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00:00:05,339 --> 00:00:21,289
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:21,289 --> 00:00:25,890
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:25,890 --> 00:00:30,070
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones.

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00:00:31,929 --> 00:00:40,799
En la videoclase de hoy estudiaremos la definición de función y las formas de expresarlas.

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00:00:42,299 --> 00:00:51,789
En esta unidad vamos a estudiar funciones reales de variable real.

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00:00:52,450 --> 00:00:57,890
Las funciones se van a representar por letras minúsculas y en general utilizaremos f, f por función.

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00:00:58,570 --> 00:01:03,829
Y como vemos aquí, las funciones son correspondencias que van a asociar a números reales u otros números reales.

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00:01:04,609 --> 00:01:10,790
Los números reales que las funciones tomarán como entrada no tienen por qué ser todos los números de la recta real,

9
00:01:10,930 --> 00:01:14,810
sino que dependiendo de la función puede ser un subconjunto de la recta real.

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00:01:15,450 --> 00:01:19,890
A ese subconjunto de entrada de números reales que puede tomar como entrada una función f,

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00:01:19,890 --> 00:01:27,290
se va a denominar dominio y se va a representar de esta manera ddf dominio df. Asimismo los números

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00:01:27,290 --> 00:01:32,510
reales que pueda tomar como salida la función no tienen por qué ser todos los números reales sino

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00:01:32,510 --> 00:01:36,950
que en general será un subconjunto de la recta real que dependerá de la función en concreto con

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00:01:36,950 --> 00:01:42,849
la que estemos trabajando. Como vemos aquí a ese subconjunto final se le va a denominar imagen y

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00:01:42,849 --> 00:01:50,549
se va a representar analíticamente simbólicamente de esta forma y de f imagen de f. Las funciones se

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00:01:50,549 --> 00:01:54,769
van a representar simbólicamente en general de esta manera y aquí lo que tenemos como ejemplo

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00:01:54,769 --> 00:02:00,810
es una función que se llama f, f minúscula, que va a tomar como entrada números reales y como salida

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00:02:00,810 --> 00:02:08,569
números reales. La entrada va a ser números reales que vamos a representar con la letra x y esta x

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00:02:08,569 --> 00:02:15,189
como vemos aquí, se va a llamar variable independiente y esos valores de x van a pertenecer al dominio de la función,

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00:02:15,550 --> 00:02:19,050
el subconjunto en la recta real que toma la función como entrada.

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00:02:19,710 --> 00:02:26,629
La función lo que va a hacer es devolver para cada valor de x un único valor de y.

22
00:02:27,129 --> 00:02:32,469
Como vemos aquí, es una correspondencia que asocia a cada elemento x un único elemento.

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00:02:33,449 --> 00:02:38,629
Ese elemento y, como vemos aquí, se va a llamar variable dependiente.

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00:02:39,030 --> 00:02:43,849
Y, variable dependiente, depende de x, que no depende en principio de nada,

25
00:02:44,250 --> 00:02:46,210
y por eso se denomina variable independiente.

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00:02:47,110 --> 00:02:53,629
Volviendo a nuestra definición, como veíamos, la función toma como entrada valores de la variable independiente x

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00:02:53,629 --> 00:02:59,349
que pertenecen al dominio de la función, y van a devolver como salida valores de la variable dependiente y,

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00:02:59,349 --> 00:03:05,370
Y depende de x a través de la función f, se va a representar de esta manera, y igual a f de x.

29
00:03:05,930 --> 00:03:13,610
Y esos valores de la variable dependiente, esos valores y, van a pertenecer a un subconjunto en la recta real, que es la imagen de la función.

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00:03:14,870 --> 00:03:22,689
Las funciones con carácter general van a poder expresarse de cuatro maneras, bien mediante un enunciado, mediante una tabla de valores,

31
00:03:23,250 --> 00:03:26,370
mediante una expresión algebraica o bien mediante una gráfica.

32
00:03:27,030 --> 00:03:32,189
Nosotros a lo largo de esta unidad utilizaremos exhaustivamente expresiones algebraicas

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00:03:32,189 --> 00:03:36,710
y en ciertas ocasiones se nos dará una función definida mediante un enunciado

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00:03:36,710 --> 00:03:41,050
y nosotros tendremos que preocuparnos de buscar la algebraica que le corresponde.

