1
00:00:00,690 --> 00:00:07,530
Bueno, hoy vamos a terminar con los vectores, para mañana empezar ya con los ecuaciones de la recta.

2
00:00:08,070 --> 00:00:13,369
Entonces, repasamos un poco la teoría y tenéis todos los ejercicios de vectores,

3
00:00:13,849 --> 00:00:21,949
¿no? Vamos a ver todos los que nos da tiempo hacer hoy y ya los que queden los hacéis vosotros en casa

4
00:00:21,949 --> 00:00:24,609
y si queréis que los corrija o lo que sea, pues me los dais, ¿vale?

5
00:00:24,609 --> 00:00:36,229
Bueno, ya sabéis que un vector es un segmento que está orientado en el espacio

6
00:00:36,229 --> 00:00:43,329
Es decir, en un sistema tridimensional con tres ejes coordenados X, Y y Z

7
00:00:43,329 --> 00:00:47,490
Yo pongo un punto en el espacio, marco un punto en el espacio

8
00:00:47,490 --> 00:00:53,509
Y si une el origen de coordenadas con ese punto, lo que tengo es una dirección, un vector

9
00:00:53,509 --> 00:01:22,469
El vector se caracteriza precisamente por esas dos cosas, se caracteriza porque tiene una dimensión, es decir, tiene un módulo, a la dimensión se llama módulo, a esta dimensión que tiene, la distancia que hay de aquí a aquí, y una dirección, una dirección que es la recta en la que estaría insertado ese vector, esta recta, esa recta en el espacio.

10
00:01:22,469 --> 00:01:30,569
Y luego tiene un sentido, que lógicamente este mismo vector podría estar orientado hacia acá o orientado hacia allá.

11
00:01:30,950 --> 00:01:32,590
¿De acuerdo? Está claro lo que es un vector.

12
00:01:33,370 --> 00:01:35,670
Un vector se define...

13
00:01:35,670 --> 00:01:36,950
Bueno, voy a esperar un momento.

14
00:01:38,209 --> 00:01:38,969
Voy a hacer otra cosa.

15
00:01:38,969 --> 00:01:52,129
Un vector queda definido por tres componentes que son las componentes del punto extremo del vector.

16
00:01:52,469 --> 00:02:16,449
Es decir, que si este punto fuese el punto 1, 3, 5, pues este vector sería el vector 1, 3, 5.

17
00:02:16,449 --> 00:02:22,069
¿De acuerdo? La diferencia para saber cuando me están dando, en analítica del espacio,

18
00:02:22,229 --> 00:02:28,449
si me están dando un punto o un vector, es que ya sabéis que los vectores siempre se ponen con esa flechita abajo.

19
00:02:28,909 --> 00:02:38,449
Si en vez de daros el vector, si estuviesen dando el punto, os pondrían P igual a 1, 2, 5, o lo que fuese.

20
00:02:38,750 --> 00:02:42,889
Esa es la diferencia, la diferencia entre cuando os dan un vector o cuando os dan un punto.

21
00:02:42,889 --> 00:02:50,530
Es decir, un vector queda definido por las tres componentes de su punto exterior, de su último punto.

22
00:02:53,849 --> 00:03:03,710
Sí, sí, el inicio del vector, o sea, cuando tú quieres saber, a ti te dan un vector, cualquiera, imagínate que te dan este vector, el 1, 3, 5, y quieres saber qué vector es,

23
00:03:03,710 --> 00:03:21,810
tú colocas el punto 1, 3, 5, que en este se quería 1, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 5, que sería este, que sería, bueno, que sería este más o menos, ¿no?

24
00:03:21,849 --> 00:03:28,569
Y entonces tú lo colocas aquí, este es el, perdón, perdón, perdón, perdón, perdón, que lo he hecho mal.

25
00:03:28,569 --> 00:03:40,810
Si el punto S es este, el vector sería este, unido con el origen de coordenadas, ¿de acuerdo?

26
00:03:41,949 --> 00:03:57,240
Un vector siempre me lo tienen, o me dan las componentes del vector, o me dan las componentes de un vector, directamente me dan las componentes, o bien me lo pueden dar a partir de dos puntos.

27
00:03:57,240 --> 00:04:01,939
Me dan dos puntos y me dicen cuál es el vector que uniría esos dos puntos.

28
00:04:02,080 --> 00:04:10,180
Para saber el vector que une esos dos puntos solamente tengo que restar el punto final del punto inicial.

29
00:04:10,460 --> 00:04:18,500
¿Veis? Las coordenadas del vector AB serían x2 menos x1, y2 menos y1, z2 menos z1.

30
00:04:18,680 --> 00:04:21,819
¿Está claro? Esas son las dos maneras que os pueden dar un vector.

31
00:04:21,819 --> 00:04:27,439
Os dan directamente las coordenadas del vector, os dan dos puntos y entonces sacáis el vector mediante esto,

32
00:04:27,620 --> 00:04:34,639
simplemente restando las componentes del extremo menos las componentes del inicio.

33
00:04:35,300 --> 00:04:39,060
Otra cosa importante, ¿cómo se calcula la longitud de un vector?

34
00:04:39,379 --> 00:04:45,620
Que se llama el módulo, pues así, esto se escribe de esta manera, se escribe así

35
00:04:45,620 --> 00:04:53,319
y el cálculo se hace por la raíz cuadrada del cuadrado de sus componentes, de la suma del cuadrado de sus componentes.

36
00:04:53,459 --> 00:04:54,920
¿De acuerdo? ¿Me seguís todos?

37
00:04:56,500 --> 00:05:04,180
Y luego, importante, si un vector es una dirección, pues los vectores forman ángulos entre ellos,

38
00:05:04,300 --> 00:05:07,199
puesto que son direcciones, a base de direcciones, pues forman ángulos.

