1 00:00:02,540 --> 00:00:11,679 Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato. 2 00:00:12,679 --> 00:00:19,480 Hoy nos vamos a centrar en un ejemplo típico de ejercicio de selectividad, que es discutir 3 00:00:19,480 --> 00:00:23,559 un sistema de ecuaciones que depende de un parámetro, es decir, en función de los valores 4 00:00:23,559 --> 00:00:28,800 de un parámetro, decidir si el sistema es compatible o no, si es determinado o indeterminado. 5 00:00:28,800 --> 00:00:46,920 En el ejercicio nos piden discutir en función del valor del parámetro m el sistema de ecuaciones, es decir, tenemos que mirar a ver cuándo el sistema es compatible o incompatible, cuando es compatible determinado o indeterminado en función de lo que valga la m. 6 00:00:47,420 --> 00:00:59,299 Para ello lo primero que tenemos que hacer es sacar las matrices de coeficientes y la matriz ampliada y después vamos a mirar cuál es el rango de estas dos matrices en función del valor del parámetro m. 7 00:01:00,079 --> 00:01:04,140 Por último, lo que tendremos que hacer es comparar a ver cuándo estos rangos coinciden 8 00:01:04,140 --> 00:01:06,900 para poder aplicar el teorema de Roche-Frobenes. 9 00:01:07,280 --> 00:01:07,980 Ese es el camino. 10 00:01:08,359 --> 00:01:12,180 Bien, pues lo primero, ya digo, calculamos las matrices de coeficientes. 11 00:01:17,379 --> 00:01:19,319 Esta es la matriz de coeficientes, vamos con la ampliada. 12 00:01:25,599 --> 00:01:27,400 Bien, ahora vamos a calcular los rangos. 13 00:01:27,500 --> 00:01:28,939 Para ello, empezamos por el rango de A. 14 00:01:30,180 --> 00:01:33,620 Como es una matriz 3x3, el rango va a valer entre 1 y 3. 15 00:01:34,939 --> 00:01:38,719 Pero a simple vista, somos capaces de encontrar un menor de orden 2 no nulo. 16 00:01:38,859 --> 00:01:39,099 ¿Cuál? 17 00:01:39,280 --> 00:01:49,939 Por ejemplo, este menor será no nulo, lo que significa que el rango de A vale entre 2 y 3. 18 00:01:50,920 --> 00:01:56,739 Para calcular, mirar cuando el rango es 3 y cuando es 2, calculamos el determinante, porque es una matriz cuadrada. 19 00:02:22,150 --> 00:02:25,629 Bien, y el rango, o sea, y el determinante vale m cuadrado menos 1. 20 00:02:25,729 --> 00:02:31,750 Entonces, ¿qué va a pasar? Pues que el rango cuando este determinante no sea 0, el rango será 3, y cuando sea 0 será 2. 21 00:02:32,370 --> 00:02:35,349 Pues muy fácil. Resolvemos y se acabó. 22 00:02:35,349 --> 00:03:03,360 Ahora, deducimos que, como esta ecuación, las raíces son 1 y menos 1, por tanto, ya deduzco que el rango de la matriz A va a ser 2 si la M vale o 1 menos 1, 3 si la M no vale ni 1 ni menos 1. 23 00:03:04,340 --> 00:03:08,460 Bien, pues ahora lo que vamos a hacer es calcular el rango de la matriz A barra, A ampliada. 24 00:03:08,460 --> 00:03:23,099 Para ello, fijémonos que hemos partido de la primera y tercera columna para orlar. Por tanto, esas dos deben ser fijas y lo que vamos a hacer es añadir la tercera columna. 25 00:03:23,520 --> 00:03:32,060 Nos va a dar eso un determinante, una matriz de orden 3. Cuando ese determinante sea 0, el rango será 2. Cuando no sea 0, el rango de la ampliada será 3. 26 00:03:32,060 --> 00:04:08,689 Vamos con ello pues. Entonces, tendríamos que calcular este determinante. ¿Y eso qué significa? Bueno, pues significa que el rango de la matriz a barra va a valer 3 si la m es distinta de 1. 27 00:04:08,909 --> 00:04:15,069 Fijaos que para m igual a 1 el determinante de orden 3 se anula y por lo tanto el rango vale 2. 28 00:04:15,789 --> 00:04:20,810 Y 2, por tanto, si la m vale 1. 29 00:04:23,589 --> 00:04:28,029 Bueno, hemos calculado los dos rangos. Ahora hay que compararlos y mirar cuándo son iguales y cuándo son distintos. 30 00:04:28,029 --> 00:04:36,029 Voy a borrar un poco y seguimos. ¿Qué ocurre? Pues vamos a ver los distintos casos posibles. 31 00:04:36,029 --> 00:04:47,589 Entonces, M igual a 1, M igual a menos 1 y M distinto de 1 y menos 1. 32 00:04:48,170 --> 00:04:50,790 Estos son los tres casos que tenemos que analizar. 33 00:04:51,250 --> 00:04:52,250 Empezamos por el primero. 34 00:04:56,560 --> 00:05:03,199 Si M es igual a 1, tendremos que rango de A es 2, 35 00:05:03,199 --> 00:05:08,360 rango de A barra es también 2 36 00:05:08,360 --> 00:05:10,540 o por lo tanto el sistema es 37 00:05:10,540 --> 00:05:14,819 compatible indeterminado 38 00:05:14,819 --> 00:05:18,819 porque el número de incógnitas es 3 39 00:05:18,819 --> 00:05:20,939 que es menor que el que es mayor que el rango 40 00:05:20,939 --> 00:05:24,800 si la M es menos 1 41 00:05:24,800 --> 00:05:28,560 tendremos rango de A 2 42 00:05:28,560 --> 00:05:31,519 rango de A barra como 43 00:05:31,519 --> 00:05:33,819 para cualquier otro valor de 1 44 00:05:33,819 --> 00:05:34,920 el rango de A barra es 3 45 00:05:34,920 --> 00:05:44,540 pues el rango de la barra será 3. ¿Y eso qué significa? Que los rangos no coinciden y, por lo tanto, sistema incompatible. 46 00:05:46,949 --> 00:06:00,329 Y si la m no es ni 1 ni menos 1, los rangos valen lo mismo y valen igual a 3. Por lo tanto, sistema compatible determinado. 47 00:06:00,329 --> 00:06:16,470 Y esto concluye la discusión. Muy importante que ordenemos bien el ejercicio, que calculemos bien los rangos de a y de a barra en función del parámetro m. 48 00:06:21,379 --> 00:06:27,199 Y luego que analicemos cada uno de los casos distintos que nos salen a utilizando el teorema de Rochefort-Royos. 49 00:06:27,560 --> 00:06:34,040 Muy bien, esto ha sido todo. Espero que os haya resultado sencillo y agradable. Nos vemos en el siguiente vídeo. ¡Un saludo!