35
00:03:41,590 --> 00:03:45,389
Como por ejemplo en el ejercicio que vamos a ver a continuación.

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00:03:46,550 --> 00:03:52,289
En él se nos dice mediante un enunciado que un grifo abierto vierte 15 litros de agua cada minuto.

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00:03:53,169 --> 00:03:59,789
Este enunciado corresponde con una función y se nos pide que expresemos la función que relaciona el agua vertida con el tiempo

38
00:03:59,789 --> 00:04:07,189
mediante las otras tres formas que nos quedan, mediante una tabla de valores, mediante una expresión algebraica y mediante una gráfica.

39
00:04:07,849 --> 00:04:11,569
Bien, lo que vamos a hacer es comenzar creando una tabla de valores.

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00:04:12,389 --> 00:04:18,269
Para ello lo que vamos a hacer es definir, por un lado, la variable independiente, que en este caso es el tiempo en minutos

41
00:04:18,269 --> 00:04:23,990
y que nosotros vamos a llamar t. En general se llamaría x, es la forma más abstracta de hacerlo,

42
00:04:24,509 --> 00:04:29,370
pero en este caso, dado que se trata de un tiempo, mejor que x, vamos a llamarlo con una letra que nos recuerde

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00:04:29,370 --> 00:04:32,490
qué es lo que estamos teniendo entre manos, con qué estamos trabajando.

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00:04:33,170 --> 00:04:37,649
Así que nuestra variable independiente se va a llamar t y va a ser el tiempo en minutos.

45
00:04:38,629 --> 00:04:42,569
Nuestra variable dependiente, en general, con carácter abstracto sería y,

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00:04:42,910 --> 00:04:47,750
pero en este caso está contextualizado, lo vamos a llamar v, puesto que se refiere al volumen,

47
00:04:47,750 --> 00:04:54,410
de agua que se vierte cada minuto. V, como vemos, es el agua vertida que se va a medir en litros y

48
00:04:54,410 --> 00:05:00,230
va a ser la variable dependiente. En este caso, el volumen de agua vertida depende del tiempo. Así

49
00:05:00,230 --> 00:05:06,230
pues, V, variable dependiente, T, variable independiente. Puesto que T es la variable

50
00:05:06,230 --> 00:05:12,170
independiente, le podemos dar los valores que nosotros queramos dentro de lo que sería el

51
00:05:12,170 --> 00:05:18,689
dominio de la función. En este caso lo que hacemos es considerar que tenemos un grifo cerrado y en

52
00:05:18,689 --> 00:05:23,529
un momento dado lo abrimos y a partir de ahí empezamos a medir el volumen de agua que haya

53
00:05:23,529 --> 00:05:29,550
acumulado, sabiendo que se va a verter 15 litros de agua cada minuto. Así pues el tiempo no puede

54
00:05:29,550 --> 00:05:34,829
tomar un valor arbitrario cualquiera, sino que el tiempo tomará valores a partir de cero, que es el

55
00:05:34,829 --> 00:05:39,610
instante en el cual se abre el grifo, y a partir de ahí valores positivos, en principio arbitrarios,

56
00:05:39,610 --> 00:05:45,750
en principio está infinito. Nosotros lo que vamos a hacer es elegir para t los valores 0, 1, 2, 3,

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00:05:45,829 --> 00:05:53,649
4 y 5, 5 y 6 minutos. En cuanto a v, la variable dependiente no tomará valores arbitrarios, sino

58
00:05:53,649 --> 00:05:59,029
que dependerá del valor de la variable independiente. Nosotros lo que vamos a hacer es considerar que en

59
00:05:59,029 --> 00:06:03,149
el instante inicial, cuando se abre el grifo, no hay vertida ninguna cantidad de agua, el grifo

60
00:06:03,149 --> 00:06:09,589
estaba cerrado, y entonces la variable dependiente tomará el valor 0. En el instante 0 se han vertido

61
00:06:09,589 --> 00:06:15,889
0 litros de agua. A continuación, para el valor de t igual a 1, aquí lo que hacemos es deducir que

