1 00:00:04,080 --> 00:00:17,760 Pues, puesto que estamos dedicando esas claves a dudas, voy a explicar algunas cosillas teóricas, entre ellas el cálculo de máximos y mínimos absolutos, que nos hace falta para el examen. 2 00:00:17,980 --> 00:00:20,699 Sobre todo porque esto no puedo dejarlo para otro porque está contenido en lo anterior. 3 00:00:22,280 --> 00:00:24,079 Bien, pues empecemos. 4 00:00:24,780 --> 00:00:27,940 Veamos cómo se calculan los máximos y mínimos absolutos. 5 00:00:27,940 --> 00:00:33,119 Para ello hay que calcular antes los relativos, cosa que ya hemos dado antes. 6 00:00:34,079 --> 00:00:39,020 Bien, dejo la tabla para los cálculos máximos relativos, ¿de acuerdo? 7 00:00:39,840 --> 00:00:45,799 A ver, tenemos la función f de x, que es x al cubo menos 3x cuadrado. 8 00:00:45,799 --> 00:01:04,799 Su derivada es 3x cuadrado menos 6x, que es 3x por, bueno, si acabamos de faltar el 3, de 3x sería 3x por x menos 2. 9 00:01:04,799 --> 00:01:26,629 De otra forma, pues eso es, o si no, 3x cuadrado menos, perdón, por 3x menos 6, eso es igual a 0, si y solo si, o bien x es igual a 0, o 3x menos 6 es igual a 0, y esto ocurre pues si 3x es igual a 6, o x es igual a 6 tercios, que es 2. 10 00:01:27,870 --> 00:01:33,790 El hecho es que este es este polinomio, que tiene dos soluciones, x es igual a 0 y x es igual a 2. 11 00:01:33,790 --> 00:01:37,069 De modo que vamos a poner eso en la derivada 12 00:01:37,069 --> 00:01:40,370 Los ceros de la derivada son el 0 y el 2 13 00:01:40,370 --> 00:01:45,989 En todos los intervalos que tenemos en cuenta serían desde 0 hasta 2 14 00:01:45,989 --> 00:01:50,069 De 2 a infinito y de menos infinito hasta 0 15 00:01:50,069 --> 00:01:56,640 Bien, si hemos calculado antes la derivada a la función a ojo 16 00:01:56,640 --> 00:02:00,439 Esto es x cuadrado por x menos 3 17 00:02:00,439 --> 00:02:05,459 De modo que tiene un 0 doble y un 3 18 00:02:05,459 --> 00:02:07,379 Al representar esta función 19 00:02:07,379 --> 00:02:11,719 Pues aquí va a pasar, aquí va a rebotar 20 00:02:11,719 --> 00:02:13,400 Y aquí va a ir a menos infinito 21 00:02:13,400 --> 00:02:16,000 Teniendo la función que tenemos aquí 22 00:02:16,000 --> 00:02:18,539 La derivada la utilizamos 23 00:02:18,539 --> 00:02:19,879 Aunque ya sabemos que aquí hay un máximo 24 00:02:19,879 --> 00:02:22,199 Para calcular dónde está exactamente este máximo 25 00:02:22,199 --> 00:02:23,520 Y vemos que es en el 2 26 00:02:23,520 --> 00:02:26,919 Porque el 0 ya vemos que está 27 00:02:26,919 --> 00:02:29,860 Bien, sigamos después de todo con el método 28 00:02:29,860 --> 00:02:35,080 cogemos f', calculamos los signos de f', lo podemos hacer bien 29 00:02:35,080 --> 00:02:37,979 pues cogiendo la calculadora y calculando en un punto, aquí por ejemplo 30 00:02:37,979 --> 00:02:41,819 en el menos uno, aquí en el uno y aquí por ejemplo en el tres 31 00:02:41,819 --> 00:02:46,639 y veríamos que esto es positivo, esto es negativo y esto es positivo 32 00:02:46,639 --> 00:02:50,020 también lo podemos hacer representando esta función 33 00:02:50,020 --> 00:02:54,180 pues que en el cero, pasa por el cero y el dos 34 00:02:54,180 --> 00:02:57,620 hace así, aquí es positivo, negativo y positivo 35 00:02:57,620 --> 00:03:07,250 que es lo que tenemos aquí. Aquí la derivada es 0, aquí la función es creciente, decreciente y creciente 36 00:03:07,250 --> 00:03:19,199 y vemos que aquí hay un máximo y aquí hay un mínimo. Aquí es creciente, decreciente y creciente. 37 00:03:20,800 --> 00:03:27,039 Bueno, esta información es la que ya tenemos y voy a dejarla toda de forma escrita en ordenador. 38 00:03:29,330 --> 00:03:37,110 Bien, vamos ahora a ver cómo se calculan máximos y mínimos absolutos, aunque para ello hemos de calcular los relativos. 39 00:03:38,689 --> 00:03:47,030 Bien, los relativos se obtienen, ya sabemos, haciendo la derivada y viendo la función en los bordes. 40 00:03:47,849 --> 00:03:51,569 O en los puntos de intersección cuando tenemos funciones definidas a trozos. 41 00:03:51,849 --> 00:03:54,030 Bueno, pues en este caso solamente viendo la derivada. 