1 00:00:02,669 --> 00:00:10,529 Hola, en este vídeo vamos a estudiar cómo podemos hacer multiplicaciones y divisiones de radicales con distinto índice. 2 00:00:11,070 --> 00:00:18,629 Recordad que para el producto y cociente de radicales con el mismo índice lo hemos estudiado en el vídeo de las propiedades de los radicales, ¿vale? 3 00:00:19,550 --> 00:00:20,250 Día anterior. 4 00:00:20,910 --> 00:00:28,329 Bueno, cuando a mí me pidan hacer un producto o un cociente de radicales que tengan el distinto índice, 5 00:00:28,329 --> 00:00:36,649 necesito hallar radicales equivalentes a los que ya tengo hasta conseguir que todos tengan el mismo índice 6 00:00:36,649 --> 00:00:39,009 para poder aplicar la propiedad aquella, ¿vale? 7 00:00:39,609 --> 00:00:41,310 Entonces, ¿qué es lo que vamos a hacer? 8 00:00:41,310 --> 00:00:47,170 Pues buscar radicales equivalentes que tengan el mismo índice 9 00:00:47,170 --> 00:00:53,409 hallando el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales que me dan, ¿vale? 10 00:00:53,409 --> 00:01:07,269 Cuando tenga el mínimo común múltiplo voy a pensar por qué factor, bueno, multipliqué para hallar el mínimo común múltiplo y elevaré los radicandos a ese valor, ¿vale? 11 00:01:07,450 --> 00:01:12,349 Creo que una vez que hagamos estos cuatro ejemplos lo vais a entender bastante mejor. Vamos a ver. 12 00:01:12,909 --> 00:01:18,969 En este caso yo me encuentro que tengo que hacer el producto de una raíz quinta por una raíz cuadrada, ¿vale? 13 00:01:18,969 --> 00:01:28,370 ¿Vale? Bueno, 5 y 2 son números primos entre sí, su mínimo común múltiplo es 10, ¿vale? 14 00:01:28,430 --> 00:01:35,250 Entonces voy a reescribir aquí, voy a hallar un radical equivalente a este y un radical equivalente al segundo, 15 00:01:35,750 --> 00:01:37,810 pero en este caso que tengan el índice 10. 16 00:01:38,769 --> 00:01:46,689 Vamos a pensar un poquito, mirad, yo para pasar de 5 a 10 lo que hice fue multiplicar por 2, ¿vale? 17 00:01:46,689 --> 00:01:49,489 Hice 5 por 2 y obtuve el 10. 18 00:01:49,969 --> 00:01:55,030 Entonces, la misma operación de multiplicar por 2 se la voy a tener que hacer al exponente del 6, ¿vale? 19 00:01:55,030 --> 00:01:57,510 Voy a tener que elevar el 6 a 2, ¿de acuerdo? 20 00:01:58,549 --> 00:02:00,810 Vamos a repetir el proceso con el siguiente radical. 21 00:02:01,569 --> 00:02:03,409 Yo tenía aquí raíz cuadrada de 3. 22 00:02:03,689 --> 00:02:08,750 El 2 del índice lo multipliqué en este caso por 5 para obtener este 10, ¿vale? 23 00:02:08,770 --> 00:02:10,389 El segundo 10, el del índice. 24 00:02:10,389 --> 00:02:20,009 Entonces, si yo multiplique por 5 el índice, voy a tener que multiplicar por 5 el exponente 25 00:02:20,009 --> 00:02:23,909 Como no había exponente, entiendo que era un 1, 1 por 5 es 5 26 00:02:23,909 --> 00:02:28,770 Y en el momento, recordad la propiedad que nos decía 27 00:02:28,770 --> 00:02:33,629 Que yo puedo multiplicar radicales con el mismo índice 28 00:02:33,629 --> 00:02:35,449 Ahora ya tengo el mismo índice 29 00:02:35,449 --> 00:02:46,789 ¿Vale? Entonces, como tengo el mismo índice, puedo escribir bajo el mismo signo radical de índice 10 el producto de 6 al cuadrado por 3 a la quinta. 