1 00:00:00,240 --> 00:00:07,740 Hola chicas, hola chicos. Vamos a estudiar en este vídeo en qué posición se encuentran, se pueden encontrar tres planos, ¿vale? 2 00:00:07,740 --> 00:00:10,919 Lo que se conoce como posiciones relativas de tres planos. 3 00:00:11,480 --> 00:00:17,960 Y concretamente vamos a ver que vamos a separar una de estas ocho posiciones que tenéis dibujadas, ¿vale? 4 00:00:17,980 --> 00:00:22,879 Va a haber ocho casos posibles de cómo pueden estar colocados entre sí tres planos. 5 00:00:23,000 --> 00:00:26,699 Entonces, ¿cómo vamos a hacer esto? ¿Qué vamos a tener de los planos? 6 00:00:26,699 --> 00:00:31,460 Pues vamos a tener sus ecuaciones implícitas, o vamos a suponer que las tenemos. 7 00:00:31,660 --> 00:00:36,119 En caso de que no tengáis las ecuaciones implícitas de los planos, que os hayan dado otro tipo de ecuación, 8 00:00:36,520 --> 00:00:41,259 lo primero que tendréis que hacer es pasar las tres ecuaciones a su forma implícita. 9 00:00:41,700 --> 00:00:44,280 Que eso ya, por supuesto, que lo sabéis hacer. 10 00:00:45,000 --> 00:00:51,140 Vale, fijaros que esas tres ecuaciones forman un sistema, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, 11 00:00:51,240 --> 00:00:54,960 que en el tema de álgebra habéis aprendido a discutir. 12 00:00:54,960 --> 00:01:10,000 Entonces, vamos a ver la posición relativa de esos tres planos discutiendo este sistema y para ello vamos a formar las dos matrices del sistema, la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada. 13 00:01:10,799 --> 00:01:19,099 Y fijaros además que la matriz de los coeficientes del sistema, cada una de sus filas, son las coordenadas de los vectores normales de cada plano. 14 00:01:19,439 --> 00:01:25,200 La primera fila de la matriz de los coeficientes, que es a1, b1, c1, si os fijáis en la ecuación de arriba, 15 00:01:25,400 --> 00:01:31,319 pues son los coeficientes de la x, de la y y de la z del plano, es decir, es su vector normal. 16 00:01:31,500 --> 00:01:36,840 Y eso también lo vamos a utilizar para averiguar la posición relativa en algunos casos. 17 00:01:39,040 --> 00:01:43,859 En definitiva, discutiendo los rangos de estas matrices y la relación entre las filas, 18 00:01:43,980 --> 00:01:47,000 es como vamos a ver la posición relativa de los planos. 19 00:01:47,760 --> 00:01:49,920 Entonces, vamos a empezar por los primeros casos. 20 00:01:49,920 --> 00:01:54,799 Primero vamos a suponer que el sistema tiene solución, es decir, que es compatible. 21 00:01:55,439 --> 00:01:59,920 Si el sistema es compatible, eso significa que los planos tendrán puntos en común. 22 00:02:00,140 --> 00:02:06,799 Las soluciones del sistema cumplen las tres ecuaciones a la vez y por tanto serán puntos comunes a los tres planos. 23 00:02:07,359 --> 00:02:08,879 Y vamos a tener varios casos. 24 00:02:09,060 --> 00:02:14,259 El primer caso que os tengo ahí puesto es que el rango de las dos matrices de la mayoría de los coeficientes 25 00:02:14,259 --> 00:02:19,199 será ampliada sea 3 y sea igual, por tanto, al número de incógnitas y tendremos un sistema 26 00:02:19,199 --> 00:02:25,719 compatible determinado. Eso quiere decir que vamos a tener una única solución para el sistema, es 27 00:02:25,719 --> 00:02:31,900 decir, que las tres ecuaciones van a tener un único punto en común, ¿vale? Y ese es el punto donde se 28 00:02:31,900 --> 00:02:39,139 van a cortar los tres planos. Es decir, si el rango de las dos matrices es 3, entonces