1 00:00:00,050 --> 00:00:07,410 Vamos a hacer el ejercicio 5 del tema 7 de 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales. 2 00:00:08,210 --> 00:00:10,970 Es un ejercicio sobre el producto escalar. 3 00:00:12,310 --> 00:00:15,310 Recordemos un poco la teoría, ¿vale? 4 00:00:18,140 --> 00:00:19,280 Recordemos la teoría. 5 00:00:19,899 --> 00:00:23,699 ¿Cuál es la definición primera que tenemos de producto escalar? 6 00:00:24,039 --> 00:00:25,219 La que es más natural. 7 00:00:26,219 --> 00:00:29,600 Pues, trabajando desde el punto de vista puramente geométrico, 8 00:00:29,600 --> 00:00:42,579 El producto de escalar de dos vectores U por V es igual al módulo de U por el módulo de V más por el coseno de alfa. 9 00:00:43,200 --> 00:00:46,380 Vamos a escribir que alfa es el ángulo que forman U con V. 10 00:00:46,880 --> 00:00:47,780 Pues lo escribimos así. 11 00:00:52,049 --> 00:00:53,990 Ángulo formado por los vectores U y V. 12 00:00:54,369 --> 00:00:54,750 ¿De acuerdo? 13 00:00:55,990 --> 00:00:59,189 Aquí es una cosa importante que tengamos en consideración. 14 00:00:59,890 --> 00:01:01,149 No es lo mismo. 15 00:01:01,149 --> 00:01:05,959 V que VU 16 00:01:05,959 --> 00:01:09,599 Son ángulos diferentes 17 00:01:09,599 --> 00:01:11,340 ¿Por qué? Porque 18 00:01:11,340 --> 00:01:14,239 Si este es U 19 00:01:14,239 --> 00:01:15,680 Y este es V 20 00:01:15,680 --> 00:01:18,780 Este ángulo es V 21 00:01:18,780 --> 00:01:20,980 Y VU es este 22 00:01:20,980 --> 00:01:22,659 Que es de sentido contrario 23 00:01:22,659 --> 00:01:25,900 Esta consideración es muy importante 24 00:01:25,900 --> 00:01:27,079 ¿Vale? 25 00:01:27,560 --> 00:01:29,099 Por lo tanto no es lo mismo 26 00:01:29,099 --> 00:01:31,400 Es lo mismo U por V 27 00:01:31,400 --> 00:01:33,000 Que V por U 28 00:01:33,000 --> 00:01:42,939 No, porque según esto, módulo de u y v son lo mismo, pero el coseno del ángulo es diferente porque el ángulo es diferente. 29 00:01:43,879 --> 00:01:54,010 ¿Tiene sentido contrario? Muy bien, muy bien. ¿Se ve la idea? Bien. 30 00:01:54,310 --> 00:02:04,290 Entonces, pues continuamos. Esta es la definición natural de producto escalar. 31 00:02:04,290 --> 00:02:22,830 Ahora, cuando conozco las coordenadas de los vectores respecto de una base ortonormal, el producto escalar hemos visto también que es, si las coordenadas son estas, yo esto lo explico para repasar, ¿vale? 32 00:02:22,830 --> 00:02:56,719 Y que quede grabado. ¿De acuerdo? Pues el producto escalar también se puede calcular así. Este con este, multiplicados. Más este con este. Este sería el valor del producto escalar. ¿Se entiende? A partir de las coordenadas. Multiplicando las coordenadas entre sí, dos a dos, y luego sumando los productos. ¿Está claro? Bien. 33 00:02:56,719 --> 00:03:25,080 Bien, pues en mi ejercicio, en mi ejercicio, en el ejercicio 5, me están dando una figura, un rombo, me están diciendo que el lado es 6, ¿de acuerdo? Me dicen que el lado es 6 y no me están dando coordenadas. 