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00:00:12,400 --> 00:00:17,920
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,920 --> 00:00:21,820
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta

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00:00:21,820 --> 00:00:26,440
serie de videoclases de la unidad AN4 dedicada a las aplicaciones de las

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00:00:26,440 --> 00:00:33,909
derivadas. En la videoclase de hoy estudiaremos la

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00:00:33,909 --> 00:00:49,140
curvatura de una función. En esta videoclase vamos a iniciar el

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00:00:49,140 --> 00:00:53,000
estudio de la curvatura y los puntos de inflexión de una función. En concreto en

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00:00:53,000 --> 00:00:57,960
esta videoclase vamos a referirnos a la curvatura. Nosotros diremos que en un cierto intervalo la

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00:00:57,960 --> 00:01:03,939
función es convexa cuando tenga esta forma, la que corresponde a un símbolo de unión con esta

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00:01:03,939 --> 00:01:09,180
curvatura, mientras que diremos que una función es cóncava cuando tenga la fórmula opuesta, esta que

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00:01:09,180 --> 00:01:14,620
vemos aquí, la que se correspondería al símbolo de la intersección. Y tenemos que tener cuidado

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00:01:14,620 --> 00:01:20,719
porque distintos matemáticos especializados en distintos campos pueden referirse a estas

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00:01:20,719 --> 00:01:30,120
curvaturas con nombres contrarios y a esto llamarlo cóncavo y a esto llamarlo convexo,

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00:01:30,299 --> 00:01:35,500
en lugar de como haremos nosotros, convexo y cóncavo. Entonces, en ciertos contextos,

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00:01:35,640 --> 00:01:41,459
para evitar equívocos, se refieren a esta forma como cóncava hacia arriba, indicando que las

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00:01:41,459 --> 00:01:47,340
ramas del símbolo de la unión van hacia arriba, y a esto cóncava hacia abajo, indicando que tienen

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00:01:47,340 --> 00:01:54,540
las ramas hacia abajo. Nosotros lo que vamos a utilizar es la forma de denotarlo, convexo de

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00:01:54,540 --> 00:02:01,519
esta manera, cóncavo de esta otra forma. Bien, pues nosotros vamos a estudiar la curvatura de

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00:02:01,519 --> 00:02:06,920
la función, insisto, convexo, cuando tenga forma del símbolo de la unión, cóncavo, cuando tenga

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00:02:06,920 --> 00:02:12,419
forma del símbolo de la intersección, utilizando para ello el signo de la segunda derivada de forma

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00:02:12,419 --> 00:02:16,560
análoga a como en la monotonía hacíamos estudiando el signo de la función

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00:02:16,560 --> 00:02:20,639
derivada primera, puesto que en este caso es la función derivada segunda, en

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00:02:20,639 --> 00:02:25,360
concreto su signo, quien nos va a indicar si la función es cóncava o convexa en un

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00:02:25,360 --> 00:02:30,000
cierto punto, puesto que como veis aquí, en el caso en el que la función derivada

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00:02:30,000 --> 00:02:34,419
segunda en los puntos de abscisa en los cuales la función derivada segunda sea

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00:02:34,419 --> 00:02:39,840
positiva, sabremos que la función es convexa y tiene esta forma, mientras que

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00:02:39,840 --> 00:02:45,259
en los puntos donde la función derivada segunda sea negativa sabremos que la función es cóncava

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00:02:45,259 --> 00:02:51,419
y tendrá esta forma. Igual que en el caso de la monotonía, ¿cómo relacionamos la curvatura en

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00:02:51,419 --> 00:02:56,000
un intervalo con la curvatura en un cierto punto? Pues de la misma manera. En el caso en el que la

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00:02:56,000 --> 00:03:00,379
función sea convexa en un cierto intervalo, lo será en todos los puntos del intervalo, lo mismo

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00:03:00,379 --> 00:03:06,020
en el caso en el que sea cóncava. Como decía, utilizaremos el signo de la derivada segunda para

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00:03:06,020 --> 00:03:10,520
distinguir la curvatura de una función, si la función es bien cóncava, bien convexa,

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00:03:11,080 --> 00:03:16,460
y impararemos para ello un algoritmo análogo al que utilizábamos para distinguir la monotonía

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00:03:16,460 --> 00:03:21,680
con la función derivada primera. Así pues, lo que haremos será a partir de una cierta

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00:03:21,680 --> 00:03:24,659
función real, de variable real, de la que se nos pida que estudiemos la curvatura.

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00:03:25,439 --> 00:03:30,199
Bien, pues determinaremos el dominio de la función, por supuesto. Habremos determinado

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00:03:30,199 --> 00:03:35,639
ya la derivada y su dominio. A partir de la función derivada determinaremos la función

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00:03:35,639 --> 00:03:40,060
derivada segunda y su dominio, y en principio lo que habríamos de hacer es resolver la

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00:03:40,060 --> 00:03:44,599
inequación derivada segunda positiva, los intervalos que resuelvan esta inequación

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00:03:44,599 --> 00:03:50,479
serán los intervalos en donde la función sea convexa, y luego derivada segunda negativa,

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00:03:50,719 --> 00:03:54,840
los intervalos que sean la solución de esta inequación, serán aquellos donde la función

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00:03:54,840 --> 00:04:00,599
sea cóncava. Igual que decíamos en el caso del estudio de la monotonía con el signo

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00:04:00,599 --> 00:04:04,539
de la función derivada primera, no es habitual que resolvamos estas dos inequaciones una

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00:04:04,539 --> 00:04:09,639
a continuación de la otra, sino que lo hagamos todo de una vez. Y entonces, una vez que hayamos

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00:04:09,639 --> 00:04:14,560
determinado el dominio de la función derivada segunda, lo primero que haremos será buscar sus

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00:04:14,560 --> 00:04:20,839
ceros, los puntos donde la derivada segunda se anule. Esos puntos dividirán el dominio de la

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00:04:20,839 --> 00:04:25,899
función derivada segunda en distintos intervalos y en esos intervalos es donde determinaremos el

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00:04:25,899 --> 00:04:31,300
signo de la función. De tal forma que intervalo a intervalo, si determinamos que la función derivada

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00:04:31,300 --> 00:04:36,480
segunda es positiva, diremos que en ese intervalo la función va a ser convexa y lo uniremos al resto

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00:04:36,480 --> 00:04:41,180
de intervalos donde esto ocurra. Si el signo de la función derivada segunda es negativa, diremos que

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00:04:41,180 --> 00:04:47,319
en él la función va a ser cóncava y lo uniremos al resto de intervalos donde esto ocurra. Y así

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00:04:47,319 --> 00:04:52,220
determinaremos en qué intervalos la función es convexa, en qué intervalos la función es cóncava.

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00:04:52,220 --> 00:05:00,300
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:05:00,300 --> 00:05:05,139
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web

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00:05:05,139 --> 00:05:10,759
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual

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00:05:10,759 --> 00:05:12,680
Un saludo y hasta pronto