42 00:03:54,030 --> 00:03:57,889 antes de nada esta función es fácil de representar 43 00:03:57,889 --> 00:03:59,889 esto es x cuadrado por x menos 3 44 00:03:59,889 --> 00:04:01,909 que tiene dos ceros 45 00:04:01,909 --> 00:04:03,930 uno es el 3 y un 0 doble 46 00:04:03,930 --> 00:04:05,770 de modo que al representarla 47 00:04:05,770 --> 00:04:07,430 vamos a tener aquí 48 00:04:07,430 --> 00:04:09,689 en el 3 y en el 0 49 00:04:09,689 --> 00:04:10,710 vamos a tener aquí 50 00:04:10,710 --> 00:04:13,090 la página por el 3 51 00:04:13,090 --> 00:04:14,349 y va a rebotar 52 00:04:14,349 --> 00:04:16,290 en el 0 53 00:04:16,290 --> 00:04:18,310 luego tiene esta forma 54 00:04:18,310 --> 00:04:19,970 y eso nos ayuda 55 00:04:19,970 --> 00:04:22,329 la hemos dibujado para entender mejor 56 00:04:22,329 --> 00:04:23,769 que es lo que pasa 57 00:04:23,769 --> 00:04:38,930 Bien, ahora tenemos aquí la función f de x, que es x cubo menos 3x cuadrado, y su derivada, que es f prima de x igual a 3x cuadrado menos 6x. 58 00:04:41,920 --> 00:04:51,300 Y eso sí, sacamos factor común 3, eso es 3 por x cuadrado menos 2x, sacamos factor común de la x, 3 por x por x menos 2. 59 00:04:51,300 --> 00:04:59,379 Esos se anulan en dos valores, cuando x vale 0 y cuando x menos 2 vale 0, lo que es lo mismo 60 00:04:59,379 --> 00:05:02,319 Cuando x vale 2 61 00:05:02,319 --> 00:05:11,879 Bien, de modo que la derivada se anula en el 0 y en el 2 62 00:05:11,879 --> 00:05:21,649 Nos faltaría calcular el valor de la derivada en el resto de intervalos 63 00:05:21,649 --> 00:05:29,250 Tenemos aquí 0 a 2, de 2 a infinito, de menos infinito a 0 64 00:05:29,250 --> 00:05:35,430 Bien, bien calculando el valor de la función en un punto intermedio 65 00:05:35,430 --> 00:05:38,829 Por ejemplo, en el menos 1, aquí en el 1 y aquí en el 3 66 00:05:38,829 --> 00:05:43,990 O bien, representando a ojo esta función 67 00:05:43,990 --> 00:05:50,750 Que vale, en el 2 vale esto, en el 0 vale esto 68 00:05:50,750 --> 00:05:53,629 Y si representamos, pues aquí es positivo, negativo, positivo 69 00:05:53,629 --> 00:06:00,300 Vemos que esto es positivo, esto es negativo y esto es positivo 70 00:06:00,300 --> 00:06:01,980 Ya tenemos el valor de la derivada 71 00:06:01,980 --> 00:06:07,060 De modo que aquí es creciente, aquí decreciente y aquí creciente 72 00:06:07,060 --> 00:06:21,300 La derivada, pues en el cero, aquí vale cero, aquí vale cero 73 00:06:21,300 --> 00:06:25,920 Y vemos que tiene forma de máximo, pues máximo 74 00:06:25,920 --> 00:06:30,079 Y aquí tiene forma de mínimo, pues es un mínimo 75 00:06:30,079 --> 00:06:50,350 De modo que tenemos que hay un máximo relativo y un mínimo relativo. 0 sería máximo relativo y 2 sería mínimo relativo. 76 00:06:53,790 --> 00:06:59,750 Bien, ¿qué nos faltaría? Pues nos faltaría calcular los máximos y mínimos absolutos. 77 00:06:59,750 --> 00:07:08,529 ¿Qué hacemos? Bueno, pues en este caso, viendo la función, ninguno es máximo o mínimo absoluto 78 00:07:08,529 --> 00:07:14,509 porque vemos aquí el caso del 2, que es mínimo, pero hay valores que están por debajo del 2 79 00:07:14,509 --> 00:07:17,350 Aquí es 0 por los valores que están por encima del 0 80 00:07:17,350 --> 00:07:20,329 ¿Pero eso cómo se explica? Bueno, pues hacemos el límite 81 00:07:20,329 --> 00:07:29,160 Cuando x tiende a infinito de f de x, esto es infinito 82 00:07:29,160 --> 00:07:39,329 si es infinito quiere decir que no hay máximos absolutos 83 00:07:39,329 --> 00:07:45,370 ahora el límite cuando x tendría menos infinito de x al cubo menos 3x 84 00:07:45,370 --> 00:07:47,230 esto es menos infinito 85 00:07:47,230 --> 00:07:54,649 por tanto no hay mínimos absolutos 86 00:07:54,649 --> 00:07:59,529 y ya tendríamos resuelto el problema de los máximos y mínimos relativos 87 00:07:59,529 --> 00:08:02,970 y el problema de los máximos y mínimos absolutos 88 00:08:02,970 --> 00:08:21,199 En efecto, al ser el óbito limpiante infinito, quiere decir que x desde aquí va a tomar infinitos valores, cada vez más grandes, y que haya el máximo que haya siempre se va a superar por alguno de esos valores. 89 00:08:21,759 --> 00:08:33,899 Si el límite aquí es menos infinito, pues también va a tomar infinitos valores, y tengas el mínimo que tengas, siempre va a ser superado por uno de ellos. Así que nunca va a haber ni un máximo ni un mínimo absolutos. 90 00:08:33,899 --> 00:08:37,679 entonces el hecho de que un límite sea infinito 91 00:08:37,679 --> 00:08:38,740 sirve para los máximos 92 00:08:38,740 --> 00:08:40,340 y que sea menos infinito 93 00:08:40,340 --> 00:08:41,720 pues sería parecer que no hay mínimos 94 00:08:41,720 --> 00:08:43,799 absolutos 95 00:08:43,799 --> 00:08:49,269 bien, esta es la tabla que hemos empleado 96 00:08:49,269 --> 00:08:51,570 y vamos a reciclarla para el resto de ejercicios 97 00:08:51,570 --> 00:08:53,210 ya que nos vamos a 98 00:08:53,210 --> 00:08:55,909 basar en este problema 99 00:08:55,909 --> 00:08:59,309 bien, veamos ahora el siguiente ejemplo 100 00:08:59,309 --> 00:09:01,809 tenemos la misma función de antes 101 00:09:01,809 --> 00:09:03,210 por lo