1
00:00:00,000 --> 00:00:03,000
Hola, buenas tardes, queridos alumnos del segundo de la ESO.

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00:00:04,000 --> 00:00:11,000
He preparado un vídeo con la solución del ejercicio número 1 de la página 228, ¿de acuerdo?

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00:00:12,000 --> 00:00:14,000
El ejercicio dice lo siguiente.

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00:00:17,000 --> 00:00:21,000
El cono cuya base tiene un radio de 12 centímetros y su altura es 16,

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00:00:21,000 --> 00:00:27,000
es cortado por un plano perpendicular a su eje que pasa a 4 centímetros de la base, ¿de acuerdo?

6
00:00:28,000 --> 00:00:33,000
Me piden allá las dimensiones, el área lateral, el área total del tronco o cono...

7
00:00:34,000 --> 00:00:35,000
He decidido todo.

8
00:00:35,000 --> 00:00:40,000
Bueno, lo primero que he hecho es dibujaros un cono, ¿sí?

9
00:00:41,000 --> 00:00:53,000
Entonces podéis observar cómo tenemos un plano que corta al cono a 4 centímetros de la base de abajo.

10
00:00:54,000 --> 00:00:55,000
¿Sí?

11
00:00:55,000 --> 00:00:58,000
Entonces, al cortarlo, como ya hemos explicado en clase,

12
00:00:59,000 --> 00:01:05,000
lo que obtenemos es un tronco de cono y un cono en la parte de arriba más pequeño, ¿de acuerdo?

13
00:01:06,000 --> 00:01:11,000
El tronco de cono, como lo han cortado a 4 centímetros,

14
00:01:12,000 --> 00:01:15,000
tiene que tener una altura de 4 centímetros.

15
00:01:16,000 --> 00:01:20,000
La base es 12, la veis aquí, ¿de acuerdo?

16
00:01:21,000 --> 00:01:24,000
Bueno, pues este ejercicio se puede resolver de dos maneras.

17
00:01:25,000 --> 00:01:32,000
La primera la vamos a resolver calculando el área lateral del cono grande,

18
00:01:34,000 --> 00:01:39,000
el área lateral del cono pequeño, las vamos a restar,

19
00:01:40,000 --> 00:01:45,000
vamos a restarlas y con eso calculamos el área lateral del tronco o cono.

20
00:01:45,000 --> 00:01:49,000
Luego calculamos la base de arriba, la base de abajo y ya lo tendremos.

21
00:01:50,000 --> 00:01:51,000
Esa sería la primera forma.

22
00:01:52,000 --> 00:01:58,000
La segunda forma sería utilizar la fórmula del área del tronco o cono, ¿de acuerdo?

23
00:01:59,000 --> 00:02:04,000
No sé cuál os va a resultar más fácil, yo voy a explicar las dos y ya elegís la que queráis.

24
00:02:05,000 --> 00:02:06,000
¿De acuerdo?

25
00:02:07,000 --> 00:02:08,000
Bueno, pues venga, vamos a empezar.

26
00:02:08,000 --> 00:02:16,000
El área lateral de un cono viene dado por pi, por R y por la G que es lo que llamamos generatriz.

27
00:02:17,000 --> 00:02:18,000
¿De acuerdo?

28
00:02:19,000 --> 00:02:20,000
Entonces lo que voy a hacer es lo siguiente.

29
00:02:21,000 --> 00:02:28,000
Vamos a calcular la generatriz del cono grande que he llamado G2, la veis ahí,

30
00:02:29,000 --> 00:02:33,000
la generatriz del cono pequeño que he llamado G1,

31
00:02:33,000 --> 00:02:40,000
y luego vamos a restar las áreas laterales del grande menos el pequeño.

32
00:02:41,000 --> 00:02:42,000
¿De acuerdo?

33
00:02:43,000 --> 00:02:49,000
Para calcular G2 y G1 lo que voy a necesitar es echar mano de los triángulos semejantes.

34
00:02:50,000 --> 00:02:51,000
¿De acuerdo?

35
00:02:51,000 --> 00:02:54,000
Con lo cual vamos a tener que echar mano de las fórmulas que conocéis ya,

36
00:02:55,000 --> 00:02:56,000
los triángulos semejantes.

