1
00:00:00,000 --> 00:00:09,560
Hola, buenas. Vamos a hacer ahora ejercicios usando los determinantes para averiguar el

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00:00:09,560 --> 00:00:14,720
rango. Ya habíamos hecho el rango por medio del método de Gauss-Jordan, pero nos puede

3
00:00:14,720 --> 00:00:21,520
resultar más sencillo hacer los rangos por el método de determinantes. Por ejemplo,

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00:00:21,520 --> 00:00:25,340
tenemos aquí dos ejercicios, el 11 y el 12, y en ambos tenemos que estudiar el rango de

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00:00:25,340 --> 00:00:32,920
la matriz. En el caso del ejercicio número 11, si nos damos cuenta, nuestra matriz tiene

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00:00:32,920 --> 00:00:41,940
tres filas y cuatro columnas, es decir, M es una matriz 3x4. ¿Eso qué quiere decir?

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00:00:41,940 --> 00:00:54,380
Pues que el rango, como mucho, puede llegar a ser 3, puesto que directamente sabemos que

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00:00:54,380 --> 00:01:14,340
el rango tiene que ser menor o igual que el mínimo de filas y columnas. Entonces podemos

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00:01:14,340 --> 00:01:21,100
tener rango 1, rango 2, o en este caso podríamos tener rango 3, ¿de acuerdo? Entonces en este

10
00:01:21,140 --> 00:01:32,620
caso tendríamos 1 menor o igual que el rango de M, menor o igual que 3, puesto que yo tengo

11
00:01:32,620 --> 00:01:38,180
tres filas y cuatro columnas. Entonces, ¿cómo podemos hacer el estudio en este caso? Bueno,

12
00:01:38,180 --> 00:01:46,260
pues vamos a coger de la matriz M un menor de orden 2. Por ejemplo, este de aquí. Vamos

13
00:01:46,260 --> 00:01:54,500
a coger este primer menor y vamos a calcular su determinante. De esa manera, como mínimo,

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00:01:54,500 --> 00:01:59,300
nos garantizamos que el rango de nuestra matriz es 2. Entonces cogemos ese menor

15
00:02:07,100 --> 00:02:08,500
y lo vamos a calcular.

16
00:02:17,260 --> 00:02:26,220
Y esto nos da menos 4 menos 3, que es igual a menos 7, que es distinto de 0. Entonces,

17
00:02:26,220 --> 00:02:34,020
sabemos que al menos el rango es 2, ¿pero podríamos garantizar que el rango es 3? Bueno,

18
00:02:34,020 --> 00:02:44,340
pues para eso lo que vamos a hacer en este caso es completar y vamos ahora a coger un menor de

19
00:02:44,340 --> 00:02:55,780
orden 3 y vamos a buscar si su determinante es distinto de 0. Si en este caso, por ejemplo,

20
00:02:55,780 --> 00:03:04,820
este determinante fuera igual a 0, siempre nos queda la otra columna para probar a hallar un

21
00:03:04,820 --> 00:03:12,580
determinante de orden 3. Entonces, en este caso, vamos a averiguar ese determinante

22
00:03:12,580 --> 00:03:38,140
y lo podemos hacer por el método que quedamos. Por ejemplo, lo vamos a hacer por el método

23
00:03:38,140 --> 00:03:56,020
de siempre. Vamos a empezar, como siempre, por estas diagonales paralelas a la diagonal principal.

24
00:04:09,140 --> 00:04:24,020
Por 12 y por menos 1, más 1 por 3 y por 3, menos y ahora empezamos por las otras diagonales. En

25
00:04:24,020 --> 00:04:38,780
este caso, las diagonales paralelas a la secundaria. Con lo cual, tendríamos menos 1 por menos 2,

26
00:04:38,780 --> 00:04:59,540
por 1, más 3 por 12 y por 2, más menos 11 por 3 y por 1. En este caso, no tenemos algo que nos

27
00:04:59,540 --> 00:05:06,180
facilite, que nos pudiera dar ceros, pero bueno, simplemente es hacer los cálculos. Tenemos en el

28
00:05:06,180 --> 00:05:23,500
primer caso, menos por menos más, 2 por 2 y por 11, 44. 1 por 12 y por menos 1 es menos 12. 1 por 3 y por 3 es más 9.

29
00:05:23,500 --> 00:05:42,620
Menos, menos 1 por menos 2 y por 1 es 2. 2 por 3 es 6, por 12 es 72. Menos 11 por 3 y por 1 es menos 33.

30
00:05:42,620 --> 00:06:06,940
Seguimos operando, tenemos que 44 y 9 son 53. 53 menos 12 son de 2 a 3 es 1.

