1
00:00:00,000 --> 00:00:07,559
Bien, vamos a ver. Voy a aplicar el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones.

2
00:00:08,140 --> 00:00:12,429
¿De acuerdo? Entonces, vamos a ver.

3
00:00:14,390 --> 00:00:19,850
Bien, entonces, vamos a ello. Tenemos este sistema de ecuaciones, tres ecuaciones y tres incógnitas.

4
00:00:19,850 --> 00:00:43,229
Entonces, el teorema de Gauss dice que si yo un sistema de ecuaciones lo sustituyo por otro, de manera que una de las ecuaciones sea el resultado de la combinación lineal de las ecuaciones del sistema,

5
00:00:43,229 --> 00:00:50,030
el sistema que obtengo es equivalente.

6
00:00:50,350 --> 00:00:52,409
Es decir, que tiene las mismas soluciones.

7
00:00:53,030 --> 00:00:54,210
Voy a explicar esto qué es.

8
00:00:55,310 --> 00:00:55,969
Vamos a ver.

9
00:00:56,869 --> 00:01:01,969
Esta es la herramienta que vamos a utilizar para resolver los sistemas por el método de Gauss.

10
00:01:02,409 --> 00:01:05,090
Imaginad que tengo una ecuación.

11
00:01:05,569 --> 00:01:09,109
Cuando pongo E1 quiero decir la ecuación primera de un sistema.

12
00:01:09,790 --> 00:01:09,890
¿Vale?

13
00:01:10,549 --> 00:01:12,510
Imaginad que tengo otra ecuación.

14
00:01:13,230 --> 00:01:25,829
E2. Y pongamos que tengo otra E3. ¿Bien? Podría tener muchas más, ¿eh? ¿Se ve la idea? Pues bien, ¿qué es una combinación? Esto es un sistema de ecuaciones, ¿sí o no?

15
00:01:26,829 --> 00:01:39,129
Tres ecuaciones, con las incógnitas que sea cada uno lo que sea. ¿Estamos de acuerdo? ¿Entendemos en qué estamos? Pues bien, si yo sustituyo, por ejemplo, la ecuación 3

16
00:01:39,129 --> 00:01:44,870
Por una combinación lineal de ella con otras

17
00:01:44,870 --> 00:01:47,909
El sistema que obtengo es equivalente

18
00:01:47,909 --> 00:01:50,989
Es decir, ¿qué es una combinación lineal?

19
00:01:50,989 --> 00:01:52,629
Pues es esto

20
00:01:52,629 --> 00:02:01,129
Por ejemplo, alfa E1 más beta E3

21
00:02:01,129 --> 00:02:07,510
Esto es una combinación lineal de la ecuación 1 y la ecuación 3

22
00:02:07,510 --> 00:02:09,270
¿Se ve o no?

23
00:02:09,270 --> 00:02:16,750
Es un número por la ecuación 1 más otro número por la ecuación 2

24
00:02:16,750 --> 00:02:19,689
Sea cual sean esos números

25
00:02:19,689 --> 00:02:24,250
También podría ser una combinación lineal así con tres cosas

26
00:02:24,250 --> 00:02:25,949
Con las tres ecuaciones

27
00:02:25,949 --> 00:02:29,150
Fi e3

28
00:02:29,150 --> 00:02:35,770
Esto sería una combinación lineal de las tres ecuaciones

29
00:02:35,770 --> 00:02:37,210
¿Se entiende o no?

30
00:02:37,509 --> 00:02:59,889
Pues mirad, lo que dice el teorema de Gauss es, si un sistema de ecuaciones como este lo sustituyo por, o sea, una ecuación la dejas igual, la otra también, y la tercera, o la que sea la que hayas elegido, la sustituyes por una combinación lineal, el sistema que obtienes es equivalente.

31
00:02:59,889 --> 00:03:19,349
Es decir, que en lugar de poner aquí E3, pongo el resultado de hacer esta operación, esta combinación lineal, este sistema de ecuaciones, este es S1 y este es S2, sistema de ecuaciones 1, sistema de ecuaciones 2.

32
00:03:19,349 --> 00:03:25,750
Pues estos dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones.