37
00:02:56,000 --> 00:02:58,000
Aquí tenemos el tronco de cono. ¿Cómo estaría?

38
00:02:59,000 --> 00:03:00,000
Sería una cosa así.

39
00:03:01,000 --> 00:03:02,000
¿De acuerdo?

40
00:03:02,000 --> 00:03:07,000
Entonces fijaros, si cogemos solamente una de las partes, la parte de la derecha,

41
00:03:08,000 --> 00:03:12,000
vemos como el radio es 12, que lo he llamado radio 2,

42
00:03:13,000 --> 00:03:16,000
porque el triángulo, ¿de acuerdo? que me sale,

43
00:03:17,000 --> 00:03:19,000
le voy a llamar triángulo 12,

44
00:03:19,000 --> 00:03:24,000
fijaros que la altura me la da también enunciado, sería 16,

45
00:03:25,000 --> 00:03:31,000
me dicen que el corte que se realiza por aquí se realiza a 4 centímetros de la base,

46
00:03:32,000 --> 00:03:33,000
con lo cual eso es 4,

47
00:03:34,000 --> 00:03:37,000
si esto es 4 y esto es 16, esto tiene que ser 12.

48
00:03:38,000 --> 00:03:39,000
¿De acuerdo?

49
00:03:40,000 --> 00:03:44,000
Entonces vamos a calcular G2 y G2,

50
00:03:44,000 --> 00:03:45,000
con lo cual eso es 4,

51
00:03:46,000 --> 00:03:48,000
si esto es 4 y esto es 16, esto tiene que ser 12.

52
00:03:50,000 --> 00:03:51,000
¿De acuerdo?

53
00:03:52,000 --> 00:03:57,000
Lo repito, si hacemos el corte por aquí, a 4 centímetros de la base,

54
00:03:58,000 --> 00:04:01,000
y todo esto es 16, pues esto tiene que ser 12.

55
00:04:02,000 --> 00:04:03,000
¿Lo habéis visto bien?

56
00:04:05,000 --> 00:04:06,000
Bueno, vamos a continuar.

57
00:04:07,000 --> 00:04:08,000
El triángulo grande,

58
00:04:08,000 --> 00:04:09,000
que es el rojo,

59
00:04:10,000 --> 00:04:11,000
¿de acuerdo?

60
00:04:12,000 --> 00:04:14,000
que hemos llamado triángulo 2,

61
00:04:18,000 --> 00:04:21,000
tiene la generatriz sub 2,

62
00:04:22,000 --> 00:04:24,000
que sería esta de aquí,

63
00:04:25,000 --> 00:04:26,000
¿la veis?

64
00:04:29,000 --> 00:04:31,000
que sería la hipotenusa de un triángulo rectángulo,

65
00:04:32,000 --> 00:04:33,000
de cateto 12,

66
00:04:33,000 --> 00:04:35,000
sería la hipotenusa de un triángulo rectángulo,

67
00:04:36,000 --> 00:04:37,000
de cateto 12,

68
00:04:38,000 --> 00:04:39,000
y cateto mayor 16.

69
00:04:40,000 --> 00:04:41,000
¿De acuerdo?

70
00:04:42,000 --> 00:04:43,000
¿Ves aquí? 12 y 16.

71
00:04:44,000 --> 00:04:46,000
Vale, pues entonces hacemos la raíz,

72
00:04:47,000 --> 00:04:49,000
operamos, hacemos todos los cálculos,

73
00:04:50,000 --> 00:04:51,000
y nos encontramos con que tenemos

74
00:04:53,000 --> 00:04:55,000
el valor de la generatriz de 20.

75
00:04:57,000 --> 00:04:58,000
Vamos a pasar a limpiar esto.

76
00:04:59,000 --> 00:05:01,000
Vale, pues ahora vamos a utilizar los triángulos alejantes.

77
00:05:03,000 --> 00:05:05,000
Empezamos calculando la g sub 1.

78
00:05:06,000 --> 00:05:07,000
Sería

79
00:05:08,000 --> 00:05:09,000
el triángulo

80
00:05:14,000 --> 00:05:15,000
el grande

81
00:05:16,000 --> 00:05:17,000
dividido entre el pequeño,

82
00:05:18,000 --> 00:05:19,000
acordaros que tiene que ser del mismo lado,

83
00:05:20,000 --> 00:05:21,000
tiene que ser el mismo cateto.