30 00:02:47,069 --> 00:02:58,449 ¿Vale? Bueno, realmente queda más elegante si yo reescribo este ejercicio con potencias de números primos. 31 00:02:58,449 --> 00:03:10,490 Entonces lo que voy a hacer va a ser reescribir el 6 como 2 por 3 y entonces en vez de tener 6 al cuadrado voy a tener 2 por 3 al cuadrado y aparte voy a escribir el 3 a la quinta que ya tenía. 32 00:03:11,330 --> 00:03:22,009 De esta manera voy a poder escribir 2 por 3 al cuadrado como 2 al cuadrado por 3 al cuadrado y después el 3 a la quinta que ya tenía. 33 00:03:22,009 --> 00:03:34,530 Y de esta manera, pues bueno, finalmente voy a poder agrupar los 3, ¿vale? No tenía otra motivación que poder agrupar y en vez de poner 3 al cuadrado por 3 a la quinta, poner 3 a la séptima, ¿vale? 34 00:03:34,849 --> 00:03:36,689 Así estaría terminado este producto. 35 00:03:37,949 --> 00:03:44,469 Vamos a ver ahora un siguiente ejemplo donde tenemos que hacer una raíz cúbica por una raíz cuadrada, ¿vale? 36 00:03:44,469 --> 00:03:53,689 En este caso, dados cuenta que tengo, bueno, también ambos radicandos son números compuestos que después descompondré, ¿vale? 37 00:03:53,789 --> 00:03:59,789 O sea, descompondré como producto de factores primos y volveré a hacer el mismo proceso de agrupar, ¿vale? 38 00:04:00,669 --> 00:04:10,250 Pero ya recordad que lo primero que tengo que hacer es poner el índice común, hallar radicales equivalentes pero que tengan el mismo índice. 39 00:04:10,250 --> 00:04:14,250 ¿Cuál va a ser ese índice? Pues el mínimo común múltiplo de los dos que tengo. 40 00:04:14,469 --> 00:04:18,209 El mínimo común múltiplo de 3 y de 2 es 6, ¿vale? 41 00:04:18,290 --> 00:04:22,829 Entonces reescribo los dos radicales con índice 6. 42 00:04:24,069 --> 00:04:32,870 Y ahora pienso, vale, si yo tenía aquí raíz cúbica y ahora tengo raíz sexta es porque el 3 lo he multiplicado por 2 para obtener el 6. 43 00:04:32,870 --> 00:04:36,730 Por tanto, ahora el 15 lo tendré que elevar a 2, ¿vale? 44 00:04:37,209 --> 00:04:38,930 Para que el radical sea equivalente. 45 00:04:38,930 --> 00:04:47,290 De igual forma, yo antes tenía aquí raíz cuadrada de 75 y el índice 2 lo multipliqué por 3 para obtener este 6. 46 00:04:47,870 --> 00:04:52,050 Por tanto, ahora el 75 lo tendré que elevar a 3, que es 3 más b. 47 00:04:52,829 --> 00:04:53,589 Ahora, ¿vale? 48 00:04:54,370 --> 00:05:00,769 Bueno, una vez que tenemos esto así escrito, ya tenemos radicales del mismo índice multiplicándose 49 00:05:00,769 --> 00:05:08,129 y por tanto puedo hacer, o al menos indicar, la multiplicación bajo el signo radical, ¿vale? 50 00:05:08,129 --> 00:05:13,189 con el mismo signo radical. Una vez que tenemos esto así escrito, pues la verdad que queda 51 00:05:13,189 --> 00:05:19,089 poco elegante, son números que no tienen interés para lo que nosotros estamos manejando 52 00:05:19,089 --> 00:05:24,589 hallar estas cifras y es mucho más interesante poder descomponer factorialmente estos dos 53 00:05:24,589 --> 00:05:30,670 números, ¿vale? Lo que son las bases, el 15 y el 75. Pensamos, venga, 15 es lo mismo 54 00:05:30,670 --> 00:05:35,209 que 3 por 5, no me hace falta hacer todo el proceso de descomposición, ¿vale? Porque 55 00:05:35,209 --> 00:05:40,930 que es así de sencillo. 