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00:00:12,400 --> 00:00:18,199
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:18,199 --> 00:00:23,260
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:23,260 --> 00:00:34,579
de la unidad AL2 dedicada a los determinantes. En la videoclase de hoy estudiaremos el cálculo

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00:00:34,579 --> 00:00:50,070
de determinantes de orden superior a 3. En esta videoclase vamos a estudiar el cálculo

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00:00:50,070 --> 00:00:55,509
de determinantes de orden superior a 3. Os recuerdo que en la primera videoclase de esta

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00:00:55,509 --> 00:01:01,429
unidad vimos cómo calcular determinantes, las reglas para determinantes de orden 1, 2 y 3. En

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00:01:01,429 --> 00:01:07,310
este caso teníamos la regla de Sarrus y decíamos que todos los determinantes en el fondo se

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00:01:07,310 --> 00:01:12,750
calculaban como una combinación de sumandos y restandos. Cada uno de ellos lo que hacía era

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00:01:12,750 --> 00:01:18,709
incluir elementos de cada una de las filas y cada una de las columnas afectado por un signo. Las

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00:01:18,709 --> 00:01:23,329
reglas para determinantes de orden 1, 2 y 3 son muy sencillas, la regla de Sarrus realmente es

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00:01:23,329 --> 00:01:29,989
sencilla, pero a partir de orden 4 y superiores se vuelve muy complicada. En este caso, lo que

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00:01:29,989 --> 00:01:34,709
vamos a hacer es utilizar otro tipo de estrategias para poder calcular los determinantes, aprovechando

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00:01:34,709 --> 00:01:41,209
ciertas regularidades. En primer lugar, la primera técnica que vamos a ver en esta videoclase es el

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00:01:41,209 --> 00:01:45,750
cálculo a partir de las propiedades de los determinantes. Esto es muy útil cuando nos

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00:01:45,750 --> 00:01:51,109
encontramos con determinantes como estos que tenemos aquí en este ejemplo que tienen ocultas

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00:01:51,109 --> 00:01:56,409
ciertas regularidades que vamos a poder aprovechar y lo que vamos a hacer es utilizar transformaciones

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00:01:56,409 --> 00:02:02,969
elementales. Vamos a sumar a cada una de las filas o algunas de las filas una combinación

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00:02:02,969 --> 00:02:10,389
lineal de las otras o vamos a introducir o sacar factores multiplicando o dividiendo o vamos a

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00:02:10,389 --> 00:02:31,189
Aprovechar que nos encontramos dentro de una misma fila o dentro de una misma columna la suma de 2, 3, 4 sumando, siempre los mismos, para poder descomponer un determinante en suma o resta de varios o bien para extraer factores o bien en última instancia, y esta es la clave, para transformar las matrices en triangulares.

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00:02:31,189 --> 00:02:34,990
puesto que con independencia de cuál sea el orden de la matriz

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00:02:34,990 --> 00:02:38,870
en el caso en el que tengamos una matriz triangular superior o inferior

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00:02:38,870 --> 00:02:40,990
o bien en el caso extremo una matriz diagonal

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00:02:40,990 --> 00:02:45,030
el determinante se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal.

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00:02:46,449 --> 00:02:51,310
¿A qué me refiero con vamos a utilizar las propiedades de los determinantes?

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00:02:51,310 --> 00:02:56,449
¿Vamos a utilizar combinaciones elementales, operaciones elementales

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00:02:56,449 --> 00:03:00,949
para convertir un determinante en el determinante de una matriz triangular?

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00:03:01,189 --> 00:03:07,550
Bueno, pues el camino consiste en ir escalonando la matriz utilizando, por ejemplo, el método de Gauss.

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00:03:08,490 --> 00:03:12,870
Fijaos como un primer ejemplo en este determinante que tenemos aquí.

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00:03:13,469 --> 00:03:19,069
Tiene una cierta regularidad. Resulta que todos los elementos en la primera fila y en la primera columna son iguales a A.

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00:03:19,689 --> 00:03:25,210
Todos los elementos restantes de la segunda fila y la segunda columna son iguales a B.

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00:03:25,810 --> 00:03:29,590
Todos los elementos restantes de la tercera fila y tercera columna son iguales a C.