los tres planos 29 00:02:39,139 --> 00:02:45,680 se cortan en un punto y la solución del sistema sería justo ese punto donde se cortan los tres 30 00:02:45,680 --> 00:02:50,939 planos. En este caso los planos están dibujados perpendicularmente unos a otros pero no tiene 31 00:02:50,939 --> 00:02:56,419 por qué ser así. Los planos pueden formar otro ángulo pero en cualquier caso los tres planos 32 00:02:56,419 --> 00:03:04,960 se cortarán en un punto. Veamos ahora qué ocurre si las dos matrices tienen rango 2. Bueno, en este 33 00:03:04,960 --> 00:03:10,159 caso el sistema va a ser compatible indeterminado porque las dos matrices tienen el mismo rango 34 00:03:10,159 --> 00:03:14,280 pero es menor que el número de incógnitas, ¿vale? Que sería el número de incógnitas 35 00:03:14,280 --> 00:03:19,419 es 3. Tiene infinitas soluciones, ¿vale? Es decir, los planos van a tener infinitos 36 00:03:19,419 --> 00:03:24,979 puntos en común. Si resolvemos el sistema, que sería un sistema determinado, en este 37 00:03:24,979 --> 00:03:29,159 caso fijaros que la solución va a depender de un parámetro, ¿vale? A una de las incógnitas 38 00:03:29,159 --> 00:03:33,520 le vais a llamar lambda y la vais a pasar al otro miembro y vais a despejar los demás 39 00:03:33,520 --> 00:03:37,039 y las tres incógnitas van a depender de ese parámetro lambda. 40 00:03:37,560 --> 00:03:39,900 Y eso nos da las ecuaciones paramétricas de una recta. 41 00:03:40,039 --> 00:03:44,159 Esa solución que os sale son las ecuaciones paramétricas de una recta. 42 00:03:44,159 --> 00:03:49,919 En definitiva, en este caso, los planos se van a cortar formando una recta. 43 00:03:49,979 --> 00:03:53,080 Pero lo pueden hacer de dos maneras distintas, que vamos a ver. 44 00:03:54,439 --> 00:03:59,659 En el primer caso, los tres planos forman un determinado ángulo entre sí, ¿vale? 45 00:03:59,740 --> 00:04:02,639 Y se cortan formando la recta que hemos mencionado antes. 46 00:04:02,639 --> 00:04:11,879 Pero también puede darse otro caso que es que dos de los planos sean coincidentes, estén uno encima del otro, se superpongan y el otro los corta. 47 00:04:12,180 --> 00:04:15,340 Y en ese caso los tres planos también se cortan en una recta. 48 00:04:16,000 --> 00:04:24,839 En estos dos casos el rango de las dos matrices sería 2 y vamos a ver cómo distinguir uno de otro y por qué el rango de las dos matrices es 2. 49 00:04:24,839 --> 00:04:33,079 Y fijaros, en este caso, además del dibujo anterior, os he puesto un dibujo como de perfil de los tres planos 50 00:04:33,079 --> 00:04:39,199 Los dos dibujos que tenéis ahí, el de la izquierda y el de la derecha, serían los tres mismos planos 51 00:04:39,199 --> 00:04:43,319 Uno visto como desde un lateral y el otro visto desde el perfil 52 00:04:43,319 --> 00:04:47,980 En este caso, la recta en la que se cortan los tres planos saldría de vuestra pantalla 53 00:04:47,980 --> 00:04:49,899 Sería perpendicular a vuestra pantalla 54 00:04:49,899 --> 00:04:56,540 Entonces fijaros, también están dibujados a la derecha los tres vectores normales de los tres planos 55 00:04:56,540 --> 00:05:00,160 Que os recuerdo que son las filas de la matriz de los coeficientes 56 00:05:00,160 --> 00:05:04,819 Y como veis, los tres vectores no son paralelos entre sí 57 00:05:04,819 --> 00:05:09,300 Los tres vectores están en el mismo plano, que sería el plano de la pantalla 58 00:05:09,300 --> 00:05:14,839 Y por tanto el rango de esos tres vectores