tanto 102 00:09:03,210 --> 00:09:04,509 la misma derivada 103 00:09:04,509 --> 00:09:08,340 y los mismos ceros en la derivada 104 00:09:08,340 --> 00:09:13,620 que son respectivamente un máximo y un mínimo 105 00:09:13,620 --> 00:09:21,120 La diferencia es que ahora estudiamos los máximos y mínimos absolutos y relativos 106 00:09:21,120 --> 00:09:26,200 en el intervalo del menos 1 al 3,5 107 00:09:26,200 --> 00:09:30,100 es decir, desde aquí hasta aquí 108 00:09:30,100 --> 00:09:34,740 lo cual quiere decir que solo consideramos la gráfica de la función 109 00:09:34,740 --> 00:09:43,279 desde aquí hasta aquí 110 00:09:43,279 --> 00:09:50,440 eliminando todo lo demás 111 00:09:50,440 --> 00:09:55,309 en este caso además, como los intervalos 112 00:09:55,309 --> 00:09:56,850 son cerrados 113 00:09:56,850 --> 00:09:59,629 consideramos los puntos 114 00:09:59,629 --> 00:10:02,490 de la función 115 00:10:02,490 --> 00:10:04,830 bueno, vamos a borrar lo demás 116 00:10:04,830 --> 00:10:08,029 ¿qué hacemos ahora? 117 00:10:08,629 --> 00:10:09,590 pues consideramos 118 00:10:09,590 --> 00:10:11,750 como posibles máximos 119 00:10:11,750 --> 00:10:12,509 no solamente 120 00:10:12,509 --> 00:10:15,210 y mínimos, no solamente 121 00:10:15,210 --> 00:10:16,830 los ceros de la derivada 122 00:10:16,830 --> 00:10:20,070 que son 0 y 2 123 00:10:20,070 --> 00:10:21,350 sino también 124 00:10:21,350 --> 00:10:25,590 los extremos del intervalo, que son 125 00:10:25,590 --> 00:10:32,519 menos 1 y 3,5. Y también consideramos 126 00:10:32,519 --> 00:10:36,179 los intervalos que están entre medias, que serían 127 00:10:36,179 --> 00:10:40,200 del menos 1 al 0 y del 2 128 00:10:40,200 --> 00:10:44,299 al 3,5. De hecho, se puede observar ya 129 00:10:44,299 --> 00:10:47,279 gráficamente que los máximos y mínimos relativos son estos. 130 00:10:49,610 --> 00:10:52,409 Porque en este caso es más pequeño que los que están cerca, 131 00:10:52,409 --> 00:10:59,419 en este caso también, y en ese caso también. ¿Cómo sabemos si son máximos y mínimos? 132 00:10:59,419 --> 00:11:04,759 Observando el crecimiento. No hemos cambiado la función porque si esa función era creciente 133 00:11:04,759 --> 00:11:09,019 entre 2 e infinito, pues también lo es en ese intervalo más creciente. Y lo mismo, 134 00:11:09,019 --> 00:11:12,539 si está creciente entre menos infinito y 0, pues también lo es en ese intervalo más pequeño. 135 00:11:12,539 --> 00:11:20,179 Bien. Entonces, ¿y cómo sabemos lo que son solamente con la gráfica? Bueno, 136 00:11:20,179 --> 00:11:22,320 pues en este caso 137 00:11:22,320 --> 00:11:23,299 viendo que a partir 138 00:11:23,299 --> 00:11:25,019 empezamos con el menos 1 139 00:11:25,019 --> 00:11:27,000 viendo que a partir del menos 1 es creciente 140 00:11:27,000 --> 00:11:30,039 entonces pues el menos 1 141 00:11:30,039 --> 00:11:31,840 es un mínimo 142 00:11:31,840 --> 00:11:36,769 se puede ver con el dibujo lo que ocurre aquí 143 00:11:36,769 --> 00:11:38,669 a partir de aquí es mínimo 144 00:11:38,669 --> 00:11:40,909 y viendo que hasta el 3,5 145 00:11:40,909 --> 00:11:42,450 es creciente pues aquí es un 146 00:11:42,450 --> 00:11:44,129 máximo 147 00:11:44,129 --> 00:11:47,759 también se puede ver en el dibujo 148 00:11:47,759 --> 00:11:49,679 crece antes de ella 149 00:11:49,679 --> 00:11:51,080 antes del punto 150 00:11:51,080 --> 00:11:54,580 pero si no os acordáis podéis hacer un truquito 151 00:11:54,580 --> 00:11:58,100 Y es que si tuvierais que dibujar siguiendo aquí un máximo o un mínimo, ¿qué haríais? 152 00:11:58,179 --> 00:11:59,419 Pues dibujaríais un mínimo así, ¿verdad? 153 00:12:00,139 --> 00:12:05,379 Pues entonces es mínimo, solo que tachamos todo lo que está antes porque lo tenemos en cuenta. 154 00:12:06,120 --> 00:12:09,919 Y si tuviéramos que dibujar un máximo o un mínimo siguiendo esta curva, ¿qué haríamos? 155 00:12:10,240 --> 00:12:11,399 Pues un máximo porque va así. 156 00:12:12,720 --> 00:12:17,460 Entonces sigue siendo un máximo, solo que tacháis la parte de la curva que va a la derecha. 157 00:12:18,519 --> 00:12:23,539 De modo que con la gráfica podemos saber si son máximos o mínimos. 