34 00:03:25,080 --> 00:03:30,439 en realidad sería interesante 35 00:03:30,439 --> 00:03:32,919 yo puedo encontrar las coordenadas respecto de una base 36 00:03:32,919 --> 00:03:35,360 sería un ejercicio 37 00:03:35,360 --> 00:03:37,319 interesante, pero no nos va a hacer falta 38 00:03:37,319 --> 00:03:38,879 para el producto escalar, me piden 39 00:03:38,879 --> 00:03:41,219 calcula, dada la figura esta 40 00:03:41,219 --> 00:03:41,860 calcula 41 00:03:41,860 --> 00:03:44,319 el producto escalar de AB 42 00:03:44,319 --> 00:03:46,419 AB es un vector, habría que ponerle 43 00:03:46,419 --> 00:03:48,819 unas flechitas arriba, ¿sí o no? 44 00:03:49,539 --> 00:03:50,780 bien, pues AB 45 00:03:50,780 --> 00:03:52,039 es este vector 46 00:03:52,039 --> 00:04:01,080 y AD es este otro 47 00:04:01,080 --> 00:04:06,349 ¿sí o no? 48 00:04:06,349 --> 00:04:33,980 Pues me está... ¿Y cuánto...? Dice el denunciado que mide 6 centímetros el rombo. Tiene un lado de 6 centímetros. ¿Sí o no? Bien, pues puedo aplicar la definición directamente. Módulo del vector AB por el módulo del vector AD por el coseno del ángulo este, alfa. 49 00:04:36,879 --> 00:04:39,519 Mide 120, dice, tiene ángulo 60 y 120. 50 00:04:39,740 --> 00:04:41,160 Se entiende que este es el más grande, ¿no? 51 00:04:42,060 --> 00:04:43,620 Por el coseno de 120. 52 00:04:44,220 --> 00:04:45,319 ¿Y esto cuánto vale? 53 00:04:46,079 --> 00:04:46,519 6. 54 00:04:46,519 --> 00:04:50,480 O sea que 6 por 6, por el coseno de 120. 55 00:04:51,720 --> 00:04:53,220 Lo tenemos aquí calculado. 56 00:04:54,759 --> 00:04:57,839 El coseno de 120 es menos un medio. 57 00:04:59,300 --> 00:04:59,980 ¿Sí o no? 58 00:04:59,980 --> 00:05:18,060 Pues operas 6 por 6 por el coseno de 120 y te da menos 18. Ya tienes el punto escalar. No hemos necesitado las coordenadas de los vectores porque tenemos una idea geométrica de cuáles son esos vectores. 59 00:05:18,060 --> 00:05:51,420 ¿Se ha entendido? Bien. El siguiente apartado es, nos piden que calculemos dA por dC. Cuidado aquí. dA, como son vectores, yo pongo dA. Esto es una manera de expresar vectores, mediante los puntos. El punto origen del vector y el punto final del vector. ¿Se entiende? 60 00:05:51,420 --> 00:06:21,209 Pues bien, DA es este y DC es este. Bueno, como dicen que cada lado mide 6, pues esto va a ser módulo de DA, 6, por módulo de DC, 6, por el coseno del ángulo este, que es 60, que vale un medio, como veis aquí, 6 por 6 por un medio, 18. 61 00:06:21,209 --> 00:06:23,230 ¿Se ha entendido? 62 00:06:24,329 --> 00:06:25,050 Bien 63 00:06:25,050 --> 00:06:27,430 Nos piden ahora 64 00:06:27,430 --> 00:06:31,050 Nos piden ahora 65 00:06:31,050 --> 00:06:36,439 Está rebelde, ¿eh? 66 00:06:36,439 --> 00:06:38,420 Hoy la tablet, se encienden cosas solas 67 00:06:38,420 --> 00:06:39,519 Esto 68 00:06:39,519 --> 00:06:42,300 OB por OC 69 00:06:42,300 --> 00:06:46,110 OB 70 00:06:46,110 --> 00:06:48,170 ¿Quién es OB? 71 00:06:48,629 --> 