1
00:00:01,649 --> 00:00:16,589
Bueno, ahora vamos a resolver el problema de la opción B del modelo de EBAO, Matemáticas 2, de 2020.

2
00:00:17,769 --> 00:00:27,329
En este caso se trata de resolver un sistema matricial y de obtener también rangos.

3
00:00:27,329 --> 00:00:46,450
Entonces vamos a empezar con el primer apartado, nos dan en este caso tres matrices, la X y la B, veis que aparece ahí un parámetro T y nos dicen en el apartado A que calculemos el rango de la matriz A en función del parámetro T.

4
00:00:46,450 --> 00:00:57,609
Pues bien, para los rangos de estas matrices paramétricas lo mejor es utilizar el sistema de Gauss, que ya sabéis que es convertir la matriz en triangular, ¿no? Operando con las filas.

5
00:00:58,469 --> 00:01:11,890
Entonces, si ponemos aquí nuestra matriz A, que es 1, 2 más T, segunda fila 5, 10 más 3T,

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00:01:11,890 --> 00:01:18,750
veréis que el método de Gauss es práctico y rápido, menos 1 y menos 2 sería la tercera fila.

7
00:01:18,750 --> 00:01:30,590
Entonces, vamos a utilizar, recordad que en Gauss se llama pivote a los elementos de la diagonal.

8
00:01:30,590 --> 00:01:35,409
Entonces, cogemos el primer elemento de la diagonal, que es un 1, y lo utilizamos de pivote.

9
00:01:36,109 --> 00:01:42,049
Es decir, vamos a intentar operar con ese 1 para que todos los números que estén debajo sean ceros.

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00:01:42,049 --> 00:01:56,370
¿Vale? Entonces para ello lo que vamos a hacer es transformar la fila 2 para conseguir que el 5 sea un 0 y transformar la fila 3 para conseguir que el menos 1 sea un 0.

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00:01:56,370 --> 00:02:14,870
¿Cómo? Operando con la fila que tiene el pivote. Entonces, fijaos, si yo digo que la nueva fila 3 es igual a la antigua fila 3, a la cual lo que voy a hacer es restarle la fila 1 multiplicada por 5, ya consigo que se convierta en 0.

12
00:02:14,870 --> 00:02:23,090
porque la fila 1, como es un 1, si la multiplico por 5, 5 por 1, 5, y si se lo resto al de abajo me queda 0.

13
00:02:26,530 --> 00:02:31,849
Bueno, en este caso es la 2, ¿vale? Disculpad, la 2.

14
00:02:32,090 --> 00:02:43,729
Y como consigo un 0 aquí, sumándole directamente la fila 1, es decir, que la nueva fila 3 va a ser la fila 3 antigua más la fila 1 antigua.

15
00:02:43,729 --> 00:02:50,449
Entonces fijaos que con estas operaciones solo me estoy fijando en cómo conseguir que el 5 sea un 0 y que el menos 1 sea un 0.

16
00:02:51,409 --> 00:02:55,150
Y con esto ya tenemos nuestra nueva matriz.

17
00:02:55,330 --> 00:02:58,069
La primera fila ni la toco, 1 más 2t.

18
00:02:58,550 --> 00:03:00,430
La segunda fila aquí me queda un 0.

19
00:03:01,430 --> 00:03:08,449
Y luego este segundo elemento lo podemos hacer aparte porque es fila 2, 10 más 3t,

20
00:03:08,449 --> 00:03:15,310
al cual le resto lo que tiene la fila 1, 2 más t, multiplicado por 5.

21
00:03:15,490 --> 00:03:18,050
¿Veis que es justo lo que estoy diciendo aquí en la formulita?

22
00:03:18,689 --> 00:03:20,789
Entonces, si yo opero esto, ¿qué me queda?

23
00:03:21,409 --> 00:03:29,830
10 más 3t menos 10 menos 5t, ¿de acuerdo?

24
00:03:29,830 --> 00:03:35,750
Bueno, el 10 y el 10 se me van, me queda menos 2t, ya está transformado.

25
00:03:35,750 --> 00:03:55,740
En la tercera esto me queda un 0 y tengo que la nueva fila 3 es la fila 3 antigua más la fila 1, que es 2 más t, ¿de acuerdo? Entonces me queda, perdón, no es menos 3, esto es un menos 2, ¿vale?

26
00:03:55,740 --> 00:03:59,759
menos 2 más, 2 más t total, que esto me queda

27
00:03:59,759 --> 00:04:02,879
t, ¿vale?

