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00:00:00,880 --> 00:00:11,419
Buenos días a todos. Comenzamos hoy en la unidad 7, una unidad nueva, a pesar de que ya la habéis visto en otras ocasiones, en otros cursos.

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00:00:12,740 --> 00:00:18,739
La unidad trata sobre funciones y gráficas. Vamos a comenzar definiendo qué se entiende por función.

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00:00:20,019 --> 00:00:27,260
Una función establece una relación entre dos magnitudes de forma que a cada valor de la primera, que llamaremos variable independiente o x,

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00:00:27,260 --> 00:00:33,520
le corresponde un único valor de la segunda variable dependiente y.

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00:00:33,920 --> 00:00:37,960
Aquí es muy importante recalcar la palabra único.

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00:00:39,060 --> 00:00:45,140
Aquí a la derecha os he puesto un esquema que es el que se suele utilizar en estos casos.

7
00:00:45,960 --> 00:00:49,619
Yo tengo un conjunto A que vamos a llamar dominio,

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00:00:50,520 --> 00:00:54,539
que es el conjunto en el que está definida la variable independiente x.

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00:00:54,539 --> 00:01:07,540
Y un conjunto B, o recorrido, que es el conjunto de las imágenes que establece la función entre la variable independiente y la variable dependiente.

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00:01:08,579 --> 00:01:22,659
Es decir, la función pone en relación los elementos del conjunto A, o dominio, con los elementos del conjunto B, o recorrido.

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00:01:22,659 --> 00:01:37,799
De tal manera que a cada valor x del conjunto A del dominio le hace corresponder un único valor del recorrido, ¿de acuerdo?

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00:01:38,239 --> 00:01:43,879
Eso no quiere decir que pueda haber, si nosotros tenemos dos variables independientes, por ejemplo,

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00:01:43,879 --> 00:01:57,319
O sea, dos valores distintos de la variable independiente x1, x2, pueda suceder que las dos tengan el mismo valor, la misma imagen en el recorrido.

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00:01:57,500 --> 00:02:07,819
Eso sí es posible, pero lo que no es posible es que un único valor x o x1 tenga dos valores distintos en el recorrido.

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00:02:07,819 --> 00:02:12,219
Lo vamos a ver ahora en distintos ejemplos.

16
00:02:12,500 --> 00:02:16,240
Lo voy a dejar así, que es como lo teníamos inicialmente.

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00:02:16,539 --> 00:02:20,960
Y para nosotros los conjuntos A y B serán subconjuntos de R.

18
00:02:21,560 --> 00:02:24,740
Que R es el conjunto de todos los números reales.

19
00:02:26,120 --> 00:02:30,520
Lo que nosotros representamos con la recta real en el tema número 1 del libro.

20
00:02:30,900 --> 00:02:34,960
Por eso tenemos que aprender a representar intervalos.

21
00:02:34,960 --> 00:02:41,439
porque como vamos a tratar con subconjuntos de R, tenemos que recordar que eran los intervalos, ¿de acuerdo?

22
00:02:41,759 --> 00:02:51,479
Entonces, recordad, una función es una regla que hace corresponder a cada alimento de un conjunto de partida,

23
00:02:51,939 --> 00:02:58,240
que llamaremos dominio, un único valor de un conjunto que llamaremos recorrido, ¿vale?

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00:02:58,240 --> 00:03:14,780
Bien. Recordad, variable independiente la x, variable dependiente la y. Y como se lee la y, se puede llamar también f de x y se escribe así, f de x.

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00:03:14,780 --> 00:03:23,860
¿Vale? Es lo mismo. Y le voy a poner aquí, así, y igual a f de x. ¿De acuerdo? Bien.

26
00:03:25,360 --> 00:03:33,360
¿Cómo se puede expresar la regla f de x o la función f de x? Pues se puede dar de distintas maneras.

27
00:03:33,520 --> 00:03:38,780
Se puede dar como una tabla, se puede dar como una ecuación o se puede dar como una gráfica.

28
00:03:38,780 --> 00:03:45,060
gráfica. Lo tenéis aquí, una tabla, una gráfica o una ecuación. La ecuación es lo

29
00:03:45,060 --> 00:03:50,539
que más vamos a manejar y a lo que más estáis acostumbrados. Entonces, como hemos dicho

30
00:03:50,539 --> 00:03:58,900
que para nosotros los conjuntos A y B serán subconjuntos de los reales, nosotros vamos

31
00:03:58,900 --> 00:04:07,800
a poder escribir aquí, en el eje de las abscisas, a nuestro conjunto A y en el eje de las ordenadas

32
00:04:07,800 --> 00:04:15,319
a las imágenes de cada una de las variables independientes.

33
00:04:15,659 --> 00:04:23,480
Es decir, como hemos dicho que tanto x como f de x van a ser subconjuntos de R

34
00:04:23,480 --> 00:04:29,959
y para nosotros la R, como visteis, era la recta real, que es lo que vimos en el tema número 1,

35
00:04:30,439 --> 00:04:35,120
y tenemos dos subconjuntos, el subconjunto A y el subconjunto B,

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00:04:35,120 --> 00:04:53,939
Pues lo que podemos hacer es unos ejes coordenados. Representamos en el eje horizontal a las variables independientes y en el eje vertical a las variables dependientes y igual a f de x.

37
00:04:53,939 --> 00:05:01,160
lo podemos poner así, ¿vale? Hemos utilizado dos ejes coordenados y eso es lo que vamos a hacer.

38
00:05:01,720 --> 00:05:11,160
Y si nos fijamos en la gráfica, tal y como habíamos dicho al principio, una función es una regla que hace corresponder a cada variable independiente x

39
00:05:11,160 --> 00:05:21,300
un valor único en el recorrido, único, ¿vale? Conocido una variable independiente, esa variable, ese valor de la variable independiente

40
00:05:21,300 --> 00:05:33,920
no puede tener dos imágenes. Por lo tanto, en esta gráfica que nosotros tenemos aquí a la derecha, diremos que esa gráfica no representa una función,

41
00:05:34,139 --> 00:05:49,259
porque para todos estos valores que tenemos aquí comprendidos, representados, estamos obteniendo dos valores de y para cada valor de x.

42
00:05:49,259 --> 00:05:54,480
¿Lo veis? Aquí tenemos el valor de abajo, que es negativo, y el valor de arriba, que es positivo.

43
00:05:55,019 --> 00:05:58,839
Y eso no puede ser. Luego, esta gráfica no es de una función.

44
00:05:59,660 --> 00:06:04,699
Puede representar una elipse, puede representar muchas cosas de geometría analítica,

45
00:06:04,819 --> 00:06:11,839
porque recordad que en el tema anterior, en el tema 6 de geometría analítica, nosotros representamos puntos, segmentos, rectas.

46
00:06:11,839 --> 00:06:29,379
Pero también se pueden representar circunferencias, elipses, y tenemos ecuaciones para representar circunferencias o elipses en geometría analítica, pero esas representaciones no serían gráficas, ¿vale?

47
00:06:29,379 --> 00:06:41,819
Sin embargo, el de la izquierda sí es una gráfica, porque para cada valor de la variable independiente x se obtiene un único valor de la función.

48
00:06:43,199 --> 00:06:49,199
La imagen tiene un único valor, ¿vale? Todos esos puntitos que yo estoy representando ahí son valores únicos.

49
00:06:49,199 --> 00:06:59,920
Sin embargo, aquí, si yo trazo la vertical, para un valor de x obtengo dos valores de y, y eso no puede ser en una función.

50
00:07:02,160 --> 00:07:14,500
También es importante destacar que en las gráficas de las funciones vamos a seguir el mismo convenio que utilizábamos para los intervalos de la recta R,

51
00:07:14,500 --> 00:07:34,360
Aunque no lo explicamos en su momento, en el tema 1, y sí lo vamos a recordar aquí, cuando nosotros tenemos un intervalo en la recta real, por ejemplo, entre el punto 1 y el punto 3, si yo quiero representar los valores que son mayores que 1, pero menores e iguales que 3, ¿vale?

52
00:07:34,360 --> 00:08:01,319
Yo en 3 dibujo un circulito cerrado, ¿no? Y en el punto 1 dibujo una circunferencia, ¿vale? Es decir, no la relleno. ¿Eso qué quiere decir? Eso quiere decir que mi intervalo es los valores de x que son mayores, pero no mayores iguales, mayores, estrictamente mayores que 1 y menores iguales que 3, ¿vale?

53
00:08:01,319 --> 00:08:11,500
El 3 estaría comprendido en mi conjunto, en mi intervalo, pero el valor 1 no estaría contenido en mi conjunto.

54
00:08:11,660 --> 00:08:13,639
Por eso lo represento con una circunferencia.

55
00:08:14,240 --> 00:08:16,740
Sin embargo, el 3 lo represento con un círculo.

56
00:08:17,259 --> 00:08:20,879
Recordad que esto es una circunferencia y esto es un círculo.

57
00:08:21,439 --> 00:08:24,220
Un círculo es una circunferencia rellena.

58
00:08:25,079 --> 00:08:29,279
Pues, para las imágenes, para los valores de ahí, representamos lo mismo.

59
00:08:29,279 --> 00:08:57,299
Si este es el valor de x igual a 1 y este es el valor de x igual a 2, la función evaluada en 2 no toma dos valores, sino que para el valor x igual a 2, el valor de la función sería el de abajo porque es el que tiene el círculo relleno y no el de arriba, que es una circunferencia.

60
00:08:57,299 --> 00:09:21,759
¿De acuerdo? Sin embargo, en x igual a menos 1, la función estaría dada por la rama inferior, ¿vale? Por este valor de aquí, que es aproximadamente menos 2, y no por este valor de aquí, que es menos 1, porque aquí la circunferencia tenemos, o sea, porque aquí en esta rama tenemos una circunferencia y aquí en esta rama tenemos un círculo para x igual a menos 1.

61
00:09:21,759 --> 00:09:43,039
¿De acuerdo? Bien. A continuación vamos a ver una función que es un ejemplo clásico de cuánto puede costar, de cuáles son las tarifas de una compañía telefónica, que como sabéis hay distintos sistemas de tarificación.

62
00:09:43,039 --> 00:09:50,940
Hay algunos que cobran un fijo al mes y hay otros que cobran un fijo más una parte variable, ¿vale?

63
00:09:51,759 --> 00:10:04,639
En este caso tenemos el sistema que se utilizaba antiguamente, que es que una compañía telefónica te cobra 0,15 euros por cada vez que llamas, independientemente del tiempo que estés, ¿vale?

64
00:10:04,639 --> 00:10:09,779
Y luego, 3 céntimos de euro por cada minuto de conversación, ¿vale?

65
00:10:11,759 --> 00:10:14,039
Talificado de manera gradual, segundo a segundo.

66
00:10:14,259 --> 00:10:19,620
Entonces, nos piden una tabla en la que se indiquen los precios de una llamada en función de su duración

67
00:10:19,620 --> 00:10:25,539
y representar la gráfica y una ecuación algebraica, ¿vale?

68
00:10:26,039 --> 00:10:30,679
Pues este es muy sencillo. La solución no la he tapado porque es muy sencillo.

69
00:10:30,679 --> 00:10:37,940
Aquí nos están poniendo los minutos que dura la llamada, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, y el precio total.

70
00:10:38,460 --> 00:10:43,200
Pues entonces, para la duración 0, ¿cuánto nos va a costar la parte fija?