75, pues vamos a ver quién es 75. Podéis hacer el proceso 56 00:05:40,930 --> 00:05:45,589 de la raya, pero a mí me gusta más que a estas alturas del cuento pensemos quién es 57 00:05:45,589 --> 00:05:53,269 75. Bueno, a mí me sale, a poquito que pienso, que 75 es lo mismo que 3 por 25, ¿vale? Y 58 00:05:53,269 --> 00:06:00,050 como 25 es 5 al cuadrado, resulta que 75 es 3 por 5 al cuadrado. Que a alguno nos sale 59 00:06:00,050 --> 00:06:07,689 esto no pasa absolutamente nada, hacéis 75, raya y empezáis a hacer la descomposición, 60 00:06:07,790 --> 00:06:14,230 ¿de acuerdo? Pero bueno, yo he llegado a que 75 es 3 por 5 al cuadrado, lo escribo 61 00:06:14,230 --> 00:06:20,629 y como 75 estaba elevado al cubo, pues ahora tiene que aparecer 75 al cubo, ¿de acuerdo? 62 00:06:20,629 --> 00:06:27,089 Voy a borrar esto, que luego me va a molestar. Bueno, y una vez que tenemos esto así escrito, 63 00:06:27,089 --> 00:06:30,949 Pues nada, lo que voy a hacer, perdón, se me olvidó aquí el índice 6 64 00:06:30,949 --> 00:06:37,889 Con las propiedades de las potencias, pues bueno, si tengo un producto elevado a una potencia 65 00:06:37,889 --> 00:06:42,829 Puedo reescribirlo como 3 al cuadrado por 5 al cuadrado en este caso 66 00:06:42,829 --> 00:06:47,629 Y haré lo mismo aquí detrás, que tendré 3 elevado al cubo 67 00:06:47,629 --> 00:06:51,029 Y daos cuenta que 5 al cuadrado tiene que estar elevado al cubo 68 00:06:51,029 --> 00:06:55,149 Potencia de una potencia se multiplica en exponentes, me queda 5 a la sexta 69 00:06:55,149 --> 00:07:08,490 ¿Vale? Una vez que tengo esto así escrito, puedo agrupar potencias, las que tienen la misma base, sumaré los exponentes y las que tienen, o sea, el 3 al cuadrado y el 3 al cubo los puedo agrupar como 3 a la quinta, 70 00:07:08,490 --> 00:07:20,449 y 5 al cuadrado y 5 a la sexta también los puedo agrupar, ¿vale? Como 5 a la octava, ¿de acuerdo? Entonces tendré aquí 3 a la quinta por 5 elevado a 8, ¿vale? 71 00:07:20,449 --> 00:07:25,470 Bueno, una vez que hemos llegado aquí no hemos terminado del todo, ¿vale? 72 00:07:25,529 --> 00:07:33,089 Porque si os dais cuenta, bueno, siempre en estos ejercicios vamos a intentar simplificar al máximo posible 73 00:07:33,089 --> 00:07:36,089 y dejar lo más elegante posible el resultado final 74 00:07:36,089 --> 00:07:40,709 Lo que vamos a hacer es extraer los factores que podamos 75 00:07:40,709 --> 00:07:44,170 Podríamos haberlo hecho en pasos anteriores pero lo vamos a hacer aquí ahora de forma general 76 00:07:44,170 --> 00:07:49,009 Si os dais cuenta, 3 está elevado a 5, estamos dentro de una raíz sexta 77 00:07:49,009 --> 00:07:53,089 Por tanto, no hacemos grupo suficiente para poder sacar un factor de la raíz. 78 00:07:53,689 --> 00:07:56,170 Sin embargo, con 5 sí que hacemos grupo suficiente, ¿vale? 79 00:07:56,170 --> 00:07:58,069 Porque tenemos 8 5, ¿de acuerdo? 