84
00:05:22,000 --> 00:05:25,000
Sería 16 partido de 12,

85
00:05:25,000 --> 00:05:26,000
generatriz

86
00:05:27,000 --> 00:05:28,000
2,

87
00:05:29,000 --> 00:05:30,000
¿de acuerdo?

88
00:05:31,000 --> 00:05:32,000
que hemos calculado antes,

89
00:05:34,000 --> 00:05:36,000
el 20 de antes, ¿lo veis ahí?

90
00:05:41,000 --> 00:05:42,000
Sustituimos

91
00:05:43,000 --> 00:05:45,000
y de aquí despejamos la g sub 1.

92
00:05:46,000 --> 00:05:48,000
La g sub 1 ya me da 15 centímetros.

93
00:05:49,000 --> 00:05:51,000
Ya tenemos este valor de g sub 1.

94
00:05:51,000 --> 00:05:52,000
Ahora vamos a por el radio sub 1.

95
00:05:54,000 --> 00:05:56,000
Vamos a volver a pasar a limpio.

96
00:06:03,000 --> 00:06:05,000
Vale, pues vamos a por la g sub 1.

97
00:06:06,000 --> 00:06:07,000
Vamos a utilizar

98
00:06:08,000 --> 00:06:09,000
también pues lo mismo,

99
00:06:10,000 --> 00:06:11,000
los triángulos alejantes.

100
00:06:13,000 --> 00:06:14,000
Este cateto

101
00:06:16,000 --> 00:06:17,000
vale 12

102
00:06:18,000 --> 00:06:19,000
y este

103
00:06:20,000 --> 00:06:21,000
vale 12, sería el mayor,

104
00:06:22,000 --> 00:06:23,000
dividido entre

105
00:06:24,000 --> 00:06:25,000
R1

106
00:06:26,000 --> 00:06:27,000
12 dividido entre R1

107
00:06:28,000 --> 00:06:29,000
sería igual

108
00:06:30,000 --> 00:06:31,000
al valor de

109
00:06:32,000 --> 00:06:33,000
16,

110
00:06:33,000 --> 00:06:35,000
que sería el lado grande, el triángulo grande,

111
00:06:36,000 --> 00:06:37,000
dividido entre 12, que sería el pequeño,

112
00:06:39,000 --> 00:06:40,000
16 dividido entre 12.

113
00:06:41,000 --> 00:06:42,000
Vale, pues despejamos R1

114
00:06:43,000 --> 00:06:44,000
y da

115
00:06:44,000 --> 00:06:45,000
9 centímetros.

116
00:06:46,000 --> 00:06:47,000
Vale, ya tengo el R1.

117
00:06:47,000 --> 00:06:48,000
Vamos a seguir con sub 1 limpio.

118
00:06:50,000 --> 00:06:52,000
¿Habéis entendido esto último, chicos?

119
00:06:53,000 --> 00:06:54,000
Vale, entonces

120
00:06:55,000 --> 00:06:56,000
¿Veis?

121
00:06:57,000 --> 00:06:58,000
Que son triángulos semejantes.

122
00:06:59,000 --> 00:07:00,000
He sacado este triángulo verde,

123
00:07:01,000 --> 00:07:02,000
lo he sacado aquí.

124
00:07:03,000 --> 00:07:04,000
Siempre os digo que

125
00:07:05,000 --> 00:07:06,000
saquéis los triángulos fuera de la figura,

126
00:07:07,000 --> 00:07:08,000
yo creo que se ve mucho mejor.

127
00:07:09,000 --> 00:07:10,000
¿Vale?

128
00:07:11,000 --> 00:07:12,000
Y luego tener un poco de cuidado.

129
00:07:13,000 --> 00:07:15,000
¿Veis que son triángulos detales?

130
00:07:15,000 --> 00:07:16,000
Yo creo que se ven

131
00:07:17,000 --> 00:07:18,000
muy claramente.