71
00:10:43,539 --> 00:10:51,600
Para un minuto nos va a costar el establecimiento de llamada, 0,15 más 3 céntimos porque ha pasado un minuto.

72
00:10:51,740 --> 00:10:56,419
Y así sucesivamente vamos sumando 3 céntimos al precio anterior.

73
00:10:56,419 --> 00:11:00,820
es decir, este es el establecimiento de llamada y luego será 0,18

74
00:11:00,820 --> 00:11:03,080
0,18 más 3 es 0,21

75
00:11:03,080 --> 00:11:05,860
0,21 más 3 es 0,24

76
00:11:05,860 --> 00:11:07,799
0,27, 0,3, 0,33

77
00:11:07,799 --> 00:11:10,980
y si hacemos la gráfica, pues aquí la tendríamos

78
00:11:10,980 --> 00:11:15,200
como veis, en el valor x igual a 0

79
00:11:15,200 --> 00:11:17,460
yo tengo lo que se llama la ordenada en el origen

80
00:11:17,460 --> 00:11:21,320
tengo un precio, un coste

81
00:11:21,320 --> 00:11:24,179
que es 0,15 euros, 15 céntimos

82
00:11:24,179 --> 00:11:43,200
Es decir, aunque yo nada más que me lo coja mi corresponsal cuelgue, yo tengo que pagar 15 céntimos. Ese es el fijo, el establecimiento llamado. Y a partir de ahí sube con una pendiente de 3 céntimos por cada minuto.

83
00:11:43,200 --> 00:11:51,840
Y esta es la ecuación, 0,15, que es la ordenada en el origen, y luego la pendiente por la duración.

84
00:11:52,399 --> 00:12:05,639
Esto es, como acabamos de ver en el tema anterior, la ecuación explícita de la recta, igual a mx más n, aunque han escrito primero la n antes que la mx.

85
00:12:05,639 --> 00:12:13,899
Es decir, 0,03 sería el valor de m, que es la pendiente, y n es la ordenada en el origen.

86
00:12:14,379 --> 00:12:16,360
Muy sencillo, no quiero seguir con ello.

87
00:12:19,139 --> 00:12:28,279
Los ejemplos 1, 2 y 3 también son muy sencillos, por eso me los salto y vamos a ir directamente al concepto de dominio y recorrido,

88
00:12:28,399 --> 00:12:33,259
que aunque los hemos introducido en el apartado anterior, vamos a insistir en ello.

89
00:12:34,240 --> 00:12:37,639
Dice, el dominio de una función es el conjunto de abscisas, ¿vale?

90
00:12:37,679 --> 00:12:43,080
Por lo tanto, es el conjunto del eje horizontal, del eje real,

91
00:12:43,220 --> 00:12:47,899
porque como hemos dicho antes, para nosotros el conjunto de partidas,

92
00:12:47,899 --> 00:12:54,860
es decir, el dominio y el recorrido van a ser subconjuntos de R, de todos los números reales, ¿vale?

93
00:12:55,639 --> 00:13:00,679
Por lo tanto, el dominio de una función es el conjunto de abscisas para los que existe su gráfica.

94
00:13:00,679 --> 00:13:04,960
El dominio, por tanto, se expresa en forma de intervalos sobre el eje x.

95
00:13:05,259 --> 00:13:08,419
Y por eso vamos a recordar ahora qué eran los intervalos.

96
00:13:10,279 --> 00:13:15,879
En esta gráfica que nosotros tenemos aquí, ¿cuál creéis vosotros que va a ser el dominio?

97
00:13:16,320 --> 00:13:19,240
Aquí tenemos la forma de la gráfica.

98
00:13:19,700 --> 00:13:26,860
Voy a resaltar dónde estarían las abscisas, que sería el eje horizontal, x.

99
00:13:26,860 --> 00:13:37,360
voy a recordarlo porque alguno de vosotros todavía os leéis con esto, el eje horizontal, el eje de las x, el eje de la variable independiente se llama abscisas,

100
00:13:37,360 --> 00:13:43,620
y le voy a poner aquí

101
00:13:43,620 --> 00:13:48,470
variable independiente

102
00:13:48,470 --> 00:13:56,740
y aquí está el eje I

103
00:13:56,740 --> 00:14:00,320
de ordenadas

104
00:14:00,320 --> 00:14:05,879
o variable dependiente

105
00:14:05,879 --> 00:14:12,500
lo pongo así con mayúsculas

106
00:14:12,500 --> 00:14:13,539
dependiente

107
00:14:13,539 --> 00:14:20,620
bien, entonces

108
00:14:20,620 --> 00:14:37,000
¿Dónde estaría el dominio de esta gráfica? Vamos a empezar desde menos infinito. Yo tengo aquí mi recta real que viene desde menos infinito y va hasta más infinito. Esto continúa hasta más infinito.

109
00:14:37,000 --> 00:14:55,399
Si yo me sitúo en menos infinito y voy avanzando, ¿hay algún valor? ¿En estos valores de aquí está definida la función? No, no, aquí no tengo ningún valor de la función. Yo no encuentro la gráfica y no es cuestión de zoom porque me lo hubieran expresado de alguna manera.

110
00:14:55,399 --> 00:15:13,220
Aquí no hay gráfica, aquí no hay gráfica, sin embargo, una vez que llego a 0, ahí ya sí que tengo la gráfica, que por lo que se ve estaría en menos infinito, ¿vale? Porque esto sería una asíntota. La gráfica se me va a menos infinito.

111
00:15:13,220 --> 00:15:17,159
en 0,5, en 0,6, en 0,7

112
00:15:17,159 --> 00:15:20,080
la función está definida, ¿vale? aquí la tenemos definida

113
00:15:20,080 --> 00:15:23,879
todos estos valores son valores de la función

114
00:15:23,879 --> 00:15:27,100
la función estaría ahí, estaría ahí, estaría ahí

115
00:15:27,100 --> 00:15:31,639
¿vale? estaría ahí, aquí tengo el valor de la función ahí

116
00:15:31,639 --> 00:15:34,460
aquí tengo el valor de la función, aquí tengo el valor de la función

117
00:15:34,460 --> 00:15:39,860
¿cuál creéis vosotros que va a ser el valor, o sea, el dominio?

118
00:15:39,980 --> 00:15:42,919
voy a seleccionar el color verde para que se vea bien

119
00:15:42,919 --> 00:16:08,389
El dominio será todo esto, es decir, el semieje positivo, y por aquí seguiría, y por aquí seguiría, y por aquí seguiría, todo lo que he puesto en verde, en los valores positivos de x, en el semieje positivo de las abscisas del eje x, yo voy a tener función.

120
00:16:08,389 --> 00:16:31,809
Por lo tanto, el dominio de f de x es igual al intervalo 0, es decir, a y, x igual a 0, hasta x igual a más infinito.

121
00:16:31,809 --> 00:16:36,509
Eso se representa así, con paréntesis y no con corchetes, ¿vale?

122
00:16:37,070 --> 00:16:47,110
Porque en el 0 el valor de la gráfica se va a menos infinito y cuando tú tienes un valor infinito lo pones con paréntesis y no con corchetes

123
00:16:47,110 --> 00:16:53,889
y luego se va a más infinito, que también se representa con un paréntesis y no hay un corchete, ¿vale?

124
00:16:53,889 --> 00:17:15,769
Vamos a recordar qué eran los intervalos y para eso nos tenemos que ir al tema 1, a la unidad 1 del libro, que es lo pegado aquí, ¿vale? Que no lo vimos en su momento porque consideramos que era preferible verlo ahora porque tiene más aplicación práctica en el tema 7, que es el de funciones, ¿de acuerdo?

125
00:17:15,769 --> 00:17:23,529
Entonces, un intervalo es una forma de agrupar todos los números reales comprendidos entre dos llamados extremos, ¿vale?

126
00:17:23,609 --> 00:17:35,829
Y existen los siguientes tipos, intervalos abiertos, intervalos cerrados y intervalos semiabiertos o semicerrados, según como queráis ver la botella, medio llena o medio vacía.

127
00:17:36,650 --> 00:17:44,130
Los intervalos abiertos son aquellos en los que no queremos incluir los extremos del intervalo, extremos o frontera, como lo queráis ver.

128
00:17:44,130 --> 00:18:02,130
Se denotan entre paréntesis, que lo tenemos aquí representado, y los extremos se separan por comas. Esto es un intervalo abierto, recordad, abierto, paréntesis, y los extremos separados por comas.

129
00:18:02,130 --> 00:18:13,730
Es como si fueran los vectores. ¿Os acordáis que los vectores representábamos una coordenada x y una coordenada y cerrado entre paréntesis y sus valores separados por coma?

130
00:18:13,890 --> 00:18:17,349
Pero no tiene nada que ver. Esto no es un vector, es un intervalo.

131
00:18:18,210 --> 00:18:24,450
Ahora, tenemos los intervalos cerrados en los cuales, en vez de poner paréntesis, ponemos corchetes.

132
00:18:24,609 --> 00:18:29,730
Y eso quiere decir que los extremos sí que están incluidos en el conjunto, en el intervalo.

133
00:18:29,730 --> 00:18:42,730
Ahora veremos ejemplos. Y luego tenemos los intervalos semiabiertos o semicerrados, que son aquellos en los que tenemos un paréntesis y un corchete. Es decir, bien tenemos paréntesis-corchete o corchete-paréntesis.

134
00:18:42,730 --> 00:18:57,509
Esto quiere decir, el primero, que el extremo inferior no estaría contenido en el intervalo, pero el extremo superior sí estaría contenido en el intervalo. Y aquí, al revés.

135
00:18:57,509 --> 00:19:18,970
Por ejemplo, si tenemos el intervalo abierto menos 1, 3, quiere decir que los valores menos 1 y 3 no están incluidos en nuestro intervalo y se enunciaría así el conjunto de los números mayores que menos 1 y menores que menos 3.

136
00:19:18,970 --> 00:19:37,950
Entonces, fijaros en que dice mayores y no mayor o igual, ¿vale? Mayores, estrictamente mayores y estrictamente menores, ¿vale? Por lo tanto, mi intervalo se representaría así, con circunferencias y no con círculos en los extremos.

137
00:19:37,950 --> 00:20:00,029
Y sería todo este intervalo, el que va de menos uno hasta tres, ¿vale? Y la expresión algebraica sería x, es decir, cualquier x perteneciente a r, tales que x sea mayor, no incluye el menor, el no y no mayor o igual, y menor que tres, ¿vale?

138
00:20:00,029 --> 00:20:03,009
x mayor que menos 1 y menor que 3

139
00:20:03,009 --> 00:20:06,690
un ejemplo de intervalo cerrado pues sería

140
00:20:06,690 --> 00:20:09,589
corchete 2,5 corchete

141
00:20:09,589 --> 00:20:11,369
que es un intervalo cerrado

142
00:20:11,369 --> 00:20:14,349
el conjunto de los números comprendidos entre 2 y 5

143
00:20:14,349 --> 00:20:17,869
incluidos 2 y 5

144
00:20:17,869 --> 00:20:19,829
¿vale? incluidos 2 y 5

145
00:20:19,829 --> 00:20:24,329
y aquí como veis estamos usando

146
00:20:24,329 --> 00:20:27,430
círculos y no circunferencias

147
00:20:27,430 --> 00:20:31,789
para los extremos, para el 2 y para el 5.

