1 00:00:00,300 --> 00:00:06,000 Vale, este ejercicio 3 separamos apartado A y apartado B. 2 00:00:06,599 --> 00:00:08,900 El apartado B yo creo que es un poco regalo. 3 00:00:09,039 --> 00:00:13,779 Nosotros tenemos aquí una ecuación trascendente que no la podemos utilizar 4 00:00:13,779 --> 00:00:17,239 por una de las metodologías que hemos aprendido a lo largo de la secundaria 5 00:00:17,239 --> 00:00:18,879 y también del bachillerato. 6 00:00:19,440 --> 00:00:23,640 Por lo tanto, nosotros lo que vamos a utilizar es el teorema de Borsan. 7 00:00:24,120 --> 00:00:24,899 ¿Pero qué ocurre? 8 00:00:24,899 --> 00:00:40,659 Para ello nos vamos a definir una f de x que precisamente es esta función de aquí. Es 2x menos 1. Esa es nuestra f de x. Es seno de x más 2x menos 1. 9 00:00:40,659 --> 00:00:56,219 ¿Y por qué? Porque nosotros, el teorema de Bolzano, lo que nos dice es que si f de x es continua en un intervalo cerrado, es continua en a, b, 10 00:00:56,219 --> 00:01:18,379 Pues si el signo de f de a es distinto del signo de f de b, pues resulta que existe un punto dentro de ese intervalo cerrado a b tal que f de c es igual a cero. 11 00:01:18,379 --> 00:01:27,480 nosotros al pasar el 1 a la izquierda tenemos una ecuación que es igual a 0 12 00:01:27,480 --> 00:01:38,420 por lo tanto tendrá que existir un valor de x o varios valores de x que nos cumplan esta ecuación 13 00:01:38,420 --> 00:01:43,459 ¿qué es lo que ocurre? pues precisamente vamos a aplicar el teorema de Bolzano 14 00:01:43,459 --> 00:01:52,319 Y nuestra función f de x es precisamente lo que queremos que sea igual a cero. 15 00:01:52,400 --> 00:01:57,200 Es decir, mi función f de x es seno de x más 2x menos 1. 16 00:01:57,739 --> 00:02:02,459 f de x es continua porque es una composición de funciones continuas. 17 00:02:03,599 --> 00:02:14,689 Es continua porque es una composición de funciones continuas. 18 00:02:17,229 --> 00:02:18,789 De funciones continuas. 19 00:02:20,789 --> 00:02:33,939 Está el seno de x que es continuo y la función 2x menos 1 que es polinómica y es continua. 20 00:02:33,939 --> 00:02:50,990 Por lo tanto f de x es continua en todo su dominio, es continua en todo r y por lo tanto también es continua en todo r y por lo tanto en cero pi. 21 00:02:50,990 --> 00:02:56,770 Aquí hay un fallo y esto es cerrado, perdón. 22 00:02:57,449 --> 00:03:00,590 Entonces, ¿qué es lo que hacemos? Vamos a hallar f de cero. 23 00:03:01,229 --> 00:03:07,870 Si yo hallo f de cero, esto es seno de cero más 2 por cero menos 1. 24 00:03:08,349 --> 00:03:11,569 Resulta que esto es menos 1, que es menor que cero, es negativo. 25 00:03:12,710 --> 00:03:22,659 Si yo hallo f de pi, tenemos que es seno de pi más 2 por pi menos 1. 26 00:03:22,939 --> 00:03:37,080 El seno de 0 es 0, pero es que el seno de pi también es 0. Por lo tanto, aquí lo que me queda son 2pi menos 1. 2pi son 628 menos 1, esto es mayor que 0. 27 00:03:37,080 --> 00:04:02,349 Por lo tanto, ¿qué ocurre? Yo ya tengo las premisas del teorema de Bolzano. Yo ya tengo que el signo de f de 0 es distinto del signo de f de pi en f de x continua en 0 pi. 28 00:04:02,349 --> 00:04:20,740 Y, por lo tanto, aplicando el teorema de Bolzano, existe al menos un c que pertenece a 0pi tal que f de c es 0. 29 00:04:20,740 --> 00:04:28,399 Es decir, seno de c más 2c menos 1 es igual a 0. Esto es suma c. 30 00:04:29,439 --> 00:04:34,740 Y ya estaría demostrado este apartado. 