1
00:00:00,940 --> 00:00:05,759
Hola, en este vídeo vamos a resolver el siguiente ejercicio, típico de optimización.

2
00:00:06,440 --> 00:00:12,599
Nos dicen que calculemos la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8, cuya área sea máxima.

3
00:00:14,640 --> 00:00:18,899
Como siempre en estos problemas, conviene hacer un dibujo.

4
00:00:19,760 --> 00:00:26,300
Hacer un dibujo puede ser dibujar un triángulo isósceles que ya sabéis son dos lados iguales y uno desigual.

5
00:00:26,300 --> 00:00:35,479
Así es que poniendo nombres, esto sería la base, vamos a poner el lado y este también sería el lado porque son isórceles.

6
00:00:35,659 --> 00:00:41,100
El área va a venir siempre base por altura entre dos.

7
00:00:42,439 --> 00:00:43,439
Pero no tenemos la altura.

8
00:00:44,140 --> 00:00:53,780
La altura en un triángulo isórceles siempre es esta línea y en un triángulo isórceles divide esto en dos partes iguales.

9
00:00:53,780 --> 00:01:02,859
Así es que la h va a ser igual a el lado al cuadrado menos la mitad de la base al cuadrado.

10
00:01:06,819 --> 00:01:13,439
Operando, pues esto va a quedar 4l al cuadrado menos la base al cuadrado partido de 4.

11
00:01:14,519 --> 00:01:24,000
Este raíz de 4 lo voy a poder sacar y me va a quedar realmente que la altura es 4l al cuadrado menos la base al cuadrado entre 2.

12
00:01:24,000 --> 00:01:45,420
Por tanto, el área será la base por la altura, 4L cuadrado menos la base al cuadrado partido de 2, y a su vez partido de 2, que ya me estoy anticipando.

13
00:01:45,420 --> 00:01:58,849
Esto si lo opero, pues va a quedar b por la raíz cuadrada de 4l cuadrado menos b cuadrado partido de 4.

14
00:01:59,269 --> 00:02:01,969
Pero claro, tengo l y b.

15
00:02:03,170 --> 00:02:10,169
Y no voy a poder usar mucho dos letras, pero claro, me doy cuenta que si el perímetro es 8,

16
00:02:11,650 --> 00:02:14,530
su expresión matemática de lo que me están pidiendo es esto.

17
00:02:14,530 --> 00:02:18,250
es decir, dos lados más la base tiene que sumar 8

18
00:02:18,250 --> 00:02:26,469
y de aquí, pues por ejemplo, voy a poder despejar 8 menos b entre 2

19
00:02:26,469 --> 00:02:28,189
para dejarlo todo en función de la base

20
00:02:28,189 --> 00:02:31,750
por lo tanto, el área, ¿qué va a ser?

21
00:02:31,750 --> 00:02:37,389
va a ser la base por la raíz de 4

22
00:02:37,389 --> 00:02:49,270
por 8 menos b partido por 2 al cuadrado menos b al cuadrado y todo partido de 4.

23
00:02:51,580 --> 00:03:03,810
Si opero, pues esto va a quedar 4 por 64, que es el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo

24
00:03:03,810 --> 00:03:10,469
menos el doble del primero por el segundo partido de 4, que también se lleva al cuadrado,

25
00:03:11,169 --> 00:03:17,969
menos b al cuadrado, y todo esto a su vez partido de 4.

26
00:03:21,090 --> 00:04:00,110
Si opero, pues tendré b por, bueno, ya veo que estos dos 4 se van y me van a quedar 64 más b al cuadrado menos 16b menos b al cuadrado partido de 4.

27
00:04:00,110 --> 00:04:12,270
Esto operando, pues va a quedar b por 64 menos 16b partido de 4.

28
00:04:15,300 --> 00:04:25,449
Que sacando factor común 16, esto va a quedar 4 menos b partido de 4.

29
00:04:27,680 --> 00:04:32,920
Que va a quedar b por la raíz cuadrada de 4 menos b.

30
00:04:32,920 --> 00:04:55,199
Bien, ya tenemos la función que nos da el área, dependiendo exclusivamente, lo voy a poner así, de la base, base por 4 menos b, vale, pues ahora vamos a buscar su máximo, para eso vamos a derivar usando la raíz del producto,

31
00:04:55,199 --> 00:05:08,120
La derivada de b es 1, por el otro sin derivar, más b por la derivada de la raíz, que ya sabéis que es un medio de 4 menos b,

32
00:05:08,459 --> 00:05:11,600
y ahora por la derivada del otro, porque estoy usando la regla de la cadena.