148
00:20:31,950 --> 00:20:37,049
Luego, mi intervalo sería la parte de la recta real

149
00:20:37,049 --> 00:20:40,390
que va desde 2 hasta 5 incluidos.

150
00:20:41,890 --> 00:20:44,710
Y la notación algebraica sería x,

151
00:20:44,829 --> 00:20:47,250
es decir, cualquier valor de x perteneciente a r,

152
00:20:47,849 --> 00:20:53,170
tal es que x es mayor o igual que 2 y menor o igual que 5.

153
00:20:53,170 --> 00:20:56,829
Como veis aquí, nos están incluyendo el igual.

154
00:20:57,430 --> 00:21:06,970
El igual. Cosa que antes no se hacía. Menor o igual. Menor o igual. ¿Sí? Muy importante. Arriba no teníamos el igual.

155
00:21:07,470 --> 00:21:11,650
¿Y el semicerrado? Pues cuando tenemos un corchete y un paréntesis o al revés.

156
00:21:12,230 --> 00:21:21,069
Aquí tenemos el intervalo semicerrado o semiabierto, como prefiráis. Corchete menos 5, menos 1. Paréntesis.

157
00:21:21,069 --> 00:21:46,269
el conjunto de los números mayores o iguales, es decir, aquí el menos 5 está incluido, mayores o iguales que menos 5 y menores que menos 1, es decir, sería la parte de la recta que va desde menos 5 incluido hasta menos 1, sin incluir al 1, por eso en el menos 1 dejo una circunferencia, ¿vale?

158
00:21:46,269 --> 00:21:55,309
Y en la expresión algebraica utilizaríamos menor o igual para menos 5 y menor para menos 1, ¿vale?

159
00:21:57,309 --> 00:22:02,130
Bien, vamos a volver entonces a nuestro concepto de dominio.

160
00:22:02,250 --> 00:22:12,529
El dominio de... ahora entendemos por qué el dominio, en el ejemplo que hemos visto, es un intervalo abierto.

161
00:22:12,849 --> 00:22:15,190
Pero se me ha olvidado explicar una cosa.

162
00:22:15,190 --> 00:22:25,250
Lo que son las semirrectas, ¿vale? Una semirrecta es una forma de agrupar todos los números mayores o menores que otro, ¿sí?

163
00:22:25,849 --> 00:22:36,509
Entonces, en función de si queremos considerar o no el extremo numérico en la semirrecta, encontramos la siguiente clasificación que sigue las mismas notaciones que los intervalos anteriores.

164
00:22:36,509 --> 00:22:57,230
Tenemos la semirrecta abierta y la semirrecta cerrada. Por ejemplo, 2 más infinito es el conjunto de los números mayores que 2, ¿vale? Y por lo tanto, utilizamos un círculo en 2 para indicar que no vamos a incluir al extremo inferior, que es 2, ¿vale?

165
00:22:57,230 --> 00:23:01,950
y esto se nos va hasta más infinito, por eso lo representamos con una flecha.

166
00:23:03,390 --> 00:23:13,369
Y en notación algebraica sería el conjunto de X, de todos los X pertenecientes a R, a la recta real,

167
00:23:13,369 --> 00:23:24,390
tales que esos elementos X son mayores que 2 en sentido estricto, es decir, que no son mayores o iguales, sino mayores.

168
00:23:24,390 --> 00:23:43,589
Un ejemplo de semirrecta cerrada, menos infinito 2, veis como en tanto en más infinito como en menos infinito siempre utilizamos paréntesis, nunca indicamos corchetes, porque consideramos que el infinito no se puede alcanzar como tal nunca, ¿vale?

169
00:23:43,589 --> 00:23:53,549
Sin embargo, los extremos inferiores o superiores que no tienen valor infinito pueden ser con paréntesis o con corchetes, ¿vale?

170
00:23:54,250 --> 00:23:55,630
Bueno, pues esto es lo mismo.

171
00:23:56,089 --> 00:24:06,589
La semirrecta cerrada menos infinito 2 es el conjunto de todos los valores que viniendo desde menos infinito llegan hasta 2 incluido.

172
00:24:06,730 --> 00:24:08,730
Por eso ponemos un círculo, ¿vale?

173
00:24:08,730 --> 00:24:17,410
Es el conjunto de todos los valores x pertenecientes a R, tales que el valor de x es menor o igual, ¿vale?

174
00:24:18,369 --> 00:24:28,150
Aquí hay un ejemplo, que si queréis lo tenéis resuelto aquí, os he incluido la resolución, pero creo que no merece la pena seguir con ello, ¿vale?

175
00:24:28,150 --> 00:24:34,210
más interesantes son los ejemplos en los que se toma el valor absoluto de x

176
00:24:34,210 --> 00:24:39,190
como por ejemplo el 10a que nos dice

177
00:24:39,190 --> 00:24:43,809
escribe en forma de intervalo los números que se expresan por medio de desigualdades

178
00:24:43,809 --> 00:24:50,730
por ejemplo, ¿cómo se expresaría el intervalo que se ha expresado de esta manera?

179
00:24:50,730 --> 00:25:00,470
A, lo voy a poner aquí, el valor absoluto de X es mayor o igual que 2, ¿vale?

180
00:25:00,730 --> 00:25:08,569
Si nosotros lo representamos en la recta real, bueno, aquí me he trocido un poco, lo voy a poner así,

181
00:25:10,650 --> 00:25:19,589
este sería el valor 0, este sería el valor 1, este sería el valor 2, esto sería menos 1 y esto sería menos 2, ¿vale?

182
00:25:19,589 --> 00:25:31,750
Por lo tanto, ¿dónde estaría mi intervalo o mi conjunto expresado de manera algebraica como el valor absoluto de x es mayor o igual que 2?

183
00:25:31,750 --> 00:25:38,230
Bueno, de momento lo que tengo claro es que tanto 2 como menos 2 van a estar incluidos, ¿no? Bien.

184
00:25:39,869 --> 00:25:49,309
¿Y el 0 estaría incluido? No, porque si yo me fijo, el valor absoluto de 0 es 0 y no es mayor o igual.

185
00:25:49,589 --> 00:25:52,829
Y menos 1, lo mismo, no es mayor o igual que 2.

186
00:25:53,470 --> 00:26:06,769
Luego está claro que mi intervalo va a estar comprendido en estas, va a venir desde menos infinito hasta menos 2 y desde 2 hasta más infinito, ¿vale?

187
00:26:07,970 --> 00:26:17,690
Luego, esa sería la representación gráfica. Esto sería desde menos infinito hasta menos 2 y de 2 hasta más infinito.

188
00:26:17,690 --> 00:26:41,089
¿Y eso cómo se expresaría de manera algebraica? Pues tendría dos intervalos unidos. La solución es la unión de dos intervalos. Por un lado, la semirrecta cerrada menos infinito menos 2, porque el menos 2 lo estamos cogiendo, unión, ¿vale?

189
00:26:41,089 --> 00:26:49,069
Que es así como se dice la suma de dos conjuntos, unión, dos, más infinito.

190
00:26:49,349 --> 00:26:54,450
Es decir, es la unión de dos semirrectas cerradas.

191
00:26:54,609 --> 00:27:02,769
Cerradas porque en los extremos, que no son ni menos infinito ni más infinito, se han incluido los valores.

192
00:27:03,029 --> 00:27:05,150
¿Veis? Esta es la misma solución que tenemos aquí.

193
00:27:06,230 --> 00:27:08,109
El B se haría de una manera muy similar.

194
00:27:08,109 --> 00:27:09,549
El C, ¿cómo se haría?

195
00:27:11,089 --> 00:27:25,529
En el ceno se están diciendo cuál es el valor absoluto, o sea, cómo se representaría el intervalo definido mediante la expresión valor absoluto de x menos 1 mayor que 1.

196
00:27:25,529 --> 00:27:58,119
¿Vale? Bien. Bien. Para representar este intervalo lo que tenemos que tener en cuenta es que el valor absoluto de x menos 1 representa la distancia desde un punto cualquiera de la recta real a el valor x igual a 1.

197
00:27:58,119 --> 00:28:10,859
Es decir, si yo aquí tengo mi recta real, el valor absoluto de x menos 1 es la distancia de cualquier punto a el valor x igual a 1.

198
00:28:11,740 --> 00:28:21,740
Y si me están diciendo que ese valor absoluto tiene que ser mayor que 1, vamos a ver, por ejemplo, que sucede en x igual a 2.

199
00:28:21,740 --> 00:28:34,599
En x igual a 2, el valor absoluto de x menos 1 es 1. Luego, x igual a 2 no está comprendido.

200
00:28:35,480 --> 00:28:43,619
Y para 0, ¿cuánto vamos a tener? 0 menos 1 es menos 1. Y el valor absoluto de menos 1 es 1.

201
00:28:43,619 --> 00:29:05,670
¿Vale? Por lo tanto, no es mayor, luego aquí voy a tener un círculo, ¿sí? Entonces está claro que mi intervalo va a ser este de aquí, va a ser la suma de estas dos semirrectas, ¿de acuerdo?

202
00:29:05,670 --> 00:29:26,670
Luego, la expresión algebraica va a ser la semirrecta menos infinito cero, y en cero pongo un paréntesis, unión dos más infinito, es decir, es la unión de dos semirrectas abiertas, ¿vale?

203
00:29:26,670 --> 00:29:29,970
menos infinito coma cero

204
00:29:29,970 --> 00:29:31,509
unión dos más infinito

205
00:29:31,509 --> 00:29:34,430
ahora de momento

206
00:29:34,430 --> 00:29:35,789
os cuesta un poco ver

207
00:29:35,789 --> 00:29:38,430
los intervalos expresados de esta manera

208
00:29:38,430 --> 00:29:40,069
mediante el valor absoluto

209
00:29:40,069 --> 00:29:41,289
pero si lo veis como

210
00:29:41,289 --> 00:29:43,829
o tenéis claro

211
00:29:43,829 --> 00:29:45,769
que es la distancia

212
00:29:45,769 --> 00:29:47,869
que el valor absoluto de x menos uno

213
00:29:47,869 --> 00:29:49,210
es la distancia que hay de

214
00:29:49,210 --> 00:29:51,109
de un punto cualquiera x

215
00:29:51,109 --> 00:29:53,009
a el punto

216
00:29:53,009 --> 00:29:55,329
x igual a uno

217
00:29:55,329 --> 00:30:03,789
al punto este que me está aquí restando, vais a poder representar correctamente estos intervalos.

218
00:30:04,190 --> 00:30:06,970
¿De acuerdo? Estos de aquí salen de la misma manera.

219
00:30:07,750 --> 00:30:08,309
Bien.

220
00:30:19,079 --> 00:30:25,619
Bien. Hemos visto, por lo tanto, cómo se calcula el dominio de una función a través de su gráfica.

221
00:30:25,759 --> 00:30:28,339
Que eso no es complicado. ¿Vale? Lo hemos visto aquí.

222
00:30:29,619 --> 00:30:31,000
Eso no es complicado.

223
00:30:31,000 --> 00:30:38,700
Hemos visto que el dominio del ejemplo anterior es una semirrecta abierta, en concreto la semirrecta abierta 0 más infinito.

224
00:30:39,720 --> 00:30:50,299
Ahora vamos a ver cómo se calcula el dominio de una función a partir de su expresión analítica, de su expresión algebraica.

225
00:30:50,539 --> 00:30:54,119
Y para ello vamos a centrarnos en los ejercicios resueltos que trae el libro.