28
00:04:04,780 --> 00:04:07,800
simplemente era sumarlas, bien, pues entonces ya tenemos

29
00:04:07,800 --> 00:04:12,860
transformado todo en la primera fila

30
00:04:12,860 --> 00:04:15,620
perdón, en la primera columna, en la que es un 0, 0, 0

31
00:04:15,620 --> 00:04:20,100
bien, un 1, 0, 0, el segundo pivote es el segundo elemento de la diagonal

32
00:04:20,100 --> 00:04:24,439
va a ser este, y necesito conseguir que debajo haya un 0

33
00:04:24,439 --> 00:04:35,699
¿Cómo logro que debajo haya un 0? Pues diré que la nueva fila 3 es igual a 2 por la fila 3

34
00:04:35,699 --> 00:04:40,100
A la cual lo que hago es simplemente sumarle la fila del pivote que es la fila 2

35
00:04:40,100 --> 00:04:44,060
Si hago 2 por la fila 3 y le sumo la fila 2 ya tengo un 0 aquí abajo

36
00:04:44,060 --> 00:04:51,980
Con lo cual transformando esa tercera fila me queda primera fila sin tocar nada

37
00:04:51,980 --> 00:05:10,600
Segunda fila, como en la del pivote, tampoco toco nada. Y tercera fila me queda cero y aquí me quedaría cero también. ¿De acuerdo? Entonces ya he convertido la matriz en triangular, se llama este tipo de matrices.

38
00:05:10,600 --> 00:05:17,259
Bien, y ahora ya vemos que aquí la matriz puede ser de rango 1 o de rango 2

39
00:05:17,259 --> 00:05:20,920
Recordad que el rango es el mayor menor distinto de 0

40
00:05:20,920 --> 00:05:26,560
El menor que eran los menores, los determinantes que podíamos formar con los elementos de la matriz

41
00:05:26,560 --> 00:05:31,620
Entonces como aquí nos queda distinto de 0, fijaos que la última fila es toda 0

42
00:05:31,620 --> 00:05:37,860
Solo nos quedan los 4 elementos de aquí, el 1, el 2 más t, el 0 y el menos 2t

43
00:05:37,860 --> 00:05:56,079
Entonces, si la segunda fila fuese todo cero, el rango de esta matriz sería uno. Entonces, ¿cómo consigo que la segunda fila sea toda cero? Si la t vale cero, con lo cual diremos que si t vale cero, pues la segunda fila también sería nula.

44
00:05:56,079 --> 00:06:25,319
Y entonces el rango de esta matriz sería 1, ¿vale? Si t es igual a 0, el rango de A sería 1. Si t es distinto de 0, pues el rango de A será 2, ¿ok? Y esa sería la solución a la parte A.

45
00:06:25,319 --> 00:06:37,860
Bien, en el apartado b lo que nos piden es que resolvamos el sistema ax igual a b, ¿vale?

46
00:06:39,360 --> 00:06:52,819
Bien, bueno, esto no es más que un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas y nos dicen que utilicemos los valores de t que lo hagan compatible determinado.

47
00:06:52,819 --> 00:07:01,920
Bueno, si un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas tiene que ser compatible determinado es porque dos de las tres ecuaciones tienen que ser combinación lineal.

48
00:07:02,079 --> 00:07:04,100
Pero eso lo hacemos por Gauss muy fácil.

49
00:07:05,379 --> 00:07:19,519
Simplemente cogemos la matriz de los coeficientes, que es la que ya teníamos, 1, 2 más t, 5, 10 más 3t, menos 1 y menos 2.

50
00:07:19,519 --> 00:07:29,240
y la completamos con los coeficientes, perdón, con los términos independientes, 3, 9, 3t más 3.

51
00:07:31,689 --> 00:07:42,810
Entonces, si aplicamos el mismo gauss que habíamos aplicado hasta ahora, lo que pasa es que añadimos la última fila, sería 1, 2 más t, 3, ¿vale?

52
00:07:42,810 --> 00:07:55,430
La segunda fila nos quedaría 0, menos 2t, y este 9 nos quedaría transformado en menos 6, ¿vale?

53
00:07:55,430 --> 00:08:08,610
Y la tercera fila nos había salido 0, 0, y si hacemos lo mismo que habíamos hecho aquí, 2f3 más f2, pues este último me queda 6t más 6, ¿de acuerdo?

54
00:08:08,610 --> 00:08:20,509
Para que sea compatible determinado, como tiene que ser un sistema en el que dos de las ecuaciones tienen que ser combinación lineal, tengo que obligar a que esto sea igual a cero, ¿vale?

55
00:08:20,990 --> 00:08:31,850
Entonces, para que esto sea igual a cero, pues 6t más 6 igual a cero significa que la t tiene que ser igual a menos uno.

56
00:08:31,850 --> 00:09:00,049
Entonces, si la t vale menos 1, el sistema va a ser compatible determinado. Y operando en la matriz, ¿cómo nos quedaría con t igual a 1, esa matriz? Pues me quedaría 1, 2 menos 1, que sería el 2 más t, ¿verdad? Me quedaría 1, 3, esto es 0, esto sería menos por menos más 2 por 1, 2, me quedaría un 2 y este me quedaría menos 6.

57
00:09:00,049 --> 00:09:28,110
Y ya con esto resolvemos el sistema porque esto sería 2y igual a menos 6 con lo cual y valdría menos 3 y sustituyendo en esta tenemos que x menos 3 es igual a 3, lo paso al otro lado y entonces x me sale 6 con lo cual queda resuelto el sistema.