1
00:00:02,480 --> 00:00:07,400
La siguiente aplicación que vamos a ver es la del estudio de la curvatura de una función

2
00:00:07,400 --> 00:00:10,599
y el cálculo de puntos de inflexión.

3
00:00:12,060 --> 00:00:18,719
Estudiar la curvatura de una función consiste en estudiar si la función es cóncava o condensa.

4
00:00:20,019 --> 00:00:22,719
Y eso lo vamos a saber con la derivada segunda.

5
00:00:23,140 --> 00:00:29,539
Si el signo de la derivada segunda es menor que cero, negativo,

6
00:00:29,539 --> 00:00:33,179
pues entonces la función es cóncava

7
00:00:33,179 --> 00:00:36,880
Si el signo de la derivada segunda es positivo

8
00:00:36,880 --> 00:00:40,340
pues entonces la función será convexa

9
00:00:40,340 --> 00:00:48,640
Un punto de inflexión va a ser aquel en el cual la función cambia la curvatura

10
00:00:48,640 --> 00:00:52,280
de cóncava a convexa o de convexa a cóncava

11
00:00:52,280 --> 00:00:55,640
Vamos a ver primero un ejemplo con una función polinómica

12
00:00:55,640 --> 00:01:02,219
La forma de proceder va a ser parecida al cálculo de máximos y mínimos en una función

13
00:01:02,219 --> 00:01:09,879
Calculamos la derivada segunda en este caso y la igualamos a cero

14
00:01:09,879 --> 00:01:13,500
La derivada primera es 3x cuadrado menos 12x más 9

15
00:01:13,500 --> 00:01:16,459
La segunda derivada es 6x menos 12, lo igualamos a cero

16
00:01:16,459 --> 00:01:23,579
y obtenemos un punto en el cual puede ser que haya un punto de inflexión

17
00:01:23,579 --> 00:01:25,939
Vamos a estudiarlo. ¿Cómo lo estudiamos?

18
00:01:26,659 --> 00:01:32,760
Pues viendo qué pasa en los intervalos que quedan definidos cuando en la recta real,

19
00:01:32,760 --> 00:01:38,819
en este caso el dominio de la función, sabemos que la función de tipo polinómico es todo r,

20
00:01:40,060 --> 00:01:48,480
situamos el punto que nos ha dado candidato, es decir, derivada según de igual a 0 para x igual a 2,

21
00:01:48,680 --> 00:01:54,260
lo situamos en la recta real y quedan definidos dos intervalos, en este caso,

22
00:01:54,260 --> 00:01:57,000
De menos infinito a 2 y de 2 a infinito

23
00:01:57,000 --> 00:02:00,359
Estudiamos ahora el signo de la derivada segunda

24
00:02:00,359 --> 00:02:05,219
En este caso, por ejemplo, en este primer intervalo hemos cogido para 0

25
00:02:05,219 --> 00:02:09,000
Y en 0 la derivada segunda me da negativa

26
00:02:09,000 --> 00:02:10,439
¿Eso qué significa?

27
00:02:10,599 --> 00:02:12,900
Que en todo este intervalo

28
00:02:12,900 --> 00:02:16,340
La derivada segunda va a ser negativa

29
00:02:16,340 --> 00:02:18,780
Por lo tanto la función va a ser cóncava

30
00:02:18,780 --> 00:02:20,719
Llamando cóncava, en este caso

31
00:02:20,719 --> 00:02:22,879
El criterio que vamos a tomar

32
00:02:22,879 --> 00:02:25,539
es que es así, con las ramas

33
00:02:25,539 --> 00:02:28,840
hacia abajo. De 2 a infinito

34
00:02:28,840 --> 00:02:30,819
cogemos un punto, en este caso

35
00:02:30,819 --> 00:02:31,860
hemos cogido el 3

36
00:02:31,860 --> 00:02:34,659
la derivada segunda

37
00:02:34,659 --> 00:02:36,620
en este punto es positiva

38
00:02:36,620 --> 00:02:39,000
por lo tanto, para cualquier

39
00:02:39,000 --> 00:02:40,439
punto de este intervalo

40
00:02:40,439 --> 00:02:42,620
también lo va a ser

41
00:02:42,620 --> 00:02:44,759
entonces la función

42
00:02:44,759 --> 00:02:46,900
en este intervalo que va

43
00:02:46,900 --> 00:02:49,020
de 2 a infinito es convesa

44
00:02:49,020 --> 00:02:50,719
convesa

45
00:02:50,719 --> 00:02:52,939
y cuando convesa a esta forma

46
00:02:52,939 --> 00:03:02,490
¿Qué ocurre? Que vemos que la función pasa de ser cóncava en este intervalo a ser conversa en este otro