226
00:30:54,119 --> 00:31:09,680
El primer ejemplo que nos propone es esta función racional. f de x igual a 3x menos 2 dividido entre 2x más 1. Es una función racional. ¿Qué significa racional?

227
00:31:09,680 --> 00:31:30,859
que es del tipo f de x igual a un polinomio dividido entre un polinomio, eso es función racional, igual que función racional.

228
00:31:35,269 --> 00:31:43,130
Vosotros os acordaréis que vimos lo que eran las ecuaciones racionales, que era precisamente eso, un polinomio dividido entre otro polinomio.

229
00:31:43,509 --> 00:31:48,430
¿Y de dónde viene la expresión racional? Viene de razón, ¿vale?

230
00:31:48,430 --> 00:31:57,569
Que lo hemos expresado varias veces cuando hemos estado viendo lo que era proporcionalidad y razón, y también cuando hablamos de las ecuaciones racionales.

231
00:31:57,569 --> 00:32:07,349
¿Y qué dijimos cuando nosotros trabajábamos con ecuaciones racionales y encontrábamos las soluciones de una ecuación racional?

232
00:32:07,549 --> 00:32:11,710
¿Qué es lo que teníamos que ver o qué salvedad teníamos que fijarnos?

233
00:32:11,869 --> 00:32:16,089
¿O cuáles eran los puntos peligrosos de cualquier ecuación racional?

234
00:32:16,990 --> 00:32:23,509
Los denominadores, porque si en una ecuación racional el denominador se nos hace cero, tenemos un problema.

235
00:32:23,509 --> 00:32:35,549
Es decir, los valores de x, los valores de la variable independiente que hacen 0, el denominador de una ecuación racional o de una función racional, dan problemas.

236
00:32:35,809 --> 00:32:50,029
¿Cuál es el denominador de nuestra función racional? Yo tengo aquí f de x igual a 3x menos 2, dividido entre 2x más 1.

237
00:32:50,029 --> 00:33:08,809
El numerador no me da a mí ningún problema, pero el denominador es mi lugar conflictivo. Si a mí 2x más 1 se me hace 0, esto va a ser un valor dividido entre 0, que es infinito o menos infinito.

238
00:33:08,809 --> 00:33:14,450
Habría que verlo, ya lo veremos más adelante en estos temas de funciones.

239
00:33:14,769 --> 00:33:23,730
Pero de momento, ahora mismo, yo los valores de x que me hagan 0 en el denominador, los voy a sacar del dominio, porque en esos puntos no está definida la función.

240
00:33:25,250 --> 00:33:34,730
Entonces, ¿cómo calculo yo los puntos problemáticos? Muy fácil, voy a igualar el denominador a 0 y voy a ver en qué puntos sucede eso.

241
00:33:34,730 --> 00:33:52,829
2x más 1 igual a 0 implica que 2x es igual a menos 1, o lo que es lo mismo, x igual a menos 1 medio.

242
00:33:53,750 --> 00:33:58,950
Luego, mi denominador se me hace 0 en x igual a menos 1 medio.

243
00:33:58,950 --> 00:34:31,519
Por lo tanto, el dominio, y lo vamos a expresar como lo ha expresado el libro más arriba, el dominio de f de x es igual a que lo expresamos así, el conjunto de los números reales menos el conjunto que yo voy a excluir.

244
00:34:31,519 --> 00:34:42,699
Y para eso se utilizan las llaves del conjunto, menos el conjunto definido por un único elemento, que es menos un medio.

245
00:34:42,940 --> 00:34:49,619
Se me ha olvidado el uno. Menos un medio. ¿Vale? Ese sería mi dominio. ¿Vale?

246
00:34:51,460 --> 00:34:54,960
Vamos con el siguiente apartado. El apartado B.

247
00:34:54,960 --> 00:35:03,099
Es una función con raíces, ¿no? Con radicales.

248
00:35:03,519 --> 00:35:17,099
Entonces, el apartado b me dice cuál es el dominio de la función f de x definida como la raíz de x cuadrado menos 5x más 6.

249
00:35:17,619 --> 00:35:18,260
¿Vale?

250
00:35:18,260 --> 00:35:38,659
Bien, como recordaréis también, cuando trabajamos con las ecuaciones con radicales, dijimos que había que comprobar siempre si las soluciones que nosotros obteníamos para los valores de x hacían que el radicando fuera negativo.

251
00:35:38,659 --> 00:35:52,539
Es decir, porque en esos lugares, radicando menor que 0, no pongo el igual que 0, porque cuando un radicando es 0, la raíz está definida, raíz de 0 es 0.

252
00:35:52,539 --> 00:36:19,489
Pero cuando el radicando es negativo, radicando menor que 0, implica que f de x no está definida. ¿Por qué? Porque no hay ningún número real, o sea, porque la raíz de un número negativo no es un número real.

253
00:36:19,489 --> 00:36:23,409
En los reales, la raíz de un número negativo no tiene solución.

254
00:36:23,570 --> 00:36:30,670
Para eso habría que ampliar el concepto a los números complejos que los veréis en bachillerato, pero no en la ESO.

255
00:36:30,969 --> 00:36:36,309
Por lo tanto, cuando a mí un radicando se me hace cero, la función no está definida.

256
00:36:36,769 --> 00:36:51,039
Entonces, yo, para saber dónde tengo problemas, tengo que decir x cuadrado menos 5x más 6 tiene que ser mayor que cero.

257
00:36:51,039 --> 00:36:56,039
Ese va a ser mi dominio. Estos son los puntos en los cuales yo no tengo problemas.

258
00:36:56,760 --> 00:37:17,940
Y aquí hay una cosa que no he dicho bien y es que mi dominio será los valores de x en los cuales la expresión x cuadrado menos 5x más 6 es mayor o igual que 0.

259
00:37:17,940 --> 00:37:23,900
Porque tal y como hemos dicho antes, cuando la x es 0 la función está definida.

260
00:37:24,340 --> 00:37:40,099
Bien, pero esto que tenemos nosotros aquí es una inequación y las inequaciones las teníamos que haber visto antes, pero decidí explicároslas mejor en este tema, que es donde van a tener una aplicación más directa, ¿sí?

261
00:37:40,099 --> 00:37:48,739
Por lo tanto, ahora vamos a explicar cómo se resuelven las ecuaciones de primer y de segundo grado, ¿vale?

262
00:37:49,360 --> 00:37:56,400
Vamos a dar, a hacer una disgresión y vamos a explicar inequaciones, ¿vale?

263
00:37:56,619 --> 00:38:03,780
Que eso se veía o se debía haber visto en la unidad 3 del libro, en concreto en el apartado 6.1, ¿vale?

264
00:38:04,500 --> 00:38:09,179
El apartado 6.1 está dedicado a las inequaciones de primer grado, ¿vale?

265
00:38:10,099 --> 00:38:21,619
Son las más sencillas. Y para saber manejar en ecuaciones de primer grado tenemos que tener en cuenta dos reglas muy sencillas. La regla de la suma y la regla del producto.

266
00:38:21,619 --> 00:38:43,940
La regla de la suma es la misma que utilizáis continuamente cuando estáis resolviendo ecuaciones, ¿vale? Cuando vosotros tenéis ecuaciones, que tenéis una igualdad, podéis transformar una ecuación en una ecuación equivalente sumando o restando en ambos lados de la igualdad la misma cantidad positiva o negativa.

267
00:38:43,940 --> 00:38:56,500
Es decir, si yo tengo la inequación A menor que B, yo puedo pasar a una inequación equivalente sumando C en ambos lados de la inequación.

268
00:38:56,860 --> 00:39:06,139
Es decir, si yo tengo que A es menor que B y yo le sumo un valor C perteneciente a R, es decir, que puede ser positivo o negativo,

269
00:39:06,139 --> 00:39:16,760
porque r contiene valores positivos o negativos, yo paso a una inequación equivalente que es a más c es menor que b más c.

270
00:39:17,139 --> 00:39:25,219
Por ejemplo, si yo tengo que 2 es mayor que 1, yo puedo obtener una inequación equivalente sumando 5 en ambos lados de la inequación.

271
00:39:25,380 --> 00:39:29,840
2 más 5, que es 7, es mayor que 1 más 5, que es 6.

272
00:39:29,840 --> 00:39:32,199
¿Vale? La inequación se mantiene

273
00:39:32,199 --> 00:39:35,960
Y esto si lo representamos como una balanza desequilibrada

274
00:39:35,960 --> 00:39:37,360
El 2 pesa más que el 1

275
00:39:37,360 --> 00:39:43,219
Y la báscula no cambia

276
00:39:43,219 --> 00:39:46,219
No cambia su posición

277
00:39:46,219 --> 00:39:50,000
Si yo sumo 5 en ambos platillos

278
00:39:50,000 --> 00:39:50,440
¿Vale?

279
00:39:51,159 --> 00:39:53,699
Es decir, 2 más 5 es 7 y 1 más 5 es 6

280
00:39:53,699 --> 00:39:57,500
Y los platillos siguen estando desequilibrados hacia el mismo lado

281
00:39:57,500 --> 00:39:59,360
Ahora viene la regla del producto

282
00:39:59,360 --> 00:40:02,699
que es un poquito más complicada y hay que tener un poco más de cuidado.

283
00:40:03,079 --> 00:40:10,619
Si yo tengo la inequación A es menor que B, puedo pasar a una inequación equivalente,

284
00:40:10,920 --> 00:40:14,840
es decir, manteniéndose el signo menor, ¿vale?

285
00:40:15,579 --> 00:40:22,300
Si yo multiplico por un número positivo, acordaros de que en la regla de la suma o de la resta,

286
00:40:22,679 --> 00:40:27,179
yo puedo sumar o restar un valor, tanto positivo como negativo.

287
00:40:27,179 --> 00:40:55,340
Antes decíamos que c pertenecía a r, ahora decimos que c pertenece a la semirrecta positiva, es decir, si yo tengo un valor c positivo que pertenece a la semirrecta 0 más infinito y yo tengo una inequación a menor que b, esa inequación se mantiene, es decir, el signo de relación menor se mantiene si yo multiplico ambos lados de la inequación por el valor c positivo.

288
00:40:55,340 --> 00:41:03,619
Es decir, a menor que c equivale, por eso tenemos doble implicación, a que ac es menor que bc.

289
00:41:04,059 --> 00:41:10,659
Por ejemplo, si yo tengo que 2 es mayor que 1, eso equivale a que 2 por 5 es mayor que 1 por 5.

290
00:41:10,739 --> 00:41:14,760
Es decir, 2 por 5, 10, es mayor que 5.

291
00:41:15,840 --> 00:41:22,719
Sin embargo, cuidado, cuidado, cuidado, y hay que tener muchísimo cuidado porque esto os cuesta mucho.

292
00:41:22,719 --> 00:41:30,980
Si el número por el que yo multiplico es negativo, la inequación cambia y se invierte el orden de la desigualdad.

293
00:41:31,500 --> 00:41:36,519
Es decir, si yo tengo que A es menor que B, ¿vale?

294
00:41:36,599 --> 00:41:42,599
La flecha está mirando hacia la izquierda, esta flecha está mirando hacia la izquierda, ¿vale?

295
00:41:43,900 --> 00:41:46,800
La estoy haciendo aquí un poquito más grande para que la veáis bien.