33
00:03:26,569 --> 00:03:34,490
Esta es la herramienta fundamental con la que vamos a trabajar para resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss.

34
00:03:35,169 --> 00:03:36,349
Bien, ¿se entiende la herramienta?

35
00:03:38,289 --> 00:03:50,159
Repito, sustituyes cualquier ecuación por una combinación lineal de ella con otras ecuaciones del sistema.

36
00:03:50,919 --> 00:04:02,659
¿Vale? Bien. Hay que tener cuidado con un tema, con un asunto, y es que quizá el sistema 2 es más difícil de resolver que el sistema 1.

37
00:04:03,580 --> 00:04:20,769
Entonces esto no sirve, ¿entendéis o no? La idea sería que el sistema resultante, el sistema 2, sea más sencillo de resolver que el sistema primero de ecuaciones.

38
00:04:20,769 --> 00:04:35,170
¿Entendéis o no? Lo que hay que lograr es que, al hacer esta operación de sustituir por una combinación lineal, el sistema quede más sencillo. Si no, pues esto no hemos hecho un buen negocio.

39
00:04:35,170 --> 00:04:53,399
¿Ha quedado claro? Bien. ¿Cómo logro que sea más sencillo? Pues mirad, en el fondo, un sistema es sencillo de resolver cuando está escalonado.

40
00:04:53,399 --> 00:04:57,079
Voy a poneros un ejemplo de sistema escalonado

41
00:04:57,079 --> 00:05:05,720
Este sistema está escalonado

42
00:05:05,720 --> 00:05:08,730
¿Se ve o no?

43
00:05:09,709 --> 00:05:11,269
¿Por qué está escalonado?

44
00:05:11,490 --> 00:05:17,990
Porque en la ecuación de abajo solo tengo una incógnita, la Z

45
00:05:17,990 --> 00:05:22,550
En la segunda tengo dos y en la tercera tres

46
00:05:22,550 --> 00:05:24,069
Parece una escalera

47
00:05:24,069 --> 00:05:28,449
¿Qué ventajas tiene este sistema por el hecho de estar escalonado?

48
00:05:28,449 --> 00:05:40,360
De abajo despejo Z, su valor lo sustituyo aquí y me permite despejar X y los valores de...

49
00:05:40,360 --> 00:05:43,579
Ah, perdona, esto sería una Y. Quiero poner una Y en realidad, ¿eh?

50
00:05:44,279 --> 00:05:50,959
¿Vale? Y con Y y con Z sustituyendo aquí despejaría X.

51
00:05:51,920 --> 00:05:54,920
Esa es la ventaja de que un sistema esté escalonado. ¿Sí o no?

52
00:05:54,920 --> 00:06:17,740
Daros cuenta de un detalle. Está escalonado porque, en realidad, aquí pone 0 por x más, y aquí pone 0 por x más 0 por y más 7z. ¿Se entiende o no? ¿Se ve la idea?

53
00:06:17,740 --> 00:06:30,750
y, en consecuencia, al hacer estas operaciones de sustituir un sistema por otro equivalente,

54
00:06:32,189 --> 00:06:44,009
digamos que el sistema debería de acercarse lo más posible al sistema escalonado, ¿vale?

55
00:06:44,670 --> 00:06:50,629
¿Cómo lo vamos a hacer? Pues, primero haciendo un cero aquí y un cero aquí.

56
00:06:50,629 --> 00:06:58,250
Y el último paso va a ser haciendo cero en la i de aquí abajo

57
00:06:58,250 --> 00:07:01,009
¿Se ha visto? Vamos a la práctica

58
00:07:01,009 --> 00:07:13,329
Entonces, en nuestro sistema, lo que quiero es obtener un sistema equivalente a este

59
00:07:13,329 --> 00:07:16,180
¿Sí o no?

60
00:07:16,899 --> 00:07:20,459
Que tenga aquí el qué? Cero

61
00:07:20,459 --> 00:07:22,779
Y aquí, cero

62
00:07:22,779 --> 00:07:23,939
¿Se entiende?