47
00:03:02,490 --> 00:03:14,409
Si la función derivada segunda se me anulaba en 2 y veo un cambio de curvatura cuando paso de la izquierda a la derecha de este punto

48
00:03:14,889 --> 00:03:20,490
Pues entonces eso significa que en x igual a 2 hay un punto de inflexión

49
00:03:20,490 --> 00:03:25,430
punto de inflexión como igual que hacíamos en máximos y mínimos

50
00:03:25,430 --> 00:03:30,310
calculamos su coordenada x que sería x igual a 2 y su coordenada y

51
00:03:30,310 --> 00:03:35,009
y la coordenada y como siempre sustituyendo en la función

52
00:03:35,009 --> 00:03:40,590
para x igual a 2 la imagen de la función es 2 también

53
00:03:40,590 --> 00:03:44,409
por lo tanto hay un punto de inflexión en el punto de coordenadas 2,2

54
00:03:44,409 --> 00:03:51,819
y ahora vamos a ver el estudio de la curvatura y puntos de inflexión

55
00:03:51,819 --> 00:03:58,979
para una función racional, en este caso para y igual a x menos 1 partido de x cuadrado.

56
00:04:00,219 --> 00:04:04,900
En una función racional el dominio, como hemos visto anteriormente, son todos los números

57
00:04:04,900 --> 00:04:12,819
reales excepto aquellos valores de x que anulan el denominador. En este caso serían dominio

58
00:04:12,819 --> 00:04:19,420
de f todos los números reales exceptuando el 0. Calculamos la derivada primera, que

59
00:04:19,420 --> 00:04:27,660
Sería esta que tenemos aquí en primer lugar, el resultado de menos x más 2 partido de x cubo y calculamos la derivada segunda.

60
00:04:28,879 --> 00:04:43,300
En la derivada segunda, que nos ha quedado 2x menos 6 partido de x a la cuarta, es la que tenemos que igualar a 0 para ver los posibles candidatos a ser puntos de inflexión.

61
00:04:43,300 --> 00:04:50,480
En este caso, igualando a cero el numerador, 2x menos 6 igual a cero resulta x igual a 3.

62
00:04:51,259 --> 00:04:54,540
¿Qué intervalos tenemos que considerar en una función racional?

63
00:04:55,399 --> 00:05:02,500
Pues teniendo en cuenta que en cero la función no está definida, ese punto tiene que aparecer en la recta numérica

64
00:05:02,500 --> 00:05:06,800
y por otro lado los puntos que hayan anulado la derivada segunda.

65
00:05:06,800 --> 00:05:11,019
Por lo tanto, en nuestro caso aparecen tres intervalos

66
00:05:11,019 --> 00:05:15,560
De menos infinito a cero, de cero a tres y de tres a infinito

67
00:05:15,560 --> 00:05:21,399
Para estudiar el signo de la derivada segunda vamos cogiendo un punto de cada intervalo

68
00:05:21,399 --> 00:05:27,579
En el intervalo que va de menos infinito a cero, la derivada segunda la hemos evaluado en menos uno

69
00:05:27,579 --> 00:05:30,360
Hemos cogido aquí x igual a menos uno

70
00:05:30,360 --> 00:05:39,019
y sustituyendo en la derivada segunda, vemos que el signo es negativo.

71
00:05:40,680 --> 00:05:45,920
Eso significa que para cualquier punto de este intervalo, la derivada segunda es negativa,

72
00:05:46,300 --> 00:05:48,819
con lo cual la función es cóncava.

73
00:05:51,079 --> 00:05:54,759
En el siguiente intervalo, de 0 a 3, tomamos también otro punto,

74
00:05:56,139 --> 00:05:58,300
hemos tomado el punto x igual a 1,

75
00:05:58,300 --> 00:06:03,720
y sustituyendo la derivada segunda el resultado es negativo también.

