

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00:02:52,870 --> 00:02:59,030
puesto que si la x fuera negativa, el logaritmo de x no estaría definido, pero el logaritmo del valor absoluto.

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00:02:59,210 --> 00:03:07,330
Recordad, la integral de 1 partido por x es logaritmo neperiano del valor absoluto de x, por supuesto, más la constante aditiva k.

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00:03:07,330 --> 00:03:17,000
A continuación, para el caso del bachillerato de ciencias, tenemos las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas.

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00:03:17,000 --> 00:03:24,060
Puesto que la derivada del coseno era menos el seno, no es de extrañar que la integral del seno sea menos el coseno.

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00:03:24,680 --> 00:03:31,060
Puesto que la derivada del seno era el coseno, no es de extrañar que la integral del coseno sea el seno.

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00:03:32,620 --> 00:03:38,819
Recordad que la derivada de la tangente de x era 1 más tangente cuadrado, o lo que era lo mismo,

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00:03:39,039 --> 00:03:42,840
atendiendo la igualdad fundamental de la trigonometría, a 1 partido por coseno cuadrado.

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00:03:42,840 --> 00:03:47,919
Así que la integral de cualquiera de estas dos expresiones será, por supuesto, la tangente de x.

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00:03:49,020 --> 00:03:55,520
En el caso del arco seno de x, su derivada era 1 partido de la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado.

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00:03:55,659 --> 00:03:58,599
Luego, al integrar esta función, obtendríamos el arco seno.

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00:03:59,099 --> 00:04:03,919
Y en lo que respecta al arco tangente, su derivada es 1 partido de 1 más x al cuadrado,

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00:04:04,319 --> 00:04:08,340
por lo que la integral de 1 entre 1 más x al cuadrado será el arco tangente.

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00:04:08,639 --> 00:04:11,879
En todos los casos, por supuesto, más la constante aditiva.

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00:04:14,069 --> 00:04:20,930
Como ejemplo vamos a resolver el ejercicio propuesto 1, en el que se nos pide calcular una serie de integrales indefinidas inmediatas.

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00:04:21,550 --> 00:04:24,670
En primer lugar tenemos la integral de x al cuadrado más 5.

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00:04:25,230 --> 00:04:30,189
Aplicando la propiedad de la suma de funciones tenemos, en primer lugar, la integral de x al cuadrado,

45
00:04:30,649 --> 00:04:34,730
es una función potencial, sumando 1 al exponente tenemos x al cubo partido por 3.

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00:04:35,129 --> 00:04:42,730
La integral de 5, que es una constante, su integral es 5x, y para finalizar más k, k perteneciente a los números reales.

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00:04:42,730 --> 00:04:50,730
Una forma de comprobar que la integral está bien es nada más que derivarla para comprobar que obtenemos la función que teníamos en el integrando anteriormente.

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00:04:51,189 --> 00:04:58,490
La derivada de x al cubo es 3x al cuadrado, el 3 que multiplica con este que divide se simplifica, aquí tenemos x al cuadrado.

49
00:04:59,470 --> 00:05:06,689
La derivada de 5x es este 5 y la derivada de este elemento aditivo, de este más k, es 0, desaparece.

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00:05:06,689 --> 00:05:11,610
A continuación tenemos la integral de 1 partido de x a la cuarta

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00:05:11,610 --> 00:05:14,329
1 partido de x a la cuarta es x elevado a menos 4

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00:05:14,329 --> 00:05:17,870
así que podemos aplicar la regla de la función potencial

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00:05:17,870 --> 00:05:22,550
Sumamos 1 al exponente y entonces tenemos que la integral es

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00:05:22,550 --> 00:05:26,029
x elevado a menos 3 partido por menos 3 más k

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00:05:26,029 --> 00:05:30,689
Si queremos expresar esto como una función racional

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00:05:30,689 --> 00:05:35,689
evitando el exponente negativo y desde luego quitando este signo menos del denominador

57
00:05:35,689 --> 00:05:40,149
podríamos reescribirlo como menos 1 partido de 3x al cubo más k.

58
00:05:40,509 --> 00:05:43,970
Y una vez más, derivando deberíamos obtener 1 partido de x a la cuarta.