296
00:41:46,800 --> 00:41:56,619
y yo multiplico por un valor negativo, porque c pertenece ahora a la semirrecta menos infinito cero,

297
00:41:56,800 --> 00:42:08,619
es decir, yo multiplico por un valor negativo, el sentido de la inequación cambia y ahora va a mirar hacia la derecha.

298
00:42:08,880 --> 00:42:15,239
Es decir, si a es menor que b y yo multiplico por un número negativo, ac va a ser mayor que bc.

299
00:42:15,239 --> 00:42:33,639
Por ejemplo, yo tengo la inequación 2 mayor que 1, que lo tengo aquí pintado con esta báscula, y yo multiplico por el valor menos 5, yo paso de ser el signo mayor al signo, al símbolo menor, ¿vale?

300
00:42:33,639 --> 00:42:49,840
Se me ha cambiado de estar mirando hacia la derecha, este pico, ha pasado a mirar hacia la izquierda, ¿vale? Porque 2 por menos 5 es menos 10, que es menor que 1 por menos 5, que es menos 5, ¿vale?

301
00:42:49,840 --> 00:43:13,179
Yo tengo aquí, acordaros, que si yo tengo un valor negativo, menos 10, y aquí tengo menos 5, menos 5 está más a la derecha que menos 10, luego menos 5 es mayor, por eso el signo cambia, que menos 10, que esto es menos 10, ¿vale?

302
00:43:13,179 --> 00:43:22,760
¿De acuerdo? Entonces, con esta regla resolveremos inequaciones de primer grado del tipo 3x menor o igual que 6.

303
00:43:23,179 --> 00:43:31,139
Aquí vamos a dividir, a multiplicar, por números positivos en el primer ejemplo, es decir, yo tengo 3x menor o igual que 6.

304
00:43:32,139 --> 00:43:40,039
Entonces, yo divido ambos lados de la inequación por un número positivo, que es 3, yo voy a dividir entre 3,

305
00:43:40,039 --> 00:44:03,599
Y eso, como 3 es positivo, ¿vale? Esto no cambia. El signo de la inequación no cambia. Paso de menor o igual a menor o igual. ¿Sí? Por lo tanto, yo voy a tener que 3x por un tercio, lo que es lo mismo 3x dividido entre 3, es menor o igual que 6 dividido entre 3.

306
00:44:03,599 --> 00:44:25,900
O lo que es lo mismo, que x es menor o igual que 2. Y yo aquí ya tendría mi inequación resuelta, que x es menor o igual que 2. Pero, pero, pero, si yo tengo que menos 4x es menor o igual que 2 tercios, yo para dejar la x sola voy a tener que dividir los dos lados de la inequación entre menos 4.

307
00:44:25,900 --> 00:44:39,460
Como estoy dividiendo entre un número negativo, da lo mismo que yo divida o que multiplique, ¿vale? A efectos de lo que es el cambio del signo de la desigualdad.

308
00:44:39,460 --> 00:44:56,659
Yo aquí tengo que menos 4x es menor o igual que 2 tercios. Yo como divido entre un número negativo, que es menos 4, el sentido de mi ecuación se invierte. Antes estaba el pico mirando a la izquierda y aquí va a mirar hacia la derecha.

309
00:44:56,659 --> 00:45:13,119
Es decir, que de menor o igual pasa a mayor o igual. Y esto tenéis que tener mucho cuidado porque nos equivocamos mucho. ¿Vale? Como, recordad, como estoy dividiendo entre menos 4, el sentido de la inequación se invierte. ¿Vale?

310
00:45:13,119 --> 00:45:31,440
Entonces ahora tengo menos 4x dividido entre menos 4 es mayor, ahora esto es mayor o igual que 2 tercios. Eso me queda que x, porque aquí se me va el menos 4 con el menos 4, me queda que x es mayor o igual que menos 1 sexto.

311
00:45:31,440 --> 00:45:35,719
Esta sería mi solución y la tenéis que tener muy clara, ¿vale?

312
00:45:36,059 --> 00:45:39,519
Aquí vamos a hacer algún ejemplo, ¿vale?

313
00:45:40,699 --> 00:45:41,880
Voy a tachar esto.

314
00:45:42,619 --> 00:45:45,500
Uf, control Z, porque no era eso lo que yo quería.

315
00:45:46,460 --> 00:45:48,820
Vamos a resolver estas inequaciones, ¿vale?

316
00:45:49,659 --> 00:45:51,579
La primera, el caso A.

317
00:45:53,579 --> 00:46:00,860
Bien, tenemos A.

318
00:46:01,440 --> 00:46:14,340
3x menos 4 más 5x menos 6 es mayor o igual que 10x menos 21.

319
00:46:14,460 --> 00:46:17,019
Se resuelven igual que resolvíamos las ecuaciones lineales.

320
00:46:17,019 --> 00:46:23,420
Es decir, hay que agrupar todas las x en un lado y todos los números en otro.

321
00:46:23,699 --> 00:46:30,139
Por lo tanto, yo voy a dejar 3x más 5x, este 10x, lo resto.

322
00:46:30,139 --> 00:46:41,079
O sea, lo paso restando al otro lado, porque acordaros de que cuando yo sumo o resto, tanto cantidades positivas como negativas, el sentido de la desigualdad no cambia.

323
00:46:41,239 --> 00:46:49,599
Luego yo, lo de pasar sumando o restando al otro lado de la inequación, es como cuando teníamos ecuaciones normales, ¿vale?

324
00:46:49,599 --> 00:47:02,519
Y ahora voy a pasar los números al lado de la derecha, es decir, el menos 4 pasa a 4, el menos 6 pasa a más 6 y este menos 21 se mantiene en su sitio, ¿vale? Punto y coma.

325
00:47:03,340 --> 00:47:19,000
Esto es 3x más 5x es 8x, menos 10 será menos 2x, es mayor o igual que 4 más 6, 10, menos 21, menos 11, ¿vale?

326
00:47:19,599 --> 00:47:48,960
Bien, yo me tengo que deshacer de este menos 2, por lo tanto voy a dividir todo entre menos 2, pero si yo divido todo entre menos 2, recordad que el sentido de mi inequación se va a invertir, es decir, menos 2x dividido entre menos 2, y ahora de mayor o igual paso a menor o igual, ojo, ojo, ojo, ojo, lo pongo así, recuadrado, va a ser menor o igual,

327
00:47:48,960 --> 00:48:00,920
que menos 11 dividido entre menos 2, punto y coma, es decir, menos 2 con menos 2 se va y me da positivo, x menor o igual,

328
00:48:01,500 --> 00:48:10,960
y ahora tengo menos 11 entre menos 2, menos entre menos, más x menor o igual que 11 medios, ¿de acuerdo?

329
00:48:10,960 --> 00:48:31,840
Bien, eso lo podríamos dejar así, pero como estamos practicando los intervalos, vamos a ver cómo lo podríamos expresar como un intervalo abierto, como una semirrecta abierta, ¿vale?

330
00:48:31,840 --> 00:48:53,760
Y vamos a representarlo también gráficamente. Si yo aquí tengo mi recta real y esto es más infinito y esto es menos infinito, mi intervalo, ¿dónde estaría? Me están diciendo que x tiene que ser menor o igual que 11 medios. 11 medios es más o menos, es 5,5, ¿no? Luego esto estaría aquí, 11 medios.

331
00:48:53,760 --> 00:49:04,079
y como mi desigualdad incluye el igual, eso quiere decir que 11 medios estaría incluido en el intervalo, ¿vale?

332
00:49:04,480 --> 00:49:09,519
Por eso pinto un círculo y no una circunferencia, ¿vale? 11 medios.

333
00:49:10,159 --> 00:49:19,380
Y como me están diciendo que tiene que ser menor o igual, la semirrecta va a ser esta, ¿sí? Esa sería la semirrecta.

334
00:49:19,380 --> 00:49:37,980
Y si yo lo quiero expresar como un intervalo, pues sería el intervalo menos infinito, once medios, y el once medios que pongo un paréntesis o un corchete, un corchete, porque el once medios está incluido, ¿vale?

335
00:49:37,980 --> 00:49:58,079
Luego esto sería la semirrecta cerrada, menos infinito, 11 medios, ¿vale? Y así se harían los demás. Esto no es muy complicado. Donde sí que tenemos más complicación, aquí los tenéis resueltos en el libro, todos los demás, que los podéis mirar, ¿vale?

336
00:49:58,079 --> 00:50:14,400
¿Vale? Donde sí que tendríamos más complicación es en el siguiente apartado. Bueno, más complicación porque no lo hemos visto, ¿vale? Y lo vamos a explicar ahora, que son las inequaciones polinómicas de grado mayor o igual que 2 con una incógnita.

337
00:50:14,400 --> 00:50:28,239
Que esto es precisamente lo que nosotros necesitamos, porque acordaros que hemos llegado a esto, o hemos venido aquí, porque necesitamos resolver esta inequación.

338
00:50:28,820 --> 00:50:41,900
f de x igual, o sea, x cuadrado menos 5x es mayor o igual que 0. Esa va a ser mi inequación, que como veis es una inequación de segundo grado.

339
00:50:41,900 --> 00:50:56,119
¿Vale? Pues vamos con ella. Inecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 2 con una incógnita. Eso es lo que nosotros necesitamos saber, que está en el tema 3, apartado 6-1.

340
00:50:56,119 --> 00:51:01,559
¿Cómo se resuelve eso?

341
00:51:03,559 --> 00:51:05,219
Voy a tachar la solución

342
00:51:05,219 --> 00:51:07,239
Y ahora lo vamos a ver

343
00:51:07,239 --> 00:51:09,719
Voy a tachar aquí el ejemplo

344
00:51:09,719 --> 00:51:11,460
Y lo vamos a explicar

345
00:51:11,460 --> 00:51:15,619
Esta es la herramienta

346
00:51:15,619 --> 00:51:17,679
Vamos a ir con el apartado número A

347
00:51:17,679 --> 00:51:19,579
Apartado número A

348
00:51:19,579 --> 00:51:21,320
Que me dicen

349
00:51:21,320 --> 00:51:23,599
Resuelve la siguiente inequación polinómica

350
00:51:23,599 --> 00:51:24,480
De grado 2

351
00:51:24,480 --> 00:51:31,940
con una sola incógnita, x cuadrado menos x mayor que 6, ¿vale?

352
00:51:32,139 --> 00:51:37,880
El primer paso siempre es convertirla en una inequación de grado,

353
00:51:37,880 --> 00:51:43,639
es decir, pasar todas las incógnitas y los números, los términos independientes,

354
00:51:44,179 --> 00:51:51,079
a un lado de la inequación, es decir, al igual que hacíamos con las ecuaciones de segundo grado.

355
00:51:51,079 --> 00:52:13,159
Si esto para mí fuera una ecuación de segundo grado, yo lo tengo que dejar en la forma canónica, ax cuadrado más bx más c igual a cero, ¿vale? Pues lo hago. Yo digo x cuadrado menos x menos 6 mayor que cero. Eso estaría, por así decirlo, en la forma canónica, ¿vale?

356
00:52:13,159 --> 00:52:30,880
Y el 6 lo hemos podido pasar restando sin cambiar el sentido del símbolo de la inequación porque por la regla de la suma y de la resta yo puedo sumar y restar sin ningún problema y sin que cambie el signo de la desigualdad, ¿vale?

357
00:52:30,880 --> 00:52:47,780
Y a continuación, ¿qué es lo que haríamos? Nosotros tenemos que factorizar este polinomio de grado 2. Para ello lo que tenemos que hacer es resolver la ecuación en la cual nosotros tendríamos esto igualado a 0.

