1 00:00:00,000 --> 00:00:06,000 Regalito matemático. Ecuaciones irracionales. 2 00:00:06,000 --> 00:00:16,000 Tenemos que saber identificarlas, conocer las propiedades para poder operar y saber resolverlas y comprobar las soluciones. 3 00:00:16,000 --> 00:00:19,000 Entonces empezamos el desarrollo del tema. 4 00:00:19,000 --> 00:00:24,000 Vamos a ver cómo identificar una ecuación irracional. 5 00:00:25,000 --> 00:00:27,000 Que no cunda el pánico. 6 00:00:27,000 --> 00:00:31,000 Tres expresiones matemáticas. 7 00:00:31,000 --> 00:00:34,000 Prefiero no hacer comentarios. 8 00:00:34,000 --> 00:00:39,000 Y es evidente que todas ellas contienen X. 9 00:00:39,000 --> 00:00:44,000 Están igualadas a ciertos números o a ciertas expresiones. 10 00:00:44,000 --> 00:00:48,000 Por lo tanto, son tres ecuaciones matemáticas. 11 00:00:48,000 --> 00:00:54,000 Con la característica de que contienen X dentro de la raíz. 12 00:00:54,000 --> 00:00:59,000 Pues bien. Estas son ecuaciones irracionales. 13 00:00:59,000 --> 00:01:03,000 Repetimos. Característica de estas ecuaciones. 14 00:01:03,000 --> 00:01:12,000 Contienen X dentro de la raíz. 15 00:01:12,000 --> 00:01:16,000 Lo que en términos matemáticos se llama radicando. 16 00:01:18,000 --> 00:01:22,000 Contienen X en el radicando de la expresión. 17 00:01:22,000 --> 00:01:28,000 Y si estamos acostumbrados a trabajar con raíces resultan muy sencillitas. 18 00:01:28,000 --> 00:01:36,000 Para quien las raíces sean complicadas, estas ecuaciones pueden llegar a ser bastante difíciles de resolver. 19 00:01:36,000 --> 00:01:39,000 Avanzamos el desarrollo. Propiedades. 20 00:01:39,000 --> 00:01:45,000 Hemos dicho que se caracterizan porque contienen X dentro de la raíz. 21 00:01:45,000 --> 00:01:50,000 Consiguientemente, van a cumplir las propiedades de las raíces. 22 00:01:50,000 --> 00:01:56,000 Y yo voy a recordar algunas cosas necesarias para poder resolver ecuaciones irracionales. 23 00:01:56,000 --> 00:02:00,000 Por ejemplo, si yo me encuentro esta expresión matemática. 24 00:02:00,000 --> 00:02:05,000 Es evidente que es una expresión irracional. 25 00:02:05,000 --> 00:02:07,000 Contiene X en la raíz. 26 00:02:07,000 --> 00:02:08,000 Esta también. 27 00:02:08,000 --> 00:02:09,000 Esta también. 28 00:02:09,000 --> 00:02:16,000 Y el objetivo de las ecuaciones irracionales siempre es eliminar la raíz. 29 00:02:16,000 --> 00:02:22,000 Eliminar la raíz de la expresión. 30 00:02:22,000 --> 00:02:25,000 Eso es lo que vamos a perseguir en todo momento. 31 00:02:25,000 --> 00:02:27,000 Quitar la raíz. 32 00:02:27,000 --> 00:02:36,000 Y más adelante vamos a ver que para eliminar la raíz vamos a elevar al cuadrado o al cubo dependiendo del índice de la raíz. 33 00:02:36,000 --> 00:02:48,000 Por ejemplo, esa expresión matemática elevada al cuadrado es evidente que el cuadrado anularía la raíz y nos quedaría X-2. 34 00:02:48,000 --> 00:02:52,000 Es decir, mediante este proceso matemático yo elimino la raíz. 35 00:02:52,000 --> 00:02:55,000 Segunda expresión matemática. 36 00:02:55,000 --> 00:03:03,000 Índice 3, si elevara al cubo la expresión, el 3 elimina la raíz, nos quedaría X más 1. 37 00:03:04,000 --> 00:03:11,000 Y en esta expresión matemática, antes de proceder a elevar, conviene expresar en una sola raíz. 38 00:03:11,000 --> 00:03:13,000 Y recordemos algo. 39 00:03:13,000 --> 00:03:20,000 Yo puedo introducir un factor, es decir, sólo lo puedo hacer cuando multiplica la raíz. 40 00:03:20,000 --> 00:03:27,000 Y lo puedo introducir en la interior elevándolo al índice de la raíz donde va a entrar. 41 00:03:27,000 --> 00:03:36,000 Es decir, esa expresión equivale a la raíz de la raíz, esta X estaba ya en la más interior, 42 00:03:36,000 --> 00:03:43,000 y para introducir esta X en esa raíz la elevamos al cuadrado, por X cuadrado. 