39
00:05:07,980 --> 00:05:11,959
Dos vectores van a ser paralelos siempre que sus componentes son proporcionales.

40
00:05:11,959 --> 00:05:18,980
Si yo tengo un vector u1, u2, u3, v1, v2, v3, pues serán paralelos si se cumple esta condición.

41
00:05:19,139 --> 00:05:21,660
Es decir, que tiene sus componentes proporcionales.

42
00:05:26,300 --> 00:05:29,339
Bueno, operaciones que podemos hacer con los vectores.

43
00:05:29,740 --> 00:05:36,980
Las operaciones de sumar y restar vectores, incluso multiplicarlos por un número no tiene ningún problema.

44
00:05:37,160 --> 00:05:42,680
Se suman sus componentes, se restan sus componentes o se multiplican todas las componentes por un punto.

45
00:05:42,680 --> 00:05:46,500
Geométricamente eso quiere decir la suma de dos vectores

46
00:05:46,500 --> 00:05:49,939
Ya sabéis que si yo tuviese que hacerlo gráficamente

47
00:05:49,939 --> 00:05:53,819
En vez de hacerlo con operaciones matemáticas

48
00:05:53,819 --> 00:05:55,939
Pues lo que haría sería dibujar los dos vectores

49
00:05:55,939 --> 00:05:59,199
Y la suma sería, aquí tenéis el gráfico

50
00:05:59,199 --> 00:06:01,899
O sea, la manera de cómo echarían gráficamente

51
00:06:01,899 --> 00:06:03,259
Vosotros esto no lo tenéis que hacer

52
00:06:03,259 --> 00:06:05,660
Es simplemente para que os hagáis una idea

53
00:06:05,660 --> 00:06:08,860
De si te dan dos vectores, ¿cómo harías para dibujarlos?

54
00:06:08,939 --> 00:06:12,500
Pues colocas los vectores y luego haces esto y sacas la suma

55
00:06:12,680 --> 00:06:16,459
Y el producto por una escala, es decir, por un número, pues es lo mismo

56
00:06:16,459 --> 00:06:21,980
El producto de un número por un vector, al final lo que da es un vector

57
00:06:21,980 --> 00:06:28,519
Que tiene la misma dirección, pero el módulo multiplicado por tantas veces como yo haya multiplicado el vector

58
00:06:28,519 --> 00:06:33,740
Si tenía módulo 2 y medio, pues se lo multiplico por 2, es el mismo vector, pero con un módulo 5

59
00:06:33,740 --> 00:06:40,800
Y aquí ya empezamos con las operaciones que se pueden hacer con vectores y solo con vectores

60
00:06:40,800 --> 00:06:44,680
estas operaciones solamente se pueden hacer con vectores,

61
00:06:44,759 --> 00:06:48,680
no se pueden hacer con nada más, tú no puedes hacer el producto escalar de dos números,

62
00:06:49,040 --> 00:06:52,100
el producto escalar es siempre referido a dos vectores.

63
00:06:52,560 --> 00:06:56,040
El producto escalar es una operación que se hace entre dos vectores

64
00:06:56,040 --> 00:06:59,199
y su resultado es un número, ojo con eso,

65
00:06:59,660 --> 00:07:03,120
es un número y que se calcula de dos maneras,

66
00:07:03,579 --> 00:07:07,959
o bien multiplicando los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman,

67
00:07:07,959 --> 00:07:19,740
O bien, si tengo las componentes de los vectores mediante esta fórmula, la multiplicación de las dos primeras componentes, multiplicación de las dos segundas componentes y de las dos terceras componentes, ¿de acuerdo?

68
00:07:21,639 --> 00:07:30,560
Al unir, o sea, al relacionar estas dos fórmulas me sale una cosa que es muy interesante, que es cómo consigo yo saber el ángulo que forman dos vectores.

69
00:07:30,560 --> 00:07:35,639
es el ángulo que forman dos vectores, de esta fórmula, despejando de esta fórmula,

70
00:07:37,139 --> 00:07:41,139
despejando de esta fórmula me sale que el ángulo que forman dos vectores es eso,

71
00:07:41,220 --> 00:07:44,879
es su producto escalar partido por el producto de sus módulos, ¿vale?

72
00:07:45,019 --> 00:07:45,759
¿Me seguís todos, no?

73
00:07:47,100 --> 00:07:52,139
Y de aquí sale una cosa importantísima, hemos visto cuando los vectores son paralelos,

74
00:07:52,220 --> 00:07:54,959
son paralelos y tienen sus coordenadas proporcionales,

75
00:07:54,959 --> 00:08:01,300
Pero también yo sé si son perpendiculares si su producto escalar es cero.

76
00:08:01,500 --> 00:08:05,800
Yo no tengo más que hacer el producto escalar de dos vectores para saber si son perpendiculares o no.

77
00:08:06,079 --> 00:08:06,399
¿De acuerdo?

78
00:08:07,959 --> 00:08:10,379
La siguiente operación, producto vectorial.

79
00:08:11,300 --> 00:08:16,060
El producto vectorial de dos vectores ya no es un número, es un vector, es otro vector.

80
00:08:16,220 --> 00:08:22,699
Y además un vector que tiene una característica fundamental y es que es un vector que es perpendicular a los dos.

81
00:08:22,699 --> 00:08:24,839
Es decir, es perpendicular al plano que forma.

82
00:08:24,959 --> 00:08:31,180
De manera que si yo quiero sacar un vector que es perpendicular a un plano o perpendicular a dos vectores dados,

83
00:08:31,319 --> 00:08:33,500
solo tengo que sacar su producto vectorial y ya está.

84
00:08:33,860 --> 00:08:35,580
¿Cómo se saca el producto vectorial?

85
00:08:35,580 --> 00:08:38,980
El producto vectorial se saca haciendo este determinante.