358
00:52:47,780 --> 00:52:59,340
Yo igual a 0 y resuelvo la ecuación de segundo grado. x cuadrada menos x menos 6 igual a 0. Y esto se resuelve por la ecuación de segundo grado que vosotros conocéis.

359
00:52:59,340 --> 00:53:13,579
Entonces, x es igual a menos b, que menos b es menos 1, por lo tanto esto sería 1 más menos la raíz cuadrada de b cuadrado, que sería 1 menos 4 por 1 y por c.

360
00:53:13,579 --> 00:53:16,679
menos 4 por

361
00:53:16,679 --> 00:53:18,860
x, me escribe

362
00:53:18,860 --> 00:53:21,579
menos 4 por 1

363
00:53:21,579 --> 00:53:22,500
y por

364
00:53:22,500 --> 00:53:25,260
menos 6, ¿vale?

365
00:53:27,679 --> 00:53:28,900
partido por 2a

366
00:53:28,900 --> 00:53:31,059
que es 2, es decir

367
00:53:31,059 --> 00:53:32,980
esto es igual a 1

368
00:53:32,980 --> 00:53:35,380
más menos la raíz

369
00:53:35,380 --> 00:53:36,400
de, esto es 1

370
00:53:36,400 --> 00:53:38,920
menos 4 por menos 6

371
00:53:38,920 --> 00:53:40,599
es menos 20

372
00:53:40,599 --> 00:53:42,840
más 24, más 1

373
00:53:42,840 --> 00:54:00,380
25. 1 más menos raíz de 25, partido por 2. Es decir, esto es igual a 1 más menos 5, partido por 2. Es decir, x sub 1 es igual a 1 más 6, 5 entre 2, 3.

374
00:54:00,380 --> 00:54:29,820
Y x sub 2 es igual a 1 menos 5 menos 4 entre 2 menos 2, ¿vale? Ya tengo las soluciones a esta ecuación de segundo grado, ¿vale? Por lo tanto, yo eso lo puedo factorizar, ¿vale? Yo esto lo puedo factorizar como x menos 3 por x más 2 igual a 0.

375
00:54:30,380 --> 00:54:44,789
¿Ok? Bien, o sea que yo la expresión x cuadrado menos x menos 6 igual a 0 la puedo expresar factorizada de esta manera.

376
00:54:45,150 --> 00:54:55,849
Pero, como lo que yo voy buscando no es los puntos en los que esa expresión se hace 0, sino los puntos en los que es mayor que 0,

377
00:54:55,849 --> 00:55:17,429
Yo puedo expresar esta expresión algebraica, valga la redundancia, x cuadrado menos x menos 6 mayor que 0 es equivalente a ver en qué puntos el producto x menos 3 por x más 2 es mayor que 0.

378
00:55:17,429 --> 00:55:20,190
Y para eso lo que vamos a hacer es lo siguiente.

379
00:55:20,849 --> 00:55:30,769
Vamos a hacer una tabla y vamos a ver dónde cambia el signo de nuestros factores.

380
00:55:31,510 --> 00:55:35,369
Yo tengo dos factores, x menos 3 y x más 2, ¿no?

381
00:55:35,929 --> 00:55:36,210
Bien.

382
00:55:37,329 --> 00:55:39,929
Y, por otro lado, tengo dos raíces.

383
00:55:40,849 --> 00:55:41,889
Voy a bajar esto un poco.

384
00:55:41,889 --> 00:55:47,820
Yo tengo, no puede ser, ¿cuánto es z?

385
00:55:49,000 --> 00:56:06,880
A ver, ¿cómo hago esto ahora? Nada, control Z. Entonces, lo que hacemos ahora es una tabla en la que ponemos en la primera columna los factores que tenemos, x menos 3 y x más 2, ¿vale?

386
00:56:06,880 --> 00:56:29,119
Y en la primera fila, bueno, esta me ha quedado muy mal, y en la primera fila lo que vamos a poner es los lugares en los que cambian las raíces que nosotros tenemos.

387
00:56:29,119 --> 00:56:41,480
Es decir, vamos a poner aquí menos infinito porque es el valor más extremo, luego aquí ponemos de manera ordenada las raíces de nuestra inequación, ¿vale?

388
00:56:41,739 --> 00:56:48,880
Que son, primero va el menos 2 y luego va el menos 3, pongo menos 2 y luego pongo aquí 3.

389
00:56:48,880 --> 00:57:09,360
Luego aquí pongo más infinito, más infinito. Y aquí voy a poner, en la última fila, voy a poner el producto x menos 3 por x más 2. Ya sé que esto ahora mismo os va a parecer un poco complicado, pero veréis que no es difícil en cuanto practiquéis un poquito.

390
00:57:09,360 --> 00:57:26,900
Y ahora vamos a estudiar el signo de cada uno de los factores. Es decir, si yo doy un valor entre menos infinito y menos 2 a la x, porque estoy en este cuadrante, ¿cuánto va a valer el factor x menos 3?

391
00:57:26,900 --> 00:57:31,239
¿Cuál va a ser el signo del factor? Va a ser negativo.

392
00:57:32,460 --> 00:57:44,320
Si ahora le doy un valor comprendido entre menos 2 y 3, por ejemplo, 0, 1, 2, porque aquí estaría el 0, aquí estaría el 1, el 2, ¿qué valor voy a tener?

393
00:57:45,139 --> 00:57:52,059
Voy a tener un valor negativo. Por ejemplo, si le diera el valor 0, 0 menos 3, menos 3. Luego el signo va a ser negativo.

394
00:57:52,059 --> 00:58:03,320
Si yo le doy el valor 3, aquí se me va a hacer un 0. Esto no se suele representar el 0, pero a mí me gusta ponerlo, para que se vea dónde se va a producir el 0.

395
00:58:03,780 --> 00:58:12,820
Y si le doy un valor que está comprendido entre 3 y más infinito, por ejemplo, 10, yo voy a tener un signo positivo. Por ejemplo, 10 menos 3 es 7, positivo.

396
00:58:12,820 --> 00:58:26,000
¿Vale? Luego mi factor x menos 3, desde menos infinito hasta 3, va a ser negativo. En 3 se hace 0 y a partir de 3 positivo. ¿Vale? Por eso es menos, menos, más.

397
00:58:26,000 --> 00:58:28,699
Ahora vamos con el factor x menos 2

398
00:58:28,699 --> 00:58:34,719
Si yo le doy un valor a la x muy negativo, por ejemplo, menos 100, menos 100 más 2 es negativo

399
00:58:34,719 --> 00:58:39,679
En menos 2, si le doy x menos 2, aquí voy a tener un 0

400
00:58:39,679 --> 00:58:47,719
Y si le doy un valor grande, por ejemplo, 0, 10, 20, 10 más 2, ya voy a tener positivo siempre

401
00:58:47,719 --> 00:58:54,639
Por lo tanto, ¿cuál va a ser el signo de x menos 3 por x menos 2?

402
00:58:54,639 --> 00:59:04,000
pues será el signo de la primera fila multiplicado por el signo de la segunda fila, es decir, entre menos infinito y menos 2 vamos a tener menos por menos, más.

403
00:59:05,079 --> 00:59:09,159
En menos 2 vamos a tener lo que sea por 0, va a ser 0.

404
00:59:10,300 --> 00:59:14,699
Entre menos 2 y 3 vamos a tener menos por más, menos.

405
00:59:15,599 --> 00:59:17,340
En 3 vamos a tener un 0.

406
00:59:18,539 --> 00:59:22,139
Y a partir de 3 vamos a tener más por más, más.

407
00:59:22,139 --> 00:59:28,980
¿Vale? Y yo, ¿qué es lo que estaba buscando? Que ya con todo se me, a veces se nos olvida lo que vamos buscando

408
00:59:28,980 --> 00:59:33,900
Yo voy buscando los valores en que x menos 3 por x más 2 sea positivo

409
00:59:33,900 --> 00:59:38,440
Luego mi intervalo va a ser este y este

410
00:59:38,440 --> 00:59:43,579
¿Qué pasa con los valores x menos 2 y x igual a 3?

411
00:59:43,579 --> 01:00:05,960
Pues en esos valores este producto es 0 y a mí me están pidiendo los valores de x en los cuales la inequación es estrictamente positiva, ¿vale? Por lo tanto, esta inequación tiene como soluciones estos dos intervalos.

412
01:00:05,960 --> 01:00:19,800
Recordad que aquí estamos en el tema 3, no estamos en el tema 7. Me están pidiendo simplemente los valores de las x. No estamos hablando de dominios ni de nada. Me están diciendo que resuelva las siguientes inequaciones.

413
01:00:19,800 --> 01:00:48,559
Por lo tanto, esta inequación, x cuadrado menos x mayor o igual que 6, o sea, mayor que 6, es equivalente a x cuadrado menos x mayor que 0, y la solución va a ser el intervalo menos infinito coma menos 2, y aquí lo dejo abierto porque no me vale el 0, porque tiene que ser mayor que 0, estrictamente mayor, unión, que se hace con este signo,

414
01:00:49,800 --> 01:00:56,780
Intervalo abierto, porque el 3 no está incluido, porque en 3 se hace 0 la expresión.

415
01:00:57,960 --> 01:01:03,480
Unión, el intervalo abierto, 3 más infinito.

416
01:01:04,199 --> 01:01:04,519
¿De acuerdo?

417
01:01:06,519 --> 01:01:17,880
Bien, con eso habríamos resuelto el primer apartado.

418
01:01:17,880 --> 01:01:22,880
Vamos a ir ahora con el apartado B, porque como es algo novedoso, vamos a hacer varios ejemplos.

419
01:01:25,440 --> 01:01:28,360
El segundo apartado dice lo siguiente.

420
01:01:28,440 --> 01:01:47,139
B. Resuelve las siguientes inequaciones polinómicas, 3x más 2x a la cuarta más 3x al cubo menor o igual que 8x al cuadrado, ¿vale?

421
01:01:47,599 --> 01:01:53,159
Es decir, es más complicada porque es de grado 4, pero no debemos ponernos nerviosos.

422
01:01:53,159 --> 01:02:03,000
Vamos a aplicar lo que sabemos, y es que tenemos que dejar en uno de los lados de la inequación, debemos dejar 0 y todos los demás términos pasarlos al otro lado.

423
01:02:03,000 --> 01:02:31,260
Por lo tanto, como aquí tengo el término 2x a la cuarta con coeficiente positivo, voy a pasar todo al lado de la izquierda y lo voy a ordenar 2x a la cuarta más 3x cubo menos 8x cuadrado más 3x, más 3x, tiene que ser menor o igual que 0, ¿vale?

424
01:02:31,260 --> 01:02:35,300
porque aquí tengo un menor o igual, y el 8x al cuadrado lo he pasado restando, ¿vale?

425
01:02:35,659 --> 01:02:39,880
Por lo tanto, ahora yo tengo que factorizar este polinomio de grado cuarto.

426
01:02:40,599 --> 01:02:46,820
Si os acordáis, los pasos para factorizar un polinomio, lo primero era sacar factor común,

427
01:02:47,340 --> 01:02:54,260
ver si hay identidades notables, y luego resolver la ecuación de las ecuaciones que nos vayan quedando.

428
01:02:55,000 --> 01:02:59,559
Si son de grado mayor que 2, aplicábamos Ruffini, y si eran de grado 2,

429
01:02:59,559 --> 01:03:03,539
resolvíamos por el método de la ecuación de segundo grado.