43 00:03:43,000 --> 00:03:53,000 Y esta nueva expresión matemática, raíz de raíz, equivale a una raíz de índice 4, 2 por 2, 4, 44 00:03:54,000 --> 00:04:00,000 y erradicando X por X cuadrado, evidentemente X cubo. 45 00:04:00,000 --> 00:04:12,000 Si esta expresión matemática la elevásemos a la 4, exponente 4 anula la raíz y equivaldría a X elevado al cubo. 46 00:04:12,000 --> 00:04:19,000 Entonces, repetimos, debemos eliminar las raíces de la expresión, 47 00:04:19,000 --> 00:04:28,000 y el mecanismo matemático vemos que consiste en elevar esa expresión matemática al índice de la raíz. 48 00:04:28,000 --> 00:04:31,000 Hemos puesto tres ejemplos muy sencillitos. 49 00:04:31,000 --> 00:04:37,000 Segunda cuestión fundamental para resolver con facilidad las ecuaciones irracionales. 50 00:04:37,000 --> 00:04:47,000 Muchísima atención, tenemos el cuadrado de un producto y matemáticamente equivale al cuadrado de los factores. 51 00:04:48,000 --> 00:04:55,000 Es decir, A por B elevado al cuadrado, al ser un producto se eleva cada factor al cuadrado, tema resuelto. 52 00:04:55,000 --> 00:05:05,000 Por ejemplo, si yo me encontrara 3 por la raíz de X elevado al cuadrado, 53 00:05:05,000 --> 00:05:12,000 dado que se trata del cuadrado de un producto, se efectúa elevando al cuadrado cada factor. 54 00:05:12,000 --> 00:05:20,000 3 a la 2 es 9, raíz de X al cuadrado, el cuadrado anula la raíz, por X. 55 00:05:20,000 --> 00:05:25,000 Y cuadrado de una suma o diferencia. 56 00:05:25,000 --> 00:05:31,000 Vamos a recordar que el cuadrado de una suma consiste en igualdades notables. 57 00:05:31,000 --> 00:05:42,000 Cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, y más cuadrado del segundo. 58 00:05:42,000 --> 00:05:47,000 Cuadrado de una diferencia, recordamos las igualdades. 59 00:05:47,000 --> 00:05:55,000 Cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, y más cuadrado del segundo. 60 00:05:56,000 --> 00:06:01,000 Luego, dos puntos fundamentales que estamos tratando en esta lámina. 61 00:06:01,000 --> 00:06:06,000 Para eliminar raíces tenemos el recurso de la potencia. 62 00:06:06,000 --> 00:06:13,000 Haremos bastantes ecuaciones irracionales donde vamos a aplicar este procedimiento. 63 00:06:13,000 --> 00:06:20,000 Y especial cuidado cuando tengo el cuadrado de un producto o el cuadrado de una suma y una resta. 64 00:06:20,000 --> 00:06:22,000 Se operan de distinta forma. 65 00:06:22,000 --> 00:06:29,000 Vamos a ver unos ejemplos de distintos cuadrados para ver cómo se procede a operar. 66 00:06:29,000 --> 00:06:37,000 Por ejemplo, expresiones que van a aparecer con mucha frecuencia en las ecuaciones irracionales. 67 00:06:37,000 --> 00:06:44,000 Yo me voy a encontrar esta expresión matemática y en un momento determinado la debo elevar al cuadrado. 68 00:06:44,000 --> 00:06:48,000 Vamos a analizar cómo se efectúa ese cuadrado. 69 00:06:49,000 --> 00:06:55,000 Cuadrado de un producto. Es evidente que es el cuadrado de un producto. 70 00:06:55,000 --> 00:07:03,000 Y hemos visto anteriormente que es cuadrado del primer factor, 3 a la 2, 9, por el cuadrado del segundo factor. 71 00:07:03,000 --> 00:07:08,000 El 2 anula la raíz, x menos 1. 72 00:07:08,000 --> 00:07:17,000 Bien, pasamos a la segunda expresión matemática, la vamos a elevar al cuadrado, y cuadrado de una diferencia. 73 00:07:18,000 --> 00:07:20,000 Aplicamos igualdad notable. 74 00:07:20,000 --> 00:07:28,000 Cuadrado del primero, que a su vez es un producto, es decir, 4 por x más 1. 75 00:07:30,000 --> 00:07:38,000 Repetimos, cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo. 76 00:07:38,000 --> 00:07:50,000 Multiplicamos números, 2 por 2, 4, por 3, 12, y nos quedaría raíz de x más 1. 77 00:07:50,000 --> 00:07:57,000 Y más cuadrado del segundo, en este caso el cuadrado de 3, es igual a 9. 