158 00:12:23,539 --> 00:12:26,240 es decir, con la gráfica, con la tabla 159 00:12:26,240 --> 00:12:28,340 sin necesidad de ver la curva 160 00:12:28,340 --> 00:12:31,700 bueno, dejamos la curva 161 00:12:31,700 --> 00:12:32,779 porque no sirve 162 00:12:32,779 --> 00:12:35,399 aunque voy a borrar un poco 163 00:12:35,399 --> 00:12:37,000 todo lo que he puesto 164 00:12:37,000 --> 00:12:40,080 bien, de ese modo 165 00:12:40,080 --> 00:12:43,179 los máximos 166 00:12:43,179 --> 00:12:45,220 relativos 167 00:12:45,220 --> 00:12:47,960 serían pues 168 00:12:47,960 --> 00:12:51,250 el 0 169 00:12:51,250 --> 00:12:52,649 y el 3,5 170 00:12:52,649 --> 00:12:59,779 y los mínimos 171 00:12:59,779 --> 00:13:03,519 relativos 172 00:13:03,519 --> 00:13:10,399 Serían el menos 1 y el 2 173 00:13:10,399 --> 00:13:16,659 Con lo cual, la parte de los máximos y mínimos relativos ya está 174 00:13:16,659 --> 00:13:18,940 ¿Cómo evo los absolutos? 175 00:13:19,200 --> 00:13:20,440 Bueno, aquí comparamos 176 00:13:20,440 --> 00:13:24,620 Entonces, dentro de los máximos hay que ver lo que vale cada uno 177 00:13:24,620 --> 00:13:28,809 F de 0 es 0 178 00:13:28,809 --> 00:13:34,070 Y F de 3,5 es igual a 6,125 179 00:13:34,070 --> 00:13:36,070 ¿Cuál es mayor? 180 00:13:36,389 --> 00:13:38,710 Es mayor el 6,25 181 00:13:38,710 --> 00:13:47,500 Por lo tanto, el máximo absoluto sería el 3,5. 182 00:13:48,259 --> 00:13:50,840 ¿Y cuál es el mínimo absoluto? 183 00:13:51,120 --> 00:13:53,320 Pues igualmente comparamos los dos. 184 00:13:54,200 --> 00:14:01,519 Tenemos aquí f de menos 1 y f de 2. 185 00:14:02,080 --> 00:14:05,340 f de 2 lo calculamos es menos 4. 186 00:14:06,299 --> 00:14:08,879 Y f de menos 1 también es menos 4. 187 00:14:08,879 --> 00:14:27,429 Por lo tanto, los dos valen lo mismo. ¿Qué ocurre? Que los dos son mínimos absolutos. Entonces, los mínimos absolutos son menos 1 y 2. Y ya estaría. 188 00:14:27,429 --> 00:14:32,690 Bien, cuestión número 1 189 00:14:32,690 --> 00:14:34,529 Antes cogimos que vamos hasta infinito 190 00:14:34,529 --> 00:14:37,129 Aquí como veis no se va ni a infinito y por lo tanto el argumento no vale 191 00:14:37,129 --> 00:14:39,850 Además cuando tenemos un intervalo cerrado 192 00:14:39,850 --> 00:14:42,750 Pues todos los puntos donde hay límites, lo que sea 193 00:14:42,750 --> 00:14:44,690 Son puntos donde la función se alcanza 194 00:14:44,690 --> 00:14:47,809 Por eso solo hay que comparar unos máximos y otros 195 00:14:47,809 --> 00:14:53,590 Vamos a ver qué pasa sin embargo cuando los intervalos de aquí no están abiertos 196 00:14:53,590 --> 00:15:01,899 Así pues repetimos el ejercicio con la única salvedad de que los intervalos son abiertos 197 00:15:01,899 --> 00:15:06,059 lo que pasa es que van a haber unos cuantos cambios y no menores 198 00:15:06,059 --> 00:15:09,059 en primer lugar, vamos a ver 199 00:15:09,059 --> 00:15:13,279 bueno, la gráfica es igual, contamos el intervalo abierto 200 00:15:13,279 --> 00:15:16,620 desde el menos uno hasta el tres y medio 201 00:15:16,620 --> 00:15:21,639 y cogemos la gráfica, pues esta es de tres y medio, lo que pasa es que en esta ocasión 202 00:15:21,639 --> 00:15:25,840 no consideramos lo que hay dentro, o sea, no consideramos 203 00:15:25,840 --> 00:15:31,679 ese punto, y por eso ponemos los círculos abiertos, sin nada ahí 204 00:15:31,679 --> 00:15:38,340 Y tampoco consideramos la gráfica que hay a partir de ahí, así que la borramos completamente. 205 00:15:41,379 --> 00:15:58,610 Bien, igual que antes considerábamos los intervalos entre 2 e infinito, ahora lo consideramos entre el borde, que sería entre 2 y 3,5. 206 00:15:58,610 --> 00:16:02,679 igualmente pues lo hacemos 207 00:16:02,679 --> 00:16:04,960 igual que antes lo hacíamos 208 00:16:04,960 --> 00:16:06,139 entre menos infinito 209 00:16:06,139 --> 00:16:08,840 y 0, ahora lo hacemos 210 00:16:08,840 --> 00:16:14,139 entre menos 1 y 0 211 00:16:14,139 --> 00:16:15,899 y la parte de aquí pues 212 00:16:15,899 --> 00:16:18,200 ni la contamos porque no es parte de la gráfica 213 00:16:18,200 --> 00:16:20,279 aquí tenemos que es creciente, aquí máximo mínimo 214 00:16:20,279 --> 00:16:22,340 pues ya tenemos 215 00:16:22,340 --> 00:16:23,639 que 216 00:16:23,639 --> 00:16:25,799 los máximos mínimos relativos 217 00:16:25,799 --> 00:16:26,799 van a ser 0 y 2 218 00:16:26,799 --> 00:16:31,259 entonces, máximos relativos 219 00:16:31,259 --> 00:16:33,419 pues va a ser 220 00:16:33,419 --> 00:16:43,750 el 0. Mínimos relativos va a ser el 2. ¿Por qué no consideramos el menos 1 y el 3 y medio? Pues 221 00:16:43,750 --> 00:16:50,750 porque directamente no está definida la función en ellos. Con lo cual esa parte ya está. Nos quedan 222 00:16:50,750 --> 00:17:06,140 los máximos y mínimos absolutos. Entonces vamos a poner máximo absoluto, ¿cuál sería? Y el mínimo 223 00:17:06,140 --> 00:17:11,269 absoluto, igual que cuando no están definidos los extremos 224 00:17:11,269 --> 00:17:13,509 antes pusimos el límite 225 00:17:13,509 --> 00:17:19,640 cuando x tiende a infinito, pues