80 00:07:58,829 --> 00:08:02,329 Que puedo hacer un grupito de 6 que saldrían del radical, ¿vale? 81 00:08:03,230 --> 00:08:10,230 Y me quedan dentro 2 5, pues que bueno, que no se van a juntar con nadie los pobrecitos y no van a poder salir del radical, ¿vale? 82 00:08:10,769 --> 00:08:18,629 Por tanto, me quedará dentro del radical 3 a la quinta que no lo pude sacar y los 2 5 que tampoco pude sacar, ¿vale? 83 00:08:18,629 --> 00:08:20,089 Y este será el resultado final. 84 00:08:22,259 --> 00:08:26,980 Vamos ahora con estos dos últimos ejemplos, ¿vale? 85 00:08:26,980 --> 00:08:32,860 En este caso tenemos aquí un producto de tres radicales en el que vamos a hacer exactamente el mismo proceso. 86 00:08:33,279 --> 00:08:37,679 Vamos a buscar el mínimo común múltiplo de tres, de cuatro y de dos. 87 00:08:38,240 --> 00:08:44,100 En este caso el mínimo común múltiplo de tres, cuatro y dos es doce, ¿vale? 88 00:08:44,100 --> 00:08:52,620 Entonces podré reescribir esto como 3 radicales de índice 12. 89 00:08:53,940 --> 00:09:07,019 Vale, aquí tenía un 25 y resulta que si yo el 3 lo tuve que multiplicar por 4 para llegar aquí a este 12, el 25 también lo tendré que elevar a 4, ¿vale? 90 00:09:07,960 --> 00:09:10,539 El 20 del segundo radical, a ver qué pasa con él. 91 00:09:10,580 --> 00:09:15,700 Pues bueno, si yo tenía aquí un índice 4 y lo tuve que transformar en 12, fue porque multipliqué por 3. 92 00:09:16,120 --> 00:09:20,559 Por tanto, el exponente aquí era un 1, pero bueno, lo que voy a hacer es elevar el 20 a 3. 93 00:09:21,200 --> 00:09:24,259 Y por último, pues yo tenía aquí un índice 2, ¿vale? 94 00:09:24,659 --> 00:09:27,759 Que tuve que multiplicar por 6 para llegar a este 12. 95 00:09:28,340 --> 00:09:32,659 Por tanto, lo que le voy a hacer al 5 es elevarlo a ese 6, ¿vale? 96 00:09:32,659 --> 00:09:35,860 Al número por el que multipliqué el índice, ¿de acuerdo? 97 00:09:35,860 --> 00:09:45,899 ¿Verdad? Una vez que lo tenemos escrito de esta manera, hago un gran signo radical con el índice 12 y ya puedo escribir la multiplicación dentro. 98 00:09:46,299 --> 00:09:54,120 ¿Vale? 25 a la cuarta, perdonadme que me salió la letra muy pequeña, por 5, 20 al cubo, por 5 a la sexta. 99 00:09:54,759 --> 00:10:03,740 Venga, una vez que lo tenemos así escrito, estas operaciones no las puedo hacer a priori, pero sí que puedo agrupar factores primos. 100 00:10:03,740 --> 00:10:09,460 Entonces lo que voy a hacer es descomponer cada base, cada base compuesta del 5 ya es primo. 101 00:10:10,200 --> 00:10:17,960 Entonces lo que voy a hacer es escribir el radical de índice 12 y ahora voy a reescribir 25 como su descomposición factorial. 102 00:10:18,440 --> 00:10:25,940 25 es lo mismo que 5 al cuadrado, entonces en vez de 25 a la cuarta voy a escribir 5 al cuadrado a la cuarta. 103 00:10:26,740 --> 00:10:32,360 En lugar de 20 al cubo voy a poner como base la factorización del 20. 104 00:10:32,360 --> 00:10:48,000 A ver, yo no sé para vosotros, para mí 20 es 4 por 5 y como 4 es 2 al cuadrado, no me ha hecho falta hacer el proceso de la raya porque mentalmente, si yo voy descomponiendo en productos, llego a su descomposición factorial. 105 00:10:48,379 --> 00:10:55,200 Entonces, en lugar del 20 voy a escribir 2 al cuadrado por 5 y todo aquello estaba elevado a 3. 