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00:03:29,590 --> 00:03:34,069
Y este último elemento, el último restante de la cuarta fila y cuarta columna, es igual a d.

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00:03:34,830 --> 00:03:36,409
¿Qué regularidad podríamos encontrar?

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00:03:36,930 --> 00:03:40,270
Bueno, pues fijaos, en esta columna todos los elementos son iguales.

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00:03:41,009 --> 00:03:48,370
Podríamos a la segunda fila restarle la primera, a la tercera también la primera, y a la cuarta también la primera, por ejemplo.

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00:03:49,189 --> 00:03:54,370
Y lo que tendríamos sería a menos a igual a cero en este elemento, a menos a igual a cero en este elemento,

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00:03:54,370 --> 00:03:58,569
perdón, a menos a igual a cero en este elemento, en el camino

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00:03:58,569 --> 00:04:03,050
hemos hecho cero debajo de este elemento, lo que obtendríamos

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00:04:03,050 --> 00:04:06,729
con esas transformaciones es una matriz escalonada, todavía no es triangular

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00:04:06,729 --> 00:04:10,289
pero estamos en el camino. Podríamos continuar aplicando esas propiedades

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00:04:10,289 --> 00:04:14,169
para poder hacer esto. En este otro caso

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00:04:14,169 --> 00:04:17,870
podríamos también hacer algo parecido. Podríamos, por ejemplo,

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00:04:18,470 --> 00:04:22,470
a la segunda fila restarle a veces la primera

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00:04:22,470 --> 00:04:29,290
a esta restarle a cuadrado veces la primera o incluso a por la segunda

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00:04:29,290 --> 00:04:36,670
a esta restarle al cubo veces la primera o bien al cuadrado la segunda o bien a por la tercera

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00:04:36,670 --> 00:04:40,870
y con eso lo que obtendríamos sería en estos elementos sendos ceros.

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00:04:40,870 --> 00:04:45,490
Estamos en el camino de escalonar la matriz, en el camino hacia convertirla en triangular.

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00:04:46,350 --> 00:04:49,250
Fijaos en que en muchas ocasiones va a haber más de una posibilidad

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00:04:49,250 --> 00:04:57,449
y llega un momento en el que probando nos encontremos con que hemos hecho una simplificación pero no sabemos cómo continuar

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00:04:57,449 --> 00:05:04,509
y una opción alternativa nos habría llevado a un camino mucho mejor en el que sí vemos cómo podemos continuar.

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00:05:04,509 --> 00:05:13,910
En un momento dado esto puede ser algo complicado porque necesitamos experiencia para visualizar cuál es la transformación más adecuada

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00:05:13,910 --> 00:05:18,589
para conseguir escalonar y en última instancia convertir en triangular la madre.

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00:05:18,589 --> 00:05:28,860
Una segunda alternativa, más directa que la anterior, consiste en lo que se llama el desarrollo por una fila o columna.

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00:05:28,860 --> 00:05:43,120
Lo que vamos a hacer es sustituir el cálculo de un determinante de orden n, puede ser de orden 4, si tenemos una matriz de orden 4, puede ser de orden 3, si tenemos una matriz de orden 3, por n determinantes de orden n-1.

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00:05:43,579 --> 00:05:47,959
Si tenemos que calcular el determinante de una matriz de orden 4, como puede ser este,

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00:05:48,339 --> 00:05:52,040
lo que vamos a hacer es sustituir ese cálculo por el de 4 determinantes de orden 3.

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00:05:52,420 --> 00:05:54,459
Esos podemos calcularlos con la regla de Sarrus.

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00:05:54,939 --> 00:06:00,720
Incluso aquí, en este caso, podríamos sustituir el cálculo de un determinante de orden 3, fácil como es,

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00:06:01,060 --> 00:06:04,000
por el de 3 determinantes de orden 2, mucho más fácil todavía.

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00:06:05,019 --> 00:06:09,639
Por supuesto, en el caso en el que tuviéramos que calcular un determinante de orden 5 u orden 6,

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00:06:09,639 --> 00:06:21,060
El desarrollo por una fila o por columna no nos permite directamente hacer el cálculo del determinante, porque si tuviéramos un determinante de orden 5, tendríamos que calcular 5 determinantes de orden 4.