31 00:04:34,740 --> 00:04:38,139 vamos a irnos a los límites 32 00:04:38,139 --> 00:04:41,379 los límites ya son un poquito más complicados 33 00:04:41,379 --> 00:04:42,779 sobre todo el segundo 34 00:04:42,779 --> 00:04:45,839 este límite de aquí primero 35 00:04:45,839 --> 00:04:47,560 donde me dicen que el límite 36 00:04:47,560 --> 00:04:49,519 cuando x tiende a 0 37 00:04:49,519 --> 00:04:51,800 de 1 partido de x 38 00:04:51,800 --> 00:04:53,579 menos 1 partido 39 00:04:53,579 --> 00:04:56,100 el logaritmo neperiano de 1 más x 40 00:04:56,100 --> 00:04:58,360 lo primero que hacemos es sustituir 41 00:04:58,360 --> 00:04:59,420 y que es lo que tenemos 42 00:04:59,420 --> 00:05:01,259 1 partido de 0 43 00:05:01,259 --> 00:05:03,620 menos 1 partido también 44 00:05:03,620 --> 00:05:10,259 el logaritmo neperiano de 1 más 0 es 1 y el logaritmo neperiano de 1 es 0 45 00:05:10,259 --> 00:05:13,879 por lo tanto yo lo que tengo aquí es infinito menos infinito 46 00:05:13,879 --> 00:05:18,819 esto de aquí no os recomiendo que lo pongáis en el examen de la PAONI 47 00:05:18,819 --> 00:05:22,040 en el nuestro lo sustituís y ponéis infinito menos infinito 48 00:05:22,040 --> 00:05:24,639 y esto lo que es es una indeterminación 49 00:05:24,639 --> 00:05:29,100 entonces ¿qué es lo que ocurre? 50 00:05:29,259 --> 00:05:35,279 pues que aquí hay mucha gente que ha hecho multiplicar arriba y abajo por el conjugado 51 00:05:35,279 --> 00:05:39,939 pero eso solo ocurría en los infinitos menos infinitos cuando tenemos raíces 52 00:05:39,939 --> 00:05:42,399 aquí lo único que podemos hacer es operar 53 00:05:42,399 --> 00:05:46,920 la única posibilidad es operar estas dos fracciones 54 00:05:46,920 --> 00:05:52,199 precisamente al operar nos queda el mismo denominador común 55 00:05:52,199 --> 00:05:57,439 que es x por el logaritmo neperiano de 1 más x 56 00:05:57,439 --> 00:06:02,139 si todo esto lo dividimos entre x me queda logaritmo neperiano de 1 más x 57 00:06:02,139 --> 00:06:11,180 que por 1 tenemos logaritmo neperiano de 1 más x y aquí tenemos el menos y si lo dividimos todo por logaritmo neperiano de 1 más x 58 00:06:11,180 --> 00:06:22,680 y me queda x, x por 1, x. Esto es lo que a mí me queda, que ahora al sustituir pues tengo otra vez logaritmo neperiano de 1 más 0 59 00:06:22,680 --> 00:06:30,980 que es logaritmo neperiano de 1, que eso es 0, menos 0, tengo aquí un 0 y aquí al tener logaritmo neperiano de 1 más 0 60 00:06:30,980 --> 00:06:35,819 que es logaritmo neperiano de 1, que es 0 por 0, pues tenemos también 0 por 0. 61 00:06:35,939 --> 00:06:39,639 Y aquí, ¿qué es lo que ocurre? Que ya podemos aplicar L'Hôpital. 62 00:06:40,199 --> 00:06:49,879 Y L'Hôpital, ¿qué es lo que me dice? Que los límites de una determinación 0 partido de 0, infinito partido de infinito, 63 00:06:50,319 --> 00:06:54,980 es igual a la derivada del numerador partido la derivada del denominador. 64 00:06:54,980 --> 00:07:11,240 Por lo tanto lo que hacemos ahora es derivar. ¿Cuál es la derivada del logaritmo neperiano de 1 más x? Pues la derivada es 1 partido 1 más x por 1. ¿Y cuánto es la derivada de menos x? Pues menos 1. 65 00:07:11,240 --> 00:07:15,920 Ahí tenemos ya la derivada del numerador. 66 00:07:16,060 --> 00:07:19,540 ¿Y cuál es la derivada de x por logaritmo neperiano de 1 más x? 67 00:07:19,699 --> 00:07:29,420 Esto es un producto, por lo tanto es la derivada del primero, que es 1, por la segunda, que es logaritmo neperiano de 1 más x, 68 00:07:30,100 --> 00:07:38,339 más el segundo sin derivar por la derivada de logaritmo neperiano de 1 más x, que es 1 más x. 69 00:07:38,339 --> 00:07:45,600 Esto es lo que nos queda, donde hemos hecho la derivada del numerador por un lado y la derivada del denominador por otro. 70 00:07:46,180 --> 00:07:51,220 Si continuamos y agrupamos, ¿qué es lo que nos queda? 