106 00:10:55,860 --> 00:10:58,279 Y por último, el 5 a la sexta no se le hace nada. 107 00:10:58,279 --> 00:11:06,960 ¿Vale? Bueno, entonces, una vez que tengo esto así escrito, lo que voy a hacer, a ver, lo primero que voy a hacer es dejar aquí más hueco, 108 00:11:06,960 --> 00:11:17,539 que no me va a caber si no, y, venga, lo que hacemos es, pues bueno, usando las propiedades de las potencias, simplificar esto, quitarnos los paréntesis, ¿vale? 109 00:11:17,539 --> 00:11:19,659 radical de índice 12 110 00:11:19,659 --> 00:11:23,720 5 elevado a 2 elevado a 4 es lo mismo que 5 elevado a 8 111 00:11:23,720 --> 00:11:27,659 y aquí multiplicamos por 2 al cuadrado elevado a 3 112 00:11:27,659 --> 00:11:28,919 por 5 elevado a 3 113 00:11:28,919 --> 00:11:31,899 ya sabéis que si tengo un producto como base de una potencia 114 00:11:31,899 --> 00:11:35,799 cada factor se elevaría a esa potencia 115 00:11:35,799 --> 00:11:38,200 entonces tendría 2 al cuadrado 116 00:11:38,200 --> 00:11:40,700 todo ello elevado a 3 117 00:11:40,700 --> 00:11:42,399 por 5 al cubo 118 00:11:42,399 --> 00:11:46,120 y luego el 5 a la sexta que me quedaba por ahí 119 00:11:46,120 --> 00:11:46,740 ¿de acuerdo? 120 00:11:47,539 --> 00:12:09,799 Bueno, una vez que tengo esto así escrito, voy aquí a otra línea más abajo y, bueno, voy a quitar esa potencia que me quedó, entonces escribo 5 a la octava por 2 a la sexta, porque 2 elevado a 2 elevado a 3, multiplicamos exponentes, 2 por 3 es 6, 5 al cubo por 5 a la sexta, ¿vale? 121 00:12:10,519 --> 00:12:14,879 Una vez que ya tenemos todo descompuesto, lo que hacemos es agrupar, ¿vale? 122 00:12:14,899 --> 00:12:21,340 Agrupar potencias de la misma base, de tal forma que, a ver, 2 a la sexta, el pobrecito no se agrupa con nadie, 123 00:12:21,480 --> 00:12:23,460 pero los 5 sí se agrupan, ¿vale? 124 00:12:24,059 --> 00:12:30,080 Potencias de la misma base con distinto exponente que se multiplican entre sí, se suman los exponentes. 125 00:12:30,080 --> 00:12:35,159 Entonces, vamos a escribir como exponente la suma de 8 más 3 más 6. 126 00:12:35,679 --> 00:12:39,620 8 más 3 es 11 y más 6 es 17, ¿vale? 127 00:12:39,799 --> 00:12:55,299 Y nada, pues llegados a este punto, ya solo nos queda intentar simplificar y poner más bonita esta expresión, para lo cual, pues mira, simplemente nos damos cuenta de que tengo aquí más 5 que lo que me indica el índice, ¿vale? 128 00:12:55,299 --> 00:13:24,899 Porque aquí el exponente es 17, por tanto lo que voy a hacer es que de estos 17 cincos que tengo, voy a hacer un grupito de 12 y por ese grupo de 12, ¿qué pasa? Ay, perdón, perdón, es que se queda pillado, por ese grupo de 12 sale un 5 del radical y dentro del radical quedaría el 2 a la sexta que no pude agrupar con nadie y los 5 cincos que han sobrado hasta 17, ¿de acuerdo? 