sería 2 59 00:05:14,839 --> 00:05:19,439 Porque son linealmente dependientes al estar en el mismo plano, pero no son paralelos 60 00:05:19,439 --> 00:05:24,379 entonces además fijaros cómo se distingue ese caso 61 00:05:24,379 --> 00:05:28,360 como los vectores normales no son paralelos entre sí 62 00:05:28,360 --> 00:05:32,819 las filas de la matriz de los coeficientes tampoco son proporcionales 63 00:05:32,819 --> 00:05:36,319 es decir una vez que sabéis que el rango de las matrices es 2 64 00:05:36,319 --> 00:05:40,120 lo que os fijáis es o en las filas de la matriz de los coeficientes 65 00:05:40,120 --> 00:05:44,160 o en los vectores normales de los planos que son los mismos 66 00:05:44,160 --> 00:05:48,399 y comprobáis que ninguna de las filas es proporcional a la otra 67 00:05:49,079 --> 00:05:52,519 Mientras que en el segundo caso, si os fijáis en el dibujo de la derecha, 68 00:05:52,660 --> 00:05:56,660 que en este caso tenemos dos planos coincidentes y otro que los corta, 69 00:05:57,199 --> 00:06:01,759 los dos vectores normales de los dos planos coincidentes, eso sí que son paralelos entre sí. 70 00:06:02,279 --> 00:06:06,019 Y por tanto, en la matriz de los coeficientes, en la matriz M, 71 00:06:06,579 --> 00:06:10,879 tiene que haber dos filas que sean proporcionales, porque hay dos vectores normales proporcionales. 72 00:06:10,879 --> 00:06:16,879 O también podéis sacar los vectores normales de cada plano y observar que hay dos que son proporcionales. 73 00:06:16,879 --> 00:06:22,920 proporcionales. Esto siempre sabiendo que el rango de las dos matrices es 2. Entonces, si estáis en 74 00:06:22,920 --> 00:06:30,800 ese caso, tenéis dos planos coincidentes y otro que los corta. Bueno, y el último caso en el que el 75 00:06:30,800 --> 00:06:35,800 sistema puede ser compatible, es decir, puede tener solución, es que el rango de las dos matrices sea 76 00:06:35,800 --> 00:06:41,620 1. Y en este caso, como es también menor al número de incógnitas, el sistema será compatible 77 00:06:41,620 --> 00:06:47,279 indeterminado. ¿Pero qué quiere decir que el rango de las dos matrices sea 1? Pues fijaros, en este 78 00:06:47,279 --> 00:06:53,980 caso las tres filas serían proporcionales, es decir, las tres ecuaciones serían proporcionales, 79 00:06:54,060 --> 00:06:59,160 una sería la otra multiplicada por un número, ¿vale? Y las tres ecuaciones tienen exactamente 80 00:06:59,160 --> 00:07:04,779 las mismas soluciones, es decir, en realidad las tres ecuaciones son el mismo plano dado que todas 81 00:07:04,779 --> 00:07:11,120 las soluciones son comunes, ¿vale? Y en ese caso los tres planos son coincidentes. Este caso es 82 00:07:11,120 --> 00:07:16,399 bastante fácil de darse cuenta porque lo que tenéis es que los tres planos, todos sus coeficientes, 83 00:07:16,860 --> 00:07:23,980 son proporcionales y es bastante fácil de distinguir. Bueno y estos son todos los casos en 84 00:07:23,980 --> 00:07:29,639 los que el sistema tiene solución, una solución o infinitas soluciones y por tanto los planos tienen 85 00:07:29,639 --> 00:07:35,800 puntos en común entre sí. Vamos a ver ahora los casos en los que el sistema de ecuaciones que 86 00:07:35,800 --> 00:07:42,399 forman las ecuaciones de los tres planos no tiene solución, es incompatible y por tanto los planos 87 00:07:42,399 --> 00:07:48,279 no tienen ningún punto en común entre sí pero también pueden estar colocados de distintas formas 88 00:07:48,279 --> 00:07:56,439 entonces vamos sirviendo una por una. En el siguiente caso el rango de la matriz de los 89 00:07:56,439 --> 00:08:03,120 coeficientes es 2 y el rango de la matriz ampliada es 3. Como decíamos antes el sistema es incompatible 90 00:08:03,120 --> 00:08:07,300 no tiene solución y los tres planos no tendrán ningún punto en común. 