1
00:00:00,240 --> 00:00:08,740
Veamos el ejemplo de una derivada más que no cae en el examen, concretamente de cómo se deriva la función f elevado a g.

2
00:00:09,119 --> 00:00:31,879
Hay dos formas de realizar la derivada de la función f elevado a g. Una es emplear la fórmula g por f elevado a g menos 1 por f' más logaritmo de piano de f por f elevado a g por g'.

3
00:00:31,879 --> 00:00:40,259
Esta fórmula no está nueva porque, de hecho, emplea un par de fórmulas que ya conocemos

4
00:00:40,259 --> 00:00:48,130
Si llamamos a esto parte potencial y a esto parte exponencial

5
00:00:48,130 --> 00:01:02,649
Podemos observar que la función f elevado a n al derivarla es nf elevado a n-1 por f'

6
00:01:02,649 --> 00:01:15,090
Y estas dos funciones, la parte potencial y esta derivada son la misma, es decir, aquí g hace el apel de n.

7
00:01:16,530 --> 00:01:24,390
Por otra parte, si consideramos la función a elevado a g, por lo que será enseguida y no en vez de a elevado a f,

8
00:01:24,390 --> 00:01:33,010
obtendríamos que es el logaritmo de P y no de A por A elevado a G por G'.

9
00:01:33,010 --> 00:01:43,689
Entonces tenemos que esta función es igual a esta, solo que aquí F hace el papel de A.

10
00:01:44,430 --> 00:01:50,489
No es tan raro si tenemos en cuenta que si consideramos que F es constante,

11
00:01:50,489 --> 00:01:55,310
entonces el prima será 0 y tendríamos esto

12
00:01:55,310 --> 00:01:58,709
y al revés, si consideramos que g es constante

13
00:01:58,709 --> 00:02:02,549
tendríamos que g' es igual a 0 y tendríamos esto

14
00:02:02,549 --> 00:02:11,400
la otra forma de hacerlo es

15
00:02:11,400 --> 00:02:15,669
considerar que f elevado a g'

16
00:02:17,490 --> 00:02:20,469
esto es igual a e elevado al logaritmo de perinode f

17
00:02:20,469 --> 00:02:24,330
elevado a g, todo ello derivada

18
00:02:24,330 --> 00:02:27,810
que es e elevado al logaritmo de perinode f por g

19
00:02:27,810 --> 00:02:44,169
Y podemos utilizar esto empleando la derivada de la función exponencial y la derivada de un producto de funciones, además de la derivada de un logaritmo de una función.

20
00:02:46,439 --> 00:02:54,039
Hagamos un ejemplo. Cogemos el coseno de x y lo le damos a x cuadrado menos x.

21
00:02:55,460 --> 00:03:01,789
Y derivamos. Entonces aquí tendremos la función f, aquí la función g.

22
00:03:01,789 --> 00:03:17,240
y ponemos entonces el gfc-1 por g' y el logaritmo de p1 de f, f elevado a g por g'.

23
00:03:17,240 --> 00:03:24,270
Entre el caso, la derivada sería gx cuadrado menos x, por supuesto con paréntesis,

24
00:03:25,270 --> 00:03:35,930
por f coseno de x elevado a g-1, x cuadrado menos x menos 1, por g', que es menos seno de x,

25
00:03:37,189 --> 00:03:52,949
Más logaritmo de periano de f, pues el logaritmo de periano del coseno de x, por f elevado a g, por el coseno de x elevado a x cuadrado menos x, por g prima, que es 2x menos 1.

26
00:03:53,669 --> 00:03:54,550
Y ya tendremos la función.

27
00:03:55,669 --> 00:04:07,240
Un detalle es que esta función se podría definir allí donde el coseno de x es positivo, porque ya hemos visto los problemas que hay con la definición de la exponencial.