129 00:13:26,740 --> 00:13:34,299 elevado al este sería el resultado final venga vamos a hacer ahora el último ejercicio en el 130 00:13:34,299 --> 00:13:42,580 que tenemos un cociente en este caso de radicales vale para poder expresar esto como un único 131 00:13:42,580 --> 00:13:49,840 radical que tenga dentro un cociente el radicando sea un cociente no sé si estáis dando cuenta de lo 132 00:13:49,840 --> 00:13:54,220 importante que es controlar el lenguaje o sea tener muy claro que es radical que es índice 133 00:13:54,220 --> 00:13:58,700 que es radicando, porque si no lo tenéis claro, esto os debe estar sonando rarísimo 134 00:13:58,700 --> 00:14:01,960 todo lo que estoy contando, pero bueno, como ya, yo creo que ya lo habéis estudiado, pues 135 00:14:01,960 --> 00:14:09,000 ya lo controláis entonces. Para poder meter todo dentro del mismo radical necesito hacer 136 00:14:09,000 --> 00:14:13,720 el mínimo común múltiplo de los índices. Mínimo común múltiplo de 5 y de 3 es 15, 137 00:14:13,960 --> 00:14:21,779 ¿vale? Entonces reescribo el 15 y aquí voy a reescribir 48. Como para pasar de 5 a 15 138 00:14:21,779 --> 00:14:32,340 multiplique por 3, 48 lo voy a elevar a 3, como para pasar de 3 a 15 multiplique por 5, 32 lo elevaré a 5, ¿vale? 139 00:14:32,759 --> 00:14:41,220 Una vez que tengo esto así escrito ya puedo hacer un gran radical de índice 15 donde tendré dentro un cociente 140 00:14:41,220 --> 00:14:48,659 donde tendré en el numerador 48 al cubo y en el denominador 32 a la quinta, ¿vale? 141 00:14:48,659 --> 00:15:19,000 Una vez que tengo esto escrito, pues ya sabéis que esto no queda muy elegante, vamos a factorizar las bases, ¿vale? Escribo el gran radical y reescribo el 48. A ver, este lo voy a hacer con la calculadora, voy a factorizar 48 y me da que es 16 por 3, es decir, 2 a la cuarta por 3, ¿vale? 142 00:15:19,000 --> 00:15:24,990 Y como 48 estaba elevado al cubo, pues elevo 2 a la cuarta por 3 al cubo 143 00:15:24,990 --> 00:15:27,909 Es que estoy cansadísima ya, os estoy contando mi vida como en clase 144 00:15:27,909 --> 00:15:31,470 Pero es que estoy muy cansada y ya no puedo ni pensar 145 00:15:31,470 --> 00:15:35,450 El 32 sí que me lo sé, vale, 32 es 2 a la quinta, de acuerdo 146 00:15:35,450 --> 00:15:42,370 Y como 32 estaba elevado a 5, elevo 2 a la quinta también a 5, vale 147 00:15:42,370 --> 00:15:48,549 Venga, entonces ahora lo que nos queda como radicando es un ejercicio de potencias que tenemos que simplificar, de acuerdo 148 00:15:48,549 --> 00:15:55,409 arriba tendríamos 2 a la cuarta elevado al cubo por 3 al cubo 149 00:15:55,409 --> 00:16:01,929 y aquí abajo si queréis aquí echamos la cuenta y pondríamos 2 elevado a 5 elevado a 5 es 2 elevado a 25 150 00:16:01,929 --> 00:16:11,049 de esta forma nos queda arriba 2 elevado a 12 por 3 elevado a 3 151 00:16:11,049 --> 00:16:15,330 todo ello dividido de 2 elevado a 25 152 00:16:15,330 --> 00:16:19,950 ¿Vale? Como estamos en un ejercicio de potencias tengo 2 es arriba y abajo 153 00:16:19,950 --> 00:16:25,009 Podemos simplificar y escribir aquí la raíz de índice 15 154 00:16:25,009 --> 00:16:29,970 2 es de arriba con 12 de abajo 155 00:16:29,970 --> 00:16:35,009 Puedo simplificar y dejar solo abajo 13 y me quedaría aquí 2 elevado a 13 156 00:16:35,009 --> 00:16:38,210 Y aquí arriba 3 elevado a 3 157 00:16:38,210 --> 00:16:40,350 ¿Vale? Y aquí no podríamos hacer más 158 00:16:40,350 --> 00:16:46,990 No podemos sacar factores porque los exponentes de estas potencias son más pequeños que el índice.