132
00:07:19,000 --> 00:07:20,000
Vale, pues ya tengo con

133
00:07:21,000 --> 00:07:22,000
G sub 1

134
00:07:23,000 --> 00:07:24,000
R1

135
00:07:26,000 --> 00:07:27,000
G sub 2

136
00:07:28,000 --> 00:07:29,000
tengo la posibilidad de

137
00:07:30,000 --> 00:07:31,000
hacer,

138
00:07:31,000 --> 00:07:32,000
coger

139
00:07:32,000 --> 00:07:33,000
el cono grande

140
00:07:36,000 --> 00:07:37,000
y calculamos su área lateral.

141
00:07:39,000 --> 00:07:40,000
Sería

142
00:07:40,000 --> 00:07:41,000
pi por R2

143
00:07:42,000 --> 00:07:43,000
por G sub 2.

144
00:07:43,000 --> 00:07:44,000
Lo tengo, lo tengo, lo tengo.

145
00:07:45,000 --> 00:07:46,000
Multiplico

146
00:07:46,000 --> 00:07:47,000
y obtengo su valor.

147
00:07:48,000 --> 00:07:49,000
Para el cono pequeño

148
00:07:50,000 --> 00:07:51,000
el área lateral

149
00:07:52,000 --> 00:07:53,000
sería

150
00:07:54,000 --> 00:07:55,000
pi por R1

151
00:07:56,000 --> 00:07:57,000
por G sub 1

152
00:07:58,000 --> 00:07:59,000
y como R1

153
00:07:59,000 --> 00:08:00,000
lo hemos calculado

154
00:08:00,000 --> 00:08:01,000
por G sub 1 también

155
00:08:02,000 --> 00:08:03,000
podemos obtener el valor.

156
00:08:04,000 --> 00:08:05,000
Vale, ahora lo que voy a hacer es

157
00:08:05,000 --> 00:08:06,000
restar.

158
00:08:06,000 --> 00:08:07,000
¿Veis ahí?

159
00:08:07,000 --> 00:08:08,000
Así menos menos.

160
00:08:09,000 --> 00:08:10,000
Restamos

161
00:08:11,000 --> 00:08:12,000
el área lateral

162
00:08:12,000 --> 00:08:13,000
del cono grande

163
00:08:14,000 --> 00:08:16,000
menos el área lateral del cono pequeño.

164
00:08:17,000 --> 00:08:18,000
Y me da ya el resultado

165
00:08:19,000 --> 00:08:20,000
del

166
00:08:20,000 --> 00:08:21,000
trunco del cono.

167
00:08:27,000 --> 00:08:28,000
¿Cómo calculo su área total?

168
00:08:29,000 --> 00:08:30,000
Bueno, pues su área total sería

169
00:08:31,000 --> 00:08:32,000
el área lateral.

170
00:08:32,000 --> 00:08:33,000
La tenemos ya calculada.

171
00:08:34,000 --> 00:08:35,000
Más la base mayor

172
00:08:36,000 --> 00:08:37,000
más la base menor.

173
00:08:38,000 --> 00:08:39,000
¿Sabéis

174
00:08:39,000 --> 00:08:40,000
qué sería?

175
00:08:40,000 --> 00:08:41,000
Pi por R2

176
00:08:42,000 --> 00:08:43,000
porque son

177
00:08:46,000 --> 00:08:47,000
círculos.

178
00:08:47,000 --> 00:08:48,000
¿De acuerdo?

179
00:08:48,000 --> 00:08:49,000
Tenemos los radios.

180
00:08:49,000 --> 00:08:50,000
Los veis aquí.

181
00:08:50,000 --> 00:08:51,000
Tenemos el valor final.

182
00:08:52,000 --> 00:08:53,000
Por lo tanto la solución sería

183
00:08:53,000 --> 00:08:54,000
1.056.

184
00:08:56,000 --> 00:08:57,000
¿De acuerdo?

185
00:08:58,000 --> 00:08:59,000
Vale, pues vamos a por la segunda forma.

186
00:09:01,000 --> 00:09:02,000
Otra forma sería utilizar

187
00:09:03,000 --> 00:09:04,000
directamente

188
00:09:05,000 --> 00:09:06,000
la fórmula

189
00:09:07,000 --> 00:09:08,000
del trunco del cono.

190
00:09:08,000 --> 00:09:09,000
¿De acuerdo?