76
00:06:04,399 --> 00:06:12,439
Eso significa que la función en el intervalo que va de 0 a 3 tiene la curvatura cóncava.

77
00:06:13,699 --> 00:06:20,699
Y por último de 3 a infinito cogemos un punto, hemos cogido el valor x igual a 4

78
00:06:20,699 --> 00:06:26,279
y vemos que el signo de la derivada segunda es positivo.

79
00:06:26,279 --> 00:06:35,000
Es decir, en todos los puntos de este intervalo la función segunda, la derivada segunda es positiva

80
00:06:35,000 --> 00:06:37,279
Eso significa que la función va a ser con B

81
00:06:37,279 --> 00:06:49,779
Vemos que en 0 tenemos una asíntota vertical de la función y ahí no vamos a tener nada

82
00:06:49,779 --> 00:06:55,120
En este caso nos daba en los dos casos cóncava a la izquierda de 0 y a la derecha de 0

83
00:06:55,120 --> 00:07:03,699
Pero aunque nos hubiera dado cóncava y convesa luego, no podemos concluir que x igual a cero sea un punto de difusión,

84
00:07:04,360 --> 00:07:06,959
porque ahí la función ni siquiera está definida.

85
00:07:07,980 --> 00:07:19,860
x igual a tres, pues aquí vemos que a la izquierda de tres la función es cóncava y a la derecha de tres la función es convesa.

86
00:07:19,860 --> 00:07:22,339
Observamos un cambio en la curvatura de la función.

87
00:07:23,160 --> 00:07:28,939
Eso significa que en x igual a 3 tenemos un punto de inflexión.

88
00:07:30,259 --> 00:07:35,420
Y como siempre, para calcular la coordenada y,

89
00:07:35,699 --> 00:07:40,680
sustituimos el valor x igual a 3 en la función.

90
00:07:41,000 --> 00:07:53,420
De tal manera que, como la imagen de 3 es 2 novenos,

91
00:07:53,420 --> 00:08:03,000
Tenemos un punto de inflexión en esta función, en el punto de coordenadas, 3 y 3 dos novenos.

92
00:08:03,779 --> 00:08:09,579
Por último vamos a estudiar la función que ya habíamos calculado máximos y mínimos

93
00:08:09,579 --> 00:08:12,819
y estudiado el crecimiento de crecimiento, la monotonía,

94
00:08:14,750 --> 00:08:20,509
que tenía un máximo en el 1 menos 3 y un mínimo en el 3 menos 1.

95
00:08:20,509 --> 00:08:28,490
Vamos a ver ahora la curvatura de la función, donde la función es cóncava y donde es convexa y si tiene puntos de inflexión.

96
00:08:29,329 --> 00:08:32,330
Para eso tenemos que calcular la derivada segunda.

97
00:08:33,590 --> 00:08:43,009
En la derivada segunda, derivamos con un cociente de nuevo, sería la derivada del numerador, 2x menos 4,

98
00:08:43,009 --> 00:08:48,409
por la función del denominador sin derivar

99
00:08:48,409 --> 00:08:54,850
menos la función del numerador sin derivar

100
00:08:54,850 --> 00:09:00,220
por la derivada del denominador

101
00:09:00,220 --> 00:09:04,039
que en este caso sería 2 que multiplica a x-2

102
00:09:04,039 --> 00:09:12,100
y en el denominador la función x-2 al cuadrado

103
00:09:12,100 --> 00:09:15,299
otra vez elevada al cuadrado, o sea, quedaría elevado a la cuarta

104
00:09:15,299 --> 00:09:25,960
Aquí en estas funciones racionales conviene, antes de seguir operando, sacar factor común a x-2 y simplificarlo

105
00:09:25,960 --> 00:09:36,539
Aquí tenemos un x-2 elevado al cuadrado, aquí tenemos otro x-2 en este otro término o sumando

106
00:09:36,539 --> 00:09:40,460
y en el denominador tenemos x-2

107
00:09:40,460 --> 00:09:44,639
pues vamos a extraer factor común del numerador a un x menos 2

108
00:09:44,639 --> 00:09:47,179
de manera que se vaya con 1 y abajo

109
00:09:47,179 --> 00:09:51,379
entonces en ese caso simplificando un x menos 2