ahora tenemos que ponerlo 226 00:17:19,640 --> 00:17:22,180 el límite cuando x tiende a los extremos, el límite de f de x 227 00:17:22,180 --> 00:17:29,529 cuando x tiende a 3,5 y el límite 228 00:17:29,529 --> 00:17:31,690 cuando x tiende a 229 00:17:31,690 --> 00:17:34,930 menos 1 de f de x 230 00:17:34,930 --> 00:17:38,509 en este caso es evaluar los puntos 231 00:17:38,509 --> 00:17:41,650 el límite hasta 3,5 sería 6,125 232 00:17:41,650 --> 00:17:44,089 y el límite hasta menos 1 es 233 00:17:44,089 --> 00:17:48,089 menos 4. Igual que antes hay que calcular el valor en los máximos 234 00:17:48,089 --> 00:17:51,990 y mínimos relativos. Entonces en este caso 235 00:17:51,990 --> 00:18:00,299 teníamos que f de 0 valía 0 236 00:18:00,299 --> 00:18:04,200 y f de 2 valía menos 4. Y ahora ya 237 00:18:04,200 --> 00:18:08,299 comparamos. Bueno, ¿cuál es el mayor de todos estos 238 00:18:08,299 --> 00:18:11,660 valores? Pues en este caso es el 6,125 239 00:18:11,660 --> 00:18:15,559 que no llega a alcanzarse nunca. Como es mayor que el 0 240 00:18:15,559 --> 00:18:17,460 y no llega a alcanzarse nunca 241 00:18:17,460 --> 00:18:18,779 porque ningún punto vale eso 242 00:18:18,779 --> 00:18:20,940 el máximo absoluto no existe 243 00:18:20,940 --> 00:18:23,799 ponteamos que no hay 244 00:18:23,799 --> 00:18:25,640 máximos 245 00:18:25,640 --> 00:18:28,960 absolutos 246 00:18:28,960 --> 00:18:31,160 y en el caso 247 00:18:31,160 --> 00:18:34,039 del 248 00:18:34,039 --> 00:18:36,720 de los mínimos 249 00:18:36,720 --> 00:18:38,700 pues aquí f de 2 vale menos 4 250 00:18:38,700 --> 00:18:41,000 y también 251 00:18:41,000 --> 00:18:42,240 el límite inferior es menos 4 252 00:18:42,240 --> 00:18:43,460 en este caso coinciden 253 00:18:43,460 --> 00:18:46,099 con lo cual sí que hay un mínimo absoluto 254 00:18:46,099 --> 00:18:47,420 porque el valor mínimo se alcanza 255 00:18:47,420 --> 00:18:49,480 solo que se alcanza en el 2 256 00:18:49,480 --> 00:18:51,799 antes se alcanzaba en dos lugares, ahora se alcanza solo aquí 257 00:18:51,799 --> 00:18:53,819 con lo cual el mínimo absoluto 258 00:18:53,819 --> 00:18:54,539 sería 2 259 00:18:54,539 --> 00:18:57,880 y ya está 260 00:18:57,880 --> 00:19:02,160 veamos un ejemplo donde acabamos la casuística 261 00:19:02,160 --> 00:19:03,940 y de ese tipo y ya está 262 00:19:03,940 --> 00:19:05,920 bien 263 00:19:05,920 --> 00:19:08,220 ahora vamos a 264 00:19:08,220 --> 00:19:11,019 calcular los máximos y mínimos 265 00:19:11,019 --> 00:19:12,259 absolutos y relativos 266 00:19:12,259 --> 00:19:14,619 de la misma función, solo que entre 267 00:19:14,619 --> 00:19:16,779 menos 0,5, es decir, hasta aquí 268 00:19:16,779 --> 00:19:19,440 y hasta el 3 269 00:19:19,440 --> 00:19:23,579 es decir, consideramos hasta el 0.5 abierto 270 00:19:23,579 --> 00:19:24,779 es decir, sin incluir 271 00:19:24,779 --> 00:19:27,980 hasta el 3 sin incluir 272 00:19:27,980 --> 00:19:30,299 de modo que la gráfica sería hasta aquí 273 00:19:30,299 --> 00:19:34,319 dibujamos un círculo abierto 274 00:19:34,319 --> 00:19:37,119 digo, perdón, un círculo no relleno 275 00:19:37,119 --> 00:19:42,000 para simbolizar que consideramos hasta el 3 276 00:19:42,000 --> 00:19:47,079 en cuanto al 0.5 lo dibujamos en la gráfica hasta aquí 277 00:19:47,079 --> 00:19:50,480 y dibujamos también para simbolizar que no está 278 00:19:50,480 --> 00:19:53,119 pues un círculo no relleno 279 00:19:53,119 --> 00:19:57,240 y ahora tendríamos pues esta gráfica 280 00:19:57,240 --> 00:20:03,759 después de todo más que repasar la gráfica 281 00:20:03,759 --> 00:20:06,500 vamos a borrar la parte que no está en la gráfica 282 00:20:06,500 --> 00:20:07,400 que es todo esto 283 00:20:07,400 --> 00:20:18,160 bien, tampoco aquí consideramos 284 00:20:18,160 --> 00:20:19,779 los puntos dentro de la gráfica 285 00:20:19,779 --> 00:20:20,920 con lo cual no ponemos aquí nada 286 00:20:20,920 --> 00:20:23,099 sí que los ponemos como extremos 287 00:20:23,099 --> 00:20:25,319 los intervalos abiertos van 288 00:20:25,319 --> 00:20:27,680 desde menos 0.5 hasta 0 289 00:20:27,680 --> 00:20:31,420 y desde 2 hasta 3 290 00:20:31,420 --> 00:20:36,700 y ahora igual que antes pues como tenemos esta forma así y esta así 291 00:20:36,700 --> 00:20:41,180 tenemos dos máximos y mínimos relativos 292 00:20:41,180 --> 00:20:42,339 este y este 293 00:20:42,339 --> 00:20:54,819 diríamos que el máximo relativo igual que antes es el 0 294 00:20:54,819 --> 00:21:00,460 y el mínimo relativo es el 2 295 00:21:00,460 --> 00:21:04,380 igual que antes pues tenemos que calcular f de 0 296 