28
00:04:08,860 --> 00:04:37,519
Bien, sigamos. La otra forma de definirlo sería hacer el coseno de x, x cuadrado menos x, podemos hacer los dos pasos o uno solo, tampoco es igual, voy a hacer los dos, elevado al logaritmo neperiano del coseno de x, todo elevado a x cuadrado menos x,

29
00:04:37,519 --> 00:04:46,639
que es igual a elevado al logaritmo neperiano del coseno de x por x cuadrado menos x

30
00:04:46,639 --> 00:04:51,120
y ahora ponemos derivada y derivada

31
00:04:51,120 --> 00:04:58,680
y ahora utilizamos que esto es elevado a una función cuya derivada es elevado a f por f'

32
00:04:58,680 --> 00:05:12,029
prima, es decir, elevado al logaritmo neperino del coseno de x por x cuadrado menos x. Y

33
00:05:12,029 --> 00:05:22,220
ahora habría que poner f prima, que sería un producto de dos funciones, vamos a llamarla

34
00:05:22,220 --> 00:05:31,279
esta f y esta g, con lo cual tendríamos f prima por g más f por g prima. A su vez,

35
00:05:31,279 --> 00:05:34,319
f' es el logaritmo de la función

36
00:05:34,319 --> 00:05:37,439
es el logaritmo de f

37
00:05:37,439 --> 00:05:39,379
cuya derivada es

38
00:05:39,379 --> 00:05:40,199
perdón

39
00:05:40,199 --> 00:05:43,339
f es el logaritmo de f mayúscula

40
00:05:43,339 --> 00:05:45,220
y f' es

41
00:05:45,220 --> 00:05:46,560
f' partido por f

42
00:05:46,560 --> 00:05:47,420
pues lo ponemos

43
00:05:47,420 --> 00:05:51,459
sería el coseno de x

44
00:05:51,459 --> 00:05:55,069
y arriba su derivado

45
00:05:55,069 --> 00:05:56,589
que es menos el coseno de x

46
00:05:56,589 --> 00:05:58,629
perdón, quería poner

47
00:05:58,629 --> 00:06:00,509
menos el seno de x

48
00:06:00,509 --> 00:06:06,560
ahora ponemos g

49
00:06:06,560 --> 00:06:09,439
que es x cuadrado menos x

50
00:06:09,439 --> 00:06:11,839
ahora ponemos más

51
00:06:11,839 --> 00:06:13,480
f

52
00:06:13,480 --> 00:06:16,579
que es el logaritmo de perinodo del coseno de x

53
00:06:16,579 --> 00:06:20,329
y multiplicamos por g prima

54
00:06:20,329 --> 00:06:22,430
que es 2x menos 1

55
00:06:22,430 --> 00:06:24,949
y aunque tengan diferente expresión

56
00:06:24,949 --> 00:06:28,089
esta función

57
00:06:28,089 --> 00:06:30,410
y esta función

58
00:06:30,410 --> 00:06:31,629
son la misma

59
00:06:31,629 --> 00:06:34,430
de hecho si desarrollamos esto

60
00:06:34,430 --> 00:06:36,449
obtenemos

61
00:06:36,449 --> 00:06:37,329
pues vamos a ver

62
00:06:37,329 --> 00:06:39,550
elevado a f

63
00:06:39,550 --> 00:06:43,610
por f', pues elevado al logaritmo de pleno de f

64
00:06:43,610 --> 00:06:49,769
por g, por f',

65
00:06:49,769 --> 00:06:52,050
que es un producto,

66
00:06:53,569 --> 00:06:57,730
pues sería derivada del primero, que es f' partido por f,

67
00:06:58,430 --> 00:07:01,970
por el segundo, más el primero sin derivar,

68
00:07:03,430 --> 00:07:04,949
por la derivada del segundo.

69
00:07:08,600 --> 00:07:11,939
Si observamos que esto es elevado al logaritmo de pleno de f

70
00:07:11,939 --> 00:07:13,259
elevado a g

71
00:07:13,259 --> 00:07:15,540
que es f elevado a g

72
00:07:15,540 --> 00:07:17,720
nos da f elevado a g

73
00:07:17,720 --> 00:07:18,519
por

74
00:07:18,519 --> 00:07:20,899
f' partido por f

75
00:07:20,899 --> 00:07:24,129
y de hecho

76
00:07:24,129 --> 00:07:26,389
podemos poner también

77
00:07:26,389 --> 00:07:30,459
como f' por f

78
00:07:30,459 --> 00:07:31,819
bueno, si está bien así

79
00:07:31,819 --> 00:07:36,439
partido por f

80
00:07:36,439 --> 00:07:39,100
por g más el logaritmo de f

81
00:07:39,100 --> 00:07:40,019
por g'

82
00:07:40,300 --> 00:07:42,120
a la hora de desarrollar

83
00:07:42,120 --> 00:07:43,399
nos sale

84
00:07:43,399 --> 00:07:45,920
vamos a cambiar la orden

85
00:07:45,920 --> 00:07:48,459
esto por esto pues sería g

86
00:07:48,459 --> 00:07:51,560
por f elevado a g partido por f

87
00:07:51,560 --> 00:07:53,100
por f'