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00:06:21,259 --> 00:06:27,819
Cada uno de ellos se podría sustituir por 4 determinantes de orden 3, y aquí sí utilizar la regla de Sarrus.

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00:06:28,319 --> 00:06:36,420
20 determinantes de orden 3. En ese caso, tal vez el método anterior pudiera ser más sencillo, siempre y cuando la matriz tuviera una cierta regularidad.

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00:06:36,420 --> 00:06:41,500
Bien, vamos a ver cómo hacer este desarrollo por una fila o por una columna.

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00:06:41,879 --> 00:06:44,779
Lo que vamos a hacer es utilizar estas fórmulas que vemos aquí.

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00:06:45,519 --> 00:06:50,000
Vamos a considerar una fila o columna, una cualquiera, la que quiera que sea,

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00:06:50,519 --> 00:06:59,879
y el determinante de la matriz se va a calcular multiplicando cada uno de los elementos de esa fila o columna por el adjunto que le corresponda.

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00:06:59,879 --> 00:07:27,680
Así que, si por ejemplo tenemos este determinante de orden 4 y quisiéramos hacer el desarrollo por la segunda columna, por ejemplo, lo que haríamos sería multiplicar 6 por el adjunto 2,1, puesto que este elemento es el 2,1, más 2 por el adjunto 2,2, puesto que este es el elemento 2,2, más menos 5 por el adjunto 3,2, puesto que este es el elemento 3,2,

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00:07:27,680 --> 00:07:34,620
más, por último, perdón, 3 por el adjunto 4, 2, puesto que este es el elemento 4, 2.

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00:07:35,680 --> 00:07:40,579
Como veis aquí, la selección de la fila o de la columna no va a ser arbitraria,

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00:07:40,639 --> 00:07:44,000
no vamos a coger, venga, la primera fila o la primera columna siempre porque sea más fácil.

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00:07:44,899 --> 00:07:49,160
Tened en cuenta que si dentro de esa fila o columna hay algún elemento que sea 0,

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00:07:49,160 --> 00:07:54,879
como por ejemplo aquí o por ejemplo aquí, el desarrollo por esa fila o columna que contenga ese 0

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00:07:54,879 --> 00:08:01,879
o el mayor número posible de ceros, me va a simplificar la vida, puesto que, por ejemplo, si hago el desarrollo por la tercera columna,

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00:08:03,060 --> 00:08:14,019
6 por el adjunto, 1, 3, más 2 por el adjunto, 2, 3, esos adjuntos hay que calcularlos, más 0 por el adjunto, 3, 3, ese me lo ahorro,

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00:08:14,379 --> 00:08:22,279
0 por, me da igual el valor que tenga, puesto que va a ser 0. Cuantos más ceros tenga la fila o columna, mejor va a ser para mí.

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00:08:23,160 --> 00:08:37,759
Llegará un momento en el que no sólo buscaremos que haya el mayor número de ceros, sino que en un momento dado haremos un poco de trabajo extra, utilizaremos transformaciones elementales para conseguir que la fila tenga el mayor número de ceros posibles.

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00:08:37,759 --> 00:08:54,960
Por ejemplo, si me estoy fijando en esta columna y quiero hacer el desarrollo por esta tercera columna porque tiene un cero, veo que, por ejemplo, si a la primera fila le restara tres veces la fila dos, aquí obtendría un cero.

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00:08:54,960 --> 00:09:06,980
Y una vez hecha esa transformación elemental, me ahorro un determinante. E incluso, si a esta cuarta fila le sumo dos veces la fila dos, aquí también obtendría un cero.

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00:09:06,980 --> 00:09:16,279
Con esas dos transformaciones elementales, tendría un 0 aquí, este que ya tengo, y aquí, únicamente tengo que hacer un determinante de orden 3 en lugar de 4.

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00:09:17,019 --> 00:09:22,539
Así pues, esto del desarrollo por una fila o columna puede ser muy útil en un momento dado.

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00:09:23,779 --> 00:09:31,919
Estos ejercicios, así como el anterior, los resolveremos en clase, así como en alguna videoclase posterior.

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00:09:31,919 --> 00:09:40,690
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:09:41,429 --> 00:09:45,529
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:09:46,350 --> 00:09:51,090
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:09:51,649 --> 00:09:53,049
Un saludo y hasta pronto.