86
00:08:39,019 --> 00:08:41,320
El determinante IJK son las direcciones.

87
00:08:41,740 --> 00:08:45,899
Son como la primera componente es la I, la segunda la J y la tercera la K.

88
00:08:46,340 --> 00:08:48,639
Y estos son los componentes del vector.

89
00:08:48,639 --> 00:08:57,100
¿Vale? Hacéis ese determinante y el resultado de ese determinante es un vector que es perpendicular a los dos dados

90
00:08:57,100 --> 00:09:07,100
Y además tiene una característica y es que si yo saco el módulo, o sea esto es un vector, el producto vectorial es un vector

91
00:09:07,100 --> 00:09:15,679
Si yo saco el módulo de ese vector resulta que curiosamente coincide con el área del paralelogramo que forman los dos vectores

92
00:09:15,679 --> 00:09:22,200
Y la mitad, pues será lógicamente, si yo hago la mitad, pues sería del triángulo que forman los dos vectores

93
00:09:22,200 --> 00:09:25,580
Y por último, tenemos el producto mixto

94
00:09:25,580 --> 00:09:27,919
El producto mixto se hace entre tres vectores

95
00:09:27,919 --> 00:09:31,460
Y el resultado sigue siendo un, es un número

96
00:09:31,460 --> 00:09:34,960
¿Cómo se hace? En este caso, en vez de poner la i y la j aquí

97
00:09:34,960 --> 00:09:38,759
Lo que pongo es, como son tres vectores, las componente de los tres vectores

98
00:09:38,759 --> 00:09:41,639
Y saco el valor de este determinante

99
00:09:41,639 --> 00:09:43,779
Una vez que lo sé, es un número

100
00:09:43,779 --> 00:09:56,279
y ese número además coincide con el área del paralelogramo, perdona, el volumen del paralelogramo que forman los tres vectores,

101
00:09:56,500 --> 00:09:58,360
los tres vectores con los que estoy trabajando.

102
00:09:58,919 --> 00:10:03,799
Si yo eso lo divido por 6, pues sería el área del tetraedro que forman los seis vectores.

103
00:10:04,840 --> 00:10:07,559
Y bueno, se me olvidó deciros una cosa aquí importante que es,

104
00:10:08,419 --> 00:10:12,440
hemos dicho que si el producto escalar es 0, los vectores son perpendiculares,

105
00:10:12,440 --> 00:10:17,539
Si el producto vectorial es cero, los vectores son paralelos, ¿de acuerdo?

106
00:10:17,759 --> 00:10:23,360
Y si el producto mixto es cero, lo que pasa es que los tres vectores son coplanarios,

107
00:10:23,500 --> 00:10:28,960
es decir, que este vector estaría aquí, este vector estaría aquí, por ejemplo,

108
00:10:29,179 --> 00:10:32,120
serían coplanarios, estarían en el mismo plano, ¿de acuerdo?

109
00:10:32,840 --> 00:10:39,220
¿Vale? Bueno, esta presentación la tenéis en el aula virtual, o sea, que ese es un poco el resumen,

110
00:10:39,220 --> 00:10:41,860
también tenéis la teoría más ampliada, por si hay algo que no entendéis,

111
00:10:41,860 --> 00:10:45,919
Pero yo creo que aquí hay poco que entender, hay que aprenderse todas estas cosas y ya está.

112
00:10:46,440 --> 00:10:54,899
Y lo que sí es acostumbrarse a aplicarlas y cómo se aplican y qué tipo de preguntas te hacen o te pueden hacer cuando estás manejando vectores.

113
00:10:55,559 --> 00:10:59,299
Os di el otro día una hoja, no recuerdo hasta dónde hicimos.

114
00:11:01,059 --> 00:11:06,299
Yo creo que el 6 le hicimos, lo de hallar un vector perpendicular a estos dos vectores, que era ya su producto vectorial.

115
00:11:07,220 --> 00:11:08,279
¿Me seguís? El 6.

116
00:11:09,179 --> 00:11:10,080
Ese le hicimos, ¿verdad?

117
00:11:10,080 --> 00:11:11,080
Y el 7 también.

118
00:11:11,080 --> 00:11:17,580
El 7 lo hicimos también en el área del triángulo, entonces allá en el volumen del paralelepípedo ya no lo hicimos.

119
00:11:18,919 --> 00:11:23,519
Si os piden el volumen del paralelepípedo que forman tres vectores, ¿qué os están pidiendo?

120
00:11:24,980 --> 00:11:27,179
El producto mixto de los dos vectores.

121
00:11:28,639 --> 00:11:37,580
Fijaros que nunca en geometría analítica jamás os van a decir, dame el producto vectorial, el producto mixto, el producto escalar, os van a pedir cosas geométricas.

122
00:11:37,580 --> 00:11:42,019
métricas que nos van a pedir en este caso el volumen pero realmente lo que

123
00:11:42,019 --> 00:11:47,480
vosotros tenéis que tener claro cómo se traduce eso en las operaciones

124
00:11:47,480 --> 00:11:52,100
matemáticas es decir calcular el volumen del paralelepípedo que forman tres

125
00:11:52,100 --> 00:11:56,399
vectores es hallar su producto mixto

126
00:12:09,279 --> 00:12:48,340
A ver, el área del volumen del paralelepípedo que forman tres vectores es subproducto mixto

127
00:12:48,340 --> 00:12:54,159
El producto mixto se calcula haciendo el determinante de las componentes de los tres vectores

128
00:12:54,159 --> 00:13:00,879
Entonces los tres vectores que me dan es el u que es el 3-5-1, el v que es el 7-4-2

129
00:13:00,879 --> 00:13:04,860
Y el omega que es el 0, 6, 1

130
00:13:04,860 --> 00:13:06,620
Entonces yo, si hago el determinante

131
00:13:06,620 --> 00:13:08,019
Tengo 3 por 4, 12

132
00:13:08,019 --> 00:13:09,620
Más 7 por 6, 42

133
00:13:09,620 --> 00:13:12,200
Menos 0, o más 0, ¿vale?