00:06:49,470 Pues este vector 72 00:06:49,470 --> 00:06:59,259 ¿Y OC quién es? Este otro 73 00:06:59,259 --> 00:07:03,389 ¿Sí o no? Pues bien 74 00:07:03,389 --> 00:07:05,129 Esto sería, módulo 75 00:07:05,129 --> 00:07:06,829 Hay que calcular esto, chicos 76 00:07:06,829 --> 00:07:31,180 Y esto, ¿sí o no? ¿Cómo puedo hacerlo? Atención, ¿eh? ¿Cómo calculamos? Exactamente, al ser un triángulo rectángulo, espera, ¿estoy grabando? Sí, extraigo el triángulo aquí. 77 00:07:31,180 --> 00:08:03,089 O sea, la idea es calcular OC y OB, ¿sí o no? Mirad, extraigo aquí este triángulo. OB, OC y este lado, ¿vale? Mide 6. ¿Este ángulo cuánto mide? Cuidado, 60. Y este, 30. ¿Sí o no? Bien, ¿cómo calculamos esto? A ver, ¿cómo se os ocurre? 78 00:08:03,089 --> 00:08:38,600 Bueno, pues mira, OB, que es el cateto opuesto a 60, por ejemplo, ¿sí o no? OB. Bueno, una pregunta. OB, OB, es el cateto opuesto, ¿verdad?, a este ángulo, dividido por la hipotenusa, que es 6, tiene que ser igual a qué? Al seno de 60. 79 00:08:38,600 --> 00:08:56,399 Por lo tanto, puedo despejar OB, el módulo de OB. Este es el módulo de OB, ¿sí o no? No es el vector OB. El lado este mide, ¿cómo lo llamaríamos? Módulo del vector OB. ¿Se ve? Bien. 80 00:08:56,399 --> 00:09:04,000 Bien, pues, módulo del vector OB tiene que ser igual a 6 por el seno de 60 grados. 81 00:09:04,059 --> 00:09:05,220 Por favor, ¿podéis calcular esto? 82 00:09:05,659 --> 00:09:08,539 Bien, esto es igual a 3 por raíz de 3. 83 00:09:09,120 --> 00:09:10,259 ¿Así? Bien. 84 00:09:12,830 --> 00:09:13,950 ¿Y OC cuánto vale? 85 00:09:15,129 --> 00:09:18,830 Ya tenemos OB, ¿cuánto valdría OC? 86 00:09:25,039 --> 00:09:31,840 OC, módulo de OC, dividido C, podría aplicar el teorema de Pitágoras, ¿no? 87 00:09:31,840 --> 00:09:54,559 ¿Sí o no? Ese sería una manera. Y otra es 6 por coseno de 60 grados. ¿Sí o no? Este lado dividido la hipotenusa es el coseno de 60. ¿Se entiende o no? ¿Estamos de acuerdo? ¿Hace falta que desarrolle esto último un poco más? 88 00:09:54,559 --> 00:09:58,200 bien, voy a poner aquí 89 00:09:58,200 --> 00:09:58,960 que no me cabe 90 00:09:58,960 --> 00:10:00,519 módulo de OB 91 00:10:00,519 --> 00:10:03,059 es igual a 92 00:10:03,059 --> 00:10:05,059 3 raíz de 3 93 00:10:05,059 --> 00:10:06,559 ¿vale? borro esto 94 00:10:06,559 --> 00:10:10,080 bien, por aquí dicen 95 00:10:10,080 --> 00:10:12,460 para que quede grabado, me parece interesante 96 00:10:12,460 --> 00:10:13,899 se podría calcular 97 00:10:13,899 --> 00:10:17,299 OC con la tangente 98 00:10:17,299 --> 00:10:18,220 sí 99 00:10:18,220 --> 00:10:20,419 pero no quiero utilizar este dato 100 00:10:20,419 --> 00:10:21,720 porque es un dato secundario 101 00:10:21,720 --> 00:10:24,440 aunque tengo aquí el dato entero, se podría 102 00:10:24,440 --> 00:10:49,559 Pero también puedo decir OC entre 6 es igual al coseno de 60. ¿Sí o no? ¿Se ve? Y entonces, módulo de OC es igual a 6 por coseno de 60, que vale ¿cuánto? 3. Muy bien. Pues el módulo de OC es igual a 3. Perfecto. 