00:21:04,380 --> 00:21:08,640 que vale 0 y f de 2 que vale menos 4 297 00:21:08,640 --> 00:21:12,059 y como los bordes no están 298 00:21:12,059 --> 00:21:15,420 hay que calcular el límite de los bordes, haríamos el límite 299 00:21:15,420 --> 00:21:19,759 cuando x tiende a menos 0,5 300 00:21:19,759 --> 00:21:26,190 de f de x y el límite 301 00:21:26,190 --> 00:21:30,170 cuando x tiende a 3 de f de x 302 00:21:30,170 --> 00:21:33,750 en este caso pues es evaluar en el 303 00:21:33,750 --> 00:21:37,750 de menos 0,5 y eso nos da menos 0,625 304 00:21:38,910 --> 00:21:40,750 y aquí nos da 0 305 00:21:40,750 --> 00:21:46,049 entonces ya podemos observar máximos, ¿cuál es el mayor de los valores? 306 00:21:47,130 --> 00:21:49,910 pues el mayor de esos valores sería 307 00:21:49,910 --> 00:21:52,289 pues el 0, y el 0 se alcanza 308 00:21:52,289 --> 00:21:57,789 se alcanza aquí, bueno aquí no llega a alcanzarse porque no está definido en el 3 309 00:21:57,789 --> 00:22:02,049 pero sí que se alcanza en el 3, con lo cual el máximo 310 00:22:02,049 --> 00:22:07,569 absoluto es el 0 311 00:22:07,569 --> 00:22:17,049 mínimo absoluto, podríamos saber, habría que comparar el mínimo de todos 312 00:22:17,049 --> 00:22:22,150 entonces tendríamos por una parte en el 2 es menos 4 313 00:22:22,150 --> 00:22:26,329 y por otra parte en el menos 0.5 es menos 625, es más pequeño aquí 314 00:22:26,329 --> 00:22:30,730 entonces el límite del borde sería un mínimo, pero es más pequeño 315 00:22:30,730 --> 00:22:33,549 este mínimo, con lo cual aquí también se alcanza el mínimo absoluto 316 00:22:33,549 --> 00:22:40,599 el mínimo absoluto es el 2 317 00:22:40,599 --> 00:22:42,359 y ya lo tendríamos hecho 318 00:22:42,359 --> 00:23:06,720 De modo que, ¿qué es lo que tenemos que hacer? Pues, cuando tengamos extremos que están, es decir, con intervalos cerrados y están en la función, los tenemos también en cuenta con doLimit como valores máximos y mínimos, relativos o absolutos, en su caso, lo que haya, y con dos abiertos, pues no entran a ser máximos y mínimos relativos, 319 00:23:06,720 --> 00:23:12,119 pero como hay que calcular en los bordes los límites para ver cómo llegas a la función 320 00:23:12,119 --> 00:23:18,720 pues eso sí lo hacemos para comparar con los valores de la función y ver si son máximos o mínimos absolutos 321 00:23:18,720 --> 00:23:23,099 de modo que aquí tenemos lo que hay que hacer 322 00:23:23,099 --> 00:23:25,200 eso también hay que hacer con las asíntotas 323 00:23:25,200 --> 00:23:30,279 la diferencia es que cuando hay asíntotas, pues como el límite va a ser infinito o menos infinito 324 00:23:30,279 --> 00:23:32,220 pues ahí no habrá ni máximos ni mínimos relativos 325 00:23:32,220 --> 00:23:36,640 a ver esto en este caso, si la función fuera, si esta función no fuera así 326 00:23:36,640 --> 00:23:43,539 sino que tenemos una función que aquí volviese 327 00:23:43,539 --> 00:23:46,880 por ejemplo si le damos esa función al cuadrado 328 00:23:46,880 --> 00:23:49,980 eso ocurre, no habría máximo absoluto 329 00:23:49,980 --> 00:23:56,150 y habría mínimo absoluto, pues en este caso no 330 00:23:56,150 --> 00:23:58,890 porque el mínimo absoluto también hay que calcular 331 00:23:58,890 --> 00:24:01,730 el límite cuando x tiende a menos infinito 332 00:24:01,730 --> 00:24:05,390 que es cero y su valor sería más pequeño 333 00:24:05,390 --> 00:24:07,210 con el límite que el mínimo 334 00:24:07,210 --> 00:24:09,690 con lo cual tampoco habría mínimo absoluto 335 00:24:09,690 --> 00:24:15,710 y si la función tuviese un mínimo así 336 00:24:15,710 --> 00:24:18,329 habría mínimo absoluto 337 00:24:18,329 --> 00:24:18,990 entonces sí 338 00:24:18,990 --> 00:24:21,529 porque sería más pequeño que todos los límites 339 00:24:21,529 --> 00:24:23,049 los de las asíntotas 340 00:24:23,049 --> 00:24:27,180 y los de la menos infinito 341 00:24:27,180 --> 00:24:28,180 con lo cual 342 00:24:28,180 --> 00:24:31,819 primero, cantidad de cifros a máximos y mínimos relativos 343 00:24:31,819 --> 00:24:33,839 puntos donde la derivada se anula 344 00:24:33,839 --> 00:24:35,279 extremos de la función 345 00:24:35,279 --> 00:24:36,279 donde está definida 346 00:24:36,279 --> 00:24:38,519 y cuando tengamos una función a trozos 347 00:24:38,519 --> 00:24:41,019 también los puntos donde se corta 348 00:24:41,019 --> 00:24:42,039 acordaos del ejemplo 349 00:24:42,039 --> 00:24:44,279 donde teníamos una función 350 00:24:44,279 --> 00:24:47,220 y al final en un mínimo 351 00:24:47,220 --> 00:24:48,420 los puntos de unión 352 00:24:48,420 --> 00:24:50,160 lo normal es que en estos casos 353 00:24:50,160 --> 00:24:51,240 si los ponen en el evau 354 00:24:51,240 --> 00:24:53,200 pues los puntos de unión 355 00:24:53,200 --> 00:24:54,759 sean una función continua 356 00:24:54,759 --> 00:24:55,920 porque si no se complica mucho 357 00:24:55,920 --> 00:24:57,500 ¿cómo comprobamos 358 00:24:57,500 --> 00:24:59,640 si son máximos o mínimos absolutos? 