71 00:07:51,220 --> 00:08:16,439 Pues aquí me queda 1 menos 1 más x partido de 1 más x y aquí abajo me queda 1 más x por logaritmo neperiano de 1 más x, todo ello más x partido también de 1 más x. 72 00:08:16,439 --> 00:08:26,600 Y aquí es muy importante, tenéis que saber lo que he hecho aquí es el mínimo común múltiplo, ¿de acuerdo? He hecho el mínimo común múltiplo de esto y lo he operado y me sale esto de aquí. 73 00:08:26,740 --> 00:08:41,940 Y aquí también el mínimo común múltiplo es 1 más x y lo he operado. No sé si os dais cuenta o no, pero al tener dos fracciones dividiéndose con el mismo denominador, esto y esto se nos va y nos queda todo mucho más claro. 74 00:08:42,779 --> 00:08:50,799 Arriba, si yo quito este menos, el 1 menos 1 se va y me queda el límite de menos x. 75 00:08:53,080 --> 00:09:06,559 Y abajo lo que me queda es x más 1 más x por el logaritmo neperiano de 1 más x, cuando x tiende a 0. 76 00:09:07,080 --> 00:09:11,600 Y de nuevo, si yo sustituyo, pues me queda 0 partido de 0. 77 00:09:11,600 --> 00:09:16,799 ¿Qué voy a hacer entonces? Pues de nuevo voy a aplicar L'Hôpital. 78 00:09:18,139 --> 00:09:25,820 Al aplicar L'Hôpital, ¿cuál es la derivada de menos x? Pues arriba, fíjate que fácil, me queda el menos 1. 79 00:09:28,100 --> 00:09:36,720 Y abajo, ¿qué es lo que me queda en el denominador? La derivada de x es un 1, más esto que es la derivada del primero, 80 00:09:36,720 --> 00:09:45,519 que es un 1, por logaritmo neperiano de 1 más x, más el primero sin derivar, que es 1 más x, 81 00:09:46,080 --> 00:09:52,299 por la derivada de logaritmo neperiano de 1 más x, que es 1 partido 1 más x. 82 00:09:52,759 --> 00:10:03,960 Que si os fijáis, ¿cuánto vale todo esto de aquí? Pues todo esto de aquí es un 1, porque esto se me va con esto de aquí. 83 00:10:03,960 --> 00:10:28,639 Por lo tanto, recopilando, me queda que esto es igual al límite cuando x tiende a 0, arriba menos 1 y abajo me queda este 1 más esto de aquí, 84 00:10:28,639 --> 00:10:35,000 que es logaritmo neperiano de 1 más x, más esto de aquí, que es 1. 85 00:10:35,779 --> 00:10:39,460 Si yo ahora sustituyo, ¿qué es lo que me queda? 86 00:10:39,600 --> 00:10:44,700 Me queda arriba menos 1, esto es logaritmo neperiano de 1, que es 0, 87 00:10:45,120 --> 00:10:50,899 y abajo me queda 1 más 0 más 1, que esto es igual a menos 1 medio. 88 00:10:51,279 --> 00:10:55,340 Es decir, el límite este es igual a menos 1 medio. 89 00:10:55,340 --> 00:11:15,639 ¿Qué es lo que tenemos que tener claro aquí recopilando? Pues que nosotros tenemos un infinito menos infinito, como no tenemos raíces, lo único que nos queda es operar estas fracciones, hallamos el mínimo común múltiplo, que en este caso el mínimo común múltiplo es x por logaritmo neperiano de 1 más x, operamos. 90 00:11:15,639 --> 00:11:19,000 al operar resulta que nos sale 0 partidos de 0 91 00:11:19,000 --> 00:11:20,480 por lo tanto aplicamos lopital 92 00:11:20,480 --> 00:11:22,139 y tenemos que tener aquí muy claro 93 00:11:22,139 --> 00:11:26,159 que esto al final es la derivada de un producto 94 00:11:26,159 --> 00:11:28,200 por lo tanto vamos aplicando 95 00:11:28,200 --> 00:11:30,980 vamos viendo que nos podemos ir quitando cositas 96 00:11:30,980 --> 00:11:34,399 siempre que podáis iros quitando cosas 97 00:11:34,399 --> 00:11:36,460 luego que ocurre 98 00:11:36,460 --> 00:11:39,440 cuando yo ya lo dejo todo más despejado 99 00:11:39,440 --> 00:11:41,960 me vuelvo a encontrar con el 0 partidos de 0 100 00:11:41,960 --> 00:11:44,399 pues nada, aplico una segunda vez lopital 101 00:11:44,399 --> 00:11:47,960 y aquí voy viendo qué cosas se me van 102 00:11:47,960 --> 00:11:50,799 y al final obtengo este resultado 103 00:11:50,799 --> 00:11:52,580 que es menos un medio. 