191
00:09:10,000 --> 00:09:11,000
El trunco del cono me dice

192
00:09:11,000 --> 00:09:12,000
que tengo que sumar

193
00:09:12,000 --> 00:09:13,000
nuevamente el área lateral

194
00:09:13,000 --> 00:09:14,000
de las áreas de las bases.

195
00:09:15,000 --> 00:09:17,000
El área lateral del trunco del cono

196
00:09:17,000 --> 00:09:18,000
es esta de aquí.

197
00:09:20,000 --> 00:09:21,000
Sería pi por R2

198
00:09:22,000 --> 00:09:23,000
más R1

199
00:09:23,000 --> 00:09:25,000
cierro paréntesis por generatriz.

200
00:09:26,000 --> 00:09:27,000
Ahora,

201
00:09:27,000 --> 00:09:28,000
tenéis que tener mucho cuidado

202
00:09:29,000 --> 00:09:30,000
porque esta generatriz

203
00:09:31,000 --> 00:09:32,000
es la generatriz

204
00:09:33,000 --> 00:09:34,000
del trunco del cono.

205
00:09:34,000 --> 00:09:35,000
No es la generatriz que hemos

206
00:09:35,000 --> 00:09:36,000
trabajado antes

207
00:09:39,000 --> 00:09:40,000
del cono.

208
00:09:41,000 --> 00:09:42,000
¿De acuerdo?

209
00:09:42,000 --> 00:09:43,000
Ahora es una generatriz

210
00:09:43,000 --> 00:09:44,000
nueva

211
00:09:44,000 --> 00:09:45,000
que sería

212
00:09:46,000 --> 00:09:47,000
esta de aquí.

213
00:09:49,000 --> 00:09:50,000
Esa sería la generatriz

214
00:09:50,000 --> 00:09:51,000
del trunco del cono.

215
00:09:52,000 --> 00:09:53,000
Tener cuidado porque hay muchas g's ya

216
00:09:53,000 --> 00:09:54,000
y nos hacemos un lío.

217
00:09:55,000 --> 00:09:56,000
¿Vale?

218
00:09:56,000 --> 00:09:57,000
Vamos a volver a nuestro dibujo.

219
00:09:58,000 --> 00:09:59,000
Esta generatriz

220
00:10:01,000 --> 00:10:02,000
vendría atada por

221
00:10:03,000 --> 00:10:04,000
la resta de la generatriz

222
00:10:04,000 --> 00:10:05,000
grande

223
00:10:05,000 --> 00:10:06,000
menos la generatriz

224
00:10:06,000 --> 00:10:07,000
pequeña.

225
00:10:08,000 --> 00:10:09,000
Si a 20 le quito 15

226
00:10:09,000 --> 00:10:10,000
le queda la generatriz

227
00:10:10,000 --> 00:10:11,000
del trunco del cono

228
00:10:11,000 --> 00:10:12,000
que sería 5.

229
00:10:13,000 --> 00:10:14,000
¿Sí?

230
00:10:15,000 --> 00:10:16,000
¿Hemos entendido?

231
00:10:22,000 --> 00:10:23,000
Bueno,

232
00:10:23,000 --> 00:10:24,000
os recuerdo que tengo ya

233
00:10:24,000 --> 00:10:25,000
todos los datos.

234
00:10:25,000 --> 00:10:26,000
Teníamos calculado

235
00:10:26,000 --> 00:10:27,000
el R2

236
00:10:28,000 --> 00:10:29,000
el R1

237
00:10:30,000 --> 00:10:31,000
la nueva generatriz

238
00:10:31,000 --> 00:10:32,000
que es 5.

239
00:10:33,000 --> 00:10:34,000
Vale, pues ahora ya es

240
00:10:34,000 --> 00:10:35,000
sustituir en la fórmula.

241
00:10:36,000 --> 00:10:37,000
Pero fijaros que toda esta parte

242
00:10:37,000 --> 00:10:38,000
de datos

243
00:10:38,000 --> 00:10:39,000
todos estos datos

244
00:10:39,000 --> 00:10:40,000
los hemos tenido que calcular

245
00:10:42,000 --> 00:10:43,000
y me da igual cómo lo hagáis

246
00:10:43,000 --> 00:10:44,000
me da igual que lo hagáis

247
00:10:44,000 --> 00:10:45,000
la forma 1

248
00:10:45,000 --> 00:10:46,000
o la forma 2

249
00:10:46,000 --> 00:10:47,000
independientemente

250
00:10:47,000 --> 00:10:48,000
tenemos que tenerlos

251
00:10:48,000 --> 00:10:49,000
para afrontar el problema.