63
00:07:23,939 --> 00:07:27,000
Para lo cual, lo que voy a hacer es

64
00:07:27,000 --> 00:07:33,430
A esta ecuación, por cierto, la llamo E1

65
00:07:33,430 --> 00:07:36,850
A esta, E2

66
00:07:36,850 --> 00:07:39,769
Y a esta, E3

67
00:07:39,769 --> 00:07:40,509
¿De acuerdo?

68
00:07:41,069 --> 00:07:41,589
Bien

69
00:07:41,589 --> 00:07:43,750
Y entonces

70
00:07:43,750 --> 00:07:46,350
Perdón que había un 3 aquí

71
00:07:46,350 --> 00:07:47,110
¿Vale? Me equivoco

72
00:07:47,110 --> 00:07:49,009
Bien, vamos a ello entonces

73
00:07:49,009 --> 00:07:51,850
¿Cómo logro hacer un 0 aquí?

74
00:07:52,410 --> 00:07:53,050
Pues mirad

75
00:07:53,050 --> 00:07:55,310
Me acuerdo del método de reducción

76
00:07:55,310 --> 00:07:59,370
¿Qué pasa cuando una ecuación en X

77
00:07:59,370 --> 00:08:01,670
Por ejemplo esta

78
00:08:01,670 --> 00:08:04,670
5X más 2Y menos Z igual a 9

79
00:08:04,670 --> 00:08:10,230
Menos 5X menos 3Y más 7Z igual a 4

80
00:08:10,230 --> 00:08:13,370
Si sumo esta ecuación y esta, la X desaparece

81
00:08:13,370 --> 00:08:14,290
¿Sí o no?

82
00:08:15,230 --> 00:08:16,970
¿Por qué ha sucedido eso?

83
00:08:17,089 --> 00:08:19,370
Porque el coeficiente de la X

84
00:08:19,370 --> 00:08:23,029
Tiene el mismo número pero cambiado de signo

85
00:08:23,029 --> 00:08:23,970
¿Sí o no?

86
00:08:23,970 --> 00:08:44,169
Bueno, esto es lo que tengo que trabajar. Digamos que tengo que buscar la combinación lineal. Voy a sustituir, perdón, la ecuación 2 por una combinación lineal de ella con otras, de manera que la x desaparezca.

87
00:08:44,169 --> 00:09:04,190
¿Y qué combinación lineal es la buena? Pues mira, si multiplico, por ejemplo, menos 3 por e1 y e2, la dejo tal cual y sumo, las x se van.

88
00:09:04,190 --> 00:09:06,830
Lo hacemos

89
00:09:06,830 --> 00:09:09,330
Menos 3 E1

90
00:09:09,330 --> 00:09:10,870
¿Quién es?

91
00:09:11,049 --> 00:09:12,110
Pues mira, donde pone X

92
00:09:12,110 --> 00:09:15,230
Multiplico E1 por menos 3

93
00:09:15,230 --> 00:09:17,370
Menos 3 X

94
00:09:17,370 --> 00:09:19,049
Menos 3 Y

95
00:09:19,049 --> 00:09:20,970
Más 9 Z

96
00:09:20,970 --> 00:09:22,210
Igual a

97
00:09:22,210 --> 00:09:24,269
Más 27

98
00:09:24,269 --> 00:09:25,350
¿Sí o no?

99
00:09:25,769 --> 00:09:27,590
Menos 3 por menos 9 más 27

100
00:09:27,590 --> 00:09:28,330
¿Sí o no?

101
00:09:28,710 --> 00:09:30,870
Bien, E2 la pongo abajo, ¿vale?

102
00:09:30,870 --> 00:09:35,909
Y tenemos 3X menos 2Y

103
00:09:35,909 --> 00:09:40,480
¿Y ahora qué hacemos? Sumo

104
00:09:40,480 --> 00:09:43,759
Se va

105
00:09:43,759 --> 00:09:46,659
Un momentito

106
00:09:46,659 --> 00:09:54,840
Bueno, y como vemos

107
00:09:54,840 --> 00:09:58,000
La ecuación que me queda aquí

108
00:09:58,000 --> 00:10:02,820
Que es resultado de hacer esta combinación lineal

109
00:10:02,820 --> 00:10:05,200
Me ha desaparecido la X

110
00:10:05,200 --> 00:10:07,720
Entonces, según el teorema de Gauss

111
00:10:07,720 --> 00:10:11,659
que hemos visto antes, si sustituyo este sistema

112
00:10:11,659 --> 00:10:23,710
de ecuaciones por este, y en lugar de poner

113
00:10:23,710 --> 00:10:27,230
E2, pongo este valor

114
00:10:27,230 --> 00:10:37,940
¿Sí o no? ¿Se ve?