134
00:13:12,879 --> 00:13:14,299
Por este lado, por el otro lado

135
00:13:14,299 --> 00:13:17,340
Ah, no, no, está mal, está mal, está mal

136
00:13:17,340 --> 00:13:18,379
Sí, sí, llevas razón

137
00:13:18,379 --> 00:13:20,220
Esto es 0

138
00:13:20,220 --> 00:13:22,559
Esto es 0

139
00:13:22,559 --> 00:13:26,059
Menos 0, ¿qué es esto?

140
00:13:26,820 --> 00:13:28,440
Más 6 por 2, 12, 30

141
00:13:28,440 --> 00:13:30,799
Menos 36 y más 35

142
00:13:30,799 --> 00:13:41,720
Luego es 45. Entonces esto es menos 1, que son 11, que son 11 y que son 53.

143
00:13:41,720 --> 00:13:49,500
53. Estos son 53. ¿De acuerdo? ¿Eso es lo que os daba?

144
00:13:49,500 --> 00:13:52,500
tienes que empezar

145
00:13:52,500 --> 00:13:54,220
el determinante

146
00:13:54,220 --> 00:13:56,679
se hace primero en esta dirección

147
00:13:56,679 --> 00:13:58,340
y luego en esta

148
00:13:58,340 --> 00:14:00,299
si haces en esta dirección es 3 por 4

149
00:14:00,299 --> 00:14:01,740
y por 1, 12

150
00:14:01,740 --> 00:14:03,879
7 por 6 y por 1, 42

151
00:14:03,879 --> 00:14:06,279
y menos 5 por 2 por 0, 0

152
00:14:06,279 --> 00:14:08,259
y ahora en el otro sentido

153
00:14:08,259 --> 00:14:10,480
restando, ¿sabes lo que te digo?

154
00:14:11,059 --> 00:14:12,419
esto es 0, 6 por 2

155
00:14:12,419 --> 00:14:14,460
por 3 es negativo y 7 por

156
00:14:14,460 --> 00:14:16,460
menos 5, como tengo que restarlo

157
00:14:16,460 --> 00:14:17,460
pues se me queda positivo

158
00:14:17,460 --> 00:14:18,500
¿de acuerdo?

159
00:14:19,059 --> 00:14:20,360
en las dos direcciones

160
00:14:20,360 --> 00:14:22,539
en la dirección positiva es esta

161
00:14:22,539 --> 00:14:25,600
y la dirección negativa es esta

162
00:14:25,600 --> 00:14:27,519
¿de acuerdo?

163
00:14:29,679 --> 00:14:30,519
¿de acuerdo?

164
00:14:31,259 --> 00:14:33,559
vale, pues entonces, en el siguiente ejercicio

165
00:14:33,559 --> 00:14:35,200
os dice, os dan

166
00:14:35,200 --> 00:14:37,440
otros tres vectores

167
00:14:37,440 --> 00:14:39,340
pero uno de ellos, uno de sus

168
00:14:39,340 --> 00:14:41,240
componentes es una incógnita

169
00:14:41,240 --> 00:14:43,460
entonces os dice que valor tiene que tener

170
00:14:43,460 --> 00:14:44,879
eso para que

171
00:14:44,879 --> 00:14:46,419
sean coplanarios

172
00:14:46,419 --> 00:14:50,200
¿Cuándo tres vectores son coplanarios?

173
00:14:50,320 --> 00:14:51,019
Cuando era cero

174
00:14:51,019 --> 00:14:51,899
¿Cuándo era cero?

175
00:14:52,019 --> 00:14:52,320
¿Cuándo era cero?

176
00:14:52,659 --> 00:14:54,500
Entonces, ¿qué os está diciendo el ejercicio?

177
00:14:54,539 --> 00:14:55,539
El ejercicio está diciendo

178
00:14:55,539 --> 00:14:57,659
Calcula el producto mixto

179
00:14:57,659 --> 00:15:00,159
Igualalo a cero para que sean coplanarios

180
00:15:00,159 --> 00:15:01,039
Y saca el valor

181
00:15:01,039 --> 00:15:05,240
¿Cómo igualamos el producto mixto?

182
00:15:05,679 --> 00:15:06,000
¿Lo haces?

183
00:15:07,139 --> 00:15:08,100
Pues hazlo

184
00:15:08,100 --> 00:15:10,259
¿Hazlo?

185
00:15:10,600 --> 00:15:12,179
¿Haz el producto mixto?

186
00:15:12,500 --> 00:15:13,580
Claro, pero ¿va a dar un número?

187
00:15:13,840 --> 00:15:14,620
No, no va a dar un número

188
00:15:14,620 --> 00:15:15,360
Porque tienes una incógnita

189
00:15:15,360 --> 00:15:16,179
Ah, no, claro, claro

190
00:15:16,179 --> 00:15:19,840
¿No? No te va a dar un número, te va a dar una ecuación.

191
00:15:40,220 --> 00:15:44,279
¿Me da eso? ¿Qué os da? ¿Os da eso?

192
00:15:45,659 --> 00:15:52,919
Me dicen que en este último vector tengo que hallar ese valor de X para que estos tres vectores sean coplanarios,

193
00:15:53,080 --> 00:15:55,960
es decir, que su producto mixto tiene que ser cero.

194
00:15:55,960 --> 00:16:01,259
El producto mixto de estos tres vectores es el resultado de este determinante.