31
00:06:06,940 --> 00:06:29,260
41 menos 74 menos 33 son 41. En este caso, nos da cero. Con lo cual, esa primera columna que hemos

32
00:06:29,260 --> 00:06:35,980
escogido no nos sirve. ¿Qué tendríamos que hacer entonces? Tendríamos que coger las dos primeras

33
00:06:35,980 --> 00:06:42,420
columnas y la última columna, que es lo que vamos a hacer y vamos a comprobar si en este caso nuestro

34
00:06:42,420 --> 00:06:50,380
determinante nos da distinto de cero. Entonces, ahora lo que haremos es sustituir la última

35
00:06:50,380 --> 00:07:18,380
columna, menos 1, 3, menos 11, por 5, 1, 7. Vamos a hacerlo de esta forma, tenemos ahora esto, 2, 3, 1, menos 2, 1, 12 y

36
00:07:18,380 --> 00:07:38,460
tenemos esa última columna que la vamos a poner en este caso como 5, 1, 7. Vamos a hacer lo mismo de antes, vamos a

37
00:07:38,460 --> 00:08:01,980
añadir la primera y la segunda filas y vamos a hacer el mismo procedimiento de antes. Si en este caso nos encontramos con que no podemos

38
00:08:02,980 --> 00:08:16,580
tener determinantes distintos de cero, lo que podremos concluir es que el rango de nuestra matriz será como máximo el rango igual a 2. Entonces, vamos a hacer el resultado, 2 por

39
00:08:16,580 --> 00:08:42,580
menos 2 y por 7, más 1 por 12 y por 5, más 1 por 3 y por 1, menos, y ahora hacemos las otras diagonales, esta diagonal, esta diagonal y esta diagonal. Entonces, 5 por menos 2 y por 1,

40
00:08:42,580 --> 00:09:10,580
5 por menos 2 y por 1, más 1 por 12 y por 2, más 7 por 3 y por 1. Y bueno, pues seguimos operando, 7 por menos 4, menos 28, 12 por 5, 60, más 60,

41
00:09:10,580 --> 00:09:38,580
más 3, menos, 5 por menos 2 es menos 10, 1 por 12 y por 2 es más 24, más 7 por 3, 21. Y esto es igual.

42
00:09:38,580 --> 00:10:01,580
360 más 363 menos 28, son de 8 a 13, 5, 2 y 1 a 3, a 6, 3, menos, ahora es 24 y 21, son 45 menos 10, 35.

43
00:10:02,580 --> 00:10:15,580
35 igual a 0. Con lo cual concluimos, como no hemos encontrado ningún determinante de orden 3 distinto de 0, concluimos que el rango de nuestra matriz M

44
00:10:15,580 --> 00:10:40,580
es igual a 2. El otro caso lo podríamos hacer de similar manera. En este otro caso vamos a hacer lo mismo, en principio, si nosotros queremos estudiar esta otra matriz,

45
00:10:40,580 --> 00:10:57,580
pues vamos a hacer lo mismo, vamos a coger un menor de orden 2, por ejemplo, pues el menor formado por 2, 3, menos 1 y 1, hallamos su determinante,

46
00:10:57,580 --> 00:11:14,580
entonces es 2 por 1, menos, menos 1 por 3 y esto nos da 2 más 3, que es igual a 5 distinto de 0. Entonces sabemos que como poco el rango es igual a 2.

47
00:11:14,580 --> 00:11:39,580
Vamos a hacer ahora, vamos a coger, por ejemplo, la fila 3 y vamos a hallar el determinante de la fila 3. Entonces, 2, 3, menos 1, menos 1, 1, 1, 0, 3, 4 y vamos a ver que es lo que ocurre.

48
00:11:39,580 --> 00:11:57,580
Si este determinante es distinto de 0, entonces podremos concluir que el rango de nuestra matriz A será igual a 3. Entonces vamos a hacer este determinante también, como siempre, de la misma manera.

49
00:11:57,580 --> 00:12:14,580
Y vamos a escribir la primera y la segunda filas. Y lo que vamos a hacer, pues como siempre también, es el orden de las diagonales.

50
00:12:14,580 --> 00:12:40,580
Entonces tenemos 2 por 1 y por 4, más menos 1 por 3 y por menos 1, más 0 por 3 y por 1, menos, y ahora hacemos la otra diagonal, mejor dicho las otras diagonales.

51
00:12:45,580 --> 00:13:11,580
Entonces tendríamos menos 1 por 1 y por 0, más 1 por 3 y por 2, más 4 por 3 y por menos 1, y hacemos las operaciones.

52
00:13:11,580 --> 00:13:29,580
Aquí sí tenemos ventajas porque hay términos que se hacen 0. Entonces nos queda la cosa más simplificada, 2 por 1 y por 4 es igual a 8, más menos 1 por 3 y por menos 1 es 3,

53
00:13:29,580 --> 00:13:54,580
y abajo nos queda 1 por 3 y por 2 que es 6, y 4 por 3 y por menos 1 que es menos 12, y operando tendríamos 8 y 3 es 11, menos 6 menos 12 es menos 6, con lo cual en este caso nos sale 11 más 6 que es 17,

54
00:13:54,580 --> 00:14:09,580
que es distinto de 0. Como 17 es distinto de 0, podemos concluir que en este caso el rango de nuestra matriz es igual a 3.