430
01:03:03,800 --> 01:03:07,179
Aquí está claro que puedo sacar factor común a la x.

431
01:03:07,380 --> 01:03:11,920
Es decir, yo voy a poder decir que esa expresión es igual a x

432
01:03:11,920 --> 01:03:22,460
que multiplica a 2x cubo más 3x cuadrado menos 8x más 3

433
01:03:22,460 --> 01:03:26,019
y eso tiene que ser menor o igual que cero.

434
01:03:26,199 --> 01:03:27,719
Ya he sacado factor común a la x.

435
01:03:27,719 --> 01:03:56,900
No puedo sacar factor común a este factor, ya no puedo seguir. Por lo tanto, tengo que aplicar Ruffini porque tengo grado 3 a este polinomio, ¿vale? Como mi término independiente es 3, yo tengo que probar primero a ver si hay soluciones enteras y si hay soluciones enteras tendrán que ser divisores del término independiente que tiene por divisores más menos 1 y más menos 3.

436
01:03:57,719 --> 01:04:04,260
Si lo hacemos un poquito abajo, vemos que, vamos a probar con 1.

437
01:04:04,260 --> 01:04:10,659
Yo tendría 2 más 3, 5, 5 más 3, 8, menos 8.

438
01:04:10,800 --> 01:04:18,760
Sí, con el valor x igual a 1, yo voy a tener, o sea, el valor x igual a 1 lo hace 0.

439
01:04:18,900 --> 01:04:20,019
Entonces voy a aplicar Ruffini.

440
01:04:20,559 --> 01:04:26,179
Yo tengo 2, 3, menos 8 y 3, ¿vale?

441
01:04:26,179 --> 01:04:44,840
Luego, si yo aquí pongo 1, ¿qué voy a tener? 2 por 1, 2. 3 más 2, 5. 5 por 1, 5. Menos 8 más 5, menos 3. Menos 3 por 1, menos 3. Y aquí voy a tener 0, ¿vale?

442
01:04:44,840 --> 01:04:57,559
Por lo tanto, ese polinomio yo lo puedo expresar como x que multiplica, acordaros, cuando yo aquí tengo el valor de una raíz, voy a tener por factor x menos ese valor.

443
01:04:58,000 --> 01:05:10,780
Y el siguiente cociente va a ser x cuadrado más 5x menos 3 igual a 0.

444
01:05:10,780 --> 01:05:31,920
Si eso lo resuelvo por la ecuación de segundo grado, yo voy a tener que x es igual a menos b, es decir, menos 5 más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado, que es 25, menos 4 por 1, es que escribir los puntos me cuesta mucho,

445
01:05:31,920 --> 01:05:42,940
Menos 4 por 1 por menos 3, ¿vale? Divido entre 2a, siendo a 1, por lo tanto me queda esto.

446
01:05:42,940 --> 01:06:00,639
Y esto es igual a menos 5 más menos la raíz de 25 menos más, o sea, menos por menos es más, 12 partido por 2.

447
01:06:00,639 --> 01:06:10,500
lo cual es igual a menos 5 más menos la raíz cuadrada de 37.

448
01:06:11,000 --> 01:06:15,659
Y aquí estos números ya no me suenan, luego en algo me he debido equivocar.

449
01:06:16,539 --> 01:06:27,699
Ah, esto es un 2, esto es un 2, aquí me he equivocado, ¿vale?

450
01:06:27,699 --> 01:06:52,289
Menos 4, luego esto es un 2, ¿vale? Menos 4 y esto es 24, y esto es, esto es 24.

451
01:06:52,289 --> 01:06:56,150
por lo tanto, esto va a ser 49

452
01:06:56,150 --> 01:07:00,449
esto va a ser 49

453
01:07:00,449 --> 01:07:01,829
y esto va a ser 7

454
01:07:01,829 --> 01:07:05,670
menos 5 más menos 7

455
01:07:05,670 --> 01:07:06,909
partido por 2

456
01:07:06,909 --> 01:07:10,210
y eso nos da por un lado

457
01:07:10,210 --> 01:07:13,690
menos 5 más 7, 2 entre 2, a 1

458
01:07:13,690 --> 01:07:17,090
y ahora voy a tener menos 5 menos 7

459
01:07:17,090 --> 01:07:18,489
es menos 12

460
01:07:18,489 --> 01:07:23,369
y aquí también me he equivocado, porque esto es 2 por 2

461
01:07:23,369 --> 01:07:45,309
2 por 2, y esto es 2 por 2, y esto es 4. Esto es menos 5 más 7, es 2. Entre 4, esto es un medio. Y menos 5 menos 7 es menos 12. Entre 4 es menos 3.

462
01:07:45,309 --> 01:08:06,170
¿Sí? Ahora sí que lo tendríamos bien. Entonces, este polinomio se factorizaría como x por x menos 1 por x menos 1 medio y por x más 3. ¿Vale? Y eso tiene que ser menor o igual que 0.

463
01:08:06,170 --> 01:08:29,949
Todo esto es factorización de polinomios, que es lo que hemos estado viendo en los temas anteriores, repasadlo, pero no es complicado. Y ahora tendríamos que hacer lo que ya hemos hecho en el ejercicio anterior, que es formar una tabla donde lo pongo yo para que esto me quepa y no me quede feo.

464
01:08:29,949 --> 01:08:53,600
Voy a alargar este cuadrado, ¿vale? Y lo vamos a hacer así, así no queda muy feo, ¿vale? Entonces, esto sería igual, vamos a poner en la primera columna, en primer lugar, los valores, en primer lugar, los factores,

465
01:08:53,600 --> 01:09:22,659
x, x menos 1, x menos 1 medio, x más 3, x más 3 y por último el producto de todos ellos, x que multiplica a x menos 1 por x menos 1 medio y ahora x más 3, ¿vale?

466
01:09:26,510 --> 01:09:30,350
A ver, y ahí vamos a poner los valores de los cambios.

467
01:09:30,550 --> 01:09:35,310
Esto sería menos infinito, ¿cuál es el siguiente, el más pequeño de todos ellos?

468
01:09:35,789 --> 01:09:39,850
Luego vendría menos tres, de todas las raíces vendría menos tres,

469
01:09:41,010 --> 01:09:48,800
luego vendría cero, si no me equivoco,

470
01:09:48,800 --> 01:09:53,479
y luego vendría un medio, si lo hacemos en orden, un medio,

471
01:09:54,060 --> 01:09:56,840
y luego vendría uno, ¿vale? Esas son todas las raíces.

472
01:09:57,000 --> 01:09:59,319
Es que las he puesto de manera muy desordenada.

473
01:09:59,319 --> 01:10:12,300
Es decir, yo raíces tengo 0 por la x, tengo 1 por x menos 1, tengo un medio y tengo menos 3.

474
01:10:12,579 --> 01:10:14,359
Esas serían las raíces ordenadas.

475
01:10:14,500 --> 01:10:15,840
Y luego tengo más infinito.

476
01:10:16,539 --> 01:10:16,640
¿Vale?

477
01:10:17,380 --> 01:10:17,659
Bien.

478
01:10:18,960 --> 01:10:25,600
Entonces, bajo una barra, una línea, por cada una de las raíces ordenadas.

479
01:10:25,840 --> 01:10:27,640
Ordenadas, acordaros de ordenarlas.

480
01:10:27,640 --> 01:10:28,020
¿Vale?

481
01:10:29,000 --> 01:10:41,800
Entonces, voy a hacer así, más o menos, me va a salir todo muy torcido, pero bueno, bien.

482
01:10:43,720 --> 01:10:54,550
Entonces, ¿dónde van a estar los cambios de la x, del signo de la x?

483
01:10:54,550 --> 01:11:03,430
Pues es muy fácil, en x igual a 0 será 0, y en estos dos intervalos será negativo, y a partir de aquí será positiva siempre, ¿vale?

484
01:11:03,430 --> 01:11:24,489
Es decir, el signo de la x es negativo desde menos infinito, al llegar a 0 se hace 0 y a partir de x igual a 0 se hace positivo. x menos 1, ¿dónde tendrán el cambio de signo? O sea, ¿dónde se hará 0? En x igual a 1, es decir, aquí se hará 0 y en todos estos valores va a ser negativo.

485
01:11:24,489 --> 01:11:28,770
Si yo le doy el valor a la x

486
01:11:28,770 --> 01:11:29,810
Menos 100 por ejemplo

487
01:11:29,810 --> 01:11:30,729
Menos 100 menos 1

488
01:11:30,729 --> 01:11:31,430
Menos 101

489
01:11:31,430 --> 01:11:33,069
Es negativo, negativo, negativo

490
01:11:33,069 --> 01:11:35,670
En x igual a 1 se hace 0

491
01:11:35,670 --> 01:11:38,310
Y a partir de x igual a 1 se hace positivo

492
01:11:38,310 --> 01:11:39,850
x menos 1 medio

493
01:11:39,850 --> 01:11:40,789
¿Dónde se hará 0?

494
01:11:41,750 --> 01:11:44,569
En x igual a 1 medio

495
01:11:44,569 --> 01:11:46,750
Antes va a ser siempre negativa

496
01:11:46,750 --> 01:11:48,729
Y a partir de ahí positiva

497
01:11:48,729 --> 01:11:49,810
¿Vale?

498
01:11:50,130 --> 01:11:51,170
x más 3

499
01:11:51,170 --> 01:11:52,090
¿Dónde se hará 0?

500
01:11:52,090 --> 01:12:01,829
en x igual a menos 3. Antes era negativa y a partir de ahí positiva. ¿Sí? Y el producto

501
01:12:01,829 --> 01:12:08,090
de todas ellas, ¿cómo va a ser? Menos por menos más, menos por menos más. Es decir,

502
01:12:08,210 --> 01:12:14,909
menos por menos más, por menos menos, por menos más. Aquí cero, porque vamos a tener

503
01:12:14,909 --> 01:12:21,270
un cero entre los factores. Aquí como hay tres signos menos, que es un número en par,

504
01:12:21,270 --> 01:12:27,670
vamos a tener signo negativo. En cero, como tenemos un factor que se hace cero, vamos

505
01:12:27,670 --> 01:12:34,550
a tener un cero. Y aquí tenemos dos signos menos y dos signos más. Luego vamos a tener

506
01:12:34,550 --> 01:12:42,289
valor positivo. En x igual a un medio volvemos a tener cero. Aquí signo menos. ¿Por qué?