115
00:10:39,620 --> 00:10:42,720
Y ahora, pues, y pusiera aquí

116
00:10:42,720 --> 00:10:46,500
esta otra ecuación, esto es una I, perdón

117
00:10:46,500 --> 00:10:53,149
Según el teorema de Gauss, este sistema es equivalente

118
00:10:53,149 --> 00:10:58,850
Porque he sustituido la ecuación segunda por una combinación lineal, esta.

119
00:10:59,610 --> 00:11:00,309
¿Se entiende o no?

120
00:11:00,789 --> 00:11:01,429
Bien.

121
00:11:04,500 --> 00:11:07,740
Ahora lo suyo sería hacer, lograr un cero aquí.

122
00:11:08,539 --> 00:11:08,879
¿Verdad?

123
00:11:11,080 --> 00:11:12,879
Espera, eso todavía no.

124
00:11:13,440 --> 00:11:14,159
¿Me entendéis o no?

125
00:11:15,399 --> 00:11:19,000
Por lo tanto, hagamos un cero aquí.

126
00:11:20,080 --> 00:11:20,659
¿Qué hago?

127
00:11:20,659 --> 00:11:38,299
Pues mira, busco esa combinación lineal que me va a hacer que esto desaparezca, la X. ¿Se ve o no? ¿Cuál es? Pues mira, puede ser que sustituya E3. Ahora son estas las ecuaciones.

128
00:11:38,299 --> 00:11:57,940
Entonces, E1, esta sería E2 y esta es E3, ¿no? Pues lo que hago es, E3 la voy a sustituir por menos 2E1 más E3, ¿sí o no?

129
00:11:57,940 --> 00:12:01,460
Y voy a lograr que se vayan las X.

130
00:12:02,919 --> 00:12:10,549
También podría hacerlo 2E1 más menos 1E3.

131
00:12:11,330 --> 00:12:12,070
También me vale.

132
00:12:13,029 --> 00:12:13,549
¿Entendéis?

133
00:12:13,769 --> 00:12:21,409
Lo que importa es que el coeficiente de las X tengan el mismo valor, pero cambiado de signo.

134
00:12:22,309 --> 00:12:22,929
¿Se ha entendido?

135
00:12:23,570 --> 00:12:25,539
Bien.

136
00:12:27,909 --> 00:12:31,669
Como norma general, vale decir lo siguiente.

137
00:12:32,389 --> 00:12:37,710
que este 2 de aquí va a ser el que multiplique a la ecuación E1.

138
00:12:38,250 --> 00:12:42,889
Y el coeficiente de aquí, que es un 1, va a multiplicar a la ecuación E3.

139
00:12:44,129 --> 00:12:46,190
Como norma general eso serviría.

140
00:12:46,350 --> 00:12:47,029
¿Entendéis o no?

141
00:12:47,669 --> 00:12:50,450
Y luego, según el signo, pues se le cambia o no.

142
00:12:51,029 --> 00:12:51,250
¿Vale?

143
00:12:51,929 --> 00:12:52,789
Pues vamos a ello.

144
00:12:54,789 --> 00:12:58,809
2E1 sería...

145
00:13:01,200 --> 00:13:04,950
Perdón.