88
00:07:53,360 --> 00:07:54,759
más

89
00:07:54,759 --> 00:07:57,560
logaritmo de f por f elevado a g

90
00:07:57,560 --> 00:07:59,540
multiplicar esto por esto

91
00:07:59,540 --> 00:08:00,480
por g'

92
00:08:00,699 --> 00:08:03,019
y esto de aquí sería g

93
00:08:03,019 --> 00:08:04,980
por f elevado a g menos 1

94
00:08:04,980 --> 00:08:06,800
por f'

95
00:08:07,079 --> 00:08:09,240
más logaritmo de f

96
00:08:09,240 --> 00:08:11,240
por f elevado a g por g'

97
00:08:11,240 --> 00:08:13,279
de modo que

98
00:08:13,279 --> 00:08:13,980
esta fórmula

99
00:08:13,980 --> 00:08:17,279
se deduce de esta

100
00:08:17,279 --> 00:08:32,779
Si queréis podéis hacer un ejemplo, por ejemplo, x al cuadrado menos x elevado a raíz cuadrada de x derivada.

101
00:08:34,159 --> 00:08:37,059
Pues podéis hacerlo con los dos métodos y corregimos.

102
00:08:40,419 --> 00:08:45,759
Bueno, supongo que ya lo habéis hecho, para la grabación lo habéis hecho, ahora corrijo.

103
00:08:45,759 --> 00:09:02,549
Esto es f elevado a g, cuya derivada es gfg-1 por f' más logaritmo de f por f elevado a g por g'.

104
00:09:02,549 --> 00:09:16,529
Que sería, pues g raíz de x por f, pues x cuadrado menos x elevado a g menos 1 elevado a raíz cuadrada de x menos 1 por f'.

105
00:09:17,710 --> 00:09:20,929
Pues por 2x menos 1.

106
00:09:21,629 --> 00:09:21,929
Más.

107
00:09:22,850 --> 00:09:23,750
¿Logaritmo de periano de f?

108
00:09:23,850 --> 00:09:27,250
Pues logaritmo de periano de x cuadrado menos x.

109
00:09:27,889 --> 00:09:28,870
¿Por f elevado a g?

110
00:09:29,889 --> 00:09:33,590
Pues x cuadrado menos x elevado a raíz de x.

111
00:09:33,730 --> 00:09:34,289
¿Por g prima?

112
00:09:34,909 --> 00:09:36,029
1 entre 2 raíz de x.

113
00:09:36,789 --> 00:09:37,669
Ya está, no tiene más.

114
00:09:37,769 --> 00:09:38,750
Es copiar esto.

115
00:09:39,750 --> 00:09:43,950
La otra fórmula es quizás un poco más lenta, pero también es válida.

116
00:09:43,950 --> 00:09:52,450
Esto es elevado al logaritmo de perinodo de x al cuadrado menos x, todo ello elevado a la raíz de x.

117
00:09:53,330 --> 00:10:02,450
Si derivamos, bueno, esto es elevado al logaritmo de perinodo de x al cuadrado menos x por raíz de x,

118
00:10:03,129 --> 00:10:10,769
cuya derivada es, elevado a una función, pues eso es elevado a f, pues sería elevado a f por f'

119
00:10:10,769 --> 00:10:14,590
pues elevado al logaritmo de periódico de x al cuadrado menos x

120
00:10:14,590 --> 00:10:19,870
por la derivada de esto de aquí

121
00:10:19,870 --> 00:10:23,210
tenemos un producto f y g

122
00:10:23,210 --> 00:10:26,970
poníamos f' por g más f por g'

123
00:10:27,250 --> 00:10:31,889
donde f es el logaritmo de periódico de la función, vamos a llamarlo otra vez f mayúscula

124
00:10:31,889 --> 00:10:33,610
y cuya derivada es

125
00:10:33,610 --> 00:10:39,629
f' partido por f, pues ponemos eso mismo

126
00:10:40,769 --> 00:11:01,970
f' que es 2x menos 1 entre f, x cuadrado menos x, por g, que es raíz cuadrada de x, más ahora la f, logaritmo europeano de x cuadrado menos x, por la derivada de g, que sería 1 entre 2 raíz de x.

127
00:11:01,970 --> 00:11:11,409
Y si operamos igual que hemos hecho en la parte de enunciado, podemos observar que esto va a ser igual a esto.