62
00:06:15,889 --> 00:06:21,269
el volumen de agua vertida tiene que ser 15 litros, puesto que se nos dice que se vierten 15 litros de

63
00:06:21,269 --> 00:06:26,529
agua cada minuto. Así pues, una vez que ha pasado un minuto, se han vertido 15 litros. Cuando han

64
00:06:26,529 --> 00:06:32,550
pasado dos minutos, se han vertido los 15 litros del primer minuto más otros 15 minutos a lo largo

65
00:06:32,550 --> 00:06:38,410
del segundo minuto. Así pues, cuando el tiempo vale 2 minutos, tenemos que v vale 30 litros. Así

66
00:06:38,410 --> 00:06:47,889
Y sucesivamente, si vamos incrementando el tiempo minuto a minuto, sabemos, porque se nos dice en el enunciado inicial, que cada minuto se vierte en 15 litros,

67
00:06:47,970 --> 00:06:53,370
lo que vamos a hacer es ir añadiendo 15 litros de agua al volumen que teníamos en el minuto anterior.

68
00:06:53,449 --> 00:07:01,230
Y tenemos esta tabla de valores. Para el valor de la variable independiente t igual a 0, tenemos la variable dependiente v igual a 0.

69
00:07:01,769 --> 00:07:05,310
Para t igual a 1 minuto, v es igual a 15 litros.

70
00:07:05,550 --> 00:07:08,670
Para t igual a 2 minutos, v es igual a 30 litros, etc.

71
00:07:09,509 --> 00:07:12,829
Esta tabla se puede construir en horizontal, como vemos aquí, o bien en vertical.

72
00:07:12,990 --> 00:07:14,170
Es una mera cuestión estética.

73
00:07:14,750 --> 00:07:18,189
Y yo aquí he elegido la versión en horizontal para que me ocupara menos espacio.

74
00:07:19,350 --> 00:07:25,170
En lo que respecta a la expresión algebraica, lo que tenemos que hacer es pensar en cómo estamos construyendo la tabla de valores.

75
00:07:25,170 --> 00:07:54,569
Entonces, estamos viendo que en un minuto se han vertido 15 litros, en dos minutos 30, en tres minutos 45, cada minuto estamos añadiendo 15 litros al volumen que teníamos en el minuto anterior y esta función se corresponde con una expresión algebraica v igual a c de t, a la función le vamos a llamar c de caudal, que viene dada por la expresión algebraica v igual a 15 por t.

76
00:07:55,170 --> 00:07:58,709
Vemos que cuando t vale 0, 15 por 0, v es igual a 0.

77
00:07:59,189 --> 00:08:02,810
Cuando t es igual a 1, v igual a 15 por 1, es igual a 15.

78
00:08:03,329 --> 00:08:07,470
Cuando t es igual a 2, v igual a 15 por 2, es igual a 30, y así sucesivamente.

79
00:08:08,350 --> 00:08:13,029
Así pues, esta sería la expresión algebraica que corresponde con esta tabla de valores,

80
00:08:13,170 --> 00:08:14,910
que a su vez corresponde con este enunciado.

81
00:08:15,790 --> 00:08:17,829
Vemos que la función se llama c, caudal.

82
00:08:18,250 --> 00:08:21,449
Vemos que la variable independiente se llama t, tiempo.

83
00:08:21,930 --> 00:08:24,850
Y que la variable dependiente se llama v, volumen.

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00:08:25,170 --> 00:08:27,209
Y que la función es v igual a 15 por t.

85
00:08:28,269 --> 00:08:32,669
En cuanto al dominio de la función, lo hemos comentado hace un momento.

86
00:08:33,950 --> 00:08:40,149
La variable independiente, el tiempo, va a poder tomar valores desde cero incluido hasta más infinito.

87
00:08:40,350 --> 00:08:46,190
No tiene sentido que el tiempo tome valores negativos, puesto que eso representaría un tiempo anterior a que el grifo se abriera.

88
00:08:46,289 --> 00:08:49,389
Y en ese caso no estaría vertiéndose agua. No tiene sentido.