146
00:13:04,950 --> 00:13:07,850
2E1 es

147
00:13:07,850 --> 00:13:12,000
Multiplico E1 por 2

148
00:13:12,000 --> 00:13:21,389
Y luego, menos 1

149
00:13:21,389 --> 00:13:23,029
E3

150
00:13:23,029 --> 00:13:34,720
Sumamos

151
00:13:34,720 --> 00:13:36,899
Se va

152
00:13:36,899 --> 00:13:46,120
Y nos da esto

153
00:13:46,120 --> 00:13:47,759
Así que se ha ido la X

154
00:13:47,759 --> 00:13:49,360
Y lo que estoy haciendo es

155
00:13:49,360 --> 00:13:52,720
Sustituir E3 por una combinación lineal

156
00:13:52,720 --> 00:13:55,879
De E3 con otras ecuaciones del sistema

157
00:13:55,879 --> 00:14:17,909
Por lo tanto, me va a dar lugar a un sistema equivalente con las mismas soluciones. Así que sustituyo E3 por esta ecuación. Y obtengo... Ahora lo que hago es... Voy a sustituir E3 por lo que hemos calculado, la combinación sin lineal que ha salido. ¿Sí o no?

158
00:14:17,909 --> 00:14:38,580
Entonces, nos queda este sistema de ecuaciones, que está más cerca de un sistema escalonado. ¿Y dónde me faltaría poner un cero para que se escalone del todo? Aquí.

159
00:14:38,580 --> 00:14:59,700
Y una pregunta, esto es importante. Trabajo con, aquí tenemos E1, E2 y E3. ¿Cuál sería el problema de trabajar con E1 y E3? Pues que la X aparecería otra vez. ¿Os dais cuenta?

160
00:15:08,580 --> 00:15:10,980
entre E2 y E3

161
00:15:10,980 --> 00:15:12,879
porque esas dos ecuaciones

162
00:15:12,879 --> 00:15:15,500
no tienen término en X

163
00:15:15,500 --> 00:15:17,340
¿se entiende o no?

164
00:15:18,320 --> 00:15:19,159
bien, ahora

165
00:15:19,159 --> 00:15:21,059
¿qué combinación lineal

166
00:15:21,059 --> 00:15:24,100
es la válida para hacer un 0 aquí?

167
00:15:25,620 --> 00:15:26,960
pues mira, lo de siempre

168
00:15:26,960 --> 00:15:29,259
el menos 3

169
00:15:29,259 --> 00:15:31,080
va a multiplicar a esta ecuación

170
00:15:31,080 --> 00:15:34,779
o sea, voy a sustituir

171
00:15:34,779 --> 00:15:36,580
E3 por

172
00:15:36,580 --> 00:15:38,700
Menos 3

173
00:15:38,700 --> 00:15:40,139
E2

174
00:15:40,139 --> 00:15:42,980
Y luego el 5

175
00:15:42,980 --> 00:15:45,399
Menos 5 multiplicaría el 3

176
00:15:45,399 --> 00:15:46,840
Pero que si no va a quedar

177
00:15:46,840 --> 00:15:47,559
El mismo

178
00:15:47,559 --> 00:15:51,360
Entonces lo que hago es en lugar de multiplicar por menos 5

179
00:15:51,360 --> 00:15:55,600
Multiplico por 5

180
00:15:55,600 --> 00:16:01,120
Entonces ahora sería menos 3 E2

181
00:16:01,120 --> 00:16:03,000
Ya digo que

182
00:16:03,000 --> 00:16:04,320
Habría que sumar

183
00:16:04,320 --> 00:16:07,259
Y este menos 5 multiplicaría

184
00:16:07,259 --> 00:16:09,279
de 3, pero para que cambie el signo

185
00:16:09,279 --> 00:16:10,779
lo voy a multiplicar por 5

186
00:16:10,779 --> 00:16:13,379
porque si no, no me van a quedar con los signos

187
00:16:13,379 --> 00:16:15,320
cambiados, aquí lo único que hay

188
00:16:15,320 --> 00:16:16,799
que pensar es que si no vas a usar

189
00:16:16,799 --> 00:16:18,460
¿entendéis o no?

190
00:16:18,820 --> 00:16:21,559
porque el coeficiente

191
00:16:21,559 --> 00:16:23,340
de x de aquí multiplica abajo

192
00:16:23,340 --> 00:16:25,519
el coeficiente de x de aquí multiplica

193
00:16:25,519 --> 00:16:27,419
arriba, y lo único que nos queda

194
00:16:27,419 --> 00:16:29,379
es determinar con qué signo multiplica

195
00:16:29,379 --> 00:16:31,360
el objetivo es claro

196
00:16:31,360 --> 00:16:33,299
tiene que aparecer signos

197
00:16:33,299 --> 00:16:35,220
contrarios, ¿de acuerdo?