91 00:08:07,759 --> 00:08:13,500 Pero fijaros, como el rango de la matriz de los coeficientes es 2, 92 00:08:14,259 --> 00:08:18,420 pues resulta que lo que ocurrirá es que los vectores normales del plano 93 00:08:18,420 --> 00:08:22,879 estarán todos en el mismo plano, pero no son todos paralelos, ¿vale? 94 00:08:22,939 --> 00:08:25,800 Los tres están en el mismo plano, son linealmente dependientes, 95 00:08:25,920 --> 00:08:29,040 por eso el rango de la matriz es 2, pero no todos son paralelos. 96 00:08:29,120 --> 00:08:31,100 Entonces, ¿qué casos se nos pueden dar ahí? 97 00:08:31,100 --> 00:08:38,659 Pues, mirad, el primer caso es que los planos se corten de dos en dos, pero no tengan ningún punto en común los tres, ¿vale? 98 00:08:39,279 --> 00:08:45,100 Y el segundo caso sería que tuviéramos dos planos paralelos y un tercero que les corte. 99 00:08:45,639 --> 00:08:50,500 Vamos a distinguir entre estos dos casos y vamos a justificar el rango de las matrices. 100 00:08:51,960 --> 00:08:55,259 Mirad, en el primer de los casos, ¿vale? 101 00:08:55,259 --> 00:09:04,220 Fijaros, como antes os he hecho un dibujo así como en perspectiva y otro dibujo de perfil de los tres planos, como si en el primer dibujo los estuvierais mirando desde arriba. 102 00:09:04,940 --> 00:09:11,720 Y he dibujado también los vectores normales. Si fijáis en los vectores normales, los tres vectores normales están en el mismo plano. 103 00:09:12,539 --> 00:09:18,720 Por tanto, el rango de la matriz de los coeficientes, que es también la matriz de los vectores normales, será 2. 104 00:09:19,000 --> 00:09:24,679 Pero ninguno de los tres vectores normales es paralelo a otro. ¿Cómo se va a distinguir esto? 105 00:09:24,679 --> 00:09:38,799 Pues sabiendo, como os he dicho antes, que el rango de la matriz de los coeficientes es 2, el rango de la matriz ampliada es 3, pero si miramos las filas de la matriz de los coeficientes o de los vectores normales, ninguna fila va a ser proporcional a otra. 106 00:09:39,740 --> 00:09:41,919 Y entonces estaríamos en este caso. 107 00:09:41,919 --> 00:09:48,440 el otro caso, fijaros que está dibujado de perfil 108 00:09:48,440 --> 00:09:52,019 las tres vectores también están en el mismo plano 109 00:09:52,019 --> 00:09:58,039 no son los tres paralelos entre sí, con lo cual el rango de la matriz va a ser 2 110 00:09:58,039 --> 00:10:04,519 pero en este caso los vectores normales a los planos que son paralelos entre sí 111 00:10:04,519 --> 00:10:06,240 los vectores son paralelos entre sí 112 00:10:06,240 --> 00:10:09,840 con lo cual de los tres vectores normales que tenéis 113 00:10:09,840 --> 00:10:14,960 o de las tres filas de la matriz de los coeficientes, que es lo mismo, dos de ellas obligatoriamente 114 00:10:14,960 --> 00:10:22,080 van a ser proporcionales. Es decir, si el rango de la matriz de los coeficientes es 2, el rango 115 00:10:22,080 --> 00:10:28,620 de la matriz ampliada es 3 y además la matriz de los coeficientes tiene dos filas proporcionales, 116 00:10:28,799 --> 00:10:36,399 estaríamos en este caso. Hay dos planos coincidentes y otro que les corta. Bueno, entonces, el