195
00:16:01,259 --> 00:16:10,279
el resultado de este determinante, si yo lo hago, este determinante es igual a 47 veces x,

196
00:16:10,639 --> 00:16:15,500
entonces como tiene que ser 0, para que sean coplanarios, si yo igualo esto a 0,

197
00:16:15,600 --> 00:16:23,840
me sale que x tiene que ser 0, ¿de acuerdo? ¿vale? Seguimos, el 10, os dan dos vectores

198
00:16:23,840 --> 00:16:29,440
y dice que comprobéis si son ortogonales, ortogonales es lo mismo que perpendiculares,

199
00:16:29,440 --> 00:16:34,679
¿Vale? Entonces, ¿os acordáis cuándo dos vectores son perpendiculares?

200
00:16:34,820 --> 00:16:39,259
Cuando su producto escalar es cero

201
00:16:39,259 --> 00:16:42,340
¿Vale? Entonces tenéis que hallar su producto escalar

202
00:16:42,340 --> 00:16:45,620
Y comprobar si es cero o no es cero

203
00:16:45,620 --> 00:16:59,509
¿Os da esto?

204
00:17:00,830 --> 00:17:03,570
El producto escalar de dos vectores es

205
00:17:03,570 --> 00:17:06,910
Multiplicamos sus primeras componentes, en este caso dos por uno

206
00:17:06,910 --> 00:17:09,230
sus segundas componentes, lo sumamos

207
00:17:09,230 --> 00:17:10,970
lo sumamos, el resultado de esto

208
00:17:10,970 --> 00:17:13,569
para que esos dos vectores sean perpendiculares

209
00:17:13,569 --> 00:17:14,589
tendría que ser cero

210
00:17:14,589 --> 00:17:18,269
como no es cero, los vectores no son perpendiculares

211
00:17:18,269 --> 00:17:18,849
¿de acuerdo?

212
00:17:19,650 --> 00:17:21,390
perpendiculares y ortogonales que es lo mismo

213
00:17:21,390 --> 00:17:23,029
¿de acuerdo?

214
00:17:24,329 --> 00:17:24,849
¿si o no?

215
00:17:26,430 --> 00:17:27,369
calcular el producto

216
00:17:27,369 --> 00:17:28,509
el producto escalar

217
00:17:28,509 --> 00:17:30,849
ah, es verdad, hay una segunda parte

218
00:17:30,849 --> 00:17:32,250
vale, pues vamos a hacerlo

219
00:17:32,250 --> 00:17:34,029
a ver un momento

220
00:17:34,029 --> 00:17:37,730
lo que he hecho ha sido

221
00:17:37,730 --> 00:17:39,230
el producto escalar de dos vectores

222
00:17:39,230 --> 00:17:41,569
es el producto de sus primeras componentes

223
00:17:41,569 --> 00:17:43,029
más el producto de sus segundas componentes

224
00:17:43,029 --> 00:17:44,589
más el producto de sus terceras componentes

225
00:17:44,589 --> 00:17:45,630
¿vale? eso es lo que he hecho

226
00:17:45,630 --> 00:17:49,170
no, ortogonal es que sean

227
00:17:49,170 --> 00:17:49,869
perpendiculares

228
00:17:49,869 --> 00:17:52,849
entonces, lo que sabemos es que

229
00:17:52,849 --> 00:17:54,650
dos vectores son perpendiculares

230
00:17:54,650 --> 00:17:56,150
cuando su producto escalar es cero

231
00:17:56,150 --> 00:17:58,450
si no es cero, no son perpendiculares

232
00:17:58,450 --> 00:18:00,069
¿vale? ahora dice

233
00:18:00,069 --> 00:18:02,829
hay un vector unitario que sea perpendicular

234
00:18:02,829 --> 00:18:03,910
a a y a b

235
00:18:03,910 --> 00:18:07,710
¿Cómo hallo un vector que es perpendicular a los vectores dados?

236
00:18:07,789 --> 00:18:08,970
Con su producto vectorial

237
00:18:08,970 --> 00:18:13,829
El producto vectorial de los vectores dados es un vector perpendicular a los dos

238
00:18:13,829 --> 00:18:18,789
Luego, lo que me están pidiendo es el producto vectorial y eso va a ser un vector

239
00:18:18,789 --> 00:18:21,789
Para que el vector sea unitario, ¿qué tendría que hacer?

240
00:18:21,789 --> 00:18:22,950
No, unitario

241
00:18:22,950 --> 00:18:24,849
¿Unitario qué quiere decir?

242
00:18:25,490 --> 00:18:26,609
Que tiene el módulo 1

243
00:18:26,609 --> 00:18:27,789
¿No es así?

244
00:18:28,230 --> 00:18:31,789
Luego, si yo tengo un vector que es perpendicular a los dos

245
00:18:31,789 --> 00:18:38,690
y ese vector, divido sus componentes entre el módulo de ese vector, me da un vector unitario, ¿no?

246
00:18:38,690 --> 00:18:45,009
Si yo tengo un vector que mide 3 y lo divido, todas sus componentes las divido entre 3,

247
00:18:45,269 --> 00:18:48,769
me da ese mismo vector pero de módulo 1, ¿no es así?

248
00:18:49,369 --> 00:18:52,029
Pues eso es lo que tengo yo, eso es lo que tengo que hacer.

249
00:18:52,289 --> 00:18:59,609
Yo tengo dos vectores, los que sean, y su producto vectorial va a ser un vector que es este, ¿no?

250
00:18:59,609 --> 00:19:02,750
Que es perpendicular a los dos, perpendicular al plano que forman.

251
00:19:03,250 --> 00:19:08,329
Entonces, este va a tener un módulo, el que sea, imaginaros que este tiene de módulo 5.