104 00:11:52,840 --> 00:11:54,799 Entonces este ejercicio es muy potente, 105 00:11:55,120 --> 00:11:56,379 es muy de evau, 106 00:11:56,379 --> 00:12:00,840 de evau que se llama ahora 107 00:12:00,840 --> 00:12:03,539 porque es un ejercicio donde el alumno 108 00:12:03,539 --> 00:12:06,360 tiene que demostrar pues varios aspectos. 109 00:12:06,559 --> 00:12:08,100 Primero que sabe operar con fracciones, 110 00:12:08,639 --> 00:12:11,399 que sabe y controla bien las derivadas 111 00:12:11,399 --> 00:12:13,860 que son de primero de la ESO 112 00:12:13,860 --> 00:12:18,799 y luego, pues, sobre todo aplicar L'Hôpital, que, bueno, L'Hôpital también es de primero, 113 00:12:19,000 --> 00:12:23,519 perdón, primero de la ESO, no, de primero de bachillerato y que se repasa ahora en segundo. 114 00:12:23,980 --> 00:12:26,559 Ahora nos vamos a ir a este ejercicio de aquí. 115 00:12:26,659 --> 00:12:32,360 Este ejercicio de aquí sí que es bastante más complejo, pero volvemos a lo mismo. 116 00:12:32,559 --> 00:12:40,440 Si tenemos las ideas claras y sabemos bien la función tangente y sabemos derivar 117 00:12:40,440 --> 00:12:49,200 y las propiedades de los logaritmos pues no se hace tan pesado, pero de todos los ejercicios del examen este quizá es lo más difícil por excelencia 118 00:12:49,200 --> 00:12:55,539 que bueno, ha habido compañeros que lo han resuelto la verdad que bastante bien, vamos a ello. 119 00:12:55,539 --> 00:13:11,059 El b es el límite, si no me equivoco, límite de 1 partido de x cuadrado elevado a tangente de x cuando x también tiende a 0. 120 00:13:11,759 --> 00:13:18,679 ¿Verdad? Pues entonces, ¿qué ocurre? 121 00:13:23,909 --> 00:13:32,809 Pues que nosotros a la hora de sustituir nos vamos a encontrar que esto es infinito elevado por cero y es una indeterminación. 122 00:13:32,809 --> 00:13:41,730 En clase vimos, y está también subido un documento, que cuando tenemos las indeterminaciones de este tipo, 123 00:13:41,730 --> 00:13:44,950 o infinito elevado a cero, cero elevado a infinito y demás. 124 00:13:45,350 --> 00:13:48,610 Lo que tenemos que aplicar, que ha habido muchos de ustedes que lo habéis aplicado muy bien, 125 00:13:48,789 --> 00:13:52,950 es aplicamos logaritmo neperiano. 126 00:13:53,529 --> 00:13:58,110 Es decir, yo llamo a a es igual a todo el límite. 127 00:13:58,110 --> 00:14:04,350 A es igual al límite de x, cuando x tiende a cero, de uno partido de x cuadrado, 128 00:14:04,570 --> 00:14:06,549 todo ello elevado a tangente de x. 129 00:14:06,549 --> 00:14:20,049 Si yo aplico logaritmo neperiano, yo tengo que logaritmo neperiano de a es igual a logaritmo neperiano del límite de 1 partido de x cuadrado, todo ello elevado a tangente de x. 130 00:14:20,190 --> 00:14:31,509 Pero resulta que hay una propiedad de los límites que me dicen que el logaritmo neperiano de un límite es el límite, y se me ha olvidado, el límite del logaritmo. 131 00:14:31,509 --> 00:14:39,250 Por lo tanto, tengo el límite del logaritmo neperiano de 1 partido de x cuadrado de tangente de x. 132 00:14:39,529 --> 00:14:46,750 Hay una propiedad, que esto es muy importante recordarlo, que cuando yo tengo el logaritmo neperiano de una potencia, 133 00:14:47,129 --> 00:14:53,529 es decir, yo tengo el logaritmo neperiano de a elevado a b, esto es igual a b por el logaritmo neperiano de a. 134 00:14:54,509 --> 00:15:05,110 Precisamente creo que fue Hernán me preguntó un ejercicio que subí y dejé que os echara ahí un vistazo donde se aplicaban bastante estas propiedades de los logaritmos. 