110
00:09:51,379 --> 00:09:54,460
aquí me quedaría elevado a 3

111
00:09:54,460 --> 00:09:59,899
y aquí me quedaría 2x menos 4 que multiplica a x menos 2

112
00:09:59,899 --> 00:10:03,460
menos, esto lo voy a poner delante

113
00:10:03,460 --> 00:10:10,840
menos 2 que multiplica a x cuadrado menos 4x más 3

114
00:10:10,840 --> 00:10:32,600
Esto sería igual a, hacemos todas las operaciones, 2x cuadrado menos 4x menos 4x más 8 menos 2x cuadrado más 8x menos 6.

115
00:10:35,120 --> 00:10:37,600
Dividido por el número 2 elevado a algo.

116
00:10:37,600 --> 00:10:40,419
Simplificamos todo lo que se pueda

117
00:10:40,419 --> 00:10:45,039
Menos 4x menos 4x con este más 8x

118
00:10:45,039 --> 00:10:48,940
Finalmente el resultado de la derivada segunda sería

119
00:10:48,940 --> 00:10:53,940
8 menos 6 es 2 partido de x menos 2 elevado al cubo

120
00:10:55,940 --> 00:11:00,659
Esta derivada segunda es la que vamos a igualar a 0

121
00:11:00,659 --> 00:11:05,419
¿Qué ocurre? Que en este caso, como el numerador es 2

122
00:11:05,419 --> 00:11:11,440
2 siempre es distinto de c, entonces no tenemos candidatos a puntos de inflexión

123
00:11:11,440 --> 00:11:17,679
con lo cual los intervalos a estudiar la curvatura se reducen en este caso a 2

124
00:11:17,679 --> 00:11:26,120
y a 2 porque al ser una función racional tenemos que colocar el punto donde la función no está definida que era en 2

125
00:11:26,120 --> 00:11:30,840
así que los intervalos serán de menos infinito a 2 y de 2 a infinito

126
00:11:30,840 --> 00:11:37,139
estudiamos en cada uno de esos intervalos el signo de la derivada segunda

127
00:11:37,139 --> 00:11:41,120
para todos los puntos que pertenecen de menos infinito a 2

128
00:11:41,120 --> 00:11:44,259
vamos a coger por ejemplo para x igual a 0

129
00:11:44,259 --> 00:11:47,940
el signo de la derivada segunda

130
00:11:47,940 --> 00:11:54,379
el 0 nos queda positivo entre negativo y negativo

131
00:11:54,379 --> 00:11:55,639
menos que 0

132
00:11:55,639 --> 00:12:02,000
Por lo tanto, la derivada segunda en todos los puntos de ese intervalo va a ser negativa

133
00:12:02,000 --> 00:12:06,899
Y la función va a ser obesa

134
00:12:06,899 --> 00:12:19,299
Para el otro intervalo, de 2 a infinito, cogemos otro punto

135
00:12:19,299 --> 00:12:22,500
Por ejemplo, para x igual a 3

136
00:12:22,500 --> 00:12:30,740
En ese caso, la derivada de la función en 3 resulta positivo entre positivo

137
00:12:30,740 --> 00:12:31,580
positivo

138
00:12:31,580 --> 00:12:37,159
y de igual manera sería para cualquier punto de ese intervalo

139
00:12:37,159 --> 00:12:39,620
el signo de la derivada segunda sería positivo

140
00:12:39,620 --> 00:12:43,320
la función en ese intervalo entonces es cóncava

141
00:12:43,320 --> 00:12:51,169
hemos dicho que en 2 teníamos una síntata

142
00:12:51,169 --> 00:12:54,990
por lo tanto, aunque la función cambie de curvatura

143
00:12:54,990 --> 00:12:58,929
a la izquierda de 2 sea convesa

144
00:12:58,929 --> 00:13:00,289
y aquí sea cóncava

145
00:13:00,289 --> 00:13:02,850
no significa que en 2 haya un punto de inflexión

146
00:13:02,850 --> 00:13:04,570
en 2 no hay función

147
00:13:04,570 --> 00:13:07,809
hay una asíntota, 2 no tiene imagen

148
00:13:07,809 --> 00:13:11,250
por lo tanto no hay puntos de inflexión