252
00:19:08,809 --> 00:19:14,609
Si yo divido las componentes de vector entre 5, lo que me va a quedar es un vector que es igual que él,

253
00:19:14,670 --> 00:19:16,750
con la misma dirección, pero de módulo 1.

254
00:19:17,970 --> 00:19:18,309
¿Me seguís?

255
00:19:18,490 --> 00:19:22,289
A ver, ¿cómo se calcula un vector perpendicular a los vectores?

256
00:19:22,430 --> 00:19:24,230
¿Cómo se calcula? Es que es pura teoría.

257
00:19:24,230 --> 00:19:28,289
O sea, es que es pura teoría esto.

258
00:19:29,609 --> 00:19:38,849
El producto vectorial es un vector que es perpendicular a ambos, es decir, lo que me están diciendo es que calcule el producto vectorial, no es más que eso.

259
00:19:39,410 --> 00:19:43,589
Calcular un vector perpendicular a dos dados es calcular su producto vectorial.

260
00:19:44,069 --> 00:19:53,509
Entonces, lo único que pasa es que este vector que es perpendicular a los dos dados, resulta que este vector tendrá un módulo, será de una longitud, la que sea.

261
00:19:53,509 --> 00:20:01,009
Entonces, para que ese vector lo quiero reducir a módulo 1, pues lo tengo que dividir todo entre lo que mida.

262
00:20:01,349 --> 00:20:06,950
Insisto, si tú tienes una cosa que mide 5 y quieres convertirla en 1, pues lo divides entre 5.

263
00:20:07,670 --> 00:20:08,710
Pues aquí lo mismo.

264
00:20:09,069 --> 00:20:16,509
Si este vector calculas el módulo, si divides todos sus componentes entre su módulo, te sale un vector unitario de módulo 1.

265
00:20:17,130 --> 00:20:18,670
Tenéis que saberos la teoría.

266
00:20:18,670 --> 00:20:21,210
de momento, tenerla muy clara

267
00:20:21,210 --> 00:20:22,910
cerca, para ir, eso

268
00:20:22,910 --> 00:20:25,089
siempre estáis trabajando con cuatro cosas

269
00:20:25,089 --> 00:20:27,410
entonces, siempre os van a pedir

270
00:20:27,410 --> 00:20:29,190
una cosa, lo que pasa es que jamás os van a pedir

271
00:20:29,190 --> 00:20:31,309
insisto, el producto vectorial de los vectores

272
00:20:31,309 --> 00:20:33,150
os van a pedir, eso, un vector

273
00:20:33,150 --> 00:20:34,950
perpendicular a ambos, porque en el fondo

274
00:20:34,950 --> 00:20:37,470
lo que os están diciendo es el producto vectorial

275
00:20:37,470 --> 00:20:38,150
de los vectores

276
00:20:38,150 --> 00:20:40,049
¿de acuerdo? venga

277
00:20:40,049 --> 00:21:47,059
ya, ¿qué sale esto?

278
00:21:47,859 --> 00:21:49,559
a ver, el vector me sale

279
00:21:49,559 --> 00:21:50,940
el vector 1, 2, menos 3

280
00:21:50,940 --> 00:21:51,839
¿No?

281
00:21:53,119 --> 00:21:53,839
¿Lo habéis hecho?

282
00:21:54,279 --> 00:21:57,259
Entonces yo, ese es un vector

283
00:21:57,259 --> 00:21:59,000
que es, este vector

284
00:21:59,000 --> 00:22:00,819
es perpendicular a A y B

285
00:22:00,819 --> 00:22:02,140
pero no es unitario

286
00:22:02,140 --> 00:22:03,980
es un vector que tiene de módulo

287
00:22:03,980 --> 00:22:06,799
yo calculo el módulo de este vector

288
00:22:06,799 --> 00:22:08,240
el 1, 2, 3 y es

289
00:22:08,240 --> 00:22:09,619
raíz cuadrada de 14

290
00:22:09,619 --> 00:22:12,740
para convertir este vector C en un vector

291
00:22:12,740 --> 00:22:14,400
que tiene la misma dirección

292
00:22:14,400 --> 00:22:16,099
es decir, es perpendicular a los dos

293
00:22:16,099 --> 00:22:18,319
pero el módulo 1 solo tengo que dividir

294
00:22:18,319 --> 00:22:20,460
todos sus componentes, sus tres componentes

295
00:22:20,460 --> 00:22:22,000
entre su módulo, y ya está

296
00:22:22,000 --> 00:22:23,779
ese vector, este vector

297
00:22:23,779 --> 00:22:26,339
o sea, perdón, esto está mal

298
00:22:26,339 --> 00:22:30,880
este vector

299
00:22:30,880 --> 00:22:31,700
es el vector

300
00:22:31,700 --> 00:22:33,640
es este vector

301
00:22:33,640 --> 00:22:36,339
el vector que me están pidiendo es ese, ¿de acuerdo?

302
00:22:37,579 --> 00:22:38,619
venga, el siguiente

303
00:22:38,619 --> 00:22:41,140
el siguiente dice

304
00:22:41,140 --> 00:22:42,900
el área del triángulo

305
00:22:42,900 --> 00:22:44,279
determinado por dos vectores

306
00:22:44,279 --> 00:22:45,720
venga, ¿cómo se halla?

307
00:22:46,319 --> 00:22:46,660
¿es?

308
00:22:48,539 --> 00:22:51,059
¿cómo se halla el área de un triángulo

309
00:22:51,059 --> 00:22:52,420
que forman dos vectores?