78 00:07:57,000 --> 00:08:02,000 Hemos visto cómo efectuar el cuadrado de una diferencia cuando contiene raíz. 79 00:08:02,000 --> 00:08:08,000 Cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, y más cuadrado del segundo. 80 00:08:08,000 --> 00:08:15,000 Siguiente expresión matemática, vamos a elevarla al cuadrado, y vamos a ver cómo se opera. 81 00:08:15,000 --> 00:08:17,000 Muy sencillito. 82 00:08:17,000 --> 00:08:23,000 Es un producto. Cuadrado de un producto, cuadrado de cada uno de los factores. 83 00:08:23,000 --> 00:08:29,000 Cuadrado de este factor, el cuadrado anula la raíz, x menos 1. 84 00:08:29,000 --> 00:08:37,000 Por cuadrado del segundo factor, el cuadrado anula la raíz, x más 2. 85 00:08:37,000 --> 00:08:49,000 Es decir, si nos encontramos raíces que multiplican, se opera con mucha facilidad su cuadrado, dado que se hace el cuadrado de cada uno de los factores. 86 00:08:49,000 --> 00:08:51,000 Siguiente expresión matemática. 87 00:08:51,000 --> 00:09:01,000 Para eliminar esta expresión, la raíz, procedemos a elevar, en este caso al cubo, que es el valor del índice de la raíz. 88 00:09:01,000 --> 00:09:07,000 El cubo anula la raíz, x menos 4. 89 00:09:07,000 --> 00:09:17,000 Y último caso, muy frecuente en las ecuaciones irracionales, una resta de dos términos, pero los dos contienen raíz. 90 00:09:17,000 --> 00:09:20,000 Y es un poquito laborioso. 91 00:09:20,000 --> 00:09:23,000 Cuadrado de una diferencia. 92 00:09:23,000 --> 00:09:31,000 Sólo que el primer término es esta expresión, y el segundo término, pues esta que es un poquito más desagradable. 93 00:09:31,000 --> 00:09:33,000 Cuadrado del primero. 94 00:09:33,000 --> 00:09:35,000 El primero es un producto. 95 00:09:35,000 --> 00:09:41,000 Al hacer el cuadrado de esto, es cuadrado de 3 y cuadrado de la raíz de x. 96 00:09:41,000 --> 00:09:50,000 Quedaría 9, por cuadrado de la raíz de x, cuadrado anula la raíz, nos queda x. 97 00:09:50,000 --> 00:09:59,000 Luego cuadrado del primero, está, menos doble del primero por el segundo. 98 00:09:59,000 --> 00:10:10,000 Primero multiplicamos los numeritos, el doble es 2 por 3, 6, por 2, 12, y nos queda todavía el producto de las dos raíces. 99 00:10:10,000 --> 00:10:20,000 Luego doble del primero por el segundo, menos 12 raíz de x, por raíz de x menos 1. 100 00:10:20,000 --> 00:10:23,000 Y más cuadrado del segundo. 101 00:10:23,000 --> 00:10:28,000 Y observamos que el segundo consta de un producto, sencillito. 102 00:10:28,000 --> 00:10:42,000 Para hacer el cuadrado de esta expresión, 2 a la 2 es 4, por cuadrado de este factor, el cuadrado anula la raíz, x menos 1. 103 00:10:43,000 --> 00:10:44,000 Bien. 104 00:10:44,000 --> 00:10:53,000 Consiguientemente, hemos visto cómo este tipo de expresiones matemáticas, afectadas por una potencia, 105 00:10:53,000 --> 00:10:59,000 hemos visto cómo se lleva a cabo el procedimiento de realización de la potencia. 106 00:10:59,000 --> 00:11:08,000 Y último paso, dentro de las ecuaciones irracionales, vamos a ver cómo se resuelven este tipo de ecuaciones. 107 00:11:09,000 --> 00:11:18,000 Y, advertencia, a partir de ahora en todo tipo de ecuaciones, debemos resolver la ecuación y comprobar las soluciones. 108 00:11:18,000 --> 00:11:28,000 Repito, debemos comprobar las soluciones porque además es muy frecuente que alguna de las soluciones obtenidas no satisfaga la ecuación. 109 00:11:28,000 --> 00:11:35,000 No voy a explicar los motivos porque sería demasiado pesado para la introducción de las ecuaciones. 110 00:11:35,000 --> 00:11:41,000 Entonces, tres posibles casos dentro de la complejidad de estas ecuaciones. 111 00:11:41,000 --> 00:11:48,000 Que tenga una raíz, que tenga dos o que contenga tres raíces. 