252
00:10:50,000 --> 00:10:51,000
¿Vale?

253
00:10:51,000 --> 00:10:52,000
Entonces

254
00:10:52,000 --> 00:10:53,000
R2

255
00:10:53,000 --> 00:10:54,000
es 12

256
00:10:55,000 --> 00:10:56,000
R1

257
00:10:56,000 --> 00:10:57,000
es 9

258
00:10:58,000 --> 00:10:59,000
la generatriz

259
00:10:59,000 --> 00:11:00,000
sería 5.

260
00:11:00,000 --> 00:11:01,000
Sustituimos todo

261
00:11:02,000 --> 00:11:04,000
me da ya el lateral

262
00:11:05,000 --> 00:11:06,000
la base mayor

263
00:11:06,000 --> 00:11:07,000
calcula una base menor

264
00:11:08,000 --> 00:11:09,000
y ya sustituimos

265
00:11:09,000 --> 00:11:10,000
todos los valores

266
00:11:10,000 --> 00:11:11,000
la de lateral

267
00:11:12,000 --> 00:11:13,000
lo tengo aquí

268
00:11:14,000 --> 00:11:15,000
la base mayor

269
00:11:15,000 --> 00:11:16,000
la base menor

270
00:11:18,000 --> 00:11:19,000
empezamos a sumar

271
00:11:20,000 --> 00:11:21,000
y me da como solución

272
00:11:21,000 --> 00:11:22,000
pues la misma

273
00:11:22,000 --> 00:11:23,000
que en la forma 1

274
00:11:23,000 --> 00:11:24,000
claro está

275
00:11:24,000 --> 00:11:26,000
1036 cm2

276
00:11:26,000 --> 00:11:27,000
aproximado.

277
00:11:28,000 --> 00:11:29,000
¿De acuerdo?

278
00:11:29,000 --> 00:11:30,000
Ese sería nuestro valor de solución.

279
00:11:32,000 --> 00:11:33,000
Bueno, pues espero

280
00:11:33,000 --> 00:11:34,000
que lo hayáis entendido

281
00:11:34,000 --> 00:11:35,000
esto es muy importante.

282
00:11:35,000 --> 00:11:36,000
Nosotros teníamos

283
00:11:36,000 --> 00:11:37,000
un curso de pirámide

284
00:11:37,000 --> 00:11:38,000
y con esto

285
00:11:38,000 --> 00:11:39,000
vamos a acabar

286
00:11:39,000 --> 00:11:40,000
ya con los troncos de cono

287
00:11:40,000 --> 00:11:41,000
que acabamos de ver.

288
00:11:42,000 --> 00:11:43,000
Tronco de pirámide

289
00:11:43,000 --> 00:11:44,000
y tronco de cono

290
00:11:44,000 --> 00:11:45,000
seguramente sean

291
00:11:45,000 --> 00:11:46,000
los aspectos más importantes

292
00:11:46,000 --> 00:11:47,000
de este tema.

293
00:11:47,000 --> 00:11:48,000
Tener mucho cuidado

294
00:11:48,000 --> 00:11:49,000
porque nos requiere

295
00:11:49,000 --> 00:11:50,000
conocimiento

296
00:11:50,000 --> 00:11:51,000
de triángulos semejantes

297
00:11:51,000 --> 00:11:52,000
y acordarnos

298
00:11:52,000 --> 00:11:53,000
de las fórmulas.

299
00:11:53,000 --> 00:11:54,000
¿De acuerdo?

300
00:11:54,000 --> 00:11:55,000
Os mando

301
00:11:55,000 --> 00:11:56,000
un saludo para todos

302
00:11:56,000 --> 00:11:57,000
chicos

303
00:11:57,000 --> 00:11:58,000
que tengáis un día estupendo.

304
00:11:58,000 --> 00:11:59,000
Hasta luego.