310
00:22:53,180 --> 00:23:00,319
el área del triángulo que forma el módulo

311
00:23:00,319 --> 00:23:03,119
porque el módulo del producto vectorial

312
00:23:03,119 --> 00:23:05,500
fijaros, el módulo de este vector

313
00:23:05,500 --> 00:23:07,740
que es el producto vectorial de estos dos

314
00:23:07,740 --> 00:23:11,799
sería el área del paralelogramo que forman los dos vectores

315
00:23:11,799 --> 00:23:14,619
si lo divides entre dos te da el área del triángulo

316
00:23:14,619 --> 00:23:17,279
es decir que si yo tengo dos vectores

317
00:23:17,279 --> 00:23:21,700
los que sean, si hago el producto vectorial

318
00:23:21,700 --> 00:23:29,980
es un vector así, bueno pues lo que mide esto es igual que el área de esto, si quiero

319
00:23:29,980 --> 00:23:39,299
saber el área del triángulo pues es la mitad, es la mitad del módulo, a ver, os dan dos

320
00:23:39,299 --> 00:23:52,920
vectores, el vector A que es el vector 2, 0, 0 y el vector B que es el vector 2, 2, 0

321
00:23:52,920 --> 00:23:59,480
y os piden el área del triángulo que formarían estos dos vectores, entonces yo calculo el

322
00:23:59,480 --> 00:24:35,140
producto vectorial y este sería 0i más 4k más 0j menos 0k menos 0i y menos 0j, no es así, 0i, 4k, 0j, 0, 0 y 0.

323
00:24:35,140 --> 00:24:57,539
Luego esto es 4k, este sería, luego este es el vector, ya sabéis que los vectores se pueden poner como así o se pueden poner como 2i, 0j, más 0j, más 0k, son las dos maneras de ponerlo, ¿vale?

324
00:24:57,539 --> 00:25:02,019
luego este es el vector 0, 0, 4

325
00:25:02,019 --> 00:25:06,039
el módulo de este vector, este es el vector v

326
00:25:06,039 --> 00:25:13,059
el módulo de v es la raíz cuadrada de 0 más 0 más 16

327
00:25:13,059 --> 00:25:14,759
es decir, es 4

328
00:25:14,759 --> 00:25:19,000
por lo tanto, si esto lo divido entre 2

329
00:25:21,079 --> 00:25:24,779
el área que me piden, el área del triángulo es 2

330
00:25:24,779 --> 00:25:27,579
¿Os salía eso?

331
00:25:27,839 --> 00:25:28,819
¿De acuerdo?

332
00:25:30,119 --> 00:25:30,940
Venga, el siguiente

333
00:25:30,940 --> 00:25:35,240
En el siguiente, en el ejercicio número 12

334
00:25:35,240 --> 00:25:39,490
Me dan dos vectores

335
00:25:39,490 --> 00:25:39,990
El A

336
00:25:39,990 --> 00:25:42,970
Fijaros que este me lo dan distinto

337
00:25:42,970 --> 00:25:44,150
Me lo dan como os he dicho

338
00:25:44,150 --> 00:25:45,990
I más MJ

339
00:25:45,990 --> 00:25:48,589
Más K

340
00:25:48,589 --> 00:25:51,109
Y el B

341
00:25:51,109 --> 00:25:53,190
Que me lo dan como

342
00:25:53,190 --> 00:25:54,789
Menos 2I

343
00:25:54,789 --> 00:25:58,210
Más 4J

344
00:25:58,210 --> 00:26:00,430
Más MK

345
00:26:00,430 --> 00:26:04,230
Es decir, ¿este qué vector es?

346
00:26:05,690 --> 00:26:07,130
¿Qué componentes tiene ese vector?

347
00:26:08,589 --> 00:26:11,990
1, M y 1

348
00:26:11,990 --> 00:26:17,849
Y este, quítala ahí, la J y la K

349
00:26:17,849 --> 00:26:19,130
Ah, claro, vale

350
00:26:19,130 --> 00:26:21,150
¿Vale? Esos dos vectores

351
00:26:21,150 --> 00:26:23,589
Y entonces os dicen, ¿cuánto tiene que valer M para?

352
00:26:24,109 --> 00:26:25,410
Os piden dos casos

353
00:26:25,930 --> 00:26:27,710
Primero, para que sean paralelos.

354
00:26:29,390 --> 00:26:31,710
Dos vectores son paralelos cuando les pasa ¿qué?

355
00:26:31,829 --> 00:26:32,309
Producto.

356
00:26:32,509 --> 00:26:32,950
¿Escalar?

357
00:26:33,289 --> 00:26:35,569
No, eso es para que sean perpendiculares.

358
00:26:35,789 --> 00:26:40,049
Para que sean paralelos, dos vectores, su producto vectorial tiene que ser cero.

359
00:26:40,490 --> 00:26:43,650
Luego, la primera condición es que su producto vectorial sea cero.

360
00:26:44,230 --> 00:26:46,269
Y luego os piden para que sean ortogonales.

361
00:26:46,910 --> 00:26:49,170
¿Qué tiene que pasar para que sean ortogonales?

362
00:26:49,630 --> 00:26:50,609
El vectorial, ¿no?

363
00:26:50,809 --> 00:26:51,789
El escalar.

364
00:26:51,970 --> 00:26:53,450
El joy, macho.

365
00:26:53,690 --> 00:26:53,990
¿Vale?

366
00:26:53,990 --> 00:26:55,809
siempre

367
00:26:55,809 --> 00:26:58,509
recordad esto

368
00:26:58,509 --> 00:27:01,049
si el producto escalar es cero

369
00:27:01,049 --> 00:27:02,730
los vectores son perpendiculares

370
00:27:02,730 --> 00:27:04,430
si el producto vectorial es cero

371
00:27:04,430 --> 00:27:05,930
los vectores son paralelos

372
00:27:05,930 --> 00:27:08,029
y si el producto mixto es cero

373
00:27:08,029 --> 00:27:10,410
los tres vectores son coplanarios

374
00:27:10,410 --> 00:27:11,250
¿de acuerdo?