59
00:05:44,810 --> 00:05:48,629
En el caso de la integral de 5 partido por x diferencial de x

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00:05:48,629 --> 00:05:51,529
podemos este 5 que está multiplicando sacarlo fuera

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00:05:51,529 --> 00:05:56,829
y tenemos la integral de 1 partido por x que es logaritmo neperiano del valor absoluto.

62
00:05:56,829 --> 00:06:04,649
Así que la integral de 5 partido por x diferencial de x es 5 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de x más k.

63
00:06:05,689 --> 00:06:13,370
En el siguiente apartado tenemos la integral de 2 por el coseno de x, para los estudiantes de ciencias.

64
00:06:13,990 --> 00:06:21,910
Sacamos el 2 fuera, la integral del coseno de x es seno de x, y entonces tenemos 2 seno de x más k, k perteneciente a r.

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00:06:22,970 --> 00:06:28,790
Aquí tenemos a continuación la integral de 3x más e elevado a x, diferencial de x.

66
00:06:29,430 --> 00:06:36,290
Si hacemos la integral sumando a sumando, sería la integral de 3x, que es 3x al cuadrado partido por 2,

67
00:06:36,610 --> 00:06:41,730
el 3 por un lado, que está multiplicando, y luego la integral de x es x al cuadrado partido por 2,

68
00:06:42,149 --> 00:06:46,009
y luego la integral de la función exponencial es ella misma, e elevado a x más k.

69
00:06:47,189 --> 00:06:53,750
En el caso en el que tenemos la integral de 5 elevado a x es una función exponencial, pero no la función exponencial,

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00:06:54,290 --> 00:06:58,350
Aplicando la regla lo que tenemos es 5 elevado a x, la misma exponencial,

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00:06:58,910 --> 00:07:02,569
dividido entre el logaritmo que pertenece a 5 más k, k perteneciente a r.

72
00:07:03,449 --> 00:07:09,490
En el caso de la integral de la raíz cuadrada de x tenemos que reescribir esto como una potencia.

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00:07:09,949 --> 00:07:13,470
La raíz cuadrada de x se puede escribir como x elevado a 1 medio con exponente fraccionario.

74
00:07:13,970 --> 00:07:16,529
Y aplicamos la regla de la función potencial.

75
00:07:16,990 --> 00:07:21,569
Sumamos 1 al exponente que es 3 medios, en ese caso, dividimos entre 3 medios

76
00:07:21,569 --> 00:07:26,189
y una vez más, si reescribimos esto para que tenga forma de raíz

77
00:07:26,189 --> 00:07:29,889
y expresamos de otra manera este dividido entre tres medios,

78
00:07:30,370 --> 00:07:38,370
obtenemos 2 por la raíz cuadrada de x al cubo partido por 3, más k, k perteneciente a r.

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00:07:39,709 --> 00:07:46,110
Si tuviéramos la raíz cúbica de 5x al cuadrado, aquí podemos hacer dos cosas.

80
00:07:46,110 --> 00:08:01,430
Debemos hacer dos cosas. En primer lugar, reescribir esto como una potencia con exponente fraccionario y separar por un lado y extraer 5 elevado a 1 tercio, que sería la raíz cúbica de 5, por x elevado a 2 tercios, que es la raíz cúbica de x al cuadrado.

81
00:08:02,290 --> 00:08:13,310
Digo separar porque 5 elevado a 1 tercio es una constante que multiplica, quedaría fuera de la integral, tendría la integral de x elevado a 2 tercios, se integra como una función potencial, sumamos 1 al exponente,

82
00:08:13,310 --> 00:08:20,449
tendríamos 5 elevado a 1 tercio, de antes, por x elevado a 5 tercios dividido entre 5 tercios.

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00:08:21,050 --> 00:08:27,430
Igual que antes, si reescribimos estas potencias con exponente fraccionario como radicales

84
00:08:27,430 --> 00:08:31,689
y este dividido entre 5 tercios lo cambiamos para que quede mejor,

85
00:08:31,689 --> 00:08:38,289
lo que nos queda es 3 por la raíz cúbica de 5x a la quinta entre 5 más k, k perteneciente a r.

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00:08:38,289 --> 00:08:47,000
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:08:47,740 --> 00:08:51,840
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:08:52,659 --> 00:08:57,399
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:08:57,960 --> 00:08:59,360
Un saludo y hasta pronto.