359 00:24:59,740 --> 00:25:00,460 pues viendo el crecimiento 360 00:25:00,460 --> 00:25:01,559 por la izquierda o por la derecha 361 00:25:01,559 --> 00:25:02,059 si tenemos 362 00:25:02,059 --> 00:25:03,559 si es un extremo 363 00:25:03,559 --> 00:25:04,880 bastaría pues 364 00:25:04,880 --> 00:25:05,660 si tenemos esto 365 00:25:05,660 --> 00:25:06,960 pues ya veríamos que ese es un mínimo 366 00:25:06,960 --> 00:25:09,220 si tenemos 367 00:25:09,220 --> 00:25:10,500 también así 368 00:25:10,500 --> 00:25:11,759 también, perdón 369 00:25:11,759 --> 00:25:13,240 si crece un máximo 370 00:25:13,240 --> 00:25:14,099 aquí sería un máximo 371 00:25:14,099 --> 00:25:16,220 si tenemos esto, aquí sería un máximo 372 00:25:16,220 --> 00:25:20,819 si tenemos aquí esto, sería un mínimo 373 00:25:20,819 --> 00:25:23,220 y si tenemos aquí esto, sería un mínimo 374 00:25:23,220 --> 00:25:25,539 viendo signos 375 00:25:25,539 --> 00:25:26,880 y cuando están en el medio 376 00:25:26,880 --> 00:25:28,940 por la derivada o los puntos de unión 377 00:25:28,940 --> 00:25:30,900 cuando no funcionan a trozos 378 00:25:30,900 --> 00:25:31,619 pues habría que ver 379 00:25:31,619 --> 00:25:34,539 si por izquierda o por derecha es mínimo 380 00:25:34,539 --> 00:25:35,599 y así también 381 00:25:35,599 --> 00:25:37,400 y aquí máximo 382 00:25:37,400 --> 00:25:40,339 y los absolutos, pues hay que comparar 383 00:25:40,339 --> 00:25:42,299 el mayor de los máximos relativos 384 00:25:42,299 --> 00:25:46,680 el menor de los mínimos relativos 385 00:25:46,680 --> 00:25:48,380 y comprobar que no son mayores que 386 00:25:48,380 --> 00:25:50,200 ni los límites en el infinito 387 00:25:50,200 --> 00:25:55,470 ni los extremos, como hemos visto antes 388 00:25:55,470 --> 00:25:56,450 pues cuando teníamos 389 00:25:56,450 --> 00:25:59,869 en el caso de que la conjunción estuviese definida hasta aquí 390 00:25:59,869 --> 00:26:01,109 y esto no contase 391 00:26:01,109 --> 00:26:04,730 y los límites en las asíntotas 392 00:26:04,730 --> 00:26:08,529 bueno, y si la función no fuese continua 393 00:26:08,529 --> 00:26:10,730 fuese la función a trozos y no fuese continua 394 00:26:10,730 --> 00:26:11,849 también habría que mirar eso 395 00:26:11,849 --> 00:26:13,509 pero eso ya se complica 396 00:26:13,509 --> 00:26:16,849 vamos a imaginarnos esta función a trozos 397 00:26:16,849 --> 00:26:18,890 donde tenemos pues varios intervalos 398 00:26:18,890 --> 00:26:21,089 con diferentes funciones 399 00:26:21,089 --> 00:26:23,750 este, este, este 400 00:26:23,750 --> 00:26:25,289 este y este 401 00:26:25,289 --> 00:26:26,809 bien 402 00:26:26,809 --> 00:26:29,130 en los casos en la función 403 00:26:29,130 --> 00:26:31,230 es continua que si os ponen 404 00:26:31,230 --> 00:26:32,890 un level base de ese tipo 405 00:26:32,890 --> 00:26:34,829 ya llevamos un ejemplo en clase 406 00:26:34,829 --> 00:26:37,210 y lo que hay que hacer es ver la tabla 407 00:26:37,210 --> 00:26:38,049 de crecimiento 408 00:26:38,049 --> 00:26:41,029 en este caso vemos que por la izquierda va a ser así 409 00:26:41,029 --> 00:26:43,009 por la derecha va a ser así 410 00:26:43,009 --> 00:26:45,349 y entonces va a ser un máximo 411 00:26:45,349 --> 00:26:47,369 en este caso 412 00:26:47,369 --> 00:26:52,450 pues vemos que por la izquierda va a ser así, por la derecha va a ser así, y entonces va a ser un mínimo. 413 00:26:53,450 --> 00:26:59,769 Y en este caso, siendo continuos nuestros puntos, pues por la izquierda es así, por la derecha es así, y no es nada. 414 00:27:02,430 --> 00:27:05,710 No ponemos nada, directamente no rellenamos, ni nos tenemos en cuenta. 415 00:27:07,390 --> 00:27:11,390 Entonces ya tendríamos, pues, o sea, en la tabla no pondríamos nada y punto. 416 00:27:13,250 --> 00:27:16,349 Entonces ya tendríamos en este caso, pues, el estucio. 417 00:27:16,349 --> 00:27:18,390 veríamos también si hay máximos y mínimos 418 00:27:18,390 --> 00:27:21,890 donde la derivada se anula y punto 419 00:27:21,890 --> 00:27:23,490 bien 420 00:27:23,490 --> 00:27:26,369 ¿y qué pasa cuando no hay continuidad? 