375
00:27:12,450 --> 00:27:14,589
para que sean ortogonales y perpendiculares

376
00:27:14,589 --> 00:27:16,930
lo mismo, entonces para que sean perpendiculares

377
00:27:16,930 --> 00:27:18,910
el producto escalar y para que sean paralelos

378
00:27:18,910 --> 00:27:19,950
es el producto vectorial

379
00:27:19,950 --> 00:27:22,150
¿de acuerdo?

380
00:27:23,990 --> 00:27:27,230
Venga, hacemos esto y si queréis lo dejamos

381
00:27:27,230 --> 00:27:28,789
¿Ya está? ¿Lo hago?

382
00:27:29,509 --> 00:27:30,569
¿Lo hago?

383
00:27:32,569 --> 00:27:35,009
A ver, me dicen que ¿qué tiene que pasar?

384
00:27:35,109 --> 00:27:40,349
¿Cuál tiene que tener esa m para que esos dos vectores sean paralelos?

385
00:27:40,349 --> 00:27:45,069
Entonces yo sé que lo que tiene que pasar es que el producto vectorial de esos dos vectores

386
00:27:45,069 --> 00:28:13,069
que es IJK1M1-24M, esto es M cuadrado por I más 4K menos 2J y por este lado más 2M por K

387
00:28:13,069 --> 00:28:32,359
menos 4i y menos m por j, por lo tanto tengo is, tengo m cuadrado, menos 4 por i,

388
00:28:32,359 --> 00:28:50,680
J tengo menos, a ver, menos 2 más m, bueno, voy a hacer una cosa, no, no lo voy a poner así.

389
00:28:50,680 --> 00:28:52,440
¿Y el 4 no sería positivo?

390
00:28:55,079 --> 00:29:01,579
No, tengo menos 4i, el 4i sale en esta dirección, por lo tanto es igual.

391
00:29:01,579 --> 00:29:01,940
Ah, vale, vale, vale.

392
00:29:02,220 --> 00:29:02,619
¿Vale?

393
00:29:03,799 --> 00:29:19,920
Vale, y ahora tengo más, aquí tengo, por j tengo menos 2 menos m, por j, y cas tengo, ¿cuántos tengo?

394
00:29:19,920 --> 00:29:29,700
Cas t más 2m más 4 por k, ¿de acuerdo?

395
00:29:29,700 --> 00:29:37,160
Bueno, entonces, para que esto, tiene que ser 0

396
00:29:37,160 --> 00:29:39,279
El producto vectorial tiene que ser 0

397
00:29:39,279 --> 00:29:41,680
Es decir, que todos estos componentes tienen que ser 0

398
00:29:41,680 --> 00:29:43,059
Vamos a ver si eso es posible

399
00:29:43,059 --> 00:29:49,059
Entonces, hacemos, tiene que ser m cuadrado menos 4, tiene que ser 0

400
00:29:49,059 --> 00:29:52,920
Menos 2 menos m, tiene que ser 0

401
00:29:52,920 --> 00:29:57,000
Y 2m más 4, tiene que ser 0

402
00:29:57,000 --> 00:30:01,599
De aquí me sale que m es igual a más menos 2.

403
00:30:02,599 --> 00:30:10,859
Si m es 2, si m, y de aquí me sale que m tiene que ser igual a menos 2.

404
00:30:11,000 --> 00:30:14,539
Y de aquí me sale que m tiene que ser igual a menos 2.

405
00:30:14,920 --> 00:30:17,380
Luego, para que eso se cumpla, ¿ha salido eso?

406
00:30:17,700 --> 00:30:18,500
Sí, me lo han hecho.

407
00:30:19,440 --> 00:30:21,519
¿Y qué ecuación de segundo grado?

408
00:30:21,660 --> 00:30:22,380
Que descartea.

409
00:30:22,519 --> 00:30:23,920
Bueno, es una posibilidad, sí.

410
00:30:24,220 --> 00:30:25,180
A mí me parece más fácil así.

411
00:30:25,180 --> 00:30:29,079
Igualas cada componente, en vez de igualar todo, igualas cada componente

412
00:30:29,079 --> 00:30:34,599
Eso es para que sean paralelos

413
00:30:34,599 --> 00:30:38,759
Para que sean perpendiculares lo que tiene que pasar es que el producto vectorial

414
00:30:38,759 --> 00:30:40,799
Digo, el producto escalar

415
00:30:40,799 --> 00:30:44,960
Tiene que ser 0, el producto escalar es

416
00:30:44,960 --> 00:30:48,160
1 por menos 2

417
00:30:48,160 --> 00:30:51,500
Más 4 por m

418
00:30:51,500 --> 00:30:54,359
Más 1 por m

419
00:30:54,359 --> 00:30:59,279
Es decir, que esto es 5m menos 2

420
00:30:59,279 --> 00:31:00,920
Y esto tiene que ser igual a 0

421
00:31:00,920 --> 00:31:03,779
Luego m tiene que ser igual a 2 quintos

422
00:31:03,779 --> 00:31:04,619
¿De acuerdo? ¿Vale?

423
00:31:05,359 --> 00:31:08,059
Bueno, si tenéis tiempo

424
00:31:08,059 --> 00:31:10,480
Vamos a seguir trabajando con vectores

425
00:31:10,480 --> 00:31:15,380
O sea, para trabajar con las rectas hay que seguir trabajando con vectores

426
00:31:15,380 --> 00:31:18,220
Si tenéis tiempo, acabaros esta hoja de ejercicios

427
00:31:18,220 --> 00:31:20,859
Y según eso, hemos trabajado suficiente

428
00:31:20,859 --> 00:31:23,279
Mañana empezamos con rectas en el plano

429
00:31:23,279 --> 00:31:23,680
¿Vale?

430
00:31:24,359 --> 00:31:24,400
CC por Antarctica Films Argentina