507
01:12:42,289 --> 01:12:50,289
Porque tenemos un número impar de regiones negativas. En x igual a uno vamos a tener

508
01:12:50,289 --> 01:12:57,109
un 0 y a partir de 1 todo positivo. Y a mí, como me estaban pidiendo dónde era menor

509
01:12:57,109 --> 01:13:04,689
o igual que 0, menor o igual, ¿vale? Luego, ¿cuáles van a ser mis intervalos? Este van

510
01:13:04,689 --> 01:13:13,369
a ser mis intervalos, van a ser las soluciones. Y en los extremos los voy a coger. Yo los

511
01:13:13,369 --> 01:13:20,029
voy a coger porque me están diciendo que el valor del producto puede ser 0. Luego las

512
01:13:20,029 --> 01:13:27,550
solución es, menos 3, perdón, control Z, tengo que poner corchetes, la solución va

513
01:13:27,550 --> 01:13:35,409
a ser menos 3, 0, con corchetes, porque yo voy a admitir los valores iguales a 0, que

514
01:13:35,409 --> 01:13:46,920
hacen la solución igual a 0, unión, corchete, un medio, 1, corchete, ¿vale? Esta sería

515
01:13:46,920 --> 01:13:59,800
la solución, ¿eh? Que por cierto, he olvidado una cosa muy importante, muy importante, porque

516
01:13:59,800 --> 01:14:07,159
aquí me había comido este 2, la factorización debe incluir aquí el coeficiente principal,

517
01:14:08,140 --> 01:14:13,979
que es el coeficiente del término de mayor grado, ¿vale? Aquí me lo he comido y esto

518
01:14:13,979 --> 01:14:19,340
es muy importante, muy importante. Al ser positivo no cambia el signo, pero si hubiera

519
01:14:19,340 --> 01:14:26,439
sido negativo, hubiera cambiado el signo, ¿vale? Acordaros de incluir ahí el coeficiente

520
01:14:26,439 --> 01:14:38,890
del término principal, ¿vale? Muy importante. Bien, por lo tanto, si volvemos ahora a nuestro

521
01:14:38,890 --> 01:14:44,869
ejercicio del tema 3, del tema 7, a mí me estaban pidiendo que calcule el dominio de

522
01:14:44,869 --> 01:14:50,270
esta función f de x igual a raíz cuadrada de x cuadrado menos 5x más 6. Por lo tanto,

523
01:14:50,270 --> 01:15:02,890
El dominio, como hemos dicho, va a ser aquellos valores de x que hagan que el radicando sea positivo. Es decir, aquellos valores en los que x cuadrado menos 5x más 6 es mayor o igual que 0.

524
01:15:02,890 --> 01:15:14,810
Y ahora, como ya sabemos resolver estas inequaciones, vamos a proceder. Lo que hacemos es resolver la ecuación de segundo grado y factorizar esa expresión algebraica.

525
01:15:14,810 --> 01:15:30,750
Es decir, se sabe muy fácilmente que las soluciones de esta ecuación de segundo grado son x1 igual a 2 y x2 igual a 3, ¿vale?

526
01:15:30,750 --> 01:15:49,970
Si lo hacéis por la fórmula, lo veréis muy fácilmente. Entonces, yo esa expresión algebraica la puedo escribir como x menos 2 por x menos 3 mayor o igual que 0, ¿vale?

527
01:15:49,970 --> 01:16:19,789
Por lo tanto, si yo escribo aquí mis factores, como hacíamos en el apartado anterior, en columna, x menos 3, y aquí el producto, x menos 2 por x menos 3, y me formo mi tabla, ¿vale?

528
01:16:19,789 --> 01:16:34,109
Empiezo con menos infinito. Aquí pongo menos infinito. Y ahora pongo la primera raíz, que es 2, la más pequeña. Aquí pongo 2 y aquí pongo 3. Y aquí pongo más infinito.

529
01:16:35,949 --> 01:16:47,489
Y empiezo a dar valores. Lo primero, ¿dónde se hará x menos 2, 0? Pues se hará aquí. Y en menos 100, por ejemplo, menos 100, menos 2, menos 102. Esto es negativo.

530
01:16:47,489 --> 01:16:56,689
Y para valores mayores que 2, por ejemplo, si le doy 3 o 5, 5 menos 2 es 3.

531
01:16:57,010 --> 01:17:01,130
Luego esto es positivo, si le doy un valor muy grande a la x vuelve a ser positivo.

532
01:17:01,670 --> 01:17:05,449
x menos 3, ¿dónde se va a hacer 0? Pues aquí, en x igual a 3.

533
01:17:06,130 --> 01:17:10,590
En x igual a menos infinito, o menos 100, menos 100 menos 3, menos 103.

534
01:17:10,590 --> 01:17:22,869
Luego esto es negativo, en 2,5 por ejemplo, 2,5 menos 3 va a ser negativo, en 3 se hace 0 y a partir de ahí ya positivo.

535
01:17:23,449 --> 01:17:29,229
Y si yo ahora hago el producto, menos por menos, entre menos infinito y 2, menos por menos, más.

536
01:17:29,869 --> 01:17:32,689
En 2 se hace 0 porque este factor se me hace 0.

537
01:17:33,750 --> 01:17:36,329
Entre 2 y 3, más por menos, menos.

538
01:17:36,329 --> 01:17:52,890
En 3 se hace 0. Y a partir de 3, más por más, más. Lo cual será el dominio de mi función. Todos aquellos valores en los que el radicando es positivo o igual a 0.

539
01:17:52,890 --> 01:18:20,850
Luego a mí los extremos de estos dos intervalos los voy a incluir, luego lo escribo dominio de f de x y lo pongo como dominio porque ahora lo que me está imprimiendo es el dominio no que resuelva la ecuación, es igual a, y lo escribo así, menos infinito coma dos, aquí pongo un corchete porque se me admite el igual a cero, porque la raíz de cero está definida, unión.

540
01:18:22,890 --> 01:18:39,109
Corchete, 3, más infinito. Y en menos infinito y más infinito pongo paréntesis, ¿vale? Porque los paréntesis no está definida, o sea, porque en más infinito y menos infinito se utilizan paréntesis, ¿vale?

541
01:18:39,109 --> 01:19:03,350
Bien, continuamos ahora con el apartado c. El apartado c nos dice que indiquemos el dominio de la función logarítmica f de x igual al logaritmo neperiano de x cuadrado menos 9, siendo el argumento de la función neperiano x cuadrado menos 9.

542
01:19:03,350 --> 01:19:09,189
Para ello tenemos que saber dónde está definida la función logarítmica

543
01:19:09,189 --> 01:19:17,970
Acordaros que los logaritmos están definidos en todos aquellos puntos en los cuales el argumento es mayor que 0

544
01:19:17,970 --> 01:19:22,829
Es decir, no existen logaritmos de argumentos negativos o iguales a 0

545
01:19:22,829 --> 01:19:34,529
Por lo tanto, yo tengo que resolver la inequación x cuadrado menos 9 mayor que 0 de manera estricta, ¿sí?

546
01:19:35,130 --> 01:19:42,069
Bien, por lo tanto, yo tengo que resolver esa inequación.

547
01:19:43,050 --> 01:19:50,270
Esto, como veis, es una identidad notable, porque esto es una diferencia, una suma por una diferencia.

548
01:19:50,270 --> 01:19:59,689
Eso lo puedo escribir yo como x más 3 por x menos 3, mayor que 0.

549
01:20:04,590 --> 01:20:12,930
Bien, por lo tanto, tendremos que resolver esta inequación, x más 3 por x menos 3, mayor que 0.

550
01:20:12,970 --> 01:20:19,909
¿Y cómo se resuelve? Pues muy fácil, como hemos dicho anteriormente, primero escribimos los factores en una columna,

551
01:20:19,909 --> 01:20:24,529
x más 3, x menos 3 y ahora aquí la multiplicación

552
01:20:24,529 --> 01:20:28,210
x más 3 por x menos 3

553
01:20:28,210 --> 01:20:32,630
y aquí en la primera línea

554
01:20:32,630 --> 01:20:35,210
escribimos los puntos de cambio

555
01:20:35,210 --> 01:20:39,789
primero tenemos menos infinito, luego que vendría

556
01:20:39,789 --> 01:20:42,909
nuestra raíz que sería x menos 3

557
01:20:42,909 --> 01:20:48,550
luego tenemos otra raíz en 3 y luego esto es

558
01:20:48,550 --> 01:21:03,109
más infinito, esto es el final, ¿vale? ¿Cómo van a ser los cambios de signo de nuestra inequación? Vale, x más 3, ¿dónde se va a hacer 0? En x igual a menos 3.

559
01:21:03,250 --> 01:21:14,569
x menos 3, ¿dónde se va a hacer 0? En x igual a 3. Entonces, si yo le doy a la x un valor muy negativo, por ejemplo, menos 100, menos 100 más 3, va a ser negativo.

560
01:21:14,569 --> 01:21:17,510
luego va a ser 0 y a partir de aquí ya positivo

561
01:21:17,510 --> 01:21:21,869
x menos 3 va a ser negativo hasta que lleguemos a x igual a 3

562
01:21:21,869 --> 01:21:23,930
que se va a hacer 0 y a partir de aquí positivo

563
01:21:23,930 --> 01:21:26,449
¿y cómo va a ser x más 3 por x menos 3?

564
01:21:26,829 --> 01:21:28,829
pues el producto de las dos primeras filas

565
01:21:28,829 --> 01:21:30,310
menos por menos, más

566
01:21:30,310 --> 01:21:32,550
en x igual a menos 3, 0

567
01:21:32,550 --> 01:21:35,350
aquí más por menos, menos

568
01:21:35,350 --> 01:21:37,930
aquí 0 porque tenemos un factor que es 0

569
01:21:37,930 --> 01:21:40,170
y aquí más por más, más

570
01:21:40,170 --> 01:21:44,449
y como yo busco los valores en los que esto es 0, es mayor que 0

571
01:21:44,449 --> 01:22:03,529
van a ser, va a ser este intervalo y este intervalo, por lo tanto, el dominio, el dominio de f de x va a ser igual a menos infinito menos 3,

572
01:22:03,529 --> 01:22:15,149
aquí abierto, porque el 0 no se admite, unión 3 más infinito, ese sería el dominio, así de fácil, ¿vale?

573
01:22:16,149 --> 01:22:24,600
Bien, luego, ¿cómo sería el dominio del apartado D?

574
01:22:24,600 --> 01:22:39,960
El apartado D me da una función f de x, que es una función exponencial, es decir, una base elevada a una función racional.

575
01:22:40,239 --> 01:22:46,340
Es decir, la función es una base elevada a un exponente, que es una función.

576
01:22:46,340 --> 01:22:54,720
las funciones exponenciales no tienen problemas, salvo que el exponente se haga más o menos infinito.

577
01:22:55,260 --> 01:23:10,800
Es decir, f de x va a ser el dominio de f de x, va a ser igual a todo el conjunto de los números reales, salvo el valor 0.

578
01:23:10,800 --> 01:23:22,460
¿Por qué 0? Porque en 0 el exponente se hace infinito, porque voy a tener un número, en concreto, menos 1, dividido entre infinito, ¿vale?

579
01:23:22,680 --> 01:23:26,779
Y, por lo tanto, tengo que excluir el valor 0, ¿sí?

580
01:23:26,779 --> 01:23:48,739
Y por último, el apartado E me pide hallar el dominio de una función polinómica f de x igual a 3x elevado a 5 menos 4x al cubo más 2x menos 8, ¿vale?

581
01:23:48,739 --> 01:23:55,640
Y esto, al ser una función polinómica, no tiene ningún punto que debamos excluir del dominio, ¿vale?

582
01:23:55,859 --> 01:24:03,520
Porque las funciones polinómicas no tienen puntos peligrosos en los que haya un denominador que se haga igual a cero

583
01:24:03,520 --> 01:24:06,859
o una raíz en la que el radicando se haga negativo, ¿vale?

584
01:24:06,899 --> 01:24:12,500
Por lo tanto, el dominio de f de x es el conjunto de todos los números reales, ¿de acuerdo?

585
01:24:12,800 --> 01:24:16,800
En el siguiente apartado entraremos ya a explicar qué es lo que es el recorrido

586
01:24:16,800 --> 01:24:19,840
para que no se haga este vídeo demasiado extenso