103 00:10:49,559 --> 00:11:10,289 Pues, ¿qué hacemos ahora? Estoy grabando, ¿no? ¿Estoy grabando? Sí. Sí, vale. A ver, por favor, atentos. Atentos. Ya tengo estos valores. 104 00:11:10,289 --> 00:11:12,509 sustituyo aquí 105 00:11:12,509 --> 00:11:14,590 módulo de OB 106 00:11:14,590 --> 00:11:18,980 por el módulo de OC 107 00:11:18,980 --> 00:11:21,240 por el coseno 108 00:11:21,240 --> 00:11:21,960 ¿de cuánto? 109 00:11:22,679 --> 00:11:24,960 de 90, el ángulo que forman 110 00:11:24,960 --> 00:11:25,899 los vectores estos 111 00:11:25,899 --> 00:11:27,460 es este 112 00:11:27,460 --> 00:11:30,659 ¿sí o no? 90 113 00:11:30,659 --> 00:11:33,299 mira, en realidad este trabajo no ha servido 114 00:11:33,299 --> 00:11:35,460 porque ¿cuánto vale el coseno de 90? 115 00:11:36,019 --> 00:11:36,659 0 116 00:11:36,659 --> 00:11:39,320 0 por, valga lo que valga esto 117 00:11:39,320 --> 00:11:41,220 vale 0 118 00:11:41,220 --> 00:11:44,059 Pero ha servido para el siguiente apartado 119 00:11:44,059 --> 00:11:44,759 Por eso lo he hecho 120 00:11:44,759 --> 00:11:45,940 Si no, no lo habría hecho 121 00:11:45,940 --> 00:11:51,190 ¿Se entiende o no? 122 00:11:51,909 --> 00:11:54,529 Bien, ahora, pero sí me va a ser útil aquí 123 00:11:54,529 --> 00:11:55,490 OA 124 00:11:55,490 --> 00:11:57,250 Por OC 125 00:11:57,250 --> 00:11:58,570 Me están pidiendo 126 00:11:58,570 --> 00:12:05,620 OA por OC 127 00:12:05,620 --> 00:12:07,320 Ah, bueno, este dato 128 00:12:07,320 --> 00:12:12,379 Módulo 129 00:12:12,379 --> 00:12:15,149 De OA 130 00:12:15,149 --> 00:12:17,549 De AO, perdón 131 00:12:17,549 --> 00:12:19,850 Un momento 132 00:12:19,850 --> 00:12:21,950 OA no es AO, es diferente 133 00:12:21,950 --> 00:12:24,509 AO 134 00:12:24,509 --> 00:12:27,389 por OC 135 00:12:27,389 --> 00:12:29,409 ¿Vale? 136 00:12:29,809 --> 00:12:31,230 Es módulo de AO 137 00:12:31,230 --> 00:12:34,289 por módulo de OC 138 00:12:34,289 --> 00:12:36,990 Aquí hay que ponerle flechitas arriba 139 00:12:36,990 --> 00:12:37,830 porque son vectores 140 00:12:37,830 --> 00:12:40,129 ¿Por el coseno de quién? 141 00:12:42,529 --> 00:12:45,289 ¿Qué ángulo forman AO con OC? 142 00:12:46,210 --> 00:12:47,509 Cero grados 143 00:12:47,509 --> 00:12:48,649 Cuidado, cuidado 144 00:12:48,649 --> 00:12:50,710 Mira, este vector y este 145 00:12:50,710 --> 00:13:11,750 Forman 180 grados. ¿Sí o no? Pero este vector y este, si los pones junticos, ¿qué ángulo forman? Cero. ¿Se entiende o no? Importante esto, ¿eh? Coseno de cero. ¿De acuerdo? 146 00:13:11,750 --> 00:13:40,799 No es 180. Es que es AO, no OA. Si yo hubiera pedido esto, sí, sería esto, esto y luego el coseno de 180. Pero es AO, no OA. Este matiz es importante. ¿Se ha entendido? Bien, ¿AO cuánto vale? Bueno, pues AO es lo mismo que OC. El módulo es el mismo, que es 3. Se ve, lo hemos calculado antes. 147 00:13:40,799 --> 00:13:50,399 3 por OC, que vale 3, por el coseno de 0, que es 1. Esto es 9. Aquí lo tenéis.