421 00:27:26,769 --> 00:27:28,589 bueno, sobre el abajo dudo que os pongan 422 00:27:28,589 --> 00:27:30,170 un cálculo de máximos y mínimos 423 00:27:30,170 --> 00:27:31,829 absolutos o relativos donde no haya continuidad 424 00:27:31,829 --> 00:27:33,289 porque aquí la cosa cambia y se complica 425 00:27:33,289 --> 00:27:35,210 pero ya por decirlo 426 00:27:35,210 --> 00:27:37,670 pues mira, habría que dibujarse el dibujo y ver qué pasa 427 00:27:37,670 --> 00:27:40,430 quiero decir, habría que coger los límites laterales 428 00:27:40,430 --> 00:27:42,609 ver lo que vale en dibujarse 429 00:27:42,609 --> 00:27:44,430 y luego dibujarse un poco la gráfica 430 00:27:44,430 --> 00:27:45,730 viendo lo que pasa y ya entender 431 00:27:45,730 --> 00:27:48,690 vale, vamos a hacernos ejemplos 432 00:27:48,690 --> 00:27:50,849 en el primer caso vamos a ver 433 00:27:50,849 --> 00:27:52,769 suponer que tenemos 434 00:27:52,769 --> 00:27:55,009 que aquí la función está definida 435 00:27:55,009 --> 00:27:56,009 en los mínimos 436 00:27:56,009 --> 00:27:58,630 y aquí no, vale 437 00:27:58,630 --> 00:28:00,009 aquí tenemos el salto 438 00:28:00,009 --> 00:28:02,910 pues en este caso el punto está definido 439 00:28:02,910 --> 00:28:04,390 aquí y 440 00:28:04,390 --> 00:28:06,769 si dibujamos la gráfica 441 00:28:06,769 --> 00:28:08,130 nos dibujamos un poco esto 442 00:28:08,130 --> 00:28:10,470 y vemos que este es más pequeño 443 00:28:10,470 --> 00:28:12,950 que los que están aquí, pero también más pequeño 444 00:28:12,950 --> 00:28:14,930 que por la derecha, con lo cual 445 00:28:14,930 --> 00:28:16,170 este es un mínimo relativo 446 00:28:16,170 --> 00:28:19,049 y este también es más pequeño que estos que están aquí 447 00:28:19,049 --> 00:28:21,130 y más pequeño que los de la derecha 448 00:28:21,130 --> 00:28:22,930 con lo cual es un mínimo relativo 449 00:28:22,930 --> 00:28:24,930 pero 450 00:28:24,930 --> 00:28:26,670 si ahora consideramos la función al revés 451 00:28:26,670 --> 00:28:27,269 vamos a poner 452 00:28:27,269 --> 00:28:30,509 rellenar el hueco con blanco 453 00:28:30,509 --> 00:28:31,950 o sea que ahora este hueco 454 00:28:31,950 --> 00:28:34,490 y aquí vamos a suponer que esté definida aquí y aquí 455 00:28:34,490 --> 00:28:38,500 bueno, pues si cogemos alrededor 456 00:28:38,500 --> 00:28:39,099 de este punto 457 00:28:39,099 --> 00:28:41,460 es más grande 458 00:28:41,460 --> 00:28:44,000 este valor es más grande que los que están aquí 459 00:28:44,000 --> 00:28:47,099 y es más grande de los que están aquí 460 00:28:47,099 --> 00:28:50,869 con lo cual es un máximo 461 00:28:50,869 --> 00:28:55,009 ahora bien, este 462 00:28:55,009 --> 00:28:57,970 es más pequeño que los que están aquí 463 00:28:57,970 --> 00:29:00,250 pero más grande que los que están aquí 464 00:29:00,250 --> 00:29:01,950 con lo cual no es ni un máximo 465 00:29:01,950 --> 00:29:02,430 ni un mínimo 466 00:29:02,430 --> 00:29:05,309 no puede ser máximo porque es más pequeño 467 00:29:05,309 --> 00:29:06,210 que los que están aquí 468 00:29:06,210 --> 00:29:08,430 y no puede ser mínimo porque es más grande 469 00:29:08,430 --> 00:29:09,869 que los que están aquí 470 00:29:09,869 --> 00:29:11,390 con lo cual no es nada 471 00:29:11,390 --> 00:29:12,890 no escribimos nada 472 00:29:12,890 --> 00:29:17,450 pero claro, lo suyo es dibujarlo e imaginárselo 473 00:29:17,450 --> 00:29:19,769 aunque dudo que estos lo pongan en la eval 474 00:29:19,769 --> 00:29:22,349 y de hecho yo no voy a ponerlo en el examen 475 00:29:22,349 --> 00:29:24,109 pero bueno 476 00:29:24,109 --> 00:29:25,730 por 477 00:29:25,730 --> 00:29:27,430 ya ser exhaustivo 478 00:29:27,430 --> 00:29:29,789 pongo todo, si sale una cosa de estas 479 00:29:29,789 --> 00:29:31,190 pues se hace el dibujo y ya está 480 00:29:31,190 --> 00:29:34,130 ahora bien, de cara a calcular 481 00:29:34,130 --> 00:29:35,890 máximos y mínimos absolutos, pues habría que calcular 482 00:29:35,890 --> 00:29:38,170 aquí donde la función es continua 483 00:29:38,170 --> 00:29:40,509 pues se calcula el valor en los máximos y mínimos 484 00:29:40,509 --> 00:29:42,069 incluidos como antes y ya está 485 00:29:42,069 --> 00:29:44,950 y donde no sea continua, que no creo que os lo pregunten 486 00:29:44,950 --> 00:29:46,269 pues habría que calcular 487 00:29:46,269 --> 00:29:51,529 los límites laterales y meterlo en la comparativa. Y si el límite lateral, pongamos que este 488 00:29:51,529 --> 00:30:03,829 por ejemplo, es más pequeño que todos los mínimos relativos, pues entonces no hay mínimo 489 00:30:03,829 --> 00:30:08,269 relativo. Bueno, pues ya está, con esto ya hemos explicado toda la teoría de máximos 490 00:30:08,269 --> 00:30:10,250 y mínimos absolutos.