198
00:16:35,220 --> 00:17:08,150
Así que nada, esta es la combinación lineal que me va a permitir hacer un 0 aquí. Ahora ya la operamos, la resolvemos. ¿De acuerdo? Sería menos 3E2 sería 15X menos 36Z menos 78.

199
00:17:09,150 --> 00:17:16,970
¿De acuerdo? Y ahora, 5E3, que sería menos 15X,

200
00:17:16,970 --> 00:17:33,170
X, perdón, que es Y, que me he equivocado, y aquí Y, menos 15Y, menos 35Z, menos 135.

201
00:17:33,710 --> 00:17:39,089
Y ahora, hacemos la suma que nos pide la combinación lineal, sumamos, ¿no?

202
00:17:39,150 --> 00:18:11,440
Y nos queda, esto se va, que es lo que buscábamos, menos, ¿esto da cuánto? Y esto, 200 menos 213. Muy bien. Y ahora ya dejamos Z, menos 71, ¿y esto qué da? Da 3.

203
00:18:11,440 --> 00:18:27,079
Bueno, antes de nada, perdón, antes de resolver esto, perdón. Esta es, lo quiero hacer bien, formalmente, esta sería el resultado de la combinación lineal. Es decir, voy a sustituir E3 por el resultado de la combinación lineal, que es este.

204
00:18:27,079 --> 00:18:36,200
Y por el teorema de Gauss, el sistema que obtengo es un sistema equivalente, es decir, con las mismas soluciones.

205
00:18:40,440 --> 00:19:03,539
Entonces, pondríamos E1 igual, E2 igual, ¿se ve?

206
00:19:04,039 --> 00:19:09,700
Y este sistema de ecuaciones está escalonado.

207
00:19:09,700 --> 00:19:18,470
Y esto ya me permite resolver de manera casi inmediata el sistema

208
00:19:18,470 --> 00:19:22,690
Despejamos Z de abajo, ¿vale?

209
00:19:26,190 --> 00:19:27,210
Queda 3

210
00:19:27,210 --> 00:19:29,630
Y ahora ya sustituyo el 3 aquí

211
00:19:29,630 --> 00:19:37,470
Me queda menos 5Y más 12 por 3 igual a 26

212
00:19:37,470 --> 00:19:39,170
Y de aquí despejo Y

213
00:19:39,170 --> 00:19:43,190
Y sería menos 10 entre menos 5 que es 2

214
00:19:43,190 --> 00:20:06,450
Así que ya tenemos el valor de Y, que es 2. Ya tenemos Z e Y. Y ahora, en la ecuación primera, sustituimos el valor de Z y de Y y despejamos X. Y vale 2 menos 3 por Z, que es menos 3 por 3, igual a menos 9 y despejamos X, que da menos 2.

215
00:20:06,450 --> 00:20:10,329
Y aquí tenemos la solución del sistema de ecuaciones

216
00:20:10,329 --> 00:20:21,069
Por cierto, ¿cómo puedo comprobar que efectivamente es solución del sistema de ecuaciones?

217
00:20:21,069 --> 00:20:25,349
Primero, sustituyendo en X y Z y viendo que las igualdades son ciertas

218
00:20:25,349 --> 00:20:28,269
Pero hagamos un pequeño repaso y cierro

219
00:20:28,269 --> 00:20:32,269
Esta es la solución de este sistema

220
00:20:32,269 --> 00:20:35,809
Y este es equivalente a este

221
00:20:35,809 --> 00:20:40,170
porque el movimiento que hemos hecho es mediante el teorema de Gauss

222
00:20:40,170 --> 00:20:43,250
sustituyendo una ecuación por una combinación lineal del resto

223
00:20:43,250 --> 00:20:45,710
lo mismo con este y lo mismo con esto

224
00:20:45,710 --> 00:20:49,230
por lo tanto este y este son equivalentes

225
00:20:49,230 --> 00:20:53,910
y por tanto las soluciones de este son las mismas que las soluciones de este