135 00:15:05,110 --> 00:15:16,009 Con lo cual también es importante que veáis todo lo que os digo en clase y que subo los ejercicios de cara a los exámenes. 136 00:15:16,009 --> 00:15:28,509 Entonces, ¿qué ocurre? Que esto de aquí es igual al límite de la tangente de x por el logaritmo neperiano de 1 partido de x al cuadrado. 137 00:15:29,610 --> 00:15:38,029 Esto de aquí se puede seguir operando, pero yo creo que es mucho más fácil, mucho más fácil. 138 00:15:38,029 --> 00:15:42,730 este logaritmo neperiano de 1 partido de x cuadrado 139 00:15:42,730 --> 00:15:46,389 lo vamos a convertir, porque hay otra propiedad que me dice 140 00:15:46,389 --> 00:15:49,830 que el logaritmo neperiano de a partido de b 141 00:15:49,830 --> 00:15:54,250 es igual al logaritmo neperiano de a menos logaritmo neperiano de b 142 00:15:54,250 --> 00:15:58,549 es decir, el logaritmo neperiano de una división es la resta del logaritmo 143 00:15:58,549 --> 00:16:02,070 por lo tanto yo aquí tengo logaritmo neperiano de 1 144 00:16:02,070 --> 00:16:04,850 menos logaritmo neperiano 145 00:16:04,850 --> 00:16:11,669 ah, perdón, logaritmo neperiano, vaya, logaritmo neperiano de x cuadrado. 146 00:16:12,070 --> 00:16:19,470 ¿Qué es lo que tenemos que saber? Que el logaritmo neperiano de 1, si nos hacemos la calculadora, esto es 0. 147 00:16:20,529 --> 00:16:31,210 El logaritmo neperiano de x cuadrado, aplicando esta propiedad, nos queda que esto es el límite de tangente de x 148 00:16:31,210 --> 00:16:43,149 que multiplica a menos 2 logaritmo neperiano de x, porque he aplicado aquí la propiedad que me dice el logaritmo de una potencia, cuando x tiende a 0. 149 00:16:43,269 --> 00:16:55,549 Si yo agrupo, esto es el límite de menos 2 tangente de x logaritmo neperiano de x, cuando x tiende a 0. 150 00:16:55,549 --> 00:17:16,069 Una vez que yo he llegado aquí, pues lo que sería interesante hacer es sustituir la tangente de x por seno de x partido coseno de x. 151 00:17:16,069 --> 00:17:30,049 ¿Y qué es lo que me quedaría? Me quedaría el límite cuando x tiende a 0 de menos 2 seno de x logaritmo neperiano de x partido coseno de x. 152 00:17:30,049 --> 00:17:58,130 Y aquí, ¿qué es lo que ocurre? Que me sale, esto es 0, pero el logaritmo neperiano de 0 es menos infinito, lo cual yo tengo que pasar este seno, este seno de aquí, lo voy a pasar dividiendo para convertir una indeterminación del tipo 0 por infinito, la voy a convertir a 1 de 0 partido de 0 o infinito partido de infinito. 153 00:17:58,130 --> 00:18:11,130 Es decir, yo tengo aquí menos 2 logaritmo neperiano de x partido de coseno de x, todo ello seno de x, cuando x tiende a 0. 154 00:18:11,130 --> 00:18:22,130 Y entonces aquí, ¿qué es lo que me sale? Me sale la indeterminación infinito partido de infinito, con lo cual yo aquí también puedo aplicar, pues, L'Hospital. 155 00:18:24,660 --> 00:18:35,759 Al aplicar L'Hospital, ¿qué es lo que tengo? Pues arriba me queda menos 2 partido de x, porque la derivada del logaritmo neperiano de x es 1 partido de x. 156 00:18:35,759 --> 00:18:48,599 Y aquí yo tengo que aplicar la derivada de la cotangente, porque realmente esto es igual a cotangente de x, que es la inversa de la tangente. 157 00:18:48,599 --> 00:19:10,420 Pero si no me acuerdo, yo derivo una fracción. Es la derivada del primero, la derivada del coseno es menos seno de x por el segundo, que es seno de x, menos el primero sin derivada por la derivada del segundo, la derivada del seno es el coseno. 