112 00:11:48,000 --> 00:11:59,000 Si contiene una raíz, muy sencillito, el enunciado nos dice que debemos dejar la raíz sola y elevar al cuadrado. 113 00:11:59,000 --> 00:12:13,000 Por ejemplo, si yo me encuentro 2 raíz de x menos 3 igual a 5, estamos ante una ecuación lógicamente irracional, 114 00:12:13,000 --> 00:12:20,000 contiene x dentro de la raíz y contiene una sola raíz la expresión. 115 00:12:20,000 --> 00:12:22,000 Dejar la raíz sola. 116 00:12:22,000 --> 00:12:35,000 Este término lo debemos dejar solo en ese miembro, 2 raíz de x igual, debemos pasar el 3, 5 más 3. 117 00:12:35,000 --> 00:12:45,000 Siguiente paso sería razonable, vamos a simplificar esa expresión, quedaría 2 raíz de x igual a 8. 118 00:12:46,000 --> 00:12:56,000 Es decir, hemos aislado la raíz y a alguien le puede surgir una duda, la raíz no está sola porque hay un numerito que multiplica. 119 00:12:56,000 --> 00:13:08,000 Pero hemos recordado anteriormente que al hacer el cuadrado de un producto es cuadrado del primer factor por cuadrado del segundo factor. 120 00:13:08,000 --> 00:13:15,000 Y como lo que perseguimos es que se elimine la raíz, se va a eliminar independientemente de que esté el 2. 121 00:13:15,000 --> 00:13:26,000 Ahora bien, si alguien quiere en este caso, sería cómodo, el 2 multiplica pasa dividiendo, quedaría simplificada la expresión, pero no es necesario. 122 00:13:26,000 --> 00:13:37,000 Si tiene una raíz, la dejamos sola o con algo que la multiplique y seguiríamos el desarrollo que lo haremos en ejemplos posteriores. 123 00:13:37,000 --> 00:13:54,000 Dos raíces, advertencia, dejar una en cada miembro, es decir, si tengo una expresión de este tipo raíz de x menos raíz de x menos 1 igual a 4 124 00:13:54,000 --> 00:14:02,000 es evidente que estamos ante una ecuación irracional, contiene raíz, la x está en la raíz, ecuación irracional. 125 00:14:02,000 --> 00:14:16,000 Pero contiene dos raíces restando, dejar una en cada miembro, es decir, antes de proceder a elevar al cuadrado, que es el procedimiento que vamos a seguir 126 00:14:16,000 --> 00:14:29,000 cuando resolvamos estas ecuaciones, debe quedar una raíz en cada miembro, por ejemplo, dejamos raíz de x a la izquierda del igual 127 00:14:29,000 --> 00:14:39,000 y pasamos la otra raíz, quedaría 4 y más la raíz de x menos 1. 128 00:14:39,000 --> 00:14:44,000 Bien, motivo, porque esto no es un recetario que carece de sentido. 129 00:14:44,000 --> 00:14:55,000 El motivo es el siguiente, si nosotros para intentar eliminar la raíz elevamos al cuadrado los dos miembros de esta expresión 130 00:14:55,000 --> 00:15:04,000 para hacer el cuadrado de una resta de dos raíces, recordad que nos va a parecer el doble del primero por el segundo 131 00:15:04,000 --> 00:15:08,000 y va a ser una expresión extraordinariamente compleja. 132 00:15:08,000 --> 00:15:16,000 Entonces, para que no sea tan compleja es mejor que cada una de las raíces se quede sola en un miembro. 133 00:15:16,000 --> 00:15:24,000 Y habría un tercer caso con tres raíces que se suele efectuar mediante cambio de variable. 134 00:15:24,000 --> 00:15:34,000 Pero, conclusión al contenido de esta lámina, las ecuaciones irracionales hay que resolver y comprobar 135 00:15:34,000 --> 00:15:42,000 y en general, repito en general, o tienen una raíz, o tienen dos, o tienen tres. 136 00:15:42,000 --> 00:15:52,000 Si tienen tres raíces deberíamos efectuar cambio de variable, pero lo explicaremos en siguientes vídeos 137 00:15:52,000 --> 00:15:57,000 cuando hayamos resuelto ecuaciones con una raíz y ecuaciones con dos raíces 138 00:15:57,000 --> 00:16:03,000 porque de lo contrario van a ser demasiado complejas si no están entendidas las dos anteriores. 139 00:16:03,000 --> 00:16:11,000 Damos el tema por concluido y en los próximos vídeos resolvemos distintos tipos de ecuaciones irracionales.