33
00:05:13,439 --> 00:05:23,180
Con lo cual queda 4 menos b, menos b, partido de 2, 4 menos b.

34
00:05:23,180 --> 00:05:25,120
y esto hay que igualarlo a 0

35
00:05:25,120 --> 00:05:29,160
para encontrar los valores críticos

36
00:05:29,160 --> 00:05:31,579
esto nos va a hacer

37
00:05:31,579 --> 00:05:32,939
que quede así

38
00:05:32,939 --> 00:05:34,639
4 menos b

39
00:05:34,639 --> 00:05:36,740
ya lo voy a igualar directamente

40
00:05:36,740 --> 00:05:42,689
bueno, este 2

41
00:05:42,689 --> 00:05:44,689
con este 2, esto es un 4, perdón

42
00:05:44,689 --> 00:05:57,819
no, no, no

43
00:05:57,819 --> 00:06:00,360
que me estoy liando, perdón, perdón

44
00:06:00,360 --> 00:06:03,139
que esto es menos 1

45
00:06:03,139 --> 00:06:06,319
la derivada de lo de adentro es menos 1

46
00:06:06,319 --> 00:06:15,730
Esto es un 2 y esto es un 2

47
00:06:15,730 --> 00:06:18,290
Esto va a quedar 2

48
00:06:18,290 --> 00:06:21,569
Al multiplicar las raíces quedaría la raíz al cuadrado

49
00:06:21,569 --> 00:06:22,449
Va a quedar así

50
00:06:22,449 --> 00:06:28,759
Resolviendo, pues esto va a quedar 8 menos 2b

51
00:06:28,759 --> 00:06:33,319
Igual a b

52
00:06:33,319 --> 00:06:38,560
Entonces la b vale 8 tercios

53
00:06:38,560 --> 00:06:48,050
Debíamos comprobar que es un máximo

54
00:06:48,050 --> 00:06:52,600
bueno, pues poniendo aquí 8 tercios

55
00:06:52,600 --> 00:06:57,680
si le damos un valor anterior a 8 tercios

56
00:06:57,680 --> 00:07:07,939
por ejemplo 0 a la derivada

57
00:07:07,939 --> 00:07:10,720
pues queda 2 y todo esto va a quedar 0

58
00:07:10,720 --> 00:07:12,500
queda positivo

59
00:07:12,500 --> 00:07:14,939
y aquí queda negativo

60
00:07:14,939 --> 00:07:17,339
o sea que la funcionaria aquí sube

61
00:07:17,339 --> 00:07:19,459
y en este trozo baja

62
00:07:19,459 --> 00:07:24,240
por lo tanto presenta un máximo

63
00:07:24,240 --> 00:07:28,399
que podríamos corroborar con el criterio de la segunda derivada

64
00:07:28,399 --> 00:07:40,420
Pero que no lo vamos a hacer porque aquí la derivada es complicada.

65
00:07:40,720 --> 00:07:52,970
Bueno, hemos sacado la base y recordamos que 2L más B era igual a 8.

66
00:07:54,110 --> 00:07:59,629
Así es que 2L más 8 tercios será igual a 8.

67
00:08:01,370 --> 00:08:07,069
Y por tanto la L nos sale 8 tercios.

68
00:08:07,069 --> 00:08:12,930
¿Qué nos está diciendo entonces?

69
00:08:13,029 --> 00:08:15,970
Que la base mide 8 tercios y los lados mide 8 tercios

70
00:08:15,970 --> 00:08:18,470
Entonces este triángulo es equilátero

71
00:08:18,470 --> 00:08:26,709
Que no entra en contradicción con el enunciado

72
00:08:26,709 --> 00:08:30,170
Porque Ixorceles es que tiene dos lados iguales

73
00:08:30,170 --> 00:08:36,600
En particular un equilátero tiene dos lados iguales

74
00:08:36,600 --> 00:08:41,480
O sea que realmente el triángulo que nos piden es un triángulo equilátero

75
00:08:41,480 --> 00:08:44,580
Cuyo lado es 8 tercios

76
00:08:44,580 --> 00:08:47,019
8 tercios

77
00:08:47,019 --> 00:08:49,100
Y 8 tercios

78
00:08:49,100 --> 00:08:52,039
este triángulo tiene área máxima

79
00:08:52,039 --> 00:08:53,539
y con esto hemos resuelto el ejercicio