158 00:19:10,420 --> 00:19:22,680 Y todo ello elevado al cuadrado del denominador. Eso es lo que yo tengo en el denominador al aplicar el hospital. 159 00:19:23,740 --> 00:19:38,420 Muy importante, esto de aquí, si yo saco factor común, el menos, tengo menos seno al cuadrado de x más coseno al cuadrado de x. 160 00:19:38,420 --> 00:19:57,339 Y esto precisamente vale 1. Esto cuando yo os expliqué la derivada de la tangente, que hay de tres tipos, yo os recordé de nuevo el teorema fundamental de la trigonometría, que es este de aquí. 161 00:19:57,339 --> 00:20:16,279 Por lo tanto, recopilando, ¿qué es lo que me queda? Pues me queda menos 2 partido de x, todo ello partido por menos 1 partido de seno cuadrado de x. 162 00:20:16,279 --> 00:20:29,880 Es decir, si yo esto lo recompongo, este menos y este menos se me va y me queda 2 seno cuadrado de x partido de x, cuando x tiende a 0. 163 00:20:30,019 --> 00:20:40,720 Este ejercicio se puede hacer de muchas formas. Yo creo que esta es una de las formas más livianas, pero se puede hacer de varias formas. 164 00:20:40,720 --> 00:20:54,400 aquí si de nuevo sustituimos el seno de 0 es 0 y cuando x tiende a 0 tengo otra vez otra indeterminación donde yo voy a aplicar pues l'Hôpital 165 00:20:54,400 --> 00:21:03,920 y ahora sí, ahora ya va a salir todo bien porque esto es 2, ¿cuál es la derivada de seno cuadrado de x? 166 00:21:03,920 --> 00:21:16,859 Pues 2 por el seno de x por el coseno de x, la regla de la cadena, es 2 veces mi función elevado a menos 1 por la derivada de mi función que es coseno de x. 167 00:21:16,980 --> 00:21:19,400 ¿Cuál es la derivada de x? 1, 1. 168 00:21:20,079 --> 00:21:28,259 Si yo ahora aquí sustituyo, puedo daros cuenta que coseno de 0 es 1, seno de 0 es 0, por lo tanto aquí me queda un 0. 169 00:21:28,259 --> 00:21:36,960 y que tenemos que recordar que yo lo que tenía aquí era que el logaritmo neperiano de a es igual a 0 170 00:21:36,960 --> 00:21:40,839 de donde a resulta que vale 1 171 00:21:40,839 --> 00:21:53,759 es decir a que era el límite cuando x tiende a 0 de 1 partido de x cuadrado tangente de x 172 00:21:53,759 --> 00:21:57,180 pues todo eso es igual a 1 173 00:21:57,180 --> 00:22:18,039 Este ejercicio es muy completo, eso sí, pero es complicado. Daros cuenta que primero vamos a pasar de una determinación infinito elevado a cero, donde aplicamos los logaritmos neperianos, vamos a llegar a una indeterminación del tipo infinito partido de infinito, 174 00:22:18,039 --> 00:22:32,599 donde aplicando límite el lopital perdona volvemos a llegar a otra indeterminación de 0 partido de 0 que ya al aplicar lopital pues vemos que es inmediata y nos da el resultado. 175 00:22:32,599 --> 00:22:52,000 Entonces, fijaros lo completo que es este ejercicio. Tenemos que saber propiedades de logaritmos neperianos, tenemos que saber también recordar que la tangente es el seno partido del coseno y ir eliminando cosas que nos sobran. 176 00:22:52,000 --> 00:23:05,940 Yo, no sé, hay gente que me ha hecho en el examen la derivada de cotangente de x, que creo que es menos secante de x. Yo es que nunca me acuerdo. ¿De acuerdo? ¿Que la sabéis? Pues oye, lo ponéis, está bien, perfecto. 177 00:23:06,039 --> 00:23:21,720 Yo, como nunca me sé la derivada de la tangente de la cotangente, lo que hago es pongo la fórmula y derivo de un cociente, ¿de acuerdo? Y luego lo que sí tengo que recordar es el teorema fundamental de la trigonometría, ¿de acuerdo? 178 00:23:21,720 --> 00:23:26,019 Y entonces ya llegamos a esto de aquí. Espero que os sirva.