sistema 117 00:10:36,399 --> 00:10:41,740 también puede ser incompatible si el rango de la matriz de los coeficientes es 1 y el rango de la 118 00:10:41,740 --> 00:10:48,419 matriz ampliada es 2. Las matrices tienen distinto rango y el sistema es incompatible y de nuevo los 119 00:10:48,419 --> 00:10:53,100 planos no tienen ningún punto en común. Pero fijaros, ¿qué significa que el rango de la matriz 120 00:10:53,100 --> 00:10:58,340 de los coeficientes sea 1? Como hemos visto ya muchas veces, las filas de esa matriz son los 121 00:10:58,340 --> 00:11:02,539 vectores normales de los planos, pues eso significa que los tres vectores normales son 122 00:11:02,539 --> 00:11:08,279 proporcionales, entonces los tres vectores normales son paralelos entre sí. Y entonces, ¿cómo pueden 123 00:11:08,279 --> 00:11:13,500 estar situados los planos? Pues puede que los tres planos sean paralelos, en ese caso los tres 124 00:11:13,500 --> 00:11:19,220 vectores normales serían paralelos, o puede ocurrir también que dos planos sean coincidentes y el otro 125 00:11:19,220 --> 00:11:24,139 paralelo. Fijaros que no puede ocurrir que los tres planos sean coincidentes porque entonces el 126 00:11:24,139 --> 00:11:28,200 sistema no sería incompatible, tendría que ser compatible determinado. Ya hemos visto que en ese 127 00:11:28,200 --> 00:11:35,139 caso el rango de las dos matrices sería 1. Vamos a ver cómo distinguimos entre estos 128 00:11:35,139 --> 00:11:42,200 dos casos. Pues si los tres planos son paralelos, fijaros, si tomamos las filas de la matriz 129 00:11:42,200 --> 00:11:47,639 ampliada o las ecuaciones de los planos de 2 en 2, al ser los planos paralelos ocurrirá 130 00:11:47,639 --> 00:11:52,860 que los tres primeros coeficientes van a ser proporcionales, pero el último no. Fijaros, 131 00:11:52,940 --> 00:11:56,240 esto es lo que vimos cuando vimos la posición relativa de dos planos. Pues ahora tiene que 132 00:11:56,240 --> 00:12:05,610 pasar con todos los planos vistos de dos en dos y mientras que si dos planos son coincidentes y el 133 00:12:05,610 --> 00:12:11,070 otro paralelo habrá dos filas en la que todos los coeficientes dos filas de la matriz ampliada o dos 134 00:12:11,070 --> 00:12:15,730 ecuaciones de los dos planos en las que todos los coeficientes serán proporcionales que corresponde 135 00:12:15,730 --> 00:12:21,870 a los dos planos que son coincidentes con el otro plano no pasará pero habrá dos filas que seguro 136 00:12:21,870 --> 00:12:28,009 que sí, o mejor dicho, si en dos filas ocurre que sí y con la otra no, que todos los coeficientes 137 00:12:28,009 --> 00:12:33,230 son proporcionales, pues entonces dos planos son coincidentes y el otro paralelo. Os recuerdo 138 00:12:33,230 --> 00:12:37,590 que en este caso, en los dos casos, el rango de la matriz de los coeficientes tiene que 139 00:12:37,590 --> 00:12:43,769 ser 1 y el rango de la matriz ampliada tiene que ser 2. Y con esto hemos discutido todos 140 00:12:43,769 --> 00:12:50,370 los casos posibles, que son muchos y no son fáciles de recordar. Lo más fácil es intentar 141 00:12:50,370 --> 00:12:56,809 razonarlo. A continuación os voy a subir algún vídeo también con algún ejercicio resuelto o como 142 00:12:56,809 --> 00:13:04,629 podemos discutir distintos casos si la ecuación de alguno de los planos tiene un parámetro. 143 00:13:04,830 --> 00:13:11,909 Vamos a hacer dos o tres problemas para aplicar toda esta parte teórica que hemos visto. Un saludo.