89
00:08:49,970 --> 00:09:09,809
En cuanto a la imagen, en este caso podemos ver que el valor más pequeño que toma el caudal es 0, se corresponde con el tiempo inicial t igual a 0 minutos, y a partir de aquí el volumen vertido va aumentando arbitrariamente, y en principio, con una cantidad de tiempo arbitrariamente grande, se habría vertido un volumen de agua arbitrariamente grande.

90
00:09:09,809 --> 00:09:14,809
Así que la imagen también va a tomar valores desde cero incluido hasta más infinito.

91
00:09:15,570 --> 00:09:21,590
En este caso vemos que las variables dependiente e independiente tienen unidades, puesto que se corresponden con magnitudes físicas,

92
00:09:22,129 --> 00:09:29,750
y el dominio va de cero a infinito en minutos y la imagen va desde cero hasta más infinito en litros.

93
00:09:30,029 --> 00:09:38,250
Igual en la tabla de valores. Estos valores 0, 1, 2, 3 están expresados en minutos y estos valores 0, 15, 30, etc. están expresados en litros.

94
00:09:38,250 --> 00:09:44,649
bien a continuación lo que vamos a hacer es representar gráficamente la función en este

95
00:09:44,649 --> 00:09:49,009
caso lo que vamos a hacer es directamente tomar estos valores de la tabla y representarlos

96
00:09:49,009 --> 00:09:53,789
gráficamente vamos a dibujar unos ejes de coordenadas en este caso puesto que el dominio

97
00:09:53,789 --> 00:09:59,850
de la función son únicamente valores no negativos nos vamos a quedar con el semieje horizontal

98
00:09:59,850 --> 00:10:05,429
positivo puesto que la imagen son valores no negativos igualmente vamos a tomar únicamente

99
00:10:05,429 --> 00:10:12,049
el semieje positivo. Vamos a tomar la variable independiente en el eje horizontal, la variable

100
00:10:12,049 --> 00:10:18,129
dependiente en el eje vertical, como habitualmente, y vamos a etiquetarlos. En el eje horizontal

101
00:10:18,129 --> 00:10:22,649
tenemos el tiempo en minutos, las unidades vienen aquí expresadas. En el eje vertical

102
00:10:22,649 --> 00:10:28,649
tenemos el volumen en litros, igualmente aquí tenemos las unidades. En la intersección

103
00:10:28,649 --> 00:10:33,610
de los dos ejes tenemos el origen de coordenadas, 0, 0, y a partir de aquí lo que hemos hecho

104
00:10:33,610 --> 00:10:39,289
ha sido marcar a intervalos X espaciados incrementos, en este caso, de tiempo de un minuto.

105
00:10:39,409 --> 00:10:41,850
Así que 1, 2, 3, 4, etcétera, minutos.

106
00:10:42,610 --> 00:10:46,350
Igualmente, en el eje vertical, hemos marcado intervalos X espaciados

107
00:10:46,350 --> 00:10:50,570
y en este caso las marcas corresponden a valores incrementales de 10 litros.

108
00:10:51,070 --> 00:10:53,169
10, 20, 30, 40 litros, etcétera.

109
00:10:53,669 --> 00:10:58,889
Y hemos representado como puntos los valores T igual a 0 y B igual a 0, que sería este que hay aquí.

110
00:10:59,429 --> 00:11:02,409
T igual a 1 y B igual a 15, que sería este punto de aquí.

111
00:11:02,409 --> 00:11:06,409
t igual a 2, v igual a 30, este de aquí y así sucesivamente.

112
00:11:07,090 --> 00:11:13,690
Vemos que todos estos puntos están alineados y es que esta expresión algebraica se corresponde con la de una semirrecta,

113
00:11:13,889 --> 00:11:18,909
no una recta, puesto que estamos representando únicamente con un dominio desde el cero hasta más infinito.

114
00:11:19,350 --> 00:11:26,450
Sería la semirrecta que, partiendo del origen del sistema de referencia, avanza tal y como estamos mostrando aquí en azul.

115
00:11:26,450 --> 00:11:35,360
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

116
00:11:36,120 --> 00:11:40,200
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

117
00:11:41,019 --> 00:11:45,779
